3.3垂徑定理xixix

快速定位題型題型目錄TOC\o"13"\h\z\u【題型1】利用垂徑定理求值 5【題型2】利用垂徑定理求平行弦問題 8【題型3】垂徑定理的推論 15【題型4】垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用 18xixix

夯實(shí)必備知識(shí)新知梳理【知識(shí)點(diǎn)1】垂徑定理（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?.（2025?福州校級(jí)模擬）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接EC．若AB=4，CD=1，則EC的長為（）A．15B．13C．10D．4【答案】B【分析】連接BE，根據(jù)圓周角定理據(jù)可以得出∠ABE=90°，在△ACO中由垂徑定理及勾股定理就可以求出AO的值，進(jìn)而求出BE的值，根據(jù)勾股定理就可以求出CE的值．【解答】解：連接BE，∵AE是直徑，∴∠ABE=90°．∵半徑OD⊥弦AB，∴∠ACO=90°，AC=12AB∵AB=4，∴AC=2．設(shè)AO=x,則CO=x1，在Rt△ACO中，由勾股定理，得x2（x1）2=4，解得：x=2.5，∴AE=5．在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE=3．在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE=13．故選：B．2.（2024秋?嵊州市期末）如圖，⊙O的半徑為5，點(diǎn)C是弦AB上一點(diǎn)，若AB=8，設(shè)OC=x,則x的取值范圍是（）A．3≤x≤5B．3＜x≤5C．4≤x≤5D．4＜x≤5【答案】A【分析】當(dāng)C與A或B重合時(shí)，OC最長，當(dāng)OC垂直于AB時(shí)，OC最短，即可求出x的范圍．【解答】解：當(dāng)C與A（B）重合時(shí)，OC=x=5；當(dāng)OC垂直于AB時(shí)，可得出C為AB的中點(diǎn)，在Rt△BOC中，OB=5，BC=12AB=4根據(jù)勾股定理得：OC=x=52?則x的范圍為3≤x≤5．故選：A．【知識(shí)點(diǎn)2】垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．1.（2024秋?蓬江區(qū)期末）如圖，筒車是我國古代發(fā)明的一種水力灌溉工具．圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦MN長為6m,半徑為4m,則圓心O到弦MN所在直線的距離為（）A．4mB．5mC．5mD．7m【答案】D【分析】過點(diǎn)O作OC⊥MN于點(diǎn)C，根據(jù)垂徑定理求出MC=12MN=3m,【解答】解：如圖，過點(diǎn)O作OC⊥MN于點(diǎn)C，∴MC=12在Rt△OCM中，OM=4m,∴OC=OM2?MC2=4即圓心O到弦MN所在直線的距離為7m,故選：D．2.（2024秋?老河口市校級(jí)期末）如圖，在直徑為82cm的圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油以后，油面寬AB=80cm,則油的最大深度為（）A．32cmB．31cmC．9cmD．18cm【答案】A【分析】先連接OA，過點(diǎn)O作OC⊥AB，交⊙O于D，根據(jù)垂徑定理，即可求得AC的值，然后在Rt△OAC中，利用勾股定理，即可求得OC的值，繼而求得油的最大深度．【解答】解：如圖，過O作OC⊥AB于點(diǎn)C，并延長交⊙O于點(diǎn)D，連接OA，依題意得CD就是油的最大深度，根據(jù)垂徑定理得：AC=12在Rt△OAC中，根據(jù)勾股定理得：OC=OA2?AC2=∴CD=ODOC=419=32（cm），故選：A．【題型1】利用垂徑定理求值【典型例題】如圖，把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，若，則截面的半徑等于（

）A.B.C.D.【答案】C【解析】設(shè)球的平面投影圓心為O，過點(diǎn)O作于點(diǎn)N，延長交于點(diǎn)M，連接，如圖所示:則，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∴，設(shè)，則，∴在中，由勾股定理得∶，即∶，解得∶,即截面的半徑長是．故選∶C．【舉一反三1】要測一個(gè)殘損圓形輪子的半徑，小麗的方案如下：如圖，在輪子圓弧上任取兩點(diǎn)A，B，再作弦的垂直平分線交于點(diǎn)，交劣弧于點(diǎn)，測出和的長度，即可計(jì)算出輪子的半徑．若測得，則輪子的半徑為（

