專(zhuān)題1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算（舉一反三講義） 【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1空間向量數(shù)量積的概念辨析】 2【題型2求空間向量的數(shù)量積】 4【題型3空間向量的夾角（余弦值）的計(jì)算】 6【題型4利用空間向量的數(shù)量積求?！?8【題型5空間向量垂直的應(yīng)用】 10【題型6空間向量數(shù)量積的應(yīng)用】 13【題型7投影向量的求解】 17知識(shí)點(diǎn)1空間向量的夾角與數(shù)量積1．空間向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.特別地，當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時(shí)，a⊥b.2．空間向量的數(shù)量積定義已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.性質(zhì)①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運(yùn)算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空間向量夾角的計(jì)算4．空間向量數(shù)量積的計(jì)算求空間向量數(shù)量積的步驟：(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積．5．空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【題型1空間向量數(shù)量積的概念辨析】【例1】（2425高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）關(guān)于空間向量a，b，c，下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（

）A．a(chǎn)?b=C．λa?b【解題思路】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律可知選項(xiàng)A，B，C正確；根據(jù)a?b?【解答過(guò)程】由數(shù)量積運(yùn)算的交換律可得a?由數(shù)量積運(yùn)算的分配率可得a+由數(shù)量積運(yùn)算的數(shù)乘結(jié)合律可得λaa?b?c表示與c共線(xiàn)的向量，a?b?故選：D.【變式11】（2425高二下·四川涼山·期中）對(duì)于任意空間向量a，b，c，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若a//b且b//c，則C．若a?b=a?c，且【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷BCD，根據(jù)向量共線(xiàn)的性質(zhì)即可求解A.【解答過(guò)程】對(duì)于A，若b=0，則a//b且對(duì)于B，a?對(duì)于C，若a?b=a?c，且a≠對(duì)于D，a?bc表示與c共線(xiàn)的向量，而ab?c表示與故選：B.【變式12】（2425高二上·山東威?！て谥校?duì)任意的空間向量a,b,A．若a⊥b，b⊥c，則C．a(chǎn)?b+c=【解題思路】根據(jù)空間向量的概念逐項(xiàng)判斷即可.【解答過(guò)程】選項(xiàng)A：若a⊥b，b⊥c，則a與

滿(mǎn)足AB⊥AD，AD⊥選項(xiàng)B：a?bc表示與c共線(xiàn)的向量，ab?c表示與選項(xiàng)C：向量的數(shù)量積滿(mǎn)足乘法分配律，所以a?選項(xiàng)D：若a=b，則a與b模長(zhǎng)相等，方向不一定，所以a與故選：C.【變式13】（2425高二上·湖北襄陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)a，b，c都是非零空間向量，則下列等式不一定正確的是（

