單元5二元函數(shù)微分法及其應(yīng)用(5-1)教學(xué)內(nèi)容索引【引例探析】【引例5-1】計(jì)算圓錐體的體積【引例5-2】計(jì)算產(chǎn)品的收入【引例5-3】計(jì)算并聯(lián)電路的總電阻【概念認(rèn)知】1．二元函數(shù)的基本概念2．偏導(dǎo)數(shù)的基本概念3．全微分的基本概念【知識(shí)疏理】5.1二元函數(shù)的極限5.2二元函數(shù)的連續(xù)性【實(shí)例精講】【實(shí)例5-1】求二元函數(shù)的定義域【課堂引入】知識(shí)目標(biāo)掌握二元函數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分的概念，掌握二元函數(shù)極限與連續(xù)的概念技能目標(biāo)會(huì)求二元函數(shù)的定義域，會(huì)求簡(jiǎn)單的二元函數(shù)的極限態(tài)度目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯思維能力和自我學(xué)習(xí)能力，為學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)，并能用二元函數(shù)微分法解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)（1）二元函數(shù)的概念與定義域；（2）二元函數(shù)極限與連續(xù)教學(xué)難點(diǎn)求二元函數(shù)的定義域與極限【引例探析】【引例5-1】計(jì)算圓錐體的體積【問(wèn)題描述】

如圖5-1所示的圓錐體，設(shè)底面半行r=10cm，高h(yuǎn)=15cm，求該圓錐體的體積．圖5-1圓錐體【問(wèn)題求解】圓錐體體積V與它的底面半徑r和高h(yuǎn)之間具有關(guān)系

這里，V隨著底面半徑r和高h(yuǎn)的變化而變化，

當(dāng)r和h在一定范圍（r>0，h>0）取值時(shí)，V的值隨之確定．

由題意可知，r=10，h=15

所以【引例探析】【引例5-2】計(jì)算產(chǎn)品的收入【問(wèn)題描述】

企業(yè)產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入決定于該產(chǎn)品的銷(xiāo)售量和價(jià)格兩個(gè)因素，某電器產(chǎn)品的12月份的銷(xiāo)量為680臺(tái)，價(jià)格為320元，求該產(chǎn)品12月份的銷(xiāo)售收入．【問(wèn)題求解】

設(shè)產(chǎn)品的銷(xiāo)售量為q，價(jià)格為p，收入為R，則收入函數(shù)為R(p,q)=pq．

由題意可知，q=680，p=320

所以R=680×320=217600（元）

由此可知，產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入取決于銷(xiāo)售量和價(jià)格兩個(gè)因素，當(dāng)銷(xiāo)售量q和價(jià)格p確定后，銷(xiāo)售收入R便有一個(gè)確定值與之對(duì)應(yīng)．【引例探析】【5-3】計(jì)算并聯(lián)電路的總電阻【問(wèn)題描述】圖5-2并聯(lián)電路圖【問(wèn)題求解】由電學(xué)知識(shí)可知，并聯(lián)電路的總電阻的計(jì)算公式如下

整理后，得【概念認(rèn)知】1．二元函數(shù)的基本概念（1）二元函數(shù)的定義【定義5.1】：二元函數(shù)（2）二元函數(shù)的定義域（3）二元函數(shù)的幾何意義圖5-5二元函數(shù)的幾何意義2．偏導(dǎo)數(shù)的基本概念（1）偏導(dǎo)數(shù)的定義【定義5.2】：偏導(dǎo)數(shù)（2）二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義圖5-8二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義3．全微分的基本概念【定義5.3】：全微分【知識(shí)疏理】5.1二元函數(shù)的極限【定義5.4】：二元函數(shù)的極限【示例5.6】：討論二元函數(shù)5.2二元函數(shù)的連續(xù)性【定義5.6】：二元函數(shù)的連續(xù)

多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域（是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域）內(nèi)是連續(xù)的．此結(jié)果可以用于多元初等函數(shù)極限的計(jì)算．

與一元函數(shù)類(lèi)似，二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）及復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)．

由變量x,y的基本初等函數(shù)及常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算與復(fù)合步驟而構(gòu)成的，且用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)稱為二元初等函數(shù)．【示例5.7】：設(shè)【實(shí)例精講】

【實(shí)例5-1】求二元函數(shù)的定義域【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】（1）解：函數(shù)z是兩個(gè)函數(shù)的和，其定義域應(yīng)是這兩個(gè)函數(shù)的定義域的公共部分．其幾何表示是包括邊界的圓環(huán)，如圖5-10所示．所以二元函數(shù)的定義域?yàn)椋?）解：要使函數(shù)z有意義，則必須滿足其幾何表示是不包括邊界的單位圓．所以二元函數(shù)的定義域?yàn)榭鞓?lè)學(xué)習(xí)、高效學(xué)習(xí)單元5二元函數(shù)微分法及其應(yīng)用(5-2)教學(xué)內(nèi)容索引【知識(shí)疏理】5.3偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算5.4高階偏導(dǎo)數(shù)5.5多元函數(shù)的極值及其求法【實(shí)例精講】【實(shí)例5-2】求二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)【實(shí)例5-3】求二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)【實(shí)例5-4】求二元函數(shù)的全微分【課堂引入】知識(shí)目標(biāo)（1）掌握偏導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算與求偏導(dǎo)數(shù)方法；（2）掌握全微分的計(jì)算方法，熟悉偏導(dǎo)數(shù)存在與可微分的關(guān)系；（3）理解二元函數(shù)的邊求極值問(wèn)題；（4）理解二元函數(shù)極值的概念，掌握求二元函數(shù)極值的基本方法技能目標(biāo)能熟練地求偏導(dǎo)數(shù)，能分析與解決二元經(jīng)濟(jì)函數(shù)問(wèn)題態(tài)度目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯思維能力和自我學(xué)習(xí)能力，為學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)，并能用二元函數(shù)微分法解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；全微分的概念及其計(jì)算法；偏導(dǎo)數(shù)存在與可微分的關(guān)系；二元函數(shù)求極值的基本方法教學(xué)難點(diǎn)求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；全微分的計(jì)算；求二元函數(shù)的極值【知識(shí)疏理】5.3偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

所謂“偏”就是指只對(duì)其中一個(gè)自變量而言．因此，求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)就相當(dāng)于求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且一元函數(shù)的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式對(duì)求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍然適用．5.4高階偏導(dǎo)數(shù)【定義5.7】二階偏導(dǎo)數(shù)

其中第②、④兩個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù)，第②個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)是先對(duì)x，后對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)，而第④個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)是先對(duì)y，后對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)．【定理5.1】二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等5.5

