專題12探索性問題一、選擇題1.（2017浙江衢州第7題）下列四種基本尺規(guī)作圖分別表示：①作一個(gè)角等于已知角；②作一個(gè)角的平分線；③作一條線段的垂直平分線；④過直線外一點(diǎn)P作已知直線的垂線，則對應(yīng)選項(xiàng)中作法錯(cuò)誤的是（）A．① B．② C．③ D．④2.（2017浙江衢州第10題）運(yùn)用圖形變化的方法研究下列問題：如圖，AB是⊙O的直徑，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8。則圖中陰影部分的面積是（）A.B.C.D.3.（2017山東德州第9題）公式表示當(dāng)重力為P時(shí)的物體作用在彈簧上時(shí)彈簧的長度.表示彈簧的初始長度,用厘米(cm)表示，K表示單位重力物體作用在彈簧上時(shí)彈簧的長度，用厘米(cm)表示。下面給出的四個(gè)公式中，表明這是一個(gè)短而硬的彈簧的是（）A．L=10+0.5PB．L=10+5PC．L=80+0.5PD．L=80+5P4.（2017山東德州第12題）觀察下列圖形，它是把一個(gè)三角形分別連接這個(gè)三角形的中點(diǎn)，構(gòu)成4個(gè)小三角形，挖去中間的小三角形（如題1）；對剩下的三角形再分別重復(fù)以上做法，……，將這種做法繼續(xù)下去（如圖2，圖3……），則圖6中挖去三角形的個(gè)數(shù)為（）A．121B．362C．364D．7295.（2017浙江寧波第12題）一個(gè)大矩形按如圖方式分割成九個(gè)小矩形，且只有標(biāo)號為①和②的兩個(gè)小矩形為正方形，在滿足條件的所有分割中，若知道九個(gè)小矩形中個(gè)小矩形的周長，就一定能算出這個(gè)大矩形的面積，則的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.66.（2017重慶A卷第10題）下列圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)菱形，第②個(gè)圖形中一共有7個(gè)菱形，第③個(gè)圖形中一共有13個(gè)菱形，…，按此規(guī)律排列下去，第⑨個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為（）A．73 B．81 C．91 D．1097.（2017廣西貴港第11題）如圖，在中，，將繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，若，則線段的最大值是（）A．B．C.D．8.（2017湖北武漢第10題）如圖，在中，，以的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)在的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為（）A．4B．5C．6D．79.（2017貴州黔東南州第10題）我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約13世紀(jì)）所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖的三角形解釋二項(xiàng)和（a+b）n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”．學(xué)*科網(wǎng)根據(jù)“楊輝三角”請計(jì)算（a+b）20的展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)為（）A．2017 B．2016 C．191 D．19010.（2017四川瀘州第12題）已知拋物線y=x2+1具有如下性質(zhì)：該拋物線上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)F（0，2）的距離與到x軸的距離始終相等，如圖，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，3），P是拋物線y=x2+1上一個(gè)動點(diǎn)，則△PMF周長的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．611.（2017四川自貢第11題）填在下面各正方形中四個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)這種規(guī)律m的值為（）A．180 B．182 C．184 D．186二、填空題1.（2017浙江衢州第14題）如圖，從邊長為（a+3）的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長為3的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)如圖所示的長方形（不重疊無縫隙），則拼成的長方形的另一邊長是．2.（2017浙江衢州第15題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的圓心A的坐標(biāo)為（-1，0），半徑為1，點(diǎn)P為直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙A的切線，切點(diǎn)為Q，則切線長PQ的最小值是__________3．（2017浙江衢州第16題）如圖，正△ABO的邊長為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A在軸上，B在第二象限?！鰽BO沿軸正方向作無滑動的翻滾，經(jīng)第一次翻滾后得△A1B1O，則翻滾3次后點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是__________；翻滾2017次后AB中點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長為__________4.（2017浙江寧波第15題）如圖，用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：則第⑦個(gè)圖案有個(gè)黑色棋子．5.（2017浙江寧波第17題）已知的三個(gè)頂點(diǎn)為，，，將向右平移個(gè)單位后，某一邊的中點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為 .6.（2017甘肅慶陽第18題）下列圖形都是由完全相同的小梯形按一定規(guī)律組成的．如果第1個(gè)圖形的周長為5，那么第2個(gè)圖形的周長為，第2017個(gè)圖形的周長為．7.