專題04立體幾何非建系綜合大題培優(yōu)歸類如果兩個(gè)平面相交，則滿足以下性質(zhì)：2.由于兩平面有一個(gè)公共點(diǎn)A,再找一個(gè)公共點(diǎn)即可確定交線3.一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行，在平面內(nèi)，過兩平面的公共點(diǎn)作直線與已知直線平行，則此直線即為兩平面的交線1.如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC=60°,AD=2AB=4,E為AD的中點(diǎn)，以EC為折痕將△CDE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PB=√10,F,G分別為BC,PE的中點(diǎn).(2)若平面PAB與平面PEF的交線為1,求直線l與平面PBC所成角的正弦值.【分析】(1)連接BE,交AF于H,并連接HG,易得ABFE為正方形，進(jìn)而知HG為中位線，則(2)若K為CE中點(diǎn)，連接PK,FK,由線面、面面垂直的判定可證面PKF⊥面ABCD,從而P在面ABCD上的射影0在直線FK上，過P作直線1/IEF則有直線l為面PAB與面PEF的交線，故EF與面PCF所成角θ即為所求角，再根據(jù)已知、等體積法求E到面PCF的距離，即可求角的正弦值.連接BE,交AF于H,并連接HG,由E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，而AD=2AB=4,故ABFE所以H為BE的中點(diǎn)，又G是PE的中點(diǎn)，若K為CE中點(diǎn)，連接PK,FK,則PK⊥CE,FKICE,所以P在面ABCD上的射影O在直線FK上，llPGAKC而AB/IEF,則ABIII,故直線l為面PAB與面PEF的交線，所以直線l與平面PBC所成角，即為EF與面PCF所成角θ,所以故,PF=√3,若E到面PCF的距離為h,且V-c=Vc-PK=+VE-RKF,即所以6S,?=CES,mm,綜上，,貝!【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，首先確定P在面ABCD上的射影O位置，結(jié)合平面的基本性質(zhì)找到直線1,并將問題轉(zhuǎn)化為求EF與面PCF所成角的正弦值.,CE=2,2.如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，∠BAC=90°,A(1)設(shè)平面A(1)設(shè)平面A?BC?與平面ABC的交線為1,判斷1與AC的位置關(guān)系，并證明；(3)若A?C與平面BCC?B?所成的角為30°,求三棱錐A?-ABC內(nèi)切球的表面積S.【答案】(1)1//AC,證明見解析【分析】(1)由平面A?B?C?//平面ABC可得A?C?//平面ABC,從而根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可得證；(2)連接AC?,根據(jù)已知可得A?C⊥平面ABC?,從而即可證明A?C⊥BC?;(3)由題意，首先求出棱錐中各條棱的長度，然后利用等體積法計(jì)算三棱錐內(nèi)切球的半徑，最后計(jì)算其表面積即可得答案.【詳解】(1)解：判斷1//AC.證明如下：∵ABC-A?B?C?為直三棱柱，∴平面A?B?C?//平面ABC,∵A?C?c平面A?B?C?,∴AC?//平面ABC,又平面A?BC?∩平面ABC=1,A?C?c平面A,BC?,AB?(2)證明：連接AC?,ABC∵AC?∩AB=A,AC?c平面ABC?,ABc平面ABC?,∴A?C⊥平B.DB設(shè)三棱錐A?-ABC內(nèi)切球的半徑為r,球心為0,連接OA,OB,OC,OA?,即3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，CD//AB,∠ABC=90,AB=2BC=2CD,側(cè)面PAD1平面ABCD.(2)設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為1,PA、PB的中點(diǎn)分【分析】(1)由題設(shè)可得【分析】(1)由題設(shè)可得AD⊥BD,再由面面垂直的性質(zhì)可得BD⊥面PAD,最后根據(jù)線面垂直性質(zhì)證結(jié)論.(2)延長AD,BC交于G,連接PG即為1,由中位線性質(zhì)有EFCD為平行四邊形，再根據(jù)相似比、線面平行的判定證結(jié)論.(1)由底面ABCD為直角梯形，CD//AB,∠ABC=90且BC=CD,所以△BCD為等腰直角梯形，且∠DBC=45°,故∠DBA=45°,又面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,BD所以BD⊥面PAD,而PAc面PAD,故BD⊥PA.(2)延長AD,BC交于G,連接PG即為面PAD與面PBC交線1,PFBG題型2非建系：探索性線面平行平行的常用構(gòu)造方法③比例線段法.注意：平行構(gòu)造主要用于：①異面直線求夾角；②平行關(guān)系的判1.(24-25高三·江西·階段練習(xí))如圖1,已知等邊三角形ABC的邊長為6,E,F分別是AB,AC上的點(diǎn)，且AE=CF=2,將△AEF沿EF折起到△A'EF的位置，得到如圖2所示的四棱錐A'-CBEF.CC(1)證明：EF⊥A'B.(2)在棱A'C上是否存在點(diǎn)P滿足PFI/平面A'BE?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說出理由.(3)已知二面角A'-EF-B的大小是點(diǎn)M在四邊形CBEF內(nèi)(包括邊界),且A'M=√7,當(dāng)直線【分析】(1)利用余弦定理求出EF,利用勾股定理證明線線垂直，再結(jié)合線面垂直的判定定理即可證(3)根據(jù)二面角、線面角的定義，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得點(diǎn)M在以G為圓心，2為半徑的圓上，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】(1)在△AEF中，AE=2,E.PBE∩A'E=E,BE,A'Ec面A'BE所以EF⊥平面A'BE,因?yàn)锳'Bc平面A'BE,所以EF⊥A'B.