多元函數(shù)的極值及其求法5.5.1多元函數(shù)的極值【定義5.8】：二元函數(shù)的極值函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，函數(shù)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)．【定理5.2】：極值存在的必要條件【定理5.3】：極值存在的充分條件5.5.2多元函數(shù)的最大值與最小值

現(xiàn)在假設(shè)多元函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，在該區(qū)域內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)存在．如果函數(shù)在區(qū)域的內(nèi)部取得最大值或最小值，則這個(gè)最大值或最小值必定是函數(shù)的極大值或極小值．

由此可得到求多元函數(shù)最大值和最小值的一般方法如下：第1步

求出函數(shù)在有界閉區(qū)域內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及函數(shù)在該區(qū)域的邊界上的函數(shù)值；第2步

比較這些函數(shù)值的大小，其中最大者就是函數(shù)的最大值，最小者就是函數(shù)的最小值．5.5.3條件極值與拉格朗日乘數(shù)法

前面所討論的函數(shù)極值問(wèn)題，除了對(duì)自變量限制在函數(shù)的定義域內(nèi)并沒(méi)有其它條件限制，所以也稱為無(wú)條件極值．但在有些實(shí)際問(wèn)題中，常常會(huì)遇到對(duì)函數(shù)的自變量還有約束條件的極值問(wèn)題．某些條件極值也可以化為無(wú)條件極值，然后按無(wú)條件極值的方法加以解決．但是，有些條件極值轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值問(wèn)題，常會(huì)遇到繁瑣的運(yùn)算．為此下面介紹直接求條件極值的方法，該方法稱為拉格朗日乘數(shù)法．【示例5.12】：設(shè)周長(zhǎng)為2p的矩形，繞它的一邊旋轉(zhuǎn)構(gòu)成圓柱體，求矩形的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)，圓柱體的體積最大．解：設(shè)矩形的邊長(zhǎng)分別為x和y，且繞邊長(zhǎng)為y的邊旋轉(zhuǎn)，得到的圓柱體的體積為【實(shí)例精講】

【實(shí)例5-2】求二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】【實(shí)例精講】

【實(shí)例5-3】求二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】【實(shí)例精講】

【實(shí)例5-4】求二元函數(shù)的全微分【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】快樂(lè)學(xué)習(xí)、高效學(xué)習(xí)單元5二元函數(shù)微分法及其應(yīng)用(5-3)教學(xué)內(nèi)容索引【釋疑解難】【問(wèn)題5-1】【問(wèn)題5-2】【問(wèn)題5-3】【應(yīng)用求解】【應(yīng)用5-1】估計(jì)圓柱體體積的改變量【應(yīng)用5-2】求兩種產(chǎn)品的最大利潤(rùn)及相應(yīng)的產(chǎn)量【應(yīng)用5-3】求最優(yōu)廣告策略【應(yīng)用5-4】估算并聯(lián)電路中總電阻的計(jì)算誤差【應(yīng)用5-5】求梯形水槽的最大面積【課堂引入】知識(shí)目標(biāo)熟練掌握二元函數(shù)微分法應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)，理解疑難問(wèn)題技能目標(biāo)會(huì)應(yīng)用二元函數(shù)微分法解決實(shí)際問(wèn)題態(tài)度目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯思維能力和自我學(xué)習(xí)能力，為學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)，并能用二元函數(shù)微分法解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)用二元函數(shù)微分法解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn)應(yīng)用二元函數(shù)微分法解決實(shí)際問(wèn)題【釋疑解難】【應(yīng)用求解】

【應(yīng)用5-1】估計(jì)圓柱體體積的改變量【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】【應(yīng)用求解】

【應(yīng)用5-2】求兩種產(chǎn)品的最大利潤(rùn)及相應(yīng)的產(chǎn)量【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】【應(yīng)用求解】

【應(yīng)用5-3】求最優(yōu)廣告策略【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】

所以在提供的廣告費(fèi)用限制為1.5萬(wàn)元的情況下，將全部1.5萬(wàn)元做報(bào)紙廣告為最優(yōu)策略．【應(yīng)用求解】

【應(yīng)用5-4】估算并聯(lián)電路中總電阻的計(jì)算誤差【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】【應(yīng)用求解】

【應(yīng)用5-5】求梯形水槽的最大面積【問(wèn)題描述】

有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板，把它兩邊折起來(lái)做成一斷面為等腰梯形的水槽，如圖5-11所示．問(wèn)怎樣折才能使斷面的面積最大，并求出最大面積？圖5-11梯形斷面【問(wèn)題求解】快樂(lè)學(xué)習(xí)、高效學(xué)習(xí)單元6不定積分及其應(yīng)用(6-1)教學(xué)內(nèi)容索引【引例探析】【引例6-1】根據(jù)自由落體物體的運(yùn)動(dòng)速率函數(shù)求其運(yùn)動(dòng)規(guī)律【引例6-2】根據(jù)產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)求其成本函數(shù)【引例6-3】根據(jù)曲線切線斜率函數(shù)求曲線方程【概念認(rèn)知】

1．原函數(shù)的概念

2．不定積分的概念3．不定積分的幾何意義【知識(shí)疏理】6.1不定積分的性質(zhì)6.2不定積分的基本公式與直接積分法【實(shí)例精講】【實(shí)例6-1】應(yīng)用原函數(shù)的定義求不定積分【課堂引入】知識(shí)目標(biāo)（1）理解原函數(shù)與不定積分的概念；熟悉不定積分的幾何意義（2）熟練掌握不定積分的基本公式技能目標(biāo)應(yīng)用原函數(shù)的定義求不定積分態(tài)度目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯思維能力和自我學(xué)習(xí)能力，為學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)，并能用不定積分知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)（1）原函數(shù)與不定積分的概念；（2）不定積分的基本公式教學(xué)難點(diǎn)不定積分的基本公式【引例探析】【引例6-1】根據(jù)自由落體物體的運(yùn)動(dòng)速率

函數(shù)求其運(yùn)動(dòng)規(guī)律【問(wèn)題描述】

已知自由落體運(yùn)動(dòng)中物體下落的運(yùn)動(dòng)速度v與時(shí)刻t的函數(shù)是v(t)=gt（g為重力加速度，是一個(gè)常數(shù)），試求自由落體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．【問(wèn)題求解】這是一個(gè)典型的已知某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求這個(gè)函數(shù)的問(wèn)題．設(shè)自由落體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=s(t)，由導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，若已知物體的路徑函數(shù)s=s(t)，【引例探析】

【引例6-2】根據(jù)產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)求其成本函數(shù)【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】【引例探析】