）A.B.C.D.【答案】A【解析】設(shè)圓心為O，連接．在中，，根據(jù)勾股定理得：，即：，解得：；故輪子的半徑為，故選：A．【舉一反三2】如圖，在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦交小圓于點(diǎn)B，點(diǎn)C，當(dāng)，時(shí)，大圓與小圓的面積之差為

．

【答案】【解析】如圖，連接，作于點(diǎn)E，則，，

∴∴大圓與小圓的面積之差為：．故答案為：．【舉一反三3】如圖，線段與圓O交于點(diǎn)A，過P點(diǎn)的直線與圓O交于B，C兩點(diǎn)，，若，，，求線段的長度．【答案】解：∵，∴，∵，∴，∵，，∴，,∴，∵,∴，∴,∴．【題型2】利用垂徑定理求平行弦問題【典型例題】如圖，，是的兩條平行弦，且，，，之間的距離為5，則的直徑是（

）A.B.C.8D.10【答案】B【解析】作于，延長交于，連接，，設(shè)，∵、是兩條平行弦，∴，，，，，，，，，，，，直徑長是，故選：B．【舉一反三1】如圖所示，矩形與相交于、、、，若，，，則的長為（）A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】如圖所示，過O作OH⊥CD并延長，交AB與P，則EH＝EF＝×8＝4，DH＝DE＋EH＝1＋4＝5，即AP＝5，MP＝AP－AM＝5－2＝3，MN＝2MP＝2×3＝6.故C選項(xiàng)正確,

【舉一反三2】在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖所示，已知截面⊙O半徑為5cm，油面寬AB為6cm，如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?cm，則油面AB上升了（）cm.A.1B.3C.3或4D.1或7【答案】D【解析】分兩種情況求①如圖1，寬度為8cm的油面，作與的交點(diǎn)為,由題意知，，,在中，由勾股定理得,在中，由勾股定理得,∴,②如圖2，寬度為8cm的油面，作與的交點(diǎn)為，連接,由題意知，，,在中，由勾股定理得,在中，由勾股定理得,∴,∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；故選D．【舉一反三3】如圖，的半徑為4，，是的弦，且，，，則和之間的距離為

．【答案】【解析】作OE于E，交CD于F，連結(jié)OA，OC，如圖，,,,在中，,,在中，,,當(dāng)圓心O在AB與CD之間時(shí)，,當(dāng)圓心O不在AB與CD之間時(shí)，,即AB和CD之間的距離為，故答案為：．【舉一反三4】如圖，在中，是直徑，弦．(1)在圖1中，請僅用不帶刻度的直尺畫出劣弧的中點(diǎn)P；(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)如圖2，在（1）的條件下連接、，若交弦于點(diǎn)Q，的面積6，且，求的半徑.【答案】解：（1）連接、，它們相交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，如圖1，點(diǎn)為所作；（2）連接，如圖2，點(diǎn)為劣弧的中點(diǎn)，，，的面積為6，，解得，設(shè)的半徑，則，，在中，，解得，即的半徑為10．【舉一反三5】如圖，的兩條弦（不是直徑），點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，．