（2017貴州安順第18題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=x+2交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)A1，點(diǎn)A2，A3，…在直線l上，點(diǎn)B1，B2，B3，…在x軸的正半軸上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均為等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)都在x軸上，則第n個(gè)等腰直角三角形AnBn﹣1Bn頂點(diǎn)Bn的橫坐標(biāo)為．8.（2017貴州安順第17題）如圖所示，正方形ABCD的邊長為6，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為．9.（2017湖南懷化第16題）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn)，若以為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則，(，兩點(diǎn)不重合)兩點(diǎn)間的最短距離為 cm.10.（2017甘肅蘭州第20題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，動點(diǎn)在直線上運(yùn)動，以點(diǎn)為圓心，長為半徑的隨點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)與四邊形的邊相切時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為 .11.（2017貴州黔東南州第16題）把多塊大小不同的30°直角三角板如圖所示，擺放在平面直角坐標(biāo)系中，第一塊三角板AOB的一條直角邊與y軸重合且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），∠ABO=30°；第二塊三角板的斜邊BB1與第一塊三角板的斜邊AB垂直且交y軸于點(diǎn)B1；第三塊三角板的斜邊B1B2與第二塊三角板的斜邊BB1垂直且交x軸于點(diǎn)B2；第四塊三角板的斜邊B2B3與第三塊三角板的斜邊B1B2C垂直且交y軸于點(diǎn)B3；…按此規(guī)律繼續(xù)下去，則點(diǎn)B2017的坐標(biāo)為．12.（2017江蘇徐州第18題）如圖，已知，以為直角邊作等腰直角三角形.再以為直角邊作等腰直角三角形，如此下去，則線段的長度為．13.（2017浙江嘉興第15題）如圖，把個(gè)邊長為1的正方形拼接成一排，求得，，，計(jì)算，……按此規(guī)律，寫出（用含的代數(shù)式表示）．14.（2017浙江嘉興第16題）一副含和角的三角板和疊合在一起，邊與重合，（如圖1），點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，邊與相交于點(diǎn)，此時(shí)線段的長是．現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），在從到的變化過程中，點(diǎn)相應(yīng)移動的路徑長共為．（結(jié)果保留根號）三、解答題1.（2017浙江衢州第23題）問題背景如圖1，在正方形ABCD的內(nèi)部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根據(jù)三角形全等的條件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，從而得到四邊形EFGH是正方形。類比研究如圖2，在正△ABC的內(nèi)部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF兩兩相交于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)（D，E，F(xiàn)三點(diǎn)不重合）。（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，請選擇其中一對進(jìn)行證明；（2）△DEF是否為正三角形？請說明理由；（3）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，△ABD的三邊存在一定的等量關(guān)系，設(shè)，，，請?zhí)剿?，，滿足的等量關(guān)系。2.（2017山東德州第24題）有這樣一個(gè)問題：探究同一坐標(biāo)系中系數(shù)互為倒數(shù)的正、反比例函數(shù)與的圖象性質(zhì).小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)與，當(dāng)k>0時(shí)的圖象性質(zhì)進(jìn)行了探究，下面是小明的探究過程：（1）如圖所示，設(shè)函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為A,B.已知A的坐標(biāo)為(-k，-1)，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為.(2)若P點(diǎn)為第一象限內(nèi)雙曲線上不同于點(diǎn)B的任意一點(diǎn).=1\*GB3①設(shè)直線PA交x軸于點(diǎn)M，直線PB交x軸于點(diǎn)N.求證：PM=PN.證明過程如下：設(shè)P(m，)，直線PA的解析式為y=ax+b(a≠0).則解得所以,直線PA的解析式為．請把上面的解答過程補(bǔ)充完整，并完成剩余的證明.=2\*GB3②當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,k)(k≠1)時(shí)，判斷ΔPAB的形狀，并用k表示出ΔPAB的面積.3.（2017浙江寧波第26題）有兩個(gè)內(nèi)角分別是它們對角的一半的四邊形叫做半對角四邊形.(1)如圖1，在半對角四邊形中，，，求與的度數(shù)之和；(2)如圖2，銳角內(nèi)接于，若邊上存在一點(diǎn)，使得，的平分線交于點(diǎn)，連結(jié)并延長交于點(diǎn)，.求證：四邊形是半對角四邊形；(3)如圖3，在(2)的條件下，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求與的面積之比.4.（2017重慶A卷第25題）對任意一個(gè)三位數(shù)n，如果n滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個(gè)數(shù)為“相異數(shù)”，將一個(gè)“相異數(shù)”任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三個(gè)不同的新三位數(shù)，把這三個(gè)新三位數(shù)的和與111的商記為F（n）．