【引例6-3】根據(jù)曲線切線斜率函數(shù)求曲線方程【問(wèn)題描述】

已知一曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，5），且在任意點(diǎn)x處切線的斜率函數(shù)為該點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍，試求對(duì)應(yīng)的曲線方程．【問(wèn)題求解】【概念認(rèn)知】1．原函數(shù)的概念【定義6.1】:原函數(shù)的定義【定理6.1】:原函數(shù)存在定理【定理6.2】：原函數(shù)族定理2．不定積分的概念【定義6.2】：不定積分的定義

我們把求已知函數(shù)的全部原函數(shù)的方法稱為不定積分法，簡(jiǎn)稱積分法．

顯然，它是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算．3．不定積分的幾何意義Ｏy=F(x)+Cy=F(x)xxy圖6-1積分曲線族

函數(shù)f(x)的積分曲線族有如下特點(diǎn)：

任何一條積分曲線都可以通過(guò)其中某一條曲線沿y軸方向向上、下平移而得到．并且在每條積分曲線上橫坐標(biāo)為x的點(diǎn)處作曲線的切線，所有切線的斜率都為f(x)．在相同橫坐標(biāo)x處的所有切線是互相平行的．【知識(shí)疏理】6.1不定積分的性質(zhì)【性質(zhì)6.1】：“微分運(yùn)算”和“積分運(yùn)算”互為逆運(yùn)算6.2不定積分的基本公式與直接積分法

現(xiàn)將導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)公式以及對(duì)應(yīng)的不定積分的基本積分公式列表對(duì)照如表6-1所示．表6-1導(dǎo)數(shù)公式與積分公式對(duì)照一覽表解：被積函數(shù)是分式，先將被積函數(shù)化成冪函數(shù)的形式，再利用基本積分公式可得解：被積函數(shù)是無(wú)理式，先把被積函數(shù)化為冪函數(shù)的形式，再利用基本積分公式可得解：被積函數(shù)是乘積的形式，先把被積函數(shù)整理為指數(shù)函數(shù)的形式，再利用基本積分公式可得【實(shí)例精講】

【實(shí)例6-1】應(yīng)用原函數(shù)的定義求不定積分【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】快樂(lè)學(xué)習(xí)、高效學(xué)習(xí)單元6不定積分及其應(yīng)用(6-2)教學(xué)內(nèi)容索引【知識(shí)疏理】6.3不定積分的基本運(yùn)算法則【實(shí)例精講】【實(shí)例6-2】利用不定積分的運(yùn)算法則和基本公式求不定積分【課堂引入】知識(shí)目標(biāo)熟練掌握基本運(yùn)算法則技能目標(biāo)利用不定積分的運(yùn)算法則和基本公式求不定積分態(tài)度目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯思維能力和自我學(xué)習(xí)能力，為學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)，并能用不定積分知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)利用不定積分的運(yùn)算法則和基本公式求不定積分教學(xué)難點(diǎn)利用不定積分的運(yùn)算法則和基本公式求不定積分【知識(shí)疏理】6.3不定積分的基本運(yùn)算法則【法則6.1】：提取常數(shù)因子法則【法則6.2】：不定積分的和、差運(yùn)算法則【示例6.8】：解：【實(shí)例精講】

【實(shí)例6-2】利用不定積分的運(yùn)算法則和

基本公式求不定積分【問(wèn)題描述】【實(shí)例精講】【問(wèn)題求解】快樂(lè)學(xué)習(xí)、高效學(xué)習(xí)單元6不定積分及其應(yīng)用(6-3)教學(xué)內(nèi)容索引【知識(shí)疏理】6.4不定積分的換元積分法6.4.1第一類(lèi)換元積分法【實(shí)例精講】【實(shí)例6-3】利用不定積分的第一類(lèi)換元積分法求不定積分【課堂引入】知識(shí)目標(biāo)熟練掌握不定積分的第一換元積分法技能目標(biāo)利用不定積分的第一類(lèi)換元積分法求不定積分態(tài)度目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯思維能力和自我學(xué)習(xí)能力，為學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)，并能用不定積分知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)利用不定積分的第一類(lèi)換元積分法求不定積分教學(xué)難點(diǎn)利用不定積分的第一類(lèi)換元積分法求不定積分【知識(shí)疏理】6.4不定積分的換元積分法6.4.1第一類(lèi)換元積分法為能套用公式，將積分做如下變化．證：那么其換元過(guò)程如下：這種先“湊”微分式，再做變量代換的積分方法，稱為第一類(lèi)換元積分法．【實(shí)例精講】

【實(shí)例6-3】利用不定積分的第一類(lèi)

換元積分法求不定積分【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】快樂(lè)學(xué)習(xí)、高效學(xué)習(xí)單元6不定積分及其應(yīng)用(6-4)教學(xué)內(nèi)容索引【引例探析】【引例1-1】計(jì)算網(wǎng)上購(gòu)書(shū)金額【引例1-2】計(jì)算正方形的面積【概念認(rèn)知】1．常量與變量的概念2．集合的概念3．函數(shù)的概念【知識(shí)疏理】1.1函數(shù)的三要素1.2函數(shù)的表示方法1.3函數(shù)的性質(zhì)1.4基本初等函數(shù)【實(shí)例精講】【實(shí)例1-1】求函數(shù)的定義域【實(shí)例1-2】求函數(shù)的值【課堂引入】知識(shí)目標(biāo)熟練掌握不定積分的第二換元積分法技能目標(biāo)會(huì)利用不定積分的第二類(lèi)換元積分法求不定積分態(tài)度目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯思維能力和自我學(xué)習(xí)能力，為學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)，并能用不定積分知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)利用不定積分的第二類(lèi)換元積分法求不定積分教學(xué)難點(diǎn)利用不定積分的第二類(lèi)換元積分法求不定積分【知識(shí)疏理】6.4.2第二類(lèi)換元積分法【定理6.4】：第二類(lèi)換元積分公式

第二換元公式從形式上看是第一換元公式的逆行運(yùn)算，但目的都是為了化為容易求得原函數(shù)的形式，最終同樣不要忘記變量還原．

一般地，第二類(lèi)換元積分法的具體解題步驟如下：1．根式代換2．三角代換

為了換回原積分變量，根據(jù)代換x=asint作輔助直角三角形，如圖6-2所示，

可見(jiàn)，第一類(lèi)換元積分法應(yīng)先進(jìn)行湊微分，然后再換元，換元過(guò)程可省略；而第二類(lèi)換元積分法必須先進(jìn)行換元，目的是把“根號(hào)”去掉，不可省略換元及回代過(guò)程．