(1)求證：直線；(2)求證：．【答案】解：（1）如圖，連接，

過點(diǎn)，為的中點(diǎn)，．（2）延長交于．

，，．過點(diǎn)，，垂直平分，．【題型3】垂徑定理的推論【典型例題】下列命題正確的有（

）①平分弦所對的兩條弧的直線必垂直于弦；②垂直于弦的直線平分弦；③平分弦的直線必平分弦所對的兩條??；④與直徑不垂直的弦不能被該直徑平分；⑤平分弦的直徑必平分弦所對的兩條弧．A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【答案】A【解析】一條直線如果具備經(jīng)過圓心、垂直于弦、平分弦（不是直徑）、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧這五條中的任意兩條，必然具備其余三條．①該直線滿足平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧兩個(gè)條件，所以①正確；②只滿足其中的一個(gè)條件，所以不正確；③不滿足條件，所以不正確；④⑤要考慮到特殊情況，條件中的弦有可能是直徑，所以不正確．故選：A．【舉一反三1】如圖，⊙O的直徑CD過弦AB的中點(diǎn)E，且CE＝2，DE＝8，則AB的長為（）A.9B.8C.6D.4【答案】B【解析】∵CE＝2，DE＝8，∴CD＝10，∴OB＝OC＝5，OE＝5﹣2＝3，∵直徑CD過弦AB的中點(diǎn)E，∴CD⊥AB，AE＝BE，在Rt△OBE中，∵OE＝3，OB＝5，∴BE＝＝4，∴AB＝2BE＝8．故選：B．【舉一反三2】如圖，為直徑，交弦于點(diǎn)E，若E點(diǎn)為中點(diǎn)，則說法錯(cuò)誤的是（

）A.B.C.D.【答案】D【解析】如圖，連接，∵為直徑，點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∴，，∴，，故選：D．【舉一反三3】如圖，都是的半徑，交于點(diǎn)D．若，則的長為

【答案】4【解析】，，在中，，，．故答案為：4．【舉一反三4】如圖，已知AB，CD是⊙O內(nèi)非直徑的兩弦，求證：AB與CD不能互相平分．【答案】解：設(shè)AB，CD交于點(diǎn)P,連接OP，假設(shè)AB與CD能互相平分，則CP=DP，AP=BP，∵AB，CD是圓O內(nèi)非直徑的兩弦，∴OP⊥AB，OP⊥CD，這與“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾”,所以假設(shè)不成立，所以AB與CD不能互相平分,【題型4】垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用【典型例題】如圖，拱橋可以近似地看作直徑為的圓弧，橋拱和路面之間用數(shù)根鋼索垂直相連，其正下方的路面長度為，那么這些鋼索中最長的一根的長度為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】設(shè)圓弧的圓心為O，過O作于C，交于D，連接，則，，∴，∴，即這些鋼索中最長的一根為，故選：A．【舉一反三1】一次綜合實(shí)踐主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，測量一次性紙杯杯口的直徑．小明同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯口，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A、B、C、D四點(diǎn)，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為，，．請你根據(jù)上述數(shù)據(jù)計(jì)算紙杯的直徑是（

）A.B.C.D.【答案】C【解析】如圖，過點(diǎn)O做于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，∵，∴，連接，，∴，∵，．∴，設(shè)，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴紙杯的直徑為．故選：C．【舉一反三2】蘇州古典園林以其古、秀、精、雅，多而享有“江南園林甲天下之美，如圖是一蘇州園林中的窗飾特寫，四個(gè)水平放置正方形木框的邊長都為20cm，頂點(diǎn)A，B，C是圓形窗上的點(diǎn)，則這個(gè)圓形窗的半徑為

cm．【答案】【解析】如圖，連接，作，的垂直平分線，交點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，，，，，設(shè)，則，，，，解得，，故答案為：．【舉一反三3】一面墻上有一個(gè)矩形門洞，其中寬為米，高為2米，現(xiàn)要將其改造成圓弧型門洞（如圖），則改造后圓弧型門洞的最大高度是

．【答案】米【解析】如圖所示，連接矩形門洞的對角線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，，為圓O的直徑，寬為米，高為2米，（米），圓的半徑（米），，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，是的中位線，（米），則改造后門洞的最大高度（米）；故答案為：米．【舉一反三4】如圖，工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是10cm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8cm，則這個(gè)小圓孔的寬口AB的長度為多少？【答案】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，并延長交于點(diǎn)，如圖，則由題意得，,又，，在中，，．【舉一反三5】河南是全國重要的文物大省，地下文物全國第一，地上文物全國第二．“以銅為鑒，可以正衣冠”．銅鏡，是我國古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶．