2025-2026學(xué)年山東省濟(jì)南市章丘區(qū)章丘市第四中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖在平行六面體中，與的交點(diǎn)記為．設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.2．已知四棱錐，底面為平行四邊形，分別為，上的點(diǎn)，，設(shè)，則向量用為基底表示為（）A. B.C. D.3．如圖，樣本和分別取自兩個(gè)不同的總體，它們的平均數(shù)分別為和，標(biāo)準(zhǔn)差分別為和，則（）AB.C.D.4．“，”是“方程表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，點(diǎn)是的右支上一點(diǎn)，且，，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.6．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（）（ⅰ）命題“若，則”的否命題為：“若，則”；（ⅱ）“，”的否定為“，使得”；（ⅲ）命題“若，則有實(shí)根”為真命題；（ⅳ）命題“若，則”的否命題為真命題；A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)7．已知命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件；命題q：“是a，b，c成等比數(shù)列”的必要不充分條件，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.8．命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，9．設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是A. B.C. D.10．直線：和圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切或相交C.相交 D.相切11．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)a1=1，若，則公差d的取值范圍為（）A. B.C. D.12．已知直線與橢圓：（）相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線：上，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”.（1）設(shè)，則在上的“新駐點(diǎn)”為_(kāi)__________；（2）如果函數(shù)與的“新駐點(diǎn)”分別為、，那么和的大小關(guān)系是___________.14．拋物線的準(zhǔn)線方程是________15．已知正數(shù)滿足，則的最小值是__________.16．若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，，，設(shè)，，（1）用，，表示，并求；（2）求18．（12分）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為2,、分別為其左、右焦點(diǎn)．請(qǐng)從下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件,完成下面的問(wèn)題:①過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓E相切;②過(guò)且垂直于x軸的直線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P,且的面積為．(只能從①②中選擇一個(gè)作為已知)（1）求橢圓E的方程;（2）過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),與直線交于H點(diǎn),若,．證明:為定值19．（12分）已知曲線：.（1）若曲線是雙曲線，求的取值范圍；（2）設(shè)，已知過(guò)曲線的右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線交曲線于A，B兩點(diǎn)，求.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程，曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，求的值.21．（12分）【2018年新課標(biāo)I卷文】已知函數(shù)（1）設(shè)是的極值點(diǎn)．求，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，22．（10分）已知橢圓．離心率為，點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用空間向量的加法和減法法則可得出關(guān)于、、的表達(dá)式.【詳解】故選：B.2、D【解析】通過(guò)尋找封閉的三角形，將相關(guān)向量一步步用基底表示即可.【詳解】.故選：D3、B【解析】直接根據(jù)圖表得到答案.【詳解】根據(jù)圖表：樣本數(shù)據(jù)均小于等于10，樣本數(shù)據(jù)均大于等于10，故；樣本數(shù)據(jù)波動(dòng)大于樣本數(shù)據(jù)，故.故選：B.4、A【解析】根據(jù)雙曲線的方程以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】由，可知方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；反之，若表示雙曲線，則，即，或，所以“，”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件故選：A5、B【解析】畫出圖形，利用已知條件轉(zhuǎn)化求解，關(guān)系，利用，解得，即可得到雙曲線的方程【詳解】由題意雙曲線的圖形如圖，連接與軸交于點(diǎn)，設(shè)，，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，則，因?yàn)辄c(diǎn)是的右支上一點(diǎn)，所以，所以，則，因?yàn)?，所以，，由勾股定理可得：，即，解得，則，所以雙曲線的方程為：故選：B6、B【解析】根據(jù)四種命題的結(jié)構(gòu)特征可判斷（ⅰ）（ⅳ）的正誤，根據(jù)全稱命題的否定形式可判斷（ⅱ）的正誤，根據(jù)判別式的正誤可判斷（ⅲ）的正誤.【詳解】命題“若，則”的否命題”為“若，則”，故（ⅰ）錯(cuò)誤.“，”的否定為“，使得”，故（ⅱ）正確，當(dāng)時(shí)，，故有實(shí)根，故（ⅲ）正確，“若，則”的否命題為“若，則”，取，則，故命題若，則為假命題，故（ⅳ）錯(cuò)誤.故選：B7、C【解析】先判斷命題p,q的真假，從而判斷的真假，再根據(jù)“或”“且”命題的真假判斷方法，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，表示圓，故命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件是假命題，命題q：“是a，b，c成等比數(shù)列”的必要不充分條件為真命題，則是真命題，是假命題，故是假命題，是假命題，是真命題，是假命題，故選：C8、A【解析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}“，”是全稱量詞命題，所以其否定是存在量詞命題，即為，，故選：A9、D【解析】由題，為可導(dǎo)函數(shù)，，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是，選D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的定義，切線的斜率，以及極限的運(yùn)算，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)所給的極限式進(jìn)行整理，得到符合導(dǎo)數(shù)定義的形式10、C【解析】直線l：y﹣1＝k（x﹣1）恒過(guò)點(diǎn)（1，1），且點(diǎn)（1，1）在圓上，直線的斜率存在，故可知直線l：y﹣1＝k（x﹣1）和圓C：x2+y2﹣2y＝0的關(guān)系【詳解】圓C：x2+y2﹣2y＝0可化為x2+（y﹣1）2＝1∴圓心為（0，1），半徑為1∵直線l：y﹣1＝k（x﹣1）恒過(guò)點(diǎn)（1，1），且點(diǎn)（1，1）在圓上且直線的斜率存在∴直線l：y﹣1＝k（x﹣1）和圓C：x2+y2﹣2y＝0的關(guān)系是相交，故選C【點(diǎn)睛】本題考查的重點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是確定直線恒過(guò)定點(diǎn)，此題易誤選B，忽視直線的斜率存在11、A【解析】該等差數(shù)列有最大值，可分析得，據(jù)此可求解.【詳解】，故，故有故d取值范圍為.