2025年北京西城44中數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．礦山爆破時(shí)，在爆破點(diǎn)處炸開的礦石的運(yùn)動(dòng)軌跡可看作是不同的拋物線，根據(jù)地質(zhì)、炸藥等因素可以算出這些拋物線的范圍，這個(gè)范圍的邊界可以看作一條拋物線，叫“安全拋物線”，如圖所示．已知某次礦山爆破時(shí)的安全拋物線的焦點(diǎn)為，則這次爆破時(shí)，礦石落點(diǎn)的最遠(yuǎn)處到點(diǎn)的距離為（）A. B.2C. D.2．函數(shù)的圖象的大致形狀是（）A. B.C. D.3．若數(shù)列的前項(xiàng)和，則此數(shù)列是（）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列C.等差數(shù)列或等比數(shù)列 D.以上說法均不對(duì)4．已知點(diǎn)，若直線與線段沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.5．若，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C. D.6．已知雙曲線，過其右焦點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，延長(zhǎng)交另一條漸近線于點(diǎn)A.已知為原點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.7．雙曲線的漸近線方程為A. B.C. D.8．執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的S的值為（）A. B.0C.1 D.29．已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則的解集為（）A. B.C. D.10．已知一個(gè)乒乓球從米高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度是原來高度的倍，則當(dāng)它第8次著地時(shí)，經(jīng)過的總路程是（）A. B.C. D.11．如圖所示，已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，在軸上，，且是的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)到直線的距離為3，則橢圓的方程為（）A B.C. D.12．已知數(shù)列是等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（）A.54 B.71C.81 D.80二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則，兩點(diǎn)的最短距離為________14．?dāng)?shù)據(jù)6，8，9，10，7的方差為______15．已知函數(shù)是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)且為定義域上的單調(diào)遞減函數(shù)，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)的解析式___________16．已知正數(shù)滿足，則的最小值是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為讓“雙減”工作落實(shí)到位，某中學(xué)積極響應(yīng)上級(jí)號(hào)召，全面推進(jìn)中小學(xué)生課后延時(shí)服務(wù)，推行課后服務(wù)“”模式，開展了內(nèi)容豐富、形式多樣、有利于學(xué)生身心成長(zhǎng)的活動(dòng).該中學(xué)初一共有700名學(xué)生其中男生400名、女生300名.為讓課后服務(wù)更受歡迎，該校準(zhǔn)備推行體育類與藝術(shù)類兩大類活動(dòng)于2021年9月在初一學(xué)生中進(jìn)行了問卷調(diào)查.（1）調(diào)查結(jié)果顯示：有的男學(xué)生和的女學(xué)生愿意參加體育類活動(dòng)，其他男學(xué)生與女學(xué)生都不愿意參加體育類活動(dòng)，請(qǐng)完成下邊列聯(lián)表.并判斷是否有的把握認(rèn)為愿意參加體育類活動(dòng)與學(xué)生的性別相關(guān)？愿意參加體育活動(dòng)情況性別愿意參加體育類活動(dòng)不愿意參加體育類活動(dòng)合計(jì)男學(xué)生女學(xué)生合計(jì)（2）在開展了兩個(gè)月活動(dòng)課后，為了了解學(xué)生的活動(dòng)課情況，在初一年級(jí)學(xué)生中按男女比例分層抽取7名學(xué)生調(diào)查情況，并從這7名學(xué)生中隨機(jī)選擇3名學(xué)生進(jìn)行展示，用X表示選出進(jìn)行展示的3名學(xué)生中女學(xué)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635參考公式：，其中.18．（12分）已知拋物線上的點(diǎn)P（3，c）），到焦點(diǎn)F的距離為6（1）求拋物線C的方程；（2）過點(diǎn)Q（2，1）和焦點(diǎn)F作直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，求△PAB的面積19．（12分）有時(shí)候一些東西吃起來口味越好，對(duì)我們的身體越有害.下表給出了不同品牌的一些食品所含熱量的百分比記為和一些美食家以百分制給出的對(duì)此種食品口味的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)記為：食品品牌12345678910所含熱量的百分比25342019262019241914百分制口味評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)88898078757165626052參考數(shù)據(jù)：，，，參考公式：，（1）已知這些品牌食品的所含熱量的百分比與美食家以百分制給出的對(duì)此種食品口味的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)具有相關(guān)關(guān)系.試求出回歸方程（最后結(jié)果精確到）；（2）某人只能接受食品所含熱量百分比為及以下的食品.現(xiàn)在他想從這些食品中隨機(jī)選取兩種購(gòu)買，求他所選取的兩種食品至少有一種是美食家以百分制給出的對(duì)此種食品口味的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)為分以上的概率.20．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）當(dāng)為何值時(shí)，最大，并求的最大值.21．（12分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求.22．（10分）在中，是的中點(diǎn)，，現(xiàn)將該平行四邊形沿對(duì)角線折成直二面角，如圖：（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)給定條件求出拋物線的頂點(diǎn)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)求出p值即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，p>0，解得，于是得拋物線的方程為，由得，，即拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因此，，所以礦石落點(diǎn)的最遠(yuǎn)處到點(diǎn)的距離為.故選：D2、B【解析】對(duì)A，根據(jù)當(dāng)時(shí)，的值即可判斷；對(duì)B，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性即可判斷；對(duì)C，根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可判斷；對(duì)D，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，的定義域?yàn)?，且，故為奇函?shù)；，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即，又，，故存在，故在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)C，為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，函數(shù)在上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤.故選：B.3、D【解析】利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系和等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，為非等差數(shù)列，非等比數(shù)列’當(dāng)時(shí)，，所以是等比數(shù)列，故選：D4、A【解析】分別求出，即可得到答案.【詳解】直線經(jīng)過定點(diǎn).因?yàn)椋?所以要使直線與線段沒有公共點(diǎn)，只需：，即.所以的取值范圍是.故選：A5、B【解析】由得出，再利用不等式的基本性質(zhì)和基本不等式來判斷各選項(xiàng)中不等式的正誤.【詳解】，，，，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，則等號(hào)不成立，所以，C選項(xiàng)正確；，，D選項(xiàng)正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查不等式正誤的判斷，涉及不等式的基本性質(zhì)和基本不等式，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】畫出圖象，結(jié)合漸近線方程得到，，進(jìn)而得到，結(jié)合漸近線的斜率及角度關(guān)系，列出方程，求出，從而求出.【詳解】漸近線為，如圖，過點(diǎn)F作FB垂直于點(diǎn)B，交于點(diǎn)A，則到漸近線距離為，則，又，由勾股定理得：，則，又，，所以，解得：，所以.故選：C7、A【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程知，，故選A.8、A【解析】直接求出的值即可.【詳解】解：由題得，程序框圖就是求，由于三角函數(shù)的最小正周期為，，，所以.故選：A9、A【解析】令，利用導(dǎo)數(shù)可判斷其單調(diào)性，從而可解不等式.【詳解】設(shè)，則，故為上的增函數(shù)，而可化為即，故即，所以不等式的解集為，故選：A.10、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】從第1次著地到第2次著地經(jīng)過的路程為，第2次著地到第3次著地經(jīng)過的路程為，組成以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以第1次著地到第8次著地經(jīng)過的路程為，所以經(jīng)過的總路程是.故答案為：C.11、D【解析】由題設(shè)可得，直線的方程為，點(diǎn)線距離公式表示到直線的距離，又聯(lián)立解得即可得出答案.