專題03分式（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律分式的基本性質(zhì)能利用性質(zhì)解決分式相關(guān)基礎(chǔ)問(wèn)題?；A(chǔ)必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題.分式的運(yùn)算分式的混合運(yùn)算及化簡(jiǎn)求值。分式的運(yùn)算是必考內(nèi)容，難道不大，但對(duì)運(yùn)算能力有一定要求，化簡(jiǎn)求值常出現(xiàn)在解答題中。分式方程的應(yīng)用題行程工程銷售問(wèn)題等。應(yīng)用題是必考類型，其中難道較大的還有方案問(wèn)題。找出等量關(guān)系列方程解答是關(guān)鍵，還要考察分式方程的解及檢驗(yàn)。知識(shí)點(diǎn)01分式及其基本性質(zhì)1）分式的概念：如果把A÷B寫(xiě)成的形式，其中A、B都是整式，且B中含有字母，那么代數(shù)式就叫做分式．其中A叫作分式的分子，B叫作分式的分母。2）分式有意義的條件：（1）分式有意義的條件是分母不等于零。（2）分式無(wú)意義的條件是分母等于零。（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號(hào)。（4）分式的值為負(fù)數(shù)的條件是分子、分母異號(hào)。3）分式的值為零的條件：分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零。4）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。知識(shí)點(diǎn)02分式的乘法與除法1）約分的定義：利用分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子和分母中除1以外的公因式約去，叫做分式的約分．2）最簡(jiǎn)分式的定義：一個(gè)分式的分子與分母，如果除1以外沒(méi)有其他的公因式，我們稱這個(gè)分式為最簡(jiǎn)分式．3）把整式的除法轉(zhuǎn)化成分式的形式，可以利用約分進(jìn)行運(yùn)算。分式約分的結(jié)果應(yīng)當(dāng)是最簡(jiǎn)分式或整式。4）分式的乘法法則：兩個(gè)分式相乘，把分子的積作積的分子，分母的積作積的分母。5）分式的除法法則：兩個(gè)分式相除，把除式的分子與分母顛倒位置后，再與被除式相乘。6）分式的乘方法則：分式乘方就是把分式的分子、分母各自乘方。知識(shí)點(diǎn)03分式的加法與減法1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減。2）通分的定義：這種不改變每個(gè)分式的值，把幾個(gè)異分母的分式化成同分母分式的變形叫做分式的通分。3）最簡(jiǎn)公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母。4）異分母分式加減法法則：異分母分式相加減，先把他們通分，變?yōu)橥帜阜质?，再加減。5）分式的混合運(yùn)算法則：先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．知識(shí)點(diǎn)04分式方程1）分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。2）分式方程的解：求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解．3）增根的定義：在分式方程變形的過(guò)程中得到的適合整式方程，但不適合原方程的解叫作分式方程的增根。4）解分式方程的一般步驟：5）分式方程的應(yīng)用(1)列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：(2)要掌握常見(jiàn)問(wèn)題中的基本關(guān)系，如：行程問(wèn)題：速度＝路程÷時(shí)間；工作量問(wèn)題：工作效率＝工作量工作×?xí)r間等等．列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力．知識(shí)點(diǎn)05分式方與比1）比的定義：兩個(gè)整式A與B(B≠0)相除，叫作A與B的比，記作A:B或，其中A叫作比的前項(xiàng)，B叫作比的后項(xiàng)。3）比例的基本性質(zhì)：在比例中，兩外項(xiàng)的乘積等于兩內(nèi)項(xiàng)的乘積。如果=，那么ad=bc.4)兩條線段的比：在同一單位長(zhǎng)度下，兩條線段長(zhǎng)度的比，叫作這兩條線段的比。5)成比例線段：如果四條線段a，b，c，d的長(zhǎng)成比例，我們就把這四條線段a，b，c，d稱為成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。題型一分式的乘除答｜題｜模｜板【典例1】計(jì)算：【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，通過(guò)因式分解確定最簡(jiǎn)公分母是解題關(guān)鍵．先把分子、分母能分解因式的分解因式，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分后再代入求值即可．