現(xiàn)將本節(jié)一些例子的結(jié)論作為前面積分公式的補(bǔ)充，以后可直接引用，歸納如下：【實(shí)例精講】【實(shí)例6-4】利用不定積分的第二類(lèi)換元積分法求不定積分【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】快樂(lè)學(xué)習(xí)、高效學(xué)習(xí)單元6不定積分及其應(yīng)用(6-5)教學(xué)內(nèi)容索引【知識(shí)疏理】6.5不定積分的分部積分法【實(shí)例精講】【實(shí)例6-5】利用不定積分的分部積分法求不定積分【課堂引入】知識(shí)目標(biāo)熟悉掌握不定積分的分部積分法技能目標(biāo)會(huì)利用不定積分的分部積分法求不定積分態(tài)度目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯思維能力和自我學(xué)習(xí)能力，為學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)，并能用不定積分知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)利用不定積分的分部積分法求不定積分教學(xué)難點(diǎn)利用不定積分的分部積分法求不定積分【知識(shí)疏理】6.5不定積分的分部積分法【定理6.5】：不定積分的分部積分公式證：【實(shí)例精講】

【6-5】利用不定積分的分部積分法求不定積分【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】快樂(lè)學(xué)習(xí)、高效學(xué)習(xí)單元6不定積分及其應(yīng)用(6-6)教學(xué)內(nèi)容索引【知識(shí)疏理】6.6有理函數(shù)及可化為有理函數(shù)的不定積分【實(shí)例精講】【實(shí)例6-6】求簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分【實(shí)例6-7】求簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的不定積分【實(shí)例6-8】求三角函數(shù)的不定積分【課堂引入】知識(shí)目標(biāo)掌握簡(jiǎn)單有理函數(shù)式、三角函數(shù)的有理式及簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)積分技能目標(biāo)會(huì)簡(jiǎn)單有理函數(shù)式、三角函數(shù)的有理式及簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分態(tài)度目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯思維能力和自我學(xué)習(xí)能力，為學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)，并能用不定積分知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)簡(jiǎn)單有理函數(shù)式、三角函數(shù)的有理式的積分教學(xué)難點(diǎn)三角函數(shù)的有理式及簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分【知識(shí)疏理】6.6有理函數(shù)及可化為有理函數(shù)的不定積分6.6.1簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分有理函數(shù)是指兩個(gè)多項(xiàng)式之商的函數(shù)，即

任何假分式都可以通過(guò)多項(xiàng)式除法化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)有理真分式的和的形式．比較兩端同次冪的系數(shù)，得方程組比較兩端同次冪的系數(shù)，得方程組6.6.2可化為有理函數(shù)的簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的不定積分

無(wú)理函數(shù)的積分一般要采用第二換元法把根號(hào)消去，化為有理函數(shù)的積分．6.6.3求三角函數(shù)的不定積分

三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)，用于三角函數(shù)有理式積分的變換:變換后原積分變成了有理函數(shù)的積分．【實(shí)例精講】

【實(shí)例6-6】求簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】【實(shí)例精講】

【實(shí)例6-7】求簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的不定積分【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】【實(shí)例精講】

【實(shí)例6-8】求三角函數(shù)的不定積分【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】快樂(lè)學(xué)習(xí)、高效學(xué)習(xí)單元6不定積分及其應(yīng)用(6-7)教學(xué)內(nèi)容索引【釋疑解難】【問(wèn)題6-1】【問(wèn)題6-2】【問(wèn)題6-4】【問(wèn)題6-5】【問(wèn)題6-6】【應(yīng)用求解】【應(yīng)用6-1】求自由落體運(yùn)動(dòng)的速度方程和運(yùn)動(dòng)方程【應(yīng)用6-2】根據(jù)產(chǎn)品的邊際成本求總成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系【應(yīng)用6-3】求電路中電流關(guān)于時(shí)間的函數(shù)【應(yīng)用6-4】求電路中電容上的電量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)【應(yīng)用6-5】求曲柄連桿機(jī)構(gòu)中滑塊的運(yùn)動(dòng)方程【課堂引入】知識(shí)目標(biāo)掌握不定積分應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)，理解不定積分的疑難問(wèn)題技能目標(biāo)靈活應(yīng)用不定積分解決實(shí)際問(wèn)題態(tài)度目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯思維能力和自我學(xué)習(xí)能力，為學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)，并能用不定積分知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)用不定積分解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn)應(yīng)用不定積分解決實(shí)際問(wèn)題【釋疑解難】【問(wèn)題6-2】初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都可積分嗎？【問(wèn)題6-1】函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)就是該函數(shù)的不定積分嗎？【問(wèn)題6-3】“微分運(yùn)算”和“積分運(yùn)算”互為逆運(yùn)算【問(wèn)題6-4】第一換元法與分部積分法的共同點(diǎn)是第一步都是湊微分【應(yīng)用求解】【應(yīng)用6-1】求自由落體運(yùn)動(dòng)的速度方程和運(yùn)動(dòng)方程【問(wèn)題描述】

一物體在地球引力的作用下開(kāi)始作自由落體運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g．（1）試求自由落體運(yùn)行的速度方程和運(yùn)動(dòng)方程．（2）如果一只球從一幢樓的樓頂?shù)粝拢?秒鐘落地，求這幢樓的高度．【問(wèn)題求解】【應(yīng)用求解】【應(yīng)用6-2】根據(jù)產(chǎn)品的邊際成本求總成本與

產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】【應(yīng)用求解】【應(yīng)用6-3】求電路中電流關(guān)于時(shí)間的函數(shù)【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】【應(yīng)用求解】【應(yīng)用6-4】求電路中電容上的電量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)【問(wèn)題描述】如圖6-5所示的RC串聯(lián)電路中，設(shè)任意時(shí)刻t的電流

求電容C上的電量q=q(t)滿足的函數(shù)式？（假設(shè)電容沒(méi)有初始電量）．【問(wèn)題求解】所以，電容C上的電量q=q(t)滿足的函數(shù)式為：圖6-5RC串聯(lián)電路【應(yīng)用求解】【應(yīng)用6-5】求曲柄連桿機(jī)構(gòu)中滑塊的運(yùn)動(dòng)方程【問(wèn)題描述】

建筑機(jī)械中經(jīng)常采用曲柄連桿機(jī)構(gòu)，把圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為直線運(yùn)動(dòng)．當(dāng)坐標(biāo)系選擇如圖6-6所示，若滑塊的運(yùn)動(dòng)速度【問(wèn)題求解】又因?yàn)閟(0)=l+r，所以C=0，于是運(yùn)動(dòng)方程為：圖6-6曲柄連桿機(jī)構(gòu)快樂(lè)學(xué)習(xí)、高效學(xué)習(xí)單元7定積分及其應(yīng)用(7-1)教學(xué)內(nèi)容索引【引例探析】【引例7-1】計(jì)算曲邊梯形面積【引例7-2】求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程【引例7-3】計(jì)算變力所作的功