(2)假設(shè)在棱A'C上存在點(diǎn)P滿足PF//平面ABE,如圖3,FC又因?yàn)槠矫鍭'BC∩平面A'BE=A'B,平面A'BC∩平面PFH=PH,3GBFPHCH如圖4,過點(diǎn)A'作A'G⊥BE,垂足為G,求得A'G=√3.由(1)可知EF⊥平面A'BE,所以平面EFCB⊥平面A'BE,因?yàn)锳'M=√7,可得GM=2,所以點(diǎn)M在以G為圓心，2為半徑的圓上.(1)證明：PB//平面AEC;存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析【答案】(1)證明見解析【分析】(1)連BD交AC于0,證EO//PB即可證明PB//平面AEC.(2)先明確線段PC上存在一點(diǎn)G為線段PC的中點(diǎn)，再通過證明EG//AF且EG=AF得FG//AE,進(jìn)而得FG//平面AEC即可得解.【詳解】(1)證明：連BD交AC于0,因?yàn)镋為PD中點(diǎn)，所以EO//PB,又因?yàn)镋Oc平面AEC,PB女平面AEC,PADGF.FOBkBL(2)線段PC上存在一點(diǎn)G為線段PC的中點(diǎn)，使得FG//平面AEC,連接FG,EG,由于E,G為PD,PC中點(diǎn)，,即EG//AF且EG=AF,所以四邊形AEGF為平行四邊形，所以FG//AE,又FG女平面AEC,AEc平面AEC,所以FG//平面AEC.直于底面，E是AB的中點(diǎn).(2)設(shè)AC與BD交于0點(diǎn)，是否存在PC上一點(diǎn)F,使得平面EOFI/平面PAD,若存在請(qǐng)指出F點(diǎn)的位置，并說明理由.【答案】(1)見解析【答案】(1)見解析【分析】(1)由題意知證得PA⊥CD,AD⊥CD,由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD,再由線面垂直的性質(zhì)定理可得CD⊥PD.(2)假設(shè)(2)假設(shè)F為PC的中點(diǎn)，由線面平行的判定定理證得FO//平面PAD,EO//平面PAD,再由面面平行【詳解】(1)因?yàn)閭?cè)棱PA⊥平面ABCD,CDc平面ABCD,FAC所以CD⊥平面PAD,PDc平面PAD,所以CD⊥PD.(2)假設(shè)F為PC的中點(diǎn)，連接FO,所以FO?平面PAD,PAc平面PAD,所以FO//平面PAD,所以EO女平面PAD,ADc平面PAD,所以EO//平面PAD,EOnFO=0,所以平面EOF//平題型3非建系：探索性面面平行證明平行(2)線面平行：設(shè)直線1的方向向量為v,平面α的法向量為u,則1//a或Ica?v⊥u.【詳解】(1)證明：取PD的中點(diǎn)0,連接AO,OE.PEO平面PAD,∴EF//平面PAD.PEO(2)解：取CD中點(diǎn)為V,連接VF,VE,當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到V時(shí)，此時(shí)FG的最大值，最大值為2.(2)點(diǎn)G為底面四邊形內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)(包括邊界),且平面GEF//平面ADP,求FG的最大值.PPoI【詳解】(1)D證明：取PD的中點(diǎn)0,連接AO,OE.(2)取CD中點(diǎn)為V,連接VF在△PCD中，V,E分別為CD,PC的中點(diǎn)，∴VE/IPD因?yàn)辄c(diǎn)G為底面四邊形內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)(包括邊界),且平面GEF//平面ADP,VCCEEPo【分析】(1)根據(jù)計(jì)算可得；(2)當(dāng)P為DD?的中點(diǎn)時(shí)滿足平面PA?C//平面EBD,設(shè)AC∩BD=0,連接OE,即可證明OEIIA?C、【詳解】(1)在直四棱柱ABCD-AB?C?D?中，底面ABCD為正方形，所以AA?⊥平面ABCD,因?yàn)锳BCD為正方形，所以0為AC的中點(diǎn)所以所以O(shè)EIIA?C,又OEα平面PA?C,A?Cc平面PA?C,所以O(shè)E//平面PA?C,又P為DD?的中點(diǎn)，所以DPIIA?E且DP=A?E,所以DPA?E為平行四邊形，所以DE/IA?P,又DEa平面PA?C,A?Pc平面PA?C,所以DE//平面PA?C,AB?P又DE∩OE=E,DE,OEC平面BDE,所以平面PA?C//平面EBD.EABD?CD題型4非建系：探索性線面垂直垂直的常見構(gòu)造：①等腰三角形三線合一法；②勾股定理法；③投影法.④菱形的對(duì)角線互相垂直1.(24-25高三·北京·階段練習(xí))如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC(1)求證：AF//平面SEC;(3)在棱SB上是否存在一點(diǎn)M,使得BD⊥平面MAC?若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)見解析(2)見解析(3)存在，【分析】(1)取SC的中點(diǎn)G,連接FG,EG,證明四邊形AFGE是平行四邊形，則AF//EG,再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；(2)先證明AD⊥平面SEC,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；(3)假設(shè)在棱SB上存在點(diǎn)M,使得BD⊥平面MAC,連接MO,BE,由面面垂直的性質(zhì)可得SE⊥平面ABCD,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得BD⊥OM,SE⊥BE,再分別求出SB,BM即可得出答案.【詳解】(1)證明：如圖，取SC的中點(diǎn)G,連接FG,EG,∵F,G分別是SB,SC的中點(diǎn)，∴FG//BC,(2