專題01等差數(shù)列與等比數(shù)列01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。02盤·基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項分解，基礎(chǔ)不丟分?！局芙庾x01】數(shù)列的概念【知能解讀02】等差數(shù)列【知能解讀03】等比數(shù)列【重難點(diǎn)突破01】數(shù)列的單調(diào)性與最值問題【重難點(diǎn)突破02】等差數(shù)列前n項和最值問題【重難點(diǎn)突破03】等差數(shù)列含絕對值問題【重難點(diǎn)突破04】等差數(shù)列與等比數(shù)列新背景問題04辨·易混易錯：辨析易混易錯知識點(diǎn)，夯實基礎(chǔ)?！疽谆煲族e01】混淆數(shù)列與函數(shù)致錯【易混易錯03】忽視對公比q的討論致錯05點(diǎn)·方法技巧：點(diǎn)撥解題方法，練一題通一類【方法技巧01】由前幾項歸納數(shù)列通項的方法【方法技巧02】周期數(shù)列的解題方法【方法技巧03】求解等差數(shù)列基本量的策略【方法技巧04】等差數(shù)列的判斷與證明方法【方法技巧05】等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【方法技巧06】等差數(shù)列前n項和性質(zhì)的應(yīng)用【方法技巧07】求解等比數(shù)列基本量的策略【方法技巧08】等比數(shù)列判斷與證明的方法【方法技巧09】等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用理思維導(dǎo)吟知識點(diǎn)2等差數(shù)列盤基礎(chǔ)知識(1)數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.(2)數(shù)列的表示法：數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析式法.(3)數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列{a?}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表達(dá)，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.(4)數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列{a}的首項(或前幾項),且任一項an與它的前一項a??1(n≥2)(或前幾項)間的關(guān)系可用一個公式來表示，那么這個公式叫做數(shù)列的遞推公式.2、數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項遞增數(shù)列遞減數(shù)列遞減數(shù)列an+1<an關(guān)系分類常數(shù)列an+1=an有界數(shù)列存在正數(shù)M,使|a|≤M擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列周期數(shù)列對n∈N*,存在正整數(shù)常數(shù)k,使an+k=a間的大小數(shù)列{a}是從正整數(shù)集N°(或它的有限子集{1,2,…,n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n,對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an,記為an=fA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】遞增數(shù)列是指一個數(shù)列從第二項起，每一項都大于它的前一項，即a+1>a(n∈N*).若{a,}是擺動數(shù)列，可能有a?>a,但是{a}不是遞增數(shù)列，則僅a?>q不能推出{a}為遞增數(shù)列，但{a,}為遞增數(shù)列可以推出a>q.02等差數(shù)列(1)等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，定義表達(dá)式為an+1-a=d(n∈N°,d為常數(shù)).(2)等差中項：若三個數(shù)a,A,b組成等差數(shù)列，則A叫做a,b的等差中項.2、等差數(shù)列的有關(guān)公式3、等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：a=am+(n-m)d(n,m∈N?).(3)若{a,}的公差為d,則{a?n}也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若{bn}是等差數(shù)列，則{pa?+qbn}也是等差數(shù)列.4、等差數(shù)列前n項和的常用性質(zhì)(1)S?n=n(a?+a?n)=..(3)兩個等差數(shù)列{a},的前n項和S。,T,之間的關(guān)系為(4)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S?m-S2m,…構(gòu)成等差數(shù)列.A.-20B.-15C.-10【解析】設(shè)等差數(shù)列{a,}的公差為d,1、等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)等比數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示. (2)等比中項：如果三個數(shù)a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，其中G=±√ab.注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項.2、等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：若等比數(shù)列{a,}的首項為a?,公比是9,則其通項公式為an=aq”"?1;通項公式的推廣：a=amq”-".(2)等比數(shù)列的前n項和公式：當(dāng)q=1時3、等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即a,ak+m,ak+2m,.…仍是等比數(shù)列，公比為q”.推廣：a2=an-k·an+(n,k∈N",且n-k≥1)差數(shù)列.(5)若{a}是等比數(shù)列，Tk=a?a?a3…ak,則Tk,,…(k∈N)構(gòu)成公比為q2的等比數(shù)列.(2)對Vm,p∈N2,有Sm+p=Sm+q"S.【解析】(1)因為2S?=3a?+1-3,故2S??1=3an-3,重難點(diǎn)突破01數(shù)列的單調(diào)性與最值問題(1)將數(shù)列視為函數(shù)f(x)當(dāng)x∈N*時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)f(x)的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出f(x)的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大(小)項.(2)利用作差法或作商法判斷函數(shù)的單調(diào)性，再進(jìn)一步求出數(shù)列的最值(3)利用“兩邊夾”(n≥2)求數(shù)列中的最大項，利用求數(shù)列中的最小項.【注意】適用于單峰函數(shù)，若解不唯一時，比較各解(3)利用“兩邊夾”(n≥2)求數(shù)列中的最大項，利用求數(shù)列中的最小項.{a}的最值敘述正確的是()A.既有最大項也有最小項B.只有最大項沒有最小項C.沒有最大項只有最小項D.沒有最大項也沒有最小項【答案】AA.(14,16)B.(15,16)C.(15,16)D.(14,16)解得：n≤2或n≥4,因此可知：a?>a?>a?,a?>a?;又當(dāng)n=1,2,3時，a?<0,當(dāng)n=4,5時，a>0,所以{aa}在n=3時，取最小值：a?=-7.當(dāng)n≥6時，因為a?是{a,}中唯一的最小項，所解得14<a<16,且a>15,即15<a<16.故選B重難點(diǎn)突破02等差數(shù)列前n項和最值問題1、二次函數(shù)法：將配方.轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題，但要注意n∈N*,結(jié)合二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值，更加直觀.特別地，若a?>0,d>0,則S?是{Sn}的最小值；若a?<0,d<0,則S?【答案】18所以，數(shù)列{a,}是首項為10,公差為-4的等差數(shù)列，則數(shù)列{a}的前n項和為因n∈N,故當(dāng)n=3時，S取得最大值18.大值時n的值為【答案】6【解析】設(shè)等差數(shù)列{a,}的公差為d,所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為因為,所以數(shù)列單調(diào)遞減，所以,即d<0,所以等差數(shù)列{a}單調(diào)遞減.因為數(shù)列單調(diào)遞減，所以因為等差數(shù)列{a,}單調(diào)遞減，且a?a,<0,所以a?>0,a,<0,所以當(dāng)n=6時，S,取最大值.重難點(diǎn)突破03等差數(shù)列含絕對值問題第一步，解不等式an≥0(或an≤0)尋找{an}的正負(fù)項分界點(diǎn).第二步，求和：①若an各項均為正數(shù)(或均為負(fù)數(shù)),則{lanl}各項的和等于{an}的各項的和(或其相反數(shù));②若a?>0,d<0(或a?<0,d>0),這時數(shù)列{an}只有前面有限項為正數(shù)(或負(fù)數(shù)),可分段求和再相加.A.112B.48C.80【答案】CT??=la|+|a|+…+|a?|=a?+a?+a?+前20項之和為()A.80B.208C.680D.780【解析】因為a?=3a?→a?+3d=3(a+6d),即a?+3×2=3(a+6×2),解得a=-15,所以數(shù)列{a,}的前20項中，前8項為負(fù)數(shù)，后12項為正數(shù)，重難點(diǎn)突破03等差數(shù)列與等比數(shù)列新背景問題(積分可兌換禮品),第一天打卡得1積分，以后只要連續(xù)打卡，每天所得積分都會比前一天多2積分.若某天未打卡，則當(dāng)天沒有積分，且第二天打卡需從1積分重新開始.某會員參與打卡活動，若連續(xù)打卡5天，則共獲得積分為:若該會員從3月1日開始到3月20日，他共得193積分，中途有一天未打卡，則他未打卡的那天可以是3月日.【解析】對于空①,連續(xù)打卡5天的總積分連續(xù)打卡的積分規(guī)律為：第1天得1分，第2天得3分，第3天得5分，依此類推.這實際上是一個首項為1、公差為2的等差數(shù)列.前5天的總積分為：S?=1+3+5+7+9=25.對于空②,確定未打卡的日期若他連續(xù)打卡，則從打卡第1天開始，逐日所得積分依次成等差數(shù)列，且首項為1,公差為2,第n天所得積分為2n-1.