【詳解】且，則△是等邊三角形，設(shè)，則①，∴直線方程為，即，∴到直線的距離為②，又③，聯(lián)立①②③，解得，，故橢圓方程為.故選：D.12、C【解析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】∵是等差數(shù)列，，∴，得，∴.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】線段最短，就是說的距離最小，此時(shí)直線和直線垂直，可先求的斜率，再求直線的方程，然后與直線聯(lián)立求交點(diǎn)即可【詳解】定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段最短時(shí)，就是直線和直線垂直，的方程為：，它與聯(lián)立解得，所以的坐標(biāo)是，所以，故答案為：14、2【解析】首先求出數(shù)據(jù)的平均值，再應(yīng)用方差公式求它們的方差.【詳解】由題設(shè)，平均值為，∴方差.故答案為：2.15、（答案不唯一）【解析】由題意可得0，結(jié)合在定義域上為減函數(shù)可取.【詳解】因?yàn)樵诙x域?yàn)閱握{(diào)增函數(shù)所以在定義域上0，又因?yàn)樵诙x域上為減函數(shù)，且大于等于0.所以可取()，()，滿足條件所以可為().故答案為：（答案不唯一）.16、8【解析】利用“1”代換，結(jié)合基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值8.故答案為：8.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）根據(jù)初一男生數(shù)和女生數(shù)，結(jié)合有的男學(xué)生和的女學(xué)生，愿意參加體育類活動(dòng)求解；計(jì)算的值，再與臨界值表對(duì)照下結(jié)論；（2）根據(jù)這7名學(xué)生中男生有4名，女生有3名，隨機(jī)選擇3名由抽到女學(xué)生的人數(shù)X可能為0,1,2,3，分別求得其概率，列出分布列，再求期望.【小問1詳解】解：因?yàn)槌跻还灿?00名學(xué)生其中男生400名、女生300名，且有的男學(xué)生和的女學(xué)生，所以愿意參加體育類活動(dòng)的男生有300名，女生有200名，則列聯(lián)表如下：愿意參加體育活動(dòng)情況性別愿意參加體育類活動(dòng)不愿意參加體育類活動(dòng)合計(jì)男學(xué)生300100400女學(xué)生200100300合計(jì)500200700，所以有的把握認(rèn)為愿意參加體育類活動(dòng)與學(xué)生的性別相關(guān)；【小問2詳解】這7名學(xué)生中男生有4名，女生有3名，隨機(jī)選擇3名學(xué)生進(jìn)行展示，抽到女學(xué)生的人數(shù)X可能為0,1,2,3，所以，,所以隨機(jī)變量X分布列如下：X0123p18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線的焦半徑公式求得，即可得到拋物線方程；（2）寫出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，進(jìn)而求得弦長(zhǎng)|AB|,再求出點(diǎn)P到直線的距離，即可求得答案.【小問1詳解】由拋物線的焦半徑公式可知：，即得，故拋物線方程為：；【小問2詳解】點(diǎn)Q（2，1）和焦點(diǎn)作直線l，則l方程為，即，聯(lián)立拋物線方程：，整理得，設(shè)，則，故，點(diǎn)P（3，c）在拋物線上，則，點(diǎn)P到直線l的距離為，故△PAB的面積為.19、（1）（2）【解析】（1）首先求出、、，即可求出，從而求出回歸直線方程；（2）由表可知某人只能接受的食品共有種，評(píng)價(jià)為分以上的有種可記為，，另外種記為，，，，用列舉法列出所有的可能結(jié)果，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；【小問1詳解】解：設(shè)所求的回歸方程為，由，，，，所求的回歸方程為：.【小問2詳解】解：由表可知某人只能接受的食品共有種，其中美食家以百分制給出的對(duì)此種食品口味的評(píng)價(jià)為分以上的有種可記為，，另外種記為，，，.任選兩種分別為：，，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)基本事件.記“所選取的兩種食品至少有一種是美食家以百分制給出的對(duì)此食品口味的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)為分以上”為事件，則事件包含，，，，，，，，共個(gè)基本事件，故事件發(fā)生的概率為.20、（1）（2）n為6或7；126【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（2）由，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?所以，解得，所以；【小問2詳解】，當(dāng)或7時(shí)，最大，的最大值是126.21、（1）（2）【解析】（1）設(shè)的公比為，根據(jù)題意求得的值，即可求得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得，得到，利用等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)的公比為，因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)椋獾?，所以的通?xiàng)公式為.【小問2詳解】解：由，可得，則，所以.22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先求出BD，通