/河南省禹州市第三高級中學2025-2026學年高一上學期9月月考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則與大小關系（）A. B.C. D.2.與集合相等的集合是（）A. B.C. D.3.命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.4.下列敘述正確的是（）A.，B.命題“，”的否定是“，或”C.命題“，”的否定是真命題D.設x，，則“且”是“”的必要不充分條件5.如果，是實數，那么“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知且，則下列不等式一定成立的是（

）A. B.C. D.7.下列函數中，最小值為的是（）A. B.C.， D.8.已知，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知實數滿足，，則（）A. B.C. D.10.下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則11.已知，.若，則（）A.的最小值為9 B.的最小值為9C.的最大值為 D.的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.牛欄山一中高一年級某班有學生人，其中音樂愛好者人，體育愛好者人，還有人既不愛好體育也不愛好音樂，則這個班級中既愛好體育又愛好音樂的有______人．13.集合，若,則實數a的取值范圍是______．14.已知，，且，若恒成立，則實數的取值范圍為______.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15已知集合，，．（1）若“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍；（2）若，求實數的取值范圍．16.已知集合．（1）若，求實數的值；（2）若，且，求m值；（3）求實數的值使得．17.某學生社團設計一張招新海報，要求紙張為長、寬的矩形，面積為．版面設計如圖所示：海報上下左右邊距均為，文字宣傳區(qū)域分大小相等的三個矩形欄目，欄目間中縫空白的寬度為．三個欄目的文字宣傳區(qū)域面積和為，（1）用、表示文字宣傳區(qū)域面積和；（2）如何設計紙張的長和寬，使得文字宣傳區(qū)域面積和最大？最大面積是多少？18.（1）若，求的最大值；（2）已知，求的最大值；（3）設正實數，滿足，求最小值.19.已知集合，集合B滿足．（1）判斷，，，中的哪些元素屬于B；（2）證明：若，，則；（3）證明：若，則．河南省禹州市第三高級中學2025-2026學年高一上學期9月月考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則與大小關系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用作差比較法求解.【詳解】因為，所以.故選：C.2.與集合相等的集合是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據集合描述法的定義，求出集合中的元素.【詳解】12的所以正因數有，所以.故選：B.3.命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出命題“”為真命題的充要條件，然后可選出答案.【詳解】由可得：，當時，，所以，則的取值范圍為，滿足其一個充分不必要條件的集合為，則：為的真子集,故其一個充分不必要條件是：.故選:C.4.下列敘述正確的是（）A.，B.命題“，”的否定是“，或”C.命題“，”的否定是真命題D.設x，，則“且”是“”的必要不充分條件【答案】BC【解析】【分析】通過配方可判斷A，根據存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷B，寫出命題的否定，即可判斷C，根據充分條件、必要條件的定義判斷D.【詳解】對于A：因為，故A不正確；對于B：命題“，”的否定是“，或”，故B正確；對C：命題“，”的否定為：“，”，顯然，則命題“，”為真命題，故C正確；對于D：由“且”，得“且”，可以推得出“”，故“且”是“”的充分條件，故D錯誤；故選：BC.5.如果，是實數，那么“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】將兩個條件相互推導，根據能否推導的情況判斷出充分、必要條件．【詳解】當時，滿足，而，則充分性不成立；當時，若，則，所以，而，則；若，則，所以，而，則，則必要性成立．所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B6.已知且，則下列不等式一定成立的是（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據不等式的基本性質判斷D；舉例說明即可判斷ABC.【詳解】A：當時，，故A錯誤；B：當時，滿足，但不成立，故B錯誤；C：當時，，故C錯誤；D：由，得，故D正確.故選：D7.下列函數中，最小值為的是（）A. B.C.， D.【答案】D【解析】【分析】A中舉反例即可，B利用基本不等式等號成立條件不滿足，C利用基本不等式求得最小值不是，D先平方，再利用二次函數求解即可.【詳解】對于A，，當時，，不符合要求，故A錯誤；對于B：，當且僅當時取等號，由得顯然不成立，所以等號取不到，即的最小值不是，故B錯誤；對于C：因為，所以，，當且僅當時取等號，最小值不是，故C錯誤；對于D：，易知，，則，當即或時，有最小值，即有最小值，故D對.故選：D8.已知，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設，利用待定系數法求得，利用不等式性質即可求的取值范圍．