）A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)D．a(chǎn)【解題思路】本題考查空間向量加減法和數(shù)量積的運(yùn)算律，根據(jù)運(yùn)算律判斷即可．【解答過(guò)程】由向量加法的結(jié)合律知A項(xiàng)正確；由向量數(shù)量積的運(yùn)算律知B項(xiàng)、D項(xiàng)正確；C項(xiàng)若a，c不共線(xiàn)且a→,b故選：C.【題型2求空間向量的數(shù)量積】【例2】（2425高二上·新疆博爾塔拉·期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是棱A．4 B．5 C．6 D．4【解題思路】根據(jù)EB【解答過(guò)程】E=E故選：B.【變式21】（2425高二上·海南·期中）已知a,b,c是空間中的三個(gè)單位向量，若a?A．78 B．58 C．12【解題思路】根據(jù)題意可求得a?【解答過(guò)程】因?yàn)閍?b2a?又a?故當(dāng)cosa?b,c=1，即c與所以a?故選：D.【變式22】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知正四面體OABC的棱長(zhǎng)為1，如圖所示.若E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)，求：(1)EF?(2)EF?(3)EF?【解題思路】根據(jù)空間向量的數(shù)量積的定義求解各小題即可.【解答過(guò)程】（1）由題意，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)，則EF?AO=12（2）EF?（3）EF?CB=【變式23】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知正四面體OABC的棱長(zhǎng)為1，如圖所示.求：(1)OA?(2)(OA【解題思路】（1）根據(jù)題意易得|OA|=|OB（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【解答過(guò)程】（1）在正四面體OABC中，|OAOA,則OA?（2）(OA+=(OA+==1+1?1+1?1=1.【題型3空間向量的夾角（余弦值）的計(jì)算】【例3】（2425高二上·江蘇南京·期末）已知空間向量a，b的夾角為π3，且a=2，b=1，則a+2b與A．π6 B．5π6 C．π4【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律以及模長(zhǎng)公式，結(jié)合夾角公式即可代入求解.【解答過(guò)程】由a，b的夾角為π3，且a=2，b=1a+2設(shè)a+2b與b的夾角為θ，則由于θ∈0,π故選：A.【變式31】（2425高二上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）已知平行六面體ABCD?A1B1C1DA．512 B．?512 C．4【解題思路】利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則和數(shù)量積的性質(zhì)化簡(jiǎn)條件可求AA【解答過(guò)程】如圖：∵=AD所以cosA故選：B．【變式32】（2425高二上·山東煙臺(tái)·期中）已知空間向量a，b，c滿(mǎn)足a=2，b=3，c=7且a+b+A．30° B．60° C．120° D．150°【解題思路】由c=?(a+b)，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律有c【解答過(guò)程】由題設(shè)c=?(a+所以cosa,b=?12，又故選：C.【變式33】（2425高二上·北京·階段練習(xí)）如圖所示，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度都為1，且兩兩夾角為A．33 B．66 C．34【解題思路】設(shè)向量AB=a,AD=b,【解答過(guò)程】設(shè)向量AB=a,可得AC=則AC2=(BD所以BD且AC?所以cosAC故選：B.【題型4利用空間向量的數(shù)量積求?！俊纠?】（2425高二上·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知a，b，c是空間中兩兩垂直的單位向量，則3a+b?2A．14 B．14 C．2 D．2【解題思路】利用空間向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解.【解答過(guò)程】依題意得，a=b=所以3a故選：A.【變式41】（2425高二上·河南信陽(yáng)·期末）如圖，在三棱錐ABCD中，AB=AC=AD=2,∠BAC=90°,∠BAD=∠CAD=60°,M,N分別為BC,AD的中點(diǎn)，則|MN|=（

）A．22 B．2 C．2 【解題思路】利用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算可得MN=12【解答過(guò)程】由題意得，AB=AC=AD=2，AB∴AB?AC=0，AB∵M(jìn)N=∴MN==1+1+1?1?1+0故選：D.【變式42】（2425高二上·江蘇南通·期末）已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)均為A．6 B．2 C．3 D．2【解題思路】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算，可得A1【解答過(guò)程】由已知：平行六面體ABCD?A1B∠A1AB=∠又因?yàn)椋篈A同理可得：AA則A=1+1+1?2×12?2×故選：D.【變式43】（2425高二下·江蘇揚(yáng)州·期中）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中∠BAD=90°，AB=AD=AA1=1A．153 B．C．102 D．【解題思路】取BC的中點(diǎn)N，連接MN，結(jié)合圖形由向量的加法和數(shù)量積的運(yùn)算律以及數(shù)量積的定義計(jì)算可得.【解答過(guò)程】取BC的中點(diǎn)N，連接MN，由圖形可得AM=所以AM==1+1所以AM=故選：B.【題型5空間向量垂直的應(yīng)用】【例5】（2425高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）如圖，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1的對(duì)角線(xiàn)BD1