例如n=123，對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213，對調(diào)百位與個(gè)位上的數(shù)字得到321，對調(diào)十位與個(gè)位上的數(shù)字得到132，這三個(gè)新三位數(shù)的和為213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）計(jì)算：F（243），F(xiàn)（617）；（2）若s，t都是“相異數(shù)”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數(shù)），規(guī)定：k=，當(dāng)F（s）+F（t）=18時(shí)，求k的最大值．5.（2017湖南懷化第24題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)是軸上的一點(diǎn)，且以為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，軸瑋拋物線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸平行的直線與，分別交于點(diǎn)，，試探究當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到何處時(shí)，四邊形的面積最大，求點(diǎn)的坐標(biāo)及最大面積；(4)若點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)是該拋物線上的一點(diǎn)，在軸，軸上分別找點(diǎn)，，使四邊形的周長最小，求出點(diǎn)，的坐標(biāo).6.（2017江蘇無錫第25題）操作：“如圖1，P是平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)（x軸上的點(diǎn)除外），過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)Q．”我們將此由點(diǎn)P得到點(diǎn)Q的操作稱為點(diǎn)的T變換．（1）點(diǎn)P（a，b）經(jīng)過T變換后得到的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；若點(diǎn)M經(jīng)過T變換后得到點(diǎn)N（6，﹣），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為．（2）A是函數(shù)y=x圖象上異于原點(diǎn)O的任意一點(diǎn)，經(jīng)過T變換后得到點(diǎn)B．①求經(jīng)過點(diǎn)O，點(diǎn)B的直線的函數(shù)表達(dá)式；②如圖2，直線AB交y軸于點(diǎn)D，求△OAB的面積與△OAD的面積之比．7.（2017江蘇鹽城第24題）如圖，△ABC是一塊直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，現(xiàn)將圓心為點(diǎn)O的圓形紙片放置在三角板內(nèi)部．（1）如圖①，當(dāng)圓形紙片與兩直角邊AC、BC都相切時(shí)，試用直尺與圓規(guī)作出射線CO；（不寫作法與證明，保留作圖痕跡）（2）如圖②，將圓形紙片沿著三角板的內(nèi)部邊緣滾動1周，回到起點(diǎn)位置時(shí)停止，若BC=9，圓形紙片的半徑為2，求圓心O運(yùn)動的路徑長．8.（2017江蘇鹽城第26題）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，是一張直角三角形紙片，∠B=60°，小明想從中剪出一個(gè)以∠B為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沿著中位線DE、EF剪下時(shí)，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過證明驗(yàn)證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為．【拓展應(yīng)用】如圖②，在△ABC中，BC=a，BC邊上的高AD=h，矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在邊AB、AC上，頂點(diǎn)Q、M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為．（用含a，h的代數(shù)式表示）【靈活應(yīng)用】如圖③，有一塊“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明從中剪出了一個(gè)面積最大的矩形（∠B為所剪出矩形的內(nèi)角），求該矩形的面積．【實(shí)際應(yīng)用】如圖④，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD，經(jīng)測量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點(diǎn)M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN，求該矩形的面積．9.（2017山東煙臺第23題）【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，為等邊三角形，先將三角板中的角與重合，再將三角板繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角大于且小于）.旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與交于點(diǎn).在三角板斜邊上取一點(diǎn)，使，線段上取點(diǎn)，使，連接，.①求的度數(shù)；②與相等嗎？請說明理由；【類比探究】（2）如圖2，為等腰直角三角形，，先將三角板的角與重合，再將三角板繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角大于且小于）.旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與交于點(diǎn).在三角板另一直角邊上取一點(diǎn)，使，線段上取點(diǎn)，使，連接，.請直接寫出探究結(jié)果：①的度數(shù)；學(xué)科*網(wǎng)②線段之間的數(shù)量關(guān)系.10.（2017四川自貢第24題）【探究函數(shù)y=x+的圖象與性質(zhì)】（1）函數(shù)y=x+的自變量x的取值范圍是