【概念認(rèn)知】1．定積分的概念2．定積分的幾何意義3．定積分存在定理【課堂引入】知識(shí)目標(biāo)掌握定積分的定義、幾何意義和定積分存在定理技能目標(biāo)會(huì)解釋定積分的定義和幾何意義態(tài)度目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯思維能力和自我學(xué)習(xí)能力，為學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)，并能用定積分知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)定積分的定義、幾何意義和定積分存在定理教學(xué)難點(diǎn)定積分存在定理【引例探析】【引例7-1】計(jì)算曲邊梯形的面積【問(wèn)題描述】試采取“化整為零”、“積零為整”的方法來(lái)計(jì)算曲邊梯形的面積A．【問(wèn)題求解】圖7-1曲邊梯形

下面我們將采取“化整為零”、“積零為整”的方法來(lái)計(jì)算曲邊梯形的面積A．

計(jì)算曲邊梯形面積可分為四個(gè)步驟：（1）分割區(qū)間[a,b]

將曲邊梯形分成若干個(gè)小曲邊梯形，在區(qū)間[a,b]中任意取n-1個(gè)分點(diǎn)，它們依次為a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn-1<xn=b，這些點(diǎn)把區(qū)間[a,b]劃分成n個(gè)小區(qū)間[x0,x1]，[x1,x2],…，[xi-1,xi]，…，[xn-1,xn]，

每一個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為

Δx1=x1–x0，Δx2=x2–x1，…,Δxi=xi–xi-1，…，Δxn=xn–xn-1

，

過(guò)各分點(diǎn)xi（i=1,2,…,n-1）作平行于y軸的直線段，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，如圖7-2所示，其中第i個(gè)小曲邊梯形的面積記為

ΔAi(i=1，2，…，n)，

則有A=ΔS1+ΔS2+…+ΔSi+…+ΔSn

．圖7-2將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形（2）近似代替

使用小矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積．

當(dāng)?shù)趇個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]的長(zhǎng)度Δxi很小時(shí)，曲邊梯形的高f(x)在該區(qū)間內(nèi)的變化很小，這時(shí)用該小區(qū)間上任一點(diǎn)ξi(xi-1

≤ξi

≤xi)處的函數(shù)值f(ξi)近似作為第i個(gè)小曲邊梯形的高，

即用以第i個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]（長(zhǎng)為Δxi）為底，f(ξi)為高的小矩形的面積來(lái)近似代替同一底[xi-1,xi]上的第i個(gè)小曲邊梯形的面積ΔAi，即

ΔAi

≈f(ξi)Δxi

（i=1，2，…，n）（3）求和

將n個(gè)小矩形面積相加，便得所求曲邊梯形的面積S的近似值（4）計(jì)算極限這樣便可得到所求曲邊梯形的面積．可見(jiàn)，曲邊梯形的面積是一個(gè)和式的極限．【引例探析】【引例7-2】求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】（1）分割區(qū)間

在時(shí)間區(qū)間[a,b]中任意插入若個(gè)分點(diǎn)，把時(shí)間區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小時(shí)間段（2）近似代替

在第i個(gè)小時(shí)間段[ti-1,ti]上，任取一個(gè)時(shí)刻ξi，用這個(gè)時(shí)刻ξi的速度v(ξi)近似代替在第i個(gè)小時(shí)間段[ti-1,ti]上各時(shí)刻的速度，便可得到第i個(gè)小時(shí)間段[ti-1,ti]上的路程Δsi的近似值為Δsi≈v(ξi)Δti(i=1，2，…，n)．（3）求和

將n段小時(shí)間段上的路程si的近似值v(ξi)Δti相加，便得物體在時(shí)間區(qū)間[a,b]上所經(jīng)過(guò)的路程s的近似值．所求路程S的近似值為（4）求極限可見(jiàn)，變速直線運(yùn)動(dòng)的路程也是一個(gè)和式的極限．【引例探析】【引例7-3】計(jì)算變力所作的功【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】（1）分割區(qū)間（2）近似代替（3）求和（4）求極限可見(jiàn)，變力所做的功也是一個(gè)和式的極限．【概念認(rèn)知】1．定積分的概念

其中f(x)叫做被積函數(shù)，f(x)dx叫做被積表達(dá)式，x叫做積分變量，a、b分別叫做積分下限與積分上限，[a,b]叫做積分區(qū)間．

利用定積分的定義，前面所討論的三個(gè)實(shí)際問(wèn)題可以分別表述如下：關(guān)于定積分的定義，有以下幾點(diǎn)說(shuō)明：④初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都可積的．2．定積分的幾何意義圖7-4位于x軸兩邊的曲邊梯形由上面的分析我們可以得到如下結(jié)果：【示例7.2】：利用定積分表示圖7-5中四個(gè)圖形的面積圖7-5不同圖形的面積3．定積分存在定理快樂(lè)學(xué)習(xí)、高效學(xué)習(xí)單元7定積分及其應(yīng)用(7-2)教學(xué)內(nèi)容索引【知識(shí)疏理】7.1定積分的基本性質(zhì)7.2微積分基本公式【實(shí)例精講】【實(shí)例7-1】利用牛頓—萊布尼茲公式計(jì)算定積分【課堂引入】知識(shí)目標(biāo)（1）掌握并會(huì)用定積分的基本性質(zhì)和積分中值定理（2）掌握并會(huì)求積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，掌握微積分學(xué)的基本定理和牛頓--萊布尼茨公式技能目標(biāo)利用牛頓—萊布尼茲公式計(jì)算定積分態(tài)度目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯思維能力和自我學(xué)習(xí)能力，為學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)，并能用定積分知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)定積分的基本性質(zhì)，牛頓--萊布尼茨公式教學(xué)難點(diǎn)牛頓--萊布尼茨公式【知識(shí)疏理】7.1定積分的基本性質(zhì)

下面各性質(zhì)中如無(wú)特別說(shuō)明假定各函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，對(duì)a、b的大小不加限制．

以上三條性質(zhì)可用定積分定義和極限運(yùn)算法則導(dǎo)出．這個(gè)公式也稱為積分中值公式．7.2微積分基本公式

計(jì)算定積分的基本公式（微積分基本公式）:

牛頓—萊布尼茲公式．7.2.1探討定積分與不定積分的關(guān)系

因此，求速度v(t)在時(shí)間間隔[t1,t2]內(nèi)經(jīng)過(guò)的路徑就轉(zhuǎn)化為先求速度v(t)不定積分（或原函數(shù)）s(t)，再求s(t)在[t1,t2]上的增量．7.2.2積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)這里定義了一個(gè)以積分上限為自變量的函數(shù)，稱為變上限的定積分．證：如圖7-7所示，給x以增量Δx，則