假設(shè)他連續(xù)打卡n天，第n+1天中斷了，則他所得積分之和為：(1+3+…+2n-1)+[1+3+…+2,化簡得n2-19n+84=0,解得n=7或12,所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日.故答案為：25;8或13【典例2】(24-25高三上·江蘇·月考)某校100名學(xué)生軍訓(xùn)時進(jìn)行隊列訓(xùn)練，規(guī)則如下：從左到右按照序號1至100排列，進(jìn)行1至2報數(shù)，報到2的同學(xué)向前一步；把向前走一步的50位同學(xué)從左到右按照序號1至50排列，進(jìn)行1至2報數(shù)，報到2的同學(xué)向前一步；把向前走一步的25位同學(xué)從左到右按照序號1至25排列，進(jìn)行1至2報數(shù)，報到2的同學(xué)向前一步；依次類推，直到剩下一位同學(xué)為止.問走到最前面的同學(xué)第一次的序號是號，如果這位同學(xué)把每次的序號記住，則這位同學(xué)的所有序號之和【解析】依題意，第一次報數(shù)后向前一步的原編號為2n,n∈N*,n≤50,n為第二次報數(shù)時的新編號，第二次報數(shù)后向前一步的原編號為2n?,n?∈N*,n≤25,n?為第三次報數(shù)時的新編號，第三次報數(shù)后向前一步的原編號為2n,n?∈N,n≤12,n?為第四次報數(shù)時的新編號，第四次報數(shù)后向前一步的原編號為2n?,n?∈N°,n≤6,n?為第五次報數(shù)時的新編號，第五次報數(shù)后向前一步的原編號為2n,n?∈N°,n?≤3,n?為第六次報數(shù)時的新編號，顯然第六次報數(shù)時向前一步的編號為2,因此走到最前面的同學(xué)各次編號按報數(shù)由后向前排列為2,22,23,2?,2?,2?,所以走到最前面的同學(xué)第一次的序號是64;這位同學(xué)的所有序號之和為易混易錯01混淆數(shù)列與函數(shù)致錯辨析：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在求解數(shù)列問題時有時可以利用函數(shù)的性質(zhì)，但是在利用函數(shù)單調(diào)性求解數(shù)列問題，要注意n的取值不是連續(xù)實數(shù)，忽略這一點(diǎn)很容易出錯.“{a,}是遞增數(shù)列”的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件【解析】{a}為遞增數(shù)列?Vn∈N,a+1>a?Vn∈N,f(n+1)>f(n)?Vn∈N,(n+1)2-b(n+1)+1>n2-bn+1?Vn∈N,【典例2】(24-25高三上·四川成都·月考)若數(shù)列A.S,既無最大值，又無最小值B.當(dāng)且僅當(dāng)n=【解析】因為數(shù)列均為遞增數(shù)列，所以，數(shù)列{a}為遞增數(shù)列，S,無最大值，但有最小值，且最小值為S?、S?,即S?=S?.易混易錯02對等比數(shù)列“中項”理解錯誤致錯辨析：若a,b,c成等比數(shù)列，則b為a和C的等比中項.由定義可知只有同號的兩數(shù)才有等比中項，在解題時務(wù)必要注意此點(diǎn).【典例1】(2025-湖北·模擬預(yù)測)1與2025的等比中項為【答案】±45.【解析】設(shè)1與2025的等比中項為為x,所以x2=1×2025,所以x=±45.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件【答案】C當(dāng)a?=2時，得aa=a2=4,所以a9=4,故充分性成立；又a,as,a?同號，所以a?=2,故必要性成立.易混易錯03忽視對公比q的討論致錯辨析：注意等比數(shù)列的求和公式是分段表示的：,所以在利用等比數(shù)列求和公式求和時要先判斷公比是否可能為1,若公比未知，則要注意分兩種情況q=1和q≠1討論.【答案】2【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為9,【典例2】(2025·全國一卷·高考真題)若一個等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且前4項的和等于4,前8項的和等于68,則這個數(shù)列的公比等于_【答案】2則1+q?=17,所以q=2,=a?+a?+a?+a?+a?q?+a?q?+a?q?+a?q?=(a+a?+a?+所以4(1+q?)=68,則1+q?=17,所以q=2,所以,所以q=2,方法技巧01由前幾項歸納數(shù)列通項的方法【典例1】(2024-貴州黔南·二模)n∈N,數(shù)列1,-3,7,-15,31,…的一個通項公式為()A.a?=(2”-1)cosnπC.an=2”-1【答案】5n-4/-4+5n方法技巧02周期數(shù)列的解題方法(3)相鄰兩項的遞推關(guān)系，等式中一側(cè)含有分式，又較難變形構(gòu)造出特殊數(shù)列.2、解決此類題目的一般方法：根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求有關(guān)項的值或者前n項的和.【典例1】(2025-湖北·二模)若數(shù)列{a,}滿足a?=2,則該數(shù)列的前2025項的乘積A.-2B.-1C.2【答案】C【解析】因為數(shù)列{a,}滿足a?=2,,所以同理可得…,所以數(shù)列{an}的周期為4,即an+4=an,且a·a?·a?·a?=1,而2025=506×4+1,所以該數(shù)列的前2025項的乘積是a·a?·a?·a4·…·2025=15?