第02講集合間的基本關(guān)系【人教A版】模塊一集合的模塊一集合的子集1．子集的概念定義一般地，對于兩個集合A,B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，稱集合A為集合B的子集記法與讀法圖示或結(jié)論2．真子集的概念定義記法圖示結(jié)論【注】(1)“A是B的子集”的含義：集合A中的任何一個元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.(3)特殊情形：如果集合A中存在著不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.(6)若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n1個，非空子集有2n1個，非空真子集有2n2個.【題型1子集、真子集的確定】【例1】（2425高三上·四川·期末）集合A=x?4<x<2的一個真子集可以為（

A．3 B．x?1<x<3 C．0 D．【變式1.1】（2425高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）若集合M=x∣m+1x2?mx+m?1=0A．1 B．233 C．±233【變式1.2】（2425高一上·四川眉山·期末）已知集合A=1,a?2,2a2(1)求a的值；(2)寫出集合A的所有真子集.【變式1.3】（2526高一上·全國·課堂例題）寫出下列集合的子集和真子集，并觀察“元素個數(shù)”與“子集個數(shù)”、“真子集個數(shù)”之間存在什么關(guān)系？(1)A={1}(2)B=(3)C={6,7,8}【題型2集合的子集（真子集）的個數(shù)問題】【例2】（2425高一上·河南·期中）設(shè)集合A=1,2,3,4,5,9，B=x∣x∈A,x∈ZA．3 B．4 C．7 D．8【變式2.1】（2425高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）設(shè)集合A={x∈N|y=12x+3∈A．7 B．8 C．15 D．16【變式2.2】（2024·河南·二模）已知集合M=x∈Z∣a≤x≤2a?1，若集合M有15個真子集，則實數(shù)aA．4,6 B．92,112 C．【變式2.3】（2425高一上·全國·周測）已知集合M滿足{1,2,3}?M?{1,2,3,4,5}，那么這樣的集合M的個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．7 D．8模塊二模塊二集合相等與空集1．集合相等的概念如果集合A的任何一個元素是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么，集合A與集合B相等，記作A＝B.也就是說，若A?B且B?A，則A＝B.2．空集的概念(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.(2)規(guī)定：空集是任何集合的子集.【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3．Venn圖的優(yōu)點及其表示(1)優(yōu)點：形象直觀.(2)表示：通常用封閉曲線的內(nèi)部表示集合.【題型3判斷兩個集合是否相等】【例3】（2425高一上·山東泰安·階段練習(xí)）下列每組集合是相等集合的是（

）A．A=x∈Nx≤2，B=x∈C．A=x|y=x，B=xy=x2x【變式3.1】（2425高一上·廣東汕頭·階段練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（

）A．M=3,2，N=2,3 B．M=C．M=x,yx+y=1，N=yx+y=1 【變式3.2】（2425高一上·上?！て谀┮阎螦={x|x=2kπ+π3或x=2kπ+2π3A．A=B B．A?B C．A?B D．以上選項均不正確【變式3.3】（2425高一上·安徽阜陽·期中）下列集合中表示同一集合的是（

）A．M=3,2，B．M=4,5，C．M=x,yx+y=1D．M=1,2，【題型4根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)】【例4】（2425高三上·安徽宣城·期末）已知集合A=0,4,a2，B=0,4,3a?2，若A=B，則aA．1或2 B．?1或0 C．1 D．?1【變式4.1】（2425高一上·浙江杭州·階段練習(xí)）已知a∈R，b∈R，若集合a,ba,1=aA．?2 B．1 C．?1 D．2【變式4.2】（2425高一上·上?！るS堂練習(xí)）由a，ba，1組成的集合中有3個元素，該集合和由a2，a+b，0組成的集合是同一個集合，求【變式4.3】（2425高一上·安徽安慶·階段練習(xí)）已知集合A={x|0<ax+1≤5},B={x|?(1)若A?B,求實數(shù)a的取值范圍.(2)是否存在實數(shù)a，使得A=B?若存在求出a的值；若不存在，請說明理由.【題型5空集的判斷、性質(zhì)及應(yīng)用】【例5】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）下列四個集合中是空集的是（

