2025年教師資格證中學數(shù)學學科能力測試（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項選擇題：下列選項中，只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）。A.-1B.1C.3D.02.若集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},且A∩B={1},則實數(shù)a的值為（）。A.1B.-1C.1或-1D.03.“x>1”是“x2>1”的（）。A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.直線y=kx+b與圓x2+y2=1相切，則k2+b2的值為（）。A.1B.2C.1+b2D.b25.若等比數(shù)列{a?}的前n項和為S?，且a?=6,S?=15,則該數(shù)列的公比為（）。A.2B.3C.-2D.-36.函數(shù)y=sin(x+π/3)的圖像關(guān)于（）對稱。A.x軸B.y軸C.原點D.直線x=π/37.“a>0”是“方程x2+ax-1=0有兩個不相等的實數(shù)根”的（）。A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8.已知點A(1,2),B(-3,0),則向量AB的坐標為（）。A.(-4,-2)B.(4,-2)C.(-2,4)D.(2,-4)9.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a2+b2-c2=ab,則角C的大小為（）。A.30°B.45°C.60°D.90°10.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1,則方程f(x)=0在區(qū)間(-2,-1)內(nèi)（）。A.沒有實數(shù)根B.有一個實數(shù)根C.有兩個實數(shù)根D.有三個實數(shù)根二、填空題：11.若直線l:y=kx+1與拋物線C:y2=8x相交于A,B兩點，且AB中點的橫坐標為2，則實數(shù)k的值為________。12.不等式|2x-1|<3的解集為________。13.在△ABC中，已知角A=45°,角B=60°,邊c=√3，則邊a的長為________。14.已知函數(shù)f(x)=log?(x+1)，若f(a)=2，則a的值為________。15.一個圓錐的底面半徑為3，母線長為5，則該圓錐的側(cè)面積為________（結(jié)果保留π）。三、解答題：16.已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3。(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對于任意x?,x?∈R，且x?≠x?，總有|f(x?)-f(x?)|<4成立，求實數(shù)x的取值范圍。17.在平面直角坐標系xOy中，點A(1,0),B(0,1)，直線l過點P(1,1)且與線段AB相交。(1)求直線l的斜率k的取值范圍；(2)若直線l將△AOB的面積分成1:2的兩部分，求直線l的方程。18.已知數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，且a?=5,a?=11。(1)求數(shù)列{a?}的通項公式；(2)設(shè)b?=(n+1)a?，求數(shù)列{b?}的前n項和S?。19.已知圓C的方程為x2+y2-4x+6y-3=0。(1)求圓C的圓心坐標和半徑；(2)若直線l:y=kx-1與圓C相交于M,N兩點，且|MN|=2√3，求實數(shù)k的值。20.已知函數(shù)f(x)=√(x+1)-ax(a∈R)。(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,+∞)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2)在(1)的條件下，設(shè)g(x)=f(x)-f(1)，討論函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,3]上的最小值。21.某學校為了解學生對數(shù)學學習的興趣，隨機抽取了部分學生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖（條形圖和扇形圖）。（此處應(yīng)有圖，但按要求不寫，假設(shè)圖能反映以下信息：）條形圖顯示，對數(shù)學學習“非常感興趣”和“比較感興趣”的學生人數(shù)相等；扇形圖顯示，“非常感興趣”的學生占比為40%。（假設(shè)圖未提供具體人數(shù)，但根據(jù)描述可推算）假設(shè)該校共有500名學生，且所有學生都參與了此次調(diào)查。