【詳解】設，所以，解得，即可得，因，，所以，故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知實數滿足，，則（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】利用不等式的性質，逐項計算可得結論.【詳解】因為，所以，因為，所以，故A錯誤；因為，所以，因為，所以，故B錯誤；因為，，所以，故C正確；因為，所以，所以，又，所以，故D正確.故選：CD.10.下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AC【解析】【分析】利用不等式的性質、特殊值、的單調性、作差法、依次判斷各選項即可得出結果.【詳解】對于A，由可得，又，因此可得，即A正確；對于B，若，此時，即B錯誤；對于C，若，所以，即C正確；對于D，由可得，即，同理，由可得，即，所以，即D錯誤.故選：AC11.已知，.若，則（）A.的最小值為9 B.的最小值為9C.的最大值為 D.的最大值為【答案】BC【解析】【分析】利用“1”的變形，得，，展開后利用基本不等式求最值，判斷AB選項；利用，變形構造基本不等式求最值，進而判斷CD.【詳解】由題意知，.A.，當，即時，等號成立，所以的最小值是4，故A不正確；B.，當，時，等號成立，所以的最小值為9，故B正確；C.由于，，故，當時等號成立，即時等號成立，所以的最大值為，故C正確；D.，當且僅當時，即時，等號成立，但，所以等號不能成立，故D不正確.故選：BC.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.牛欄山一中高一年級某班有學生人，其中音樂愛好者人，體育愛好者人，還有人既不愛好體育也不愛好音樂，則這個班級中既愛好體育又愛好音樂的有______人．【答案】【解析】分析】運用集合間關系即可得出結果.【詳解】由題意作出Venn圖，從而求解人數，設這個班級中既愛好體育又愛好音樂的有人，則可得，，解得，，即這個班級中既愛好體育又愛好音樂的有人，故答案為：.13.集合，若,則實數a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】分，和三種情況討論即可.【詳解】當時，，滿足；當時，，若，則，解得；當時，，若，則，解得；綜上：故答案為：14.已知，，且，若恒成立，則實數的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解.【詳解】因為，，且，所以，所以，當且僅當，即，時取等號，又恒成立，所以，即實數的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，，．（1）若“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍；（2）若，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據充分不必要條件的性質，得到集合是集合的真子集，從而得到關于實數的不等式組，求解不等式組，即可得到實數的取值范圍.（2）根據集合是否為空集進行分類討論，結合，分別求出實數的取值范圍，最后取并集即可.【小問1詳解】已知“”是“”的充分不必要條件，根據充分不必要條件的定義可知集合是集合的真子集.已知，，則，解得.故實數的取值范圍為.小問2詳解】當時，因為，所以，解得，此時成立；當時，，解得.因為，，則或，解得或，故此時.綜上，若，則實數取值范圍為.16.已知集合．（1）若，求實數的值；（2）若，且，求m的值；（3）求實數的值使得．【答案】（1）（2）或（3）或【解析】【分析】（1）是方程的根，代入即可求a；（2）分和兩種情況進行討論即可；（3）由可得，即，分，，，四種情況討論即可．【小問1詳解】∵，∴，解得．【小問2詳解】．由，若，即，滿足題設，若，即，則或，將代入可得（不成立，舍去），或，綜上，或．【小問3詳解】由，且，則，即，當時，無實數根，即，解得；當時，有兩相等實數根，，則，符合題意；當時，有兩相等實數根，，則，此時為，則，不合題意；當時，有兩實數根0和4，此時且，解得且，則；故綜合上述，的取值范圍為或．17.某學生社團設計一張招新海報，要求紙張為長、寬的矩形，面積為．版面設計如圖所示：海報上下左右邊距均為，文字宣傳區(qū)域分大小相等的三個矩形欄目，欄目間中縫空白的寬度為．三個欄目的文字宣傳區(qū)域面積和為，（1）用、表示文字宣傳區(qū)域面積和；（2）如何設計紙張的長和寬，使得文字宣傳區(qū)域面積和最大？最大面積是多少？【答案】（1）（2）長和寬分別為時，面積取得最大值.【解析】【分析】（1）利用矩形的面積公式列式即得.（2）由（1）的結論，利用基本不等式求出最大值.【小問1詳解】依題意，三個欄目的文字宣傳區(qū)域拼在一起，相當于長寬分別為的矩形，所以.【小問2詳解】依題意，，由（1）知，當且僅當時取等號，由，解得，所以紙張的長和寬分別為時，面積取得最大值.18.（1）若，求的最大值；（2）已知，求的最大值；（3）設正實數，滿足，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據條件，直接利用基本不等式，即可求解；（2）根據條件得，再利用基本不等式，即可求解；（3）根據條件得，再利用基本不等式，即可求解；【詳解】（1）因為，則，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為.（2）因為，則，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為.（3）因為正實數，滿足，則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.19.已知集合，集合B滿足．（1）判斷，，，中的哪些元素屬于B；（2）證明：若，，則；（3）證明：若，則．【答案】（1），