）A．? B．x∈R|C．x|x<4，或x>8 D．【變式5.1】（2425高一上·重慶·期中）下列關(guān)于0與?說法不正確的是（）A．0?? B．0∈C．0=? D．【變式5.2】（2425高一上·遼寧大連·階段練習(xí)）關(guān)于x的方程2x?1x?3=1+kx?3的解集為空集，則A．2 B．3 C．4 D．5【變式5.3】（2425高一上·上海寶山·期中）已知六個關(guān)系式①?∈{?}；②??≠{?}；③{0}?≠?；④0??；⑤A．3 B．4 C．5 D．6模塊三模塊三集合間關(guān)系的性質(zhì)1．集合間關(guān)系的性質(zhì)(1)任何一個集合都是它本身的子集，即AA.(2)對于集合A，B，C，①若AB，且BC，則AC；②若AB，B=C，則AC.(3)若AB，A≠B，則AB.【題型6判斷集合間的關(guān)系】【例6】（2425高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知集合M=xx=m+16,m∈Z，N=xx=A．M=N?P B．M?N=P C．M=P?N D．N?P?M【變式6.1】（2425高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）若A={x|x=k6+1,k∈Z}A．A?B?C B．A?C?BC．C?B?A D．C?A?B【變式6.2】（2425高一下·全國·課后作業(yè)）指出下列各對集合之間的關(guān)系：(1)A=?1,1，B=(2)A=?1,4，B=(3)A={x∣x是等腰三角形}，B={x∣x是等邊三角形}.【變式6.3】（2425高一·江蘇·假期作業(yè)）指出下列各對集合之間的關(guān)系.(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)A＝{x|x是等邊三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}；(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}.【題型7根據(jù)集合的關(guān)系求參數(shù)】【例7】（2425高一上·青海西寧·階段練習(xí)）集合A=x?1≤x≤3，集合B=x1?m≤x≤1+m.若B?A，則mA．mm≤2 B．C．mm≤0 D．【變式7.1】（2425高一上·山西大同·階段練習(xí)）已知集合A=xx≤?2或x>1，B=xax+2≤0，且B?A，則A．a(chǎn)0<a≤1 B．C．a(chǎn)?2≤a≤1 D．a(chǎn)?2<a<0【變式7.2】（2425高一上·河北滄州·期中）已知集合A=2,6(1)若集合B=a+1，a(2)若集合C=xax2?x+6=0，且A【變式7.3】（2425高一上·河北廊坊·階段練習(xí)）設(shè)集合A=xx2(1)若B?A，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若A?B，求實數(shù)a的取值范圍【題型8集合關(guān)系中的新定義問題】【例8】（2425高一上·湖北孝感·階段練習(xí)）定義：若一個n位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的n次方和等于這個數(shù)本身，則稱這個數(shù)是自戀數(shù).已知集合A=8,23,81,153,254,370，B={x∈A|x是自戀數(shù)}，則B的真子集個數(shù)為（

）A．7 B．15 C．31 D．63【變式8.1】（2425高一上·河北邯鄲·期中）定義非空數(shù)集M的“和睦數(shù)H”如下：將M中的元素按照遞減的次序排列，然后將第一個元素交替地加上、減去后繼的數(shù)所得的結(jié)果.例如，集合1,2,3,4,5的“和睦數(shù)”是5+4?3+2?1=7，2,4的“和睦數(shù)”是4+2=6，1的“和睦數(shù)”是1.對于集合A=n6?nnA．82 B．74 C．12 D．70【變式8.2】（2425高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）定義：若任意m,n∈A（m,n可以相等），都有1+mn≠0，則集合B=x|x=m+n1+mn(1)求集合A=3,4的生成集B(2)若集合A=a,2，A的生成集為B，B的子集個數(shù)為4個，求實數(shù)a(3)若集合?1≤A≤1，A的生成集為B，求證A=B．【變式8.3】（2425高一上·陜西西安·階段練習(xí)）含有有限個元素的數(shù)集，定義“元素和”如下：把集合中的各數(shù)相加；定義“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從大到小的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地加減各數(shù).例如，4,6,9的元素和是4+6+9=19；交替和是9?6+4=7；而5的元素和與交替和都是5.(1)寫出集合1,2,3的所有非空子集的交替和的總和.(2)已知集合M=1,2,3,4,5,6①求集合M所有非空子集的元素和的總和；提示：?x∈M，先求出x在集合M的非空子集中一共出現(xiàn)多少次，進而可求出集合M的所有非空子集的元素和的總是；②求集合M所有非空子集的交替和的總數(shù).一、單選題1．（2526高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）已知集合A={x|x=2n+2,n∈N}，B={x|x=4n,n∈N}，則（