(x)有增量為由積分中值定理，得在[x，x+

x]內(nèi)必存在一點(diǎn)ξ，使得圖7-7積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

由原函數(shù)的定義可知，函數(shù)

(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)．因此也證明了下面的定理：正因?yàn)槎ɡ?.2、7.3的重要作用而被譽(yù)為微積分學(xué)基本定理．7.2.3牛頓—萊布尼茲（Newton–Leibniz）公式公式(7-8)稱為微積分基本公式，也稱為牛頓—萊布尼茲（Newton–Leibniz）公式．

公式（7-8）表明：連續(xù)函數(shù)f(x)在[a，b]上的定積分等于它的一個(gè)原函數(shù)F(x)在該區(qū)間上的增量．它為定積分的計(jì)算提供了一個(gè)簡(jiǎn)便有效的方法．解：因?yàn)閠anx是sec2x的一個(gè)原函數(shù)，所以圖7-8曲邊梯形【實(shí)例精講】

【實(shí)例7-1】利用牛頓—萊布尼茲公式計(jì)算定積分【問(wèn)題描述】利用牛頓一萊布尼茨公式計(jì)算下列定積分：【問(wèn)題求解】快樂(lè)學(xué)習(xí)、高效學(xué)習(xí)單元7定積分及其應(yīng)用(7-3)教學(xué)內(nèi)容索引【知識(shí)疏理】7.3定積分的換元積分法7.4定積分的分部積分法【實(shí)例精講】【實(shí)例7-2】利用定積分的換元積分法計(jì)算定積分【實(shí)例7-3】利用定積分的分部積分法計(jì)算定積分【課堂引入】知識(shí)目標(biāo)掌握定積分的換元積分法、定積分的分部積分法技能目標(biāo)會(huì)運(yùn)用定積分的換元積分法求定積分，會(huì)運(yùn)用定積分的分部積分法求定積分態(tài)度目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯思維能力和自我學(xué)習(xí)能力，為學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)，并能用定積分知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)定積分的換元積分法、定積分的換元積分法教學(xué)難點(diǎn)定積分的換元積分法、定積分的換元積分法【知識(shí)疏理】7.3定積分的換元積分法【定理7.5】：定積分的換元積分法

證：由定理7.5條件①、②可知，公式(7—9)兩端的被積函數(shù)的原函數(shù)存在，并可用牛頓—萊布尼茲公式，設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，使用定積分的換元積分公式應(yīng)注意以下3點(diǎn)：解：如圖7-9所示，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，得圖7-9求橢圓面積【定理7.6】：偶函數(shù)和奇函數(shù)的積分運(yùn)算規(guī)則下面我們用圖形來(lái)說(shuō)明：7.4定積分的分部積分法圖7-10偶函數(shù)和奇函數(shù)的積分運(yùn)算【定理7.7】：定積分的分部積分法這就是定積分的分部積分公式．

解：設(shè)所圍成的圖形面積為S，如圖7-11所示，根據(jù)定積分的幾何意義可知，圖7-11求圖形面積【實(shí)例精講】

【實(shí)例7-2】利用定積分的換元積分法計(jì)算定積分【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】（1）解：設(shè)cosx=t，則-sinxdx=dt．這個(gè)定積分也可采用湊微分法來(lái)計(jì)算，即

可以看出，這時(shí)由于沒(méi)有進(jìn)行變量代換，積分區(qū)間不變，所以計(jì)算更為簡(jiǎn)便．【實(shí)例精講】

【實(shí)例7-3】利用定積分的分部積分法計(jì)算定積分【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】再用分部積分法計(jì)算上式右端的積分．快樂(lè)學(xué)習(xí)、高效學(xué)習(xí)單元7定積分及其應(yīng)用(7-5)教學(xué)內(nèi)容索引【知識(shí)疏理】7.5廣義積分【實(shí)例精講】【實(shí)例7-4】利用廣義積分方法計(jì)算定積分【釋疑解難】【問(wèn)題7-1】定積分中積分變量的字母可以取任意英文字母嗎？【問(wèn)題7-2】定積分是不定積分在指定區(qū)間上的增量嗎？【問(wèn)題7-3】積分上限函數(shù)

(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)嗎？【問(wèn)題7-4】不定積分的第二類(lèi)換元法與定積分的換元法沒(méi)有區(qū)別？【課堂引入】知識(shí)目標(biāo)掌握廣義積分法，理解定積分的疑難問(wèn)題技能目標(biāo)會(huì)利用廣義積分方法計(jì)算定積分態(tài)度目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯思維能力和自我學(xué)習(xí)能力，為學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)，并能用定積分知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)利用廣義積分方法計(jì)算定積分教學(xué)難點(diǎn)利用廣義積分方法計(jì)算定積分【知識(shí)疏理】7.5廣義積分

在一些實(shí)際問(wèn)題中，我們常遇到積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間，或被積函數(shù)在積分區(qū)間上有無(wú)窮型間斷點(diǎn)（即被積函數(shù)為無(wú)界函數(shù)）的情形，它們已經(jīng)不屬于前面所說(shuō)的定積分了．因此，我們對(duì)定積分作如下兩種推廣，從而形成了“廣義積分”的概念．7.5.1無(wú)窮區(qū)間的廣義積分1．問(wèn)題引出

因?yàn)檫@個(gè)圖形不是封閉的曲邊梯形，且在x軸的正方向是開(kāi)口的，所以不能直接用前面所學(xué)的定積分來(lái)計(jì)算它的面積．圖7-12求“開(kāi)口曲邊梯形”的面積

很明顯，當(dāng)b改變時(shí)，曲邊梯形的面積也隨之改變，且隨著b趨于無(wú)窮大曲邊梯形的面積趨近于一個(gè)確定的極限值，即2．無(wú)窮區(qū)間廣義積分的定義【定義7.2】：函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間的廣義積分

類(lèi)似地，可以定義下限為負(fù)無(wú)窮大或上下限都是無(wú)窮大的廣義積分：

上述廣義積分統(tǒng)稱為無(wú)窮區(qū)間的廣義積分．解：如圖7-13所示，由（7-13）、（7-14）、（7-15）式得：圖7-13計(jì)算廣義積分

這個(gè)廣義積分值的幾何意義是：當(dāng)a→–∞，b→+∞時(shí)，雖然圖7-13中陰影部分向左、右無(wú)限延伸，但陰影部分的面積卻有極限值π．7.5.2無(wú)界函數(shù)的廣義積分【定義7.3】：無(wú)界函數(shù)的廣義積分