【分析】本題考查分式的乘除混合運(yùn)算，分式的值，先根據(jù)乘除混合運(yùn)算法則，進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)分式的值為正數(shù)，則分子分母同號(hào)，且要保證分式有意義，進(jìn)行求解即可．題型二分式的混合運(yùn)算答｜題｜模｜板【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，在化簡(jiǎn)的過(guò)程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡(jiǎn)，解題時(shí)可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．【分析】本題考查分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則．根據(jù)分式的運(yùn)算法則先化簡(jiǎn)分式，再利用整體代入法求值即可．【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪等知識(shí)點(diǎn)，先根據(jù)分式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，得到化簡(jiǎn)結(jié)果，再根據(jù)零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則求出x的值，代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算即可獲得答案．題型三解分式方程答｜題｜模｜板解得：x，所以x是原方程的解，即原方程的解是x．易｜錯(cuò)｜點(diǎn)｜撥解分式方程與一般方程最大的不同在于分式方程可能有增根，分式方程可能無(wú)解。因此需要檢驗(yàn)，認(rèn)真檢驗(yàn)?zāi)軌蛱岣哒_率?！敬鸢浮繜o(wú)解【分析】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．先將分式方程去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程，求解并檢驗(yàn)即可．【分析】本題主要考查了解分式方程，根據(jù)解分式方程的步驟求解即可，注意解分式方程最后要驗(yàn)根，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．【答案】原方程無(wú)解【分析】本題考查了分式方程的求解．先找到最簡(jiǎn)公分母，方程的左右兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，將其轉(zhuǎn)化為整式方程，再解一元一次方程即可，最后檢驗(yàn)．題型四增根和無(wú)解問(wèn)題答｜題｜模｜板(2)若此方程有增根，求的值．(2)的值為或．綜上，的值為或．任務(wù)：(1)小亮同學(xué)的求解過(guò)程從第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是；(2)請(qǐng)你改正并寫(xiě)出完整的解方程過(guò)程；(3)解分式方程產(chǎn)生增根的原因是．(2)正確過(guò)程見(jiàn)解析；(3)去分母時(shí)，在分式方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，將其轉(zhuǎn)化為整式方程，若該整式方程的解恰好使最簡(jiǎn)公分母為零，就產(chǎn)生增根．（3）解：解分式方程產(chǎn)生增根的原因是去分母時(shí)，在分式方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，將其轉(zhuǎn)化為整式方程，若該整式方程的解恰好使最簡(jiǎn)公分母為零，就產(chǎn)生增根．故答案為：去分母時(shí)，在分式方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，將其轉(zhuǎn)化為整式方程，若該整式方程的解恰好使最簡(jiǎn)公分母為零，就產(chǎn)生增根．(2)若該分式方程無(wú)解，求m的值．(2)4分式方程無(wú)解，∴若該分式方程無(wú)解，m的值為4．題型五分式方程應(yīng)用題答｜題｜模｜板【典例1】某村計(jì)劃修復(fù)一條連接活動(dòng)場(chǎng)地的公路，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參與施工，已知乙工程隊(duì)平均每天修復(fù)公路的長(zhǎng)度比甲工程隊(duì)多2千米，且甲工程隊(duì)單獨(dú)修復(fù)20千米公路所需要的時(shí)間與乙工程隊(duì)單獨(dú)修復(fù)30千米公路所需要的時(shí)間相等．甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別平均每天修復(fù)公路多少千米？【答案】甲工程隊(duì)平均每天修復(fù)公路千米，則乙工程隊(duì)平均每天修復(fù)公路千米則乙工程隊(duì)平均每天修復(fù)公路千米，答：甲工程隊(duì)平均每天修復(fù)公路千米，則乙工程隊(duì)平均每天修復(fù)公路千米．