）A．A≠B B．A∈B C．A?B D．AB2．（2526高一上·全國·課后作業(yè)）已知集合A=x∣x?7<0,x∈N*，則集合B=A．4 B．8 C．14 D．153．（2526高一上·全國·單元測試）已知集合A=0,2,B=1,2,3,C=A．16 B．15 C．4 D．84．（2526高一上·全國·課后作業(yè)）已知集合{a,b,c}=?1,0,1，若①a≠?1；②b=?1；③c≠0中有且只有一個正確，則a2023?2b+4c=A．2 B．3 C．5 D．85．（2425高一上·全國·期末）已知m∈R，n∈R，若集合m,nm,1=mA．?2 B．?1 C．1 D．26．（2526高一上·全國·單元測試）已知集合A=x?2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m?1，若B為A的真子集，則A．2,3 B．2,3 C．?∞,3 7．（2425高一上·天津北辰·階段練習(xí)）設(shè)M=xx=m+16,m∈Z，P={x|x=n2?13,n∈A．PQM B．MP=Q C．P=QM D．Q=MP8．（2425高一上·北京·期末）正交數(shù)組的概念在現(xiàn)代廣泛應(yīng)用.設(shè)集合A=x1,x2,x3,x4∣xi∈?1,1,i=1,2,3,4A．2 B．3 C．4 D．6二、多選題9．（2425高一上·江蘇連云港·階段練習(xí)）下列關(guān)系中正確的是（

）A．0∈0 B．C．a(chǎn),b=b,a 10．（2425高一上·江蘇鹽城·期中）已知集合A=0,1，B=xax2+x?1=0，若A．0 B．1 C．?1 D．111．（2425高一上·河南·階段練習(xí)）若S是含有n個元素的數(shù)集，則稱S為n數(shù)集S.n數(shù)集S中含有m（m≤n）個元素的子集，稱為S的m子集.若在n數(shù)集S的任何一個t（4≤t≤n）子集中，存在4個不同的數(shù)a，b，c，d，使得a+b=c+d，則稱該S的t子集為S的等和子集.下列結(jié)論正確的是（

）A．3數(shù)集A有6個非空真子集B．4數(shù)集B有6個2子集C．若集合C=1,2,3,4,6，則CD．若集合D=1,2,3,4,6,13,20,40，則D三、填空題12．（2425高一上·安徽·期中）若1,a,b?1a=0,13．（2425高一上·吉林長春·階段練習(xí)）若A=1,2,3，B={x|x=mn,m∈A,n∈A,m≠n}，則集合B的非空真子集的個數(shù)為14．（2324高一上·上海·期中）已知集合A=x|x2+5x?6=0,B=x|x2+2(m+1)x+四、解答題15．（2025高一·全國·專題練習(xí)）已知A=x∣x2(1)若A是B的子集，求實數(shù)a的值；(2)若B是A的子集，求實數(shù)a的取值范圍.16．（2526高一上·全國·單元測試）已知集合P=x∈Rx2(1)若b=4，存在集合M使得PMQ，求這樣的集合M；(2)若集合P是集合Q的一個子集，求b的取值范圍．17．（2425高一上·天津·階段練習(xí)）已知集合A=x(1)若A??，求實數(shù)a的取值集合.(2)若A的子集有兩個，求實數(shù)a的取值集合.(3)若1∈A且B?A，求實數(shù)b的取值集合.18．（2025高一上·全國·專題練習(xí)）已知集合A=x(1)若B?A，B={xm+1≤x≤2m?1,m為常數(shù)}，求實數(shù)m(2)若A?B，B={xm