同樣地，對(duì)于函數(shù)f(x)在x=b及x=c(a<c<b)處有無(wú)窮間斷點(diǎn)的廣義積分分別給出以下的定義：圖7-14無(wú)界函數(shù)的廣義積分【實(shí)例精講】

【實(shí)例7-4】利用廣義積分方法計(jì)算定積分【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】【注意】：【注意】：

如果疏忽了x=0是被積函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)，就會(huì)得到以下的錯(cuò)誤結(jié)果：【釋疑解難】【問(wèn)題7-1】定積分中積分變量的字母可以取任意英文字母嗎？【問(wèn)題7-2】定積分是不定積分在指定區(qū)間上的增量嗎？【問(wèn)題7-3】積分上限函數(shù)

(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)嗎？【問(wèn)題7-4】不定積分的第二類(lèi)換元法與定積分的換元法沒(méi)有區(qū)別？快樂(lè)學(xué)習(xí)、高效學(xué)習(xí)單元7定積分及其應(yīng)用(7-5)教學(xué)內(nèi)容索引【應(yīng)用求解】【應(yīng)用7-1】計(jì)算平面圖形面積【應(yīng)用7-2】計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積【應(yīng)用7-3】根據(jù)邊際成本求總成本的增量【應(yīng)用7-4】根據(jù)邊際收入求總收入和平均收入【應(yīng)用7-5】求最大利潤(rùn)【應(yīng)用7-6】計(jì)算平均銷(xiāo)售量【應(yīng)用7-7】求電容器上電壓【應(yīng)用7-8】求交流電的平均功率和有效值【應(yīng)用7-9】求變力所作的功【應(yīng)用7-10】計(jì)算發(fā)射火箭的最小初速度【課堂引入】知識(shí)目標(biāo)掌握微元法，熟悉應(yīng)用定積分求簡(jiǎn)單平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)立體的體積，掌握應(yīng)用定積分求解經(jīng)濟(jì)問(wèn)題、電類(lèi)問(wèn)題以及變力做功等問(wèn)題技能目標(biāo)會(huì)應(yīng)用定積分求解經(jīng)濟(jì)問(wèn)題、電類(lèi)問(wèn)題以及變力做功等問(wèn)題態(tài)度目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯思維能力和自我學(xué)習(xí)能力，為學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)，并能用定積分知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)（1）微元法，求解平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)立體體積（2）應(yīng)用定積分求解經(jīng)濟(jì)問(wèn)題、電類(lèi)問(wèn)題及變力做功問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn)（1）求解旋轉(zhuǎn)體的面積；（2求解變力做功問(wèn)題【應(yīng)用求解】1．定積分的微元法用微元法解決總量A的“累計(jì)求和”問(wèn)題的步驟為：

接下來(lái)我們將應(yīng)用這個(gè)方法來(lái)討論一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題．

采用“微元法”法應(yīng)注意一下兩點(diǎn)：2．應(yīng)用定積分計(jì)算平面圖形的面積圖7-17計(jì)算平面圖形的面積之一圖7-18計(jì)算平面圖形的面積之二3．應(yīng)用定積分計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積圖7-19旋轉(zhuǎn)體4．應(yīng)用定積分計(jì)算函數(shù)的平均值也就是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的平均值．這個(gè)定理的正確性可用圖7-6說(shuō)明．【應(yīng)用求解】

【應(yīng)用7-1】計(jì)算平面圖形的面積【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】圖7-20兩條拋物線所圍成的圖形【問(wèn)題求解】圖7-21拋物線與直線所圍成的圖形【應(yīng)用求解】

【應(yīng)用7-2】計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積【問(wèn)題描述】圖7-22圓錐體代入公式（7-21）得圓錐體體積為【問(wèn)題求解】圖7-23橢圓體【問(wèn)題求解】

（2）解：如圖7-24所示，旋轉(zhuǎn)體是由曲邊梯形BAC繞y軸旋轉(zhuǎn)而成．曲邊BAC的方程為代入公式（7-22），得【應(yīng)用求解】

【應(yīng)用7-3】根據(jù)邊際成本求總成本的增量【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】

另外，利用牛頓—萊布尼茲公式可以求出經(jīng)濟(jì)函數(shù)從a到b的變動(dòng)值（或稱為增量），即故日產(chǎn)量由64件增加到100件的總成本的增量為：=5(100-64)+50(10-8)=180+100=280(萬(wàn)元)【應(yīng)用求解】

【應(yīng)用7-4】根據(jù)邊際收入求總收入和平均收入【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】生產(chǎn)40件產(chǎn)品時(shí)的平均收入為：在生產(chǎn)40件產(chǎn)品后再生產(chǎn)10件產(chǎn)品所增加的總收為：【應(yīng)用求解】

【應(yīng)用7-5】求利潤(rùn)增量及最大利潤(rùn)【問(wèn)題描述】（1）當(dāng)產(chǎn)量由4萬(wàn)臺(tái)到5萬(wàn)臺(tái)時(shí)利潤(rùn)的變化量．（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？【問(wèn)題求解】當(dāng)產(chǎn)量由4萬(wàn)臺(tái)增加到5萬(wàn)臺(tái)時(shí)利潤(rùn)的變化量為【應(yīng)用求解】

【應(yīng)用7-6】計(jì)算平均銷(xiāo)售量【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】解：【應(yīng)用求解】

【應(yīng)用7-7】求電容器上的電壓【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】

所以需要先計(jì)算出由0至T時(shí)，電容上積累的電量Q，由前面的討論可知，【應(yīng)用求解】

【應(yīng)用7-8】求交流電的平均功率和有效值【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】

即純電阻電路中，正弦交流電的平均功率等于電流、電壓的峰值的乘積的一半．【應(yīng)用求解】

【應(yīng)用7-9】求變力所作的功【問(wèn)題描述】（1）計(jì)算彈力所作的功

已知彈簧每拉長(zhǎng)0.02米要用9.8N的力，如圖7-27所示，求把彈簧拉長(zhǎng)0.1米所作的功．（2）計(jì)算抽水時(shí)所作的功【問(wèn)題求解】

（1）從物理學(xué)知道，在一個(gè)常力F的作用下，物體沿力的方向作直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體移動(dòng)一段距離s時(shí)，F(xiàn)所作的功為W=F·s．

如果物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受到的力是變化的，則不能直接使用上面的公式，這時(shí)必須利用定積分的思想解決這個(gè)問(wèn)題．

如圖7-28所示，我們知道，在彈性限度內(nèi)，拉伸（或壓縮）彈簧所需的力F與彈簧的伸長(zhǎng)量（或壓縮量）x成正比，

即F=kx．式中k為比例系數(shù)．根據(jù)題意，當(dāng)x=0.02時(shí)，F(xiàn)=9.8，故由F=kx得k=490．這樣得到的變力函數(shù)為F=490x．下面用元素法求此變力所作的功．于是所求的功為【應(yīng)用求解】

【應(yīng)用7-10】計(jì)算發(fā)射火箭的最小初速度【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】快樂(lè)學(xué)習(xí)、高效學(xué)習(xí)單元8微分方程及其應(yīng)用(8-1)教學(xué)內(nèi)容索引【引例探析】【引例8-1】求曲線方程【引例8-2】求列車(chē)制動(dòng)時(shí)的

行駛路程【概念認(rèn)知】1．微分方程的概念2．微分方程的階3．微分方程的解與通解4．微分方程的初始條件

與特解5．解微分方程6．積分曲線與積分曲線簇7．驗(yàn)證微分方程的解【課堂引入】知識(shí)目標(biāo)理解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等基本概念技能目標(biāo)能正確區(qū)分微分方程的解、通解和特解態(tài)度目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯思維能力和自我學(xué)習(xí)能力，為學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)，并能用微分方程知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)微分方程的基本概念教學(xué)難點(diǎn)微分方程的解、通解和特解的區(qū)別【引例探析】【引例8-1】求曲線方程【問(wèn)題描述】

已知某曲線上任意一點(diǎn)（x,y）處的切線斜率為x+2，且該曲線過(guò)（-2，1）點(diǎn)，求該曲線的方程．【問(wèn)題求解】【引例探析】【引例8-2】求列車(chē)制動(dòng)時(shí)的行駛路程【問(wèn)題描述】【問(wèn)題求解】即列車(chē)制動(dòng)后行駛的路程為500米．【概念認(rèn)知】1．微分方程

如果微分方程中的未知函數(shù)只含有一個(gè)自變量，這樣的微分方程稱為常微分方程；

未知函數(shù)含有多個(gè)自變量的微分方程稱為偏微分方程．

2．微分方程的階3．微分方程的解與通解

如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與該方程的階數(shù)相等，這樣的解稱為微分方程的通解．

【說(shuō)明】：所謂相互獨(dú)立的任意常數(shù)，是指它們不能通過(guò)合并而使得解中的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)減少．4．微分方程的初始條件與特解（1）微分方程的初始條件

用于確定微分方程通解中任意常數(shù)的附加條件稱為初始條件．

通常一階微分方程的初始條件寫(xiě)成由此可以確定通解中的一個(gè)任意常數(shù)．通常二階微分方程的初始條件寫(xiě)成由此可以確定通解中的兩個(gè)任意常數(shù)．（2）微分方程的特解

在微分方程的通解中，利用初始條件確定任意常數(shù)后，所得到的解稱為微分方程的特解．即不含任意常數(shù)的解稱為特解，要從通解中確定任意常數(shù)得到特解，需要有與任意常數(shù)個(gè)數(shù)相同的初始條件．5．解微分方程求微分方程的解的過(guò)程稱為解微分方程．6．積分曲線與積分曲線簇

微分方程的每個(gè)解的圖形是一條曲線稱為微分方程的積分曲線．

微分方程特解的圖形是一條曲線，叫微分方程的積分曲線，

而微分方程的通解圖形是一簇曲線，稱為積分曲線簇，

顯然，特解圖形就是積分曲線簇中滿足某個(gè)初始條件的一條確定的曲線．7．驗(yàn)證微分方程的解快樂(lè)學(xué)習(xí)、高效學(xué)習(xí)單元8微分方程及其應(yīng)用(8-2)教學(xué)內(nèi)容索引【知識(shí)疏理】8.1可分離變量的一階微分方程及求解方法8.2一階線性微分方程及求解方法【實(shí)例精講】【實(shí)例8-1】求解可分離變量的微分方程【實(shí)例8-2】求解一階線性齊次微分方程【課堂引入】知識(shí)目標(biāo)熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的求解方法技能目標(biāo)會(huì)求解變量可分離的微分方程，會(huì)求解一階線性微分方程態(tài)度目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯思維能力和自我學(xué)習(xí)能力，為學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)，并能用微分方程知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)求解變量可分離的微分方程，求解一階線性微分方程教學(xué)難點(diǎn)求解變量可分離的微分方程，求解一階線性微分方程【知識(shí)疏理】8.1可分離變量的一階微分方程及求解方法求解可分離變量方程的方法稱為分離變量法．（1）微分方程（8-1）式的求解過(guò)程為：利用初始條件求出常數(shù)C，可得特解．（2）微分方程（8-2）式的求解過(guò)程為：其中G(y)、F(x)分別是g(y)，f(x)的原函數(shù),利用初始條件求出常數(shù)C，可得特解．解：解：④求通解⑤求特解8.2一階線性微分方程及求解方法8.2.1一階線性齊次微分方程及求解方法一般地，一階線性齊次微分方程求解過(guò)程如下：8.2.2一階線性非齊次微分方程及求解方法方程（8-5）式稱為與方程（8-3）式對(duì)應(yīng)的齊次方程．我們先求方程（8-5）式的通解，為此將（8-5）式分離變量得②使用常數(shù)變易法：

第一項(xiàng)對(duì)應(yīng)齊次方程通解，第二項(xiàng)對(duì)應(yīng)非齊次方程一個(gè)特解．

即一階線性微分方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個(gè)特解之和．

上面求方程（8-3）式的通解的方法稱為常數(shù)變易法．快樂(lè)學(xué)習(xí)、高效學(xué)習(xí)單元8微分方程及其應(yīng)用(8-3)【課堂引入】知識(shí)目標(biāo)熟悉三種可降階的二階微分方程的求解方法技能目標(biāo)會(huì)解可降階的二階微分方程態(tài)度目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯思維能力和自我學(xué)習(xí)能力，為學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)，并能用微分方程知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)三種可降階的二階微分方程的求解方法教學(xué)難點(diǎn)三種可降階的二階微分方程的求解方法教學(xué)內(nèi)容索引【知識(shí)疏理】8.3可降階的高階微分方程及求解方法【實(shí)例精講】【實(shí)例8-3】求解一階線性非齊次微分方程【實(shí)例8-4】求解可降階的高階微分方程【知識(shí)疏理】8.3可降階的高階微分方程及求解方法

微分方程，再將變量回代，從而求得所給二階微分方程的解．解：對(duì)原微分方程連續(xù)積分三次得兩邊積分，得

這是可分離變量的方程，對(duì)其積分即得到原方程的通解：