【變式1】列方程解下列問(wèn)題：學(xué)校義賣活動(dòng)，是展現(xiàn)創(chuàng)意的好機(jī)會(huì)，更是學(xué)習(xí)生活的精彩瞬間．學(xué)生小魯制作的筆記本和文件夾憑借出色的設(shè)計(jì)，一推出就圈粉無(wú)數(shù)．已知每個(gè)筆記本的成本比每個(gè)文件夾的成本多2元，2個(gè)筆記本和3個(gè)文件夾的成本相同、(1)請(qǐng)問(wèn)每個(gè)筆記本和每個(gè)文件夾的成本各是多少元？(2)當(dāng)這兩款學(xué)習(xí)用品的銷售額都為400元時(shí)，筆記本比文件夾少售出10個(gè)．若每個(gè)筆記本的售價(jià)比每個(gè)文件夾的售價(jià)高25％，則每個(gè)文件夾的售價(jià)是多少元？【答案】(1)每個(gè)筆記本的成本是6元，每個(gè)文件夾的成本是4元；(2)8元【詳解】（1）解：設(shè)每個(gè)筆記本的成本是x元，每個(gè)文件夾的成本是y元，答：每個(gè)筆記本的成本是6元，每個(gè)文件夾的成本是4元；答：每個(gè)文件夾的售價(jià)是8元．【變式2】某搬家公司現(xiàn)有甲、乙兩種貨車，已知甲種貨車比乙種貨車每輛車多裝10袋物品，且甲種貨車裝運(yùn)450袋物品所用車輛與乙種貨車裝運(yùn)350袋物品所用車輛數(shù)相等．(1)求甲、乙兩種貨車每輛車可裝多少袋物品？(2)如果這批物品有593袋，用甲、乙兩種貨車共15輛來(lái)裝運(yùn)，甲種車輛剛好裝滿，乙種車輛最后一輛裝載的物品只裝了23袋，其它裝滿，求甲，乙兩種貨車各需要多少輛？【答案】(1)甲種貨車每輛車可裝45袋物品，乙種貨車每輛車可裝35袋物品(2)需要甲種貨車8輛，乙種貨車7輛答：甲種貨車每輛車可裝45袋物品，乙種貨車每輛車可裝35袋物品；答：需要甲種貨車8輛，乙種貨車7輛．期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）一、單選題A． B． C．或 D．【答案】B故選：B．A．5 B．1 C． D．【答案】C故選C．3．（山東省菏澤市曹縣20242025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中）下列各式變形中，正確的是（

）【答案】C【詳解】解：A、等式兩邊應(yīng)同時(shí)平方，故本選項(xiàng)變形錯(cuò)誤，故不符合題意；故選：C．二、填空題【答案】故答案為：．【答案】22故答案為：故答案為：．當(dāng)a取1，時(shí)，原式無(wú)意義，8．解方程：(2)無(wú)解所以該分式方程無(wú)解期中重難突破練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）一、單選題1．(山東省淄博市桓臺(tái)縣20242025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中)下列是最簡(jiǎn)分式的是（

）【答案】B故選：B．A． B．2 C． D．【答案】A故選：A．【答案】B故選B．4．甲乙兩人各自加工120個(gè)零件，甲由于個(gè)人原因沒(méi)有和乙同時(shí)進(jìn)行，乙先加工30分鐘后，甲開(kāi)始加工．甲為了追趕上乙的進(jìn)度，加工的速度是乙的倍，最后兩人同時(shí)完成．求乙每小時(shí)加工零件多少個(gè)？設(shè)乙每小時(shí)加工個(gè)零件．可列方程為（

）【答案】D【詳解】解：設(shè)乙每小時(shí)加工個(gè)零件，則甲每小時(shí)加工個(gè)零件，故選：D．二、填空題【答案】故答案為：．【答案】12∴設(shè)a=6x，b=5x，c=4x.∵a+b2c=9，∴6x+5x?8x=9，解得x=3，∴c=12.故答案為：12.三、解答題7．解方程：(2)無(wú)解去分母，得去括號(hào)，得移項(xiàng)，得去分母，得去括號(hào)，得移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得故原方程無(wú)解．期中綜合拓展練（測(cè)試時(shí)間：15分鐘）一、單選題【答案】D故選：D．【答案】B故選B．A． B．2 C． D．4【答案】B故選：B．4．(2022年山東省濟(jì)寧市中考數(shù)學(xué))一輛汽車開(kāi)往距出發(fā)地420km的目的地，若這輛汽車比原計(jì)劃每小時(shí)多行10km，則提前1小時(shí)到達(dá)目的地．設(shè)這輛汽車原計(jì)劃的速度是xkm/h，根據(jù)題意所列方程是（

）【答案】C故選C二、填空題【答案】【答案】4故答案為：.三、解答題8．(2025年山東省東營(yíng)市中考數(shù)學(xué))《哪吒2魔童鬧?！菲狈看筚u，周邊玩偶熱銷．某經(jīng)銷店購(gòu)進(jìn)A款哪吒玩偶的金額是2400元，購(gòu)進(jìn)B款哪吒玩偶的金額是1600元，購(gòu)進(jìn)A款哪吒玩偶的數(shù)量比B款哪吒玩偶少50個(gè)，A款哪吒玩偶單價(jià)是B款哪吒玩偶的2倍．(1)A、B兩款玩偶的單價(jià)分別是多少元？(2)為滿足消費(fèi)者需求，在A、B兩款玩偶單價(jià)不變的條件下，該超市準(zhǔn)備再次購(gòu)進(jìn)A、B兩款玩偶共100個(gè)，B款哪吒玩偶的數(shù)量不多于A款哪吒玩偶數(shù)量的2倍，且總金額不超過(guò)