(1)求參與此次調(diào)查的學生人數(shù)；(2)求在扇形圖中，“一般感興趣”和“不感興趣”的扇形對應(yīng)的圓心角分別是多少度；(3)若從對數(shù)學學習“比較感興趣”的學生中隨機抽取2名學生參加座談會，求這2名學生中至少有1名是男生的概率（假設(shè)“非常感興趣”和“比較感興趣”的學生中男女生比例相同）。22.閱讀下列材料，完成下列問題：教學片段：師：同學們，我們來研究二次函數(shù)y=x2-2x+1。請大家思考，這個函數(shù)的圖像是什么形狀？頂點在哪里？對稱軸是什么？生1：是拋物線，開口向上。頂點好像是(1,0)。對稱軸是x=1。師：很好！那這個函數(shù)的最小值是多少？在哪個點取得？生2：最小值是0，在x=1時取得。師：大家能否將這個函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們更熟悉的形式，以便更好地分析它的性質(zhì)？生3：可以配方，y=(x-1)2。師：非常棒！y=(x-1)2這個形式給我們帶來了什么便利？（引導學生思考頂點式的作用）師：現(xiàn)在，如果我們要畫出這個函數(shù)的圖像，最少需要幾個點？生4：只要頂點和一個其他點，因為知道對稱性。師：很好。那么，如何選擇這個其他的點呢？結(jié)合我們學過的函數(shù)性質(zhì)來考慮。（教學繼續(xù)，引導學生利用頂點和對稱性畫出圖像，并討論函數(shù)的單調(diào)性等。）(1)分析上述教學片段中教師引導學生探究二次函數(shù)y=x2-2x+1的性質(zhì)的策略有哪些？(2)如果讓你繼續(xù)這個教學片段，接下來你會如何引導學生利用頂點式y(tǒng)=(x-1)2畫出函數(shù)圖像，并探究其單調(diào)性？請簡述你的教學設(shè)計思路。23.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2。(1)求函數(shù)f(x)的極值點；(2)畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的大致圖像（需標出關(guān)鍵點坐標和單調(diào)區(qū)間）；(3)結(jié)合函數(shù)圖像，討論關(guān)于方程x3-3x2+2=0的實數(shù)根的個數(shù)。24.某興趣小組設(shè)計了如下數(shù)學活動：甲、乙兩人輪流擲一個質(zhì)地均勻的六面骰子（六個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6），規(guī)則如下：甲先擲，若甲擲出的點數(shù)不小于4，則游戲結(jié)束，甲獲勝；若甲擲出的點數(shù)小于4，則輪到乙擲，若乙擲出的點數(shù)不小于4，則游戲結(jié)束，乙獲勝；若乙擲出的點數(shù)小于4，則游戲繼續(xù)，再次輪到甲擲，以此類推。(1)求第1次擲骰子時甲獲勝的概率；(2)求第2次擲骰子時甲獲勝的概率；(3)求甲最終獲勝的概率。試卷答案1.C2.C3.A4.A5.B6.C7.A8.B9.C10.B11.212.(-1,2)13.√614.815.15π16.(1)函數(shù)f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1，對稱軸為x=2。當x∈(-∞,2]時，f(x)單調(diào)遞減；當x∈[2,+∞)時，f(x)單調(diào)遞增。故單調(diào)遞增區(qū)間為[2,+∞)。(2)對于任意x?,x?∈R，且x?≠x?，有|f(x?)-f(x?)|<4，等價于-4<f(x?)-f(x?)<4。即-4<(x?2-4x?+3)-(x?2-4x?+3)<4，整理得-4<(x?-x?)(x?+x?-4)<4。由于x?-x?≠0，則-4<x?+x?-4<4，即0<x?+x?<8。故x的取值范圍為{x|0<x<8}。17.(1)直線l過點P(1,1)，斜率為k。當直線l與AB垂直時，k=-1。當直線l與AB重合時，k=1。由圖可知，直線l的斜率k的取值范圍是(-∞,-1]∪[1,+∞)。但需滿足與線段AB相交，故k≥1。所以k的取值范圍是[1,+∞)。(2)設(shè)直線l與AB交于點Q(x?,y?)。由(1)知，直線l的斜率k≥1，設(shè)k=m(m≥1)。則直線l的方程為y-1=m(x-1)，即y=mx-m+1。令x=0，得y=-m+1；令y=0，得x=1-1/m。點Q坐標為(1-1/m,-m+1)?！鰽OB面積S△AOB=1/2*1*1=1/2。設(shè)直線l將△AOB分成面積分別為S?和S?兩部分，則S?=1/3,S?=2/3(或反過來)。由S△APQ=S?或S△BPQ=S?，得1/2*1*(-m+1)=1/3或1/2*1*(1-1/m)=2/3。解得m=1/2(舍去，因m≥1)或m=2。故直線l的斜率k=2。直線l的方程為y=2x-1。18.