×a?=2.故選：C.【答案】3【解析】因為正整數(shù)數(shù)列{a}滿足an+2a?+1·a?=10(n≥1)①,a?=5,由題意得a?+1·a?+2·a?+3=10②,①÷②得，an+3=a?,即數(shù)列{a}是周期為3的周期數(shù)列，所以a2023+a2025=a+a?=1+2=3.方法技巧03求解等差數(shù)列基本量的策略1、等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a?,an,d,n,Sn,知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了方程思想.2、數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用，而a?和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法.【典例1】(25-26高三上·江西·開學(xué)考試)記S,為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S?=30,S?=112,則S?=A.59B.61C.63,化簡為a+d=10,,化簡為4+3d=16,A.a?B.a?+a?+a?3C.S?+S?1對于D,,則,D不是；對于C,S?+S??=a?+21a+210d=22(a?+5d)+100d=22+100d方法技巧04等差數(shù)列判斷與證明的方法2、定義變形法:驗證是否滿足+1—aル=a,—a1(n≥2,n∈N)5、前n項和公式法：S?=pn2+qn(p,9為常數(shù))?{a}為等差數(shù)列.注意：(1)若判斷一個數(shù)列不是等差數(shù)列，只需找出三項an,an+1,an+2,使得2an+1≠an+an+2即可；(2)如果要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項法.“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的()C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】若Vn∈N?,2an+1=an+an+2,則an+1-an=an+2-an?+1,所以數(shù)列{a}為等差數(shù)列，故充分性成立；若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則an+1—an=an+2—am+(Vn∈N"),即Vn∈N?,2a?+1=a?+an+2,故必要性成立；n∈N),設(shè)b=log?an.(3)求{b?}的通項公式.并求其前n項和S?.【解析】(1)由a?=1,2a2-an-?an-6a2-1=0,當(dāng)n=3時，2a2-a?a?-6a2=0,∴b?=log?a?=log?1=0,b?=log(2)數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，理由如下：∵an>0,∴a?-2an?1=0,又a?=1≠0當(dāng)n≥2時，又b?=0,∴是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列.(3)由(2)可知，b=0+(n-1)×1=n-1,方法技巧05等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用A.72B.108C.120a?+a?+a?=21,則S?=()A.32B.64【解析】在等差數(shù)列{a}中，2a5=a?+a=18,則a=9;3a?=a?+a?+a?=21,則a?=7,方法技巧06等差數(shù)列前n項和性質(zhì)的應(yīng)用1、等差數(shù)列的依次k項之和，Sk,S?k—Sk,S?—S?k,…組成公差為k2d的等差數(shù)列.2、數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=an2+bn(a,b為常數(shù))?數(shù)列為等差數(shù)列.【典例1】(2025-湖北黃岡·模擬預(yù)測)設(shè)等差數(shù)列{a?}的前n項和為S?,若Sm=-3,Sm+1=0,Sm+2=4,則m=()【答案】C【解析】方法一：由題意得：am+1=Sm+1-Sm=3,am+2=Sm+2-Sm+1=4,則等差數(shù)列的公差d=am+2-am+1=1,則a=3-m,,所以m=6.則,得,解得m=6.故選C【解析】因為數(shù)列{a}和{b?}均為等差數(shù)列，1、方程的思想：等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式中聯(lián)系著五.個量：a?,q,n,an,Sn,已知其中三個量，可以通過解方程(組)求出另外兩個量；其中基本量是a1與q,在解題中根據(jù)已知條件建立關(guān)于a?與q的方程或者方程組，是解題的關(guān)鍵.2、分類討論思想：在應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時，必須分類求和，當(dāng)q=1時，S?=na?;當(dāng)q≠1時，;在判斷等比數(shù).列單調(diào)性時，也必須對a?與q分類討論.【典例1】(2025·安徽·模擬預(yù)測)記S,為數(shù)列{a,}的前n項和，若為等比數(shù)列，則A.64B.32C.16【答案】A【解析】為等比數(shù)列，的首項為a,顯然當(dāng)n=1時也符合，故選：A.【典例2】(24-25高三下·河南·月考)記等比數(shù)列{an}的前n項和為S,且a?+a?=a?,則A.-2