故選：A12、A【解析】將直線代入橢圓方程整理得關(guān)于的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，再由條件得到，再由，，的關(guān)系和離心率公式，即可求出離心率.【詳解】解：將直線代入橢圓方程得，，即，設(shè)，，，，則，即中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，由于線段的中點(diǎn)在直線上，則，又，則，，即橢圓的離心率為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】（1）根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義求得，結(jié)合可得出結(jié)果；（2）求出的值，利用零點(diǎn)存在定理判斷所在的區(qū)間，進(jìn)而可得出與的大小關(guān)系.詳解】（1），，根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義得，即，可得，，解得，所以，函數(shù)在上的“新駐點(diǎn)”為；（2），則，根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義得，即.，則，由“新駐點(diǎn)”的定義得，即，構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，，，，由零點(diǎn)存在定理可知，，.故答案為：（1）；（2）.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，是新定義的題型，關(guān)鍵是理解“新駐點(diǎn)”的定義.14、【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，從而得到準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線方程可化為：拋物線準(zhǔn)線方程為：故答案為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線準(zhǔn)線的求解，易錯(cuò)點(diǎn)是未將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.15、8【解析】利用“1”代換，結(jié)合基本不等式求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值8.故答案為：8.16、4【解析】由基本不等式及正實(shí)數(shù)、滿足，可得的最大值.【詳解】由基本不等式，可得正實(shí)數(shù)、滿足，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為，故答案為：4.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）0【解析】（1）把，，作為基底，利用空間向量基本定理表示，然后根據(jù)已知的數(shù)據(jù)求，（2）先把用基底表示，然后化簡(jiǎn)求解【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，?所以，因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，，，所以【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，，，所以18、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)選①:直線與橢圓聯(lián)立,利用判別式為0求解;選②:利用通徑公式即可(2)用直線參數(shù)方程的幾何意義求解【小問(wèn)1詳解】選①:由題知,過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線方程為聯(lián)立,得由,得所以橢圓的方程為選②:由題知,所以由,得所以橢圓的方程為【小問(wèn)2詳解】證明:設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))設(shè)A,B,H對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,顯然將代入橢圓,得即.所以將代入直線,得由,得,所以由,得,所以所以所以為定值【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：直線的參數(shù)方程作為一種工具，要充分發(fā)揮它的作用，參數(shù)的幾何意義并不局限于加絕對(duì)值表示距離，還要注意方向性.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分19、（1）（2）【解析】（1）利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程直接列不等式組，即可求解；（2）先求出直線l的方程為:，利用“設(shè)而不求法”和弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】要使曲線：為雙曲線，只需，解得：，即的取值范圍.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)m=0時(shí),曲線C的方程為,可得，所以右焦點(diǎn)，由題意可得直線l的方程為:.設(shè),聯(lián)立整理可得：,可得：所以弦長(zhǎng)，所以20、（1）直線的普通方程為；曲線C的直角坐標(biāo)方程為（2）【解析】（1）根據(jù)轉(zhuǎn)換關(guān)系將參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程即可；（2）將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，利用韋達(dá)定理即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解：將直線的參數(shù)方程中的參數(shù)消去得，則直線的普通方程為，由曲線C的極坐標(biāo)方程為，得，即，由得曲線C的直角坐標(biāo)方程為；【小問(wèn)2詳解】解：點(diǎn)滿足，故點(diǎn)在直線上，將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式（為參數(shù)），代入曲線C的直角坐標(biāo)方程為，得，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以.21、(1)a=；f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增．(2)證明見(jiàn)解析.【解析】分析：(1)先確定函數(shù)的定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用f′（2）=0，求得a=，從而確定出函數(shù)的解析式，之后觀察導(dǎo)函數(shù)的解析式，結(jié)合極值點(diǎn)的位置，從而得到函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；(2)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域，可以確定當(dāng)a≥時(shí)，f（x）≥，之后構(gòu)造新函數(shù)g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的傳遞性，證得結(jié)果.詳解：（1）f（x）的定義域?yàn)?，f′（x）=aex–由題設(shè)知，f′（2）=0，所以a=從而f（x）=，f′（x）=當(dāng)0<x<2時(shí)，f′（x）<0；當(dāng)x>2時(shí)，f′（x）>0所以f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增（2）當(dāng)a≥時(shí)，f（x）≥設(shè)g（x）=，則當(dāng)0<x<1時(shí)，g′（x）<0；當(dāng)x>1時(shí)，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值點(diǎn)故當(dāng)x>0時(shí)，g（x）≥g（1）=0因此，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)與極值、導(dǎo)數(shù)與最值、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及證明不等式問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，首先要保證函數(shù)的生存權(quán)，先確定函數(shù)的定義域，之后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求得參數(shù)值，之后利用極值的特點(diǎn)，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二問(wèn)在求解的時(shí)候構(gòu)造新函數(shù)，應(yīng)用不等式的傳遞性證得結(jié)果.22、