(1)設(shè)數(shù)列{a?}的公差為d。由a?=5,a?=11，得a?=a?+2d，即11=5+2d，解得d=3。故a?=a?+(n-1)d=5+(n-1)*3=3n+2。(2)b?=(n+1)a?=(n+1)(3n+2)=3n2+5n+2。S?=∑(b?)=∑(3n2+5n+2)=3∑(n2)+5∑(n)+∑(2)。利用求和公式：∑(n2)=n(n+1)(2n+1)/6，∑(n)=n(n+1)/2，∑(2)=2n。故S?=3*[n(n+1)(2n+1)/6]+5*[n(n+1)/2]+2n=n(n+1)(2n+1)/2+5n(n+1)/2+2n=(2n3+3n2+n+5n2+5n+2n)/2=(2n3+8n2+8n)/2=n3+4n2+4n。19.(1)圓C的方程為x2+y2-4x+6y-3=0。配方得(x-2)2+(y+3)2=16。故圓心坐標為(2,-3)，半徑r=√16=4。(2)將直線l:y=kx-1代入圓C的方程，得x2+(kx-1)2-4x+6(kx-1)-3=0，整理得(1+k2)x2+(-4+6k)x+(-1-6k-3)=0，即(1+k2)x2+(-4+6k)x+(-7-6k)=0。設(shè)M(x?,y?),N(x?,y?)，則x?+x?=-(-4+6k)/(1+k2)=(6k-4)/(1+k2)，x?x?=(-7-6k)/(1+k2)。由弦長公式|MN|=√(1+k2)*|x?-x?|=2√3，得|x?-x?|=2√3/√(1+k2)。又|x?-x?|=√[(x?+x?)2-4x?x?]=√{[(6k-4)/(1+k2)]2-4(-7-6k)/(1+k2)}=√{[36k2-48k+16-4(-28-24k)]/(1+k2)2}=√{[36k2-48k+16+112+96k]/(1+k2)2}=√{[36k2+48k+128]/(1+k2)2}=√{4(9k2+12k+32)/(1+k2)2}=2√[9k2+12k+32]/(1+k2)。故有2√3/√(1+k2)=2√[9k2+12k+32]/(1+k2)。兩邊平方并整理得12(1+k2)=4(9k2+12k+32)，即12+12k2=36k2+48k+128，得24k2+48k+116=0，即12k2+24k+58=0。解得k2+2k+29/6=0。判別式Δ=22-4*1*(29/6)=4-116/6=24/6-116/6=-92/6<0。此方程無實數(shù)解。因此，不存在實數(shù)k使得直線l與圓C相交于M,N兩點，且|MN|=2√3。20.(1)函數(shù)f(x)=√(x+1)-ax在區(qū)間[-1,+∞)上單調(diào)遞增，則其導數(shù)f'(x)≥0對x∈[-1,+∞)恒成立。f'(x)=1/(2√(x+1))-a。需1/(2√(x+1))-a≥0對x∈[-1,+∞)恒成立。即1/(2√(x+1))≥a對x∈[-1,+∞)恒成立。令t=√(x+1)，則t∈[0,+∞)。不等式變?yōu)?/(2t)≥a對t∈[0,+∞)恒成立。函數(shù)y=1/(2t)在t∈(0,+∞)上單調(diào)遞減，在t=0處無定義。故當t>0時，函數(shù)y=1/(2t)的值域為(0,1/2]。要使1/(2t)≥a對所有t>0恒成立，必須有a≤0。當t=0時，1/(2t)無意義，此時不等式不成立。因此，a≤0是必要條件?，F(xiàn)在驗證a≤0是否充分。若a≤0，則f'(x)=1/(2√(x+1))-a≥1/(2√(x+1))≥0(因為-a≥0)。故f(x)在[-1,+∞)上單調(diào)遞增。因此，a≤0是充分條件。綜上，實數(shù)a的取值范圍是(-∞,0]。(2)由(1)知，a≤0。g(x)=f(x)-f(1)=√(x+1)-ax-(√2-a*1)=√(x+1)-ax+a-√2。g'(x)=1/(2√(x+1))-a。由a≤0，得g'(x)≥1/(2√(x+1))>0(因為-a>0)。故g(x)在[0,3]上單調(diào)遞增。因此，g(x)在區(qū)間[0,3]上的最小值出現(xiàn)在x=0處。g(0)=√(0+1)-a*0+a-√2=1+a-√2。故函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,3]上的最小值為1+a-√2。21.(1)由扇形圖知，“非常感興趣”的學生占比為40%，即40%。由條形圖知，“非常感興趣”和“比較感興趣”的學生人數(shù)相等。設(shè)“非常感興趣”和“比較感興趣”的學生人數(shù)均為x。則(x/500)*100%=40%，解得x=200。參與此次調(diào)查的學生人數(shù)為x+x=200+200=400。(2)“非常感興趣”的占比為40%，則“一般感興趣”的占比為1-40%-40%=20%?！安桓信d趣”的占比為1-40%=60%。圓心角分別為：360°*20%=72°，360°*60%=216°。(3)“比較感興趣”的學生人數(shù)為200。