A．2 B．1 C．12 D．【解題思路】用DA,DC,DD【解答過(guò)程】由題設(shè)有D1故D1而PA=λ同理，PC=因?yàn)椤螦PC為直角，故PC?故λ?12?2λ1?λ故λ=1（舍）或λ=1故選：D.【變式51】（2425高二上·河北邯鄲·期末）如圖，已知三棱錐O?ABC的側(cè)棱OA=OB=2，OC=4，且OA,OB,OC兩兩所成的角均為60°．若空間中的點(diǎn)D，E滿(mǎn)足OA?OD?A．23+1 B．4+3 C．2+【解題思路】先利用余弦定理求出AB,AC,BC，再對(duì)已知式子化簡(jiǎn)可得DA⊥DB，AE⊥CE，從而可得點(diǎn)D，【解答過(guò)程】因?yàn)镺A=OB=2，OC=4，且OA,所以AB=AC=由OA?OD?所以DA⊥由OE2?OA所以AE?CE=0因此點(diǎn)D，E分別在以AB，AC為直徑的球面上，兩個(gè)球的半徑分別為r1=1，設(shè)點(diǎn)O1，O2分別是AB，AC的中點(diǎn)，則所以DE的最大值為O1故選：A．【變式52】（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)是(1)求CD(2)判斷AO與CD【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義直接計(jì)算即可；（2）計(jì)算AO與CD【解答過(guò)程】（1）正方體ABCD?A1B故CD（2）由題意，AB?AO?CD故AO與CD【變式53】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在三棱錐A?BCD中，DA，DB，DC兩兩垂直，且DB=DC=DA=2，E為BC的中點(diǎn).(1)證明：AE⊥BC；（用向量方法證明）(2)求直線(xiàn)AE與DC所成角的余弦值.【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算易得AE=12（2）利用空間向量的數(shù)量積的定義求解即可.【解答過(guò)程】（1）證明：由題意，因?yàn)锳E=DE?所以AE?BC=12所以AE⊥BC，即（2）由（1）知，AE=所以AE?DC=又|AE所以cos?即直線(xiàn)AE與DC所成角的余弦值為66【題型6空間向量數(shù)量積的應(yīng)用】【例6】（2425高二上·浙江臺(tái)州·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐P?ABC中，若AB=AC=3，AP=4，∠BAC=∠PAC=∠BAP=60°，點(diǎn)D為棱BC上一點(diǎn)，且CD=2BD(1)求PM的長(zhǎng)度；(2)求異面直線(xiàn)PM與AC所成角的余弦值．【解題思路】（1）根據(jù)向量的四則運(yùn)算，用AP，AB，AC表示PM，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可；（2）根據(jù)向量數(shù)量積公式和運(yùn)算律求解即可.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)镸為線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，CD=2BD，所以AM=12所以PM==?AP又因?yàn)锳P?AB=所以PM=（2）由（1）得PM=?=?4×3×1所以cosPM即異面直線(xiàn)PM與AC所成角的余弦值為247【變式61】（2425高二上·湖北·期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D

(1)求BD(2)求直線(xiàn)BD1和直線(xiàn)【解題思路】（1）設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c，將BD（2）計(jì)算得出CB1=c?【解答過(guò)程】（1）設(shè)AB=a，AD=由題意可知，a=b=由空間向量數(shù)量積的定義可得a?BD則BD故BD（2）CB則CBBD1?故直線(xiàn)BD1和直線(xiàn)CB【變式62】（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)是(1)求CD(2)求AO與CB的夾角的余弦值(3)判斷AO與CD【解題思路】（1）利用數(shù)量積的公式可得；（2）先用AB,AD,AA1表示AO，利用數(shù)量積運(yùn)算律可得AO?（3）利用數(shù)量積運(yùn)算律得AO?CD1=0【解答過(guò)程】（1）正方體ABCD?A1B故CD（2）由題意知，AB?AO=AO=故AO?故cosAO（3）由題意，AB?AO=1故AO與CD【變式63】（2425高二上·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在六棱柱ABCDEF?A1B1C1D

(1)用a,b,(2)若cos∠BA（?。〢1（ⅱ）AE【解題思路】（1）連接AD，結(jié)合空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算以a,（2）確定空間基底向量a,b,c的模長(zhǎng)與數(shù)量積，結(jié)合空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)分別求解【解答過(guò)程】（1）如圖，連接AD，

因?yàn)榱呅蜛BCDEF為正六邊形，所以AB+AF=所以A1D=（2）因?yàn)榱呅蜛BCDEF為正六邊形，所以∠BAF=2又cos∠BA所以a=（i）A1（ii）因?yàn)锳E所以A=4+16+16?8+8+4知識(shí)點(diǎn)2向量的投影1．向量的投影(1)如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線(xiàn)的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱(chēng)為向量a在向量b上的投影向量．類(lèi)似地，可以將向量a向直線(xiàn)l投影(如圖(2))．(2)如圖(3)，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線(xiàn)，垂足分別為A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))稱(chēng)為向量a在平面β上的投影向量．這時(shí)，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線(xiàn)與平面β所成的角．【題型7投影向量的求解】【例7】（2425高一下·山西大同·期末）已知向量a,b,c滿(mǎn)足a=4，b=c=5，且aA．?925c B．?95c【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可求得a?【解答過(guò)程】∵a+b+c∴a+c∴a?c=?8，故選：C.【變式71】（2425高二上·河北唐山·期中）在空間四邊形ABCD中，∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD，則BD在AC上的投影向量為（

）A．12AC B．14AC C．【解題思路】在四面體中，用向量加法法則表示AC，再結(jié)合投影向量的計(jì)算方法求解.【解答過(guò)程】在四面體中，因?yàn)椤螦BD=∠BDC=90°,AC=2BD，設(shè)AC=2,BD=1，且AB?BD=則AC?BD在AC上的投影向量為BD?故選：B.【變式72】（2425高二