假設(shè)“非常感興趣”和“比較感興趣”的學生中男女生比例相同，即各占一半。則“比較感興趣”的學生中男生人數(shù)為200/2=100。從100名男生中隨機抽取2名，基本事件總數(shù)n=C(100,2)=100*99/2=4950。事件“這2名學生中至少有1名是男生”包含的基本事件有：抽到1名男生和1名女生（C(100,1)*C(100,1)=100*300=30000），抽到2名男生（C(100,2)=4950）。但更簡單的方法是計算其補事件“這2名學生都是女生”的概率。女生人數(shù)為200-100=100。從100名女生中隨機抽取2名，抽到2名女生的基本事件個數(shù)m=C(100,2)=100*99/2=4950。P(抽到2名女生)=m/n=4950/4950=1。故P(至少有1名是男生)=1-P(都是女生)=1-1/4950=4949/4950。22.(1)教師引導學生探究二次函數(shù)性質(zhì)的策略有：*啟發(fā)式提問：教師通過連續(xù)的提問（“是什么形狀？”“頂點在哪里？”“對稱軸是什么？”“最小值是多少？”“如何轉(zhuǎn)化為更熟悉的形式？”“給我們什么便利？”“最少需要幾個點？”“如何選擇點？”）引導學生逐步思考、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題。*知識遷移：引導學生將新學的函數(shù)（y=x2-2x+1）與已學知識（頂點式、函數(shù)性質(zhì)）聯(lián)系起來，通過配方將其轉(zhuǎn)化為y=(x-1)2，利用頂點式更方便地分析性質(zhì)。*化繁為簡：引導學生思考如何利用已知信息（頂點和對稱性）來畫出圖像，降低難度。*關(guān)注本質(zhì)：引導學生結(jié)合函數(shù)性質(zhì)（如單調(diào)性）來選擇描點，而不是盲目地找點。*循序漸進：從性質(zhì)的探究到圖像的繪制，再到單調(diào)性的討論，步驟清晰，由易到難。*小組討論與交流：括號中提到“生1”“生2”“生3”“生4”，表明可能組織了學生討論和回答。(2)接下來教學設(shè)計思路：①明確任務(wù)：提出任務(wù)：如何利用y=(x-1)2的特點畫出圖像？②回顧知識：回顧二次函數(shù)圖像的五個關(guān)鍵特征：頂點、對稱軸、開口方向、增減性、與坐標軸交點。③引導分析：引導學生分析y=(x-1)2：*頂點：(1,0)，這是圖像的最高點（或最低點，因為開口向上）。*對稱軸：x=1。*開口方向：向上。*增減性：在對稱軸左側(cè)（x<1）單調(diào)遞減，在對稱軸右側(cè)（x>1）單調(diào)遞增。*與坐標軸交點：令x=0,y=(0-1)2=1，得(0,1)。令y=0,0=(x-1)2,得x-1=±√0,x=1。交點為(1,0)（即頂點）。④指導描點：指導學生描出頂點(1,0)和與y軸的交點(0,1)。由于對稱軸是x=1，且開口向上，只需再找一側(cè)的點即可。利用對稱性，找與(0,1)對稱的點，即x=2時，y=(2-1)2=1，得點(2,1)。或者，根據(jù)增減性，在x<1的區(qū)間找一點，如x=-1時，y=(-1-1)2=4，得點(-1,4)。⑤繪制圖像：指導學生利用頂點、對稱性以及找到的關(guān)鍵點（(1,0),(0,1),(2,1)或(-1,4)），結(jié)合單調(diào)性，平滑地繪制出拋物線y=(x-1)2的圖像。⑥討論單調(diào)性：在圖像繪制完成后，再次引導學生結(jié)合圖像和函數(shù)表達式y(tǒng)=(x-1)2，明確函數(shù)在(-∞,1]上單調(diào)遞減，在[1,+∞)上單調(diào)遞增。23.(1)f(x)=x3-3x2+2。f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。列表分析：x|(-∞,0)|0|(0,2)|2|(2,+∞)f'(x)|+|0|-|0|+f(x)|遞增|極大值0|遞減|極小值-2|遞增極值點||0是極大值點||2是極小值點|故函數(shù)f(x)的極大值點為0，極小值點為2。(2)函數(shù)f(x)=x3-3x2+2的圖像大致如下：*極大值點：(0,0)*極小值點：(2,-2)*單調(diào)遞增區(qū)間：(-∞,0]∪[2,+∞)*單調(diào)遞減區(qū)間：(0,2)*當x→-∞時，f(x)→-∞；當x→+∞時，f(x)→+∞。*令f(x)=0，解方程x3-3x2+2=0。因0是極值點，嘗試因式分解：(x-0)(x2-3x+2)=0，得x(x-1)(x-2)=0。故實數(shù)根為x=0,1,2。*畫出圖像，需經(jīng)過點(0,0),(1,0),(2,-2)，并在x=0處有局部最高點，x=2處有局部最低點。圖像在x=0左側(cè)下降，經(jīng)過(0,0)后上升至(2,-2)，再在x=2后繼續(xù)上升。（此處無圖，僅文字描述圖像特征）(3)結(jié)合函數(shù)圖像分析：