試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁河北省張家口市NT20名校聯(lián)合體2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．2．某學(xué)校有高中學(xué)生3000人，初中學(xué)生2000人.學(xué)生社團創(chuàng)辦文創(chuàng)店，想了解初高中學(xué)生對學(xué)校吉祥物設(shè)計的需求，用等比例分層抽樣的方式隨機抽取若干人進行問卷調(diào)查.已知在初中學(xué)生中隨機抽取了200人，則在高中學(xué)生中抽取了（

）A．150人 B．200人 C．300人 D．500人3．在中，滿足，則（

）A． B．或 C． D．或4．已知向量，滿足，，，則（

）A．4 B．2 C．1 D．-25．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，設(shè)“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”為事件A，“出現(xiàn)的點數(shù)大于4”為事件B，則下述正確的是（

）A．A與B對立 B．A與B互斥C．A與B相互獨立 D．6．已知函數(shù)的周期為4π，且在上單調(diào)遞增，則可以是（

）A． B．C． D．7．已知，則（

）A． B． C． D．8．如圖，在長方體中，，，點分別為，的中點，點為長方形內(nèi)一動點（含邊界），若直線平面，則點的軌跡長度為（

）

A． B． C． D．二、多選題9．已知向量，，則下列說法正確的是（

）A．若，則的值為B．若，則的值為C．若，則與的夾角為銳角D．若，則10．如圖，圓錐的底面半徑為4，高為，過靠近的四等分點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，則下列說法正確的是（

）

A．挖去圓柱的體積為B．圓錐的側(cè)面積為C．剩下幾何體的表面積為D．圓錐母線與底面所成的角的余弦值為11．已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，下面四個結(jié)論正確的是（

）A．若，，且有兩解，則b的取值范圍是B．在銳角中，不等式恒成立C．若，則為等腰三角形D．若，，則的最大值為三、填空題12．已知A，B兩個事件相互獨立，且，，則.13．某中學(xué)舉行數(shù)學(xué)解題比賽，其中6人的比賽成績分別為：，則這6人成績的分位數(shù)與極差之和是.14．如圖，在中，已知，，是線段與的交點，若，則的值為.

四、解答題15．某市環(huán)保部門為了監(jiān)測某條河流的水質(zhì)情況，連續(xù)30天測量了河流的PH值，整理數(shù)據(jù)后，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求的值，并估計這30天河流PH值的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)若PH值低于6.5的稱為“酸性超標(biāo)日”，其中PH值在的稱為“輕度超標(biāo)日”，PH值在的稱為“重度超標(biāo)日”.環(huán)保部門決定采用分層抽樣的方法從“酸性超標(biāo)日”中抽取3天，并從這3天中隨機選擇2天進行水質(zhì)復(fù)檢，求這2天都是“輕度超標(biāo)日”的概率.16．如圖，正三棱柱中，，點是的中點.(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積為，求這個三棱柱的側(cè)棱長.17．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.(1)求角B的大??；(2)若，且，求的面積.18．在中，角A、B、C所對的邊分別為.已知，，，且.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.19．如圖，三棱柱中，，且，延長到，使，連接，，.(1)證明：；(2)求四棱錐的體積；(3)求直線與平面所成的角的正弦值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《河北省張家口市NT20名校聯(lián)合體2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678910答案DCAACBBDACBCD題號11答案AD1．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算規(guī)則，計算結(jié)果即可.【詳解】.故選：D2．C【分析】根據(jù)抽樣比即可求解.【詳解】因為初中學(xué)生2000人抽取了200人，所以抽樣比為，所以高中生抽取了人.故選：C.3．A【分析】根據(jù)題意結(jié)合余弦定理可得，即可得結(jié)果.【詳解】因為，即，所以，且，所以.故選：A4．A【分析】根據(jù)向量的模和向量的數(shù)量積的知識進行求解即可.【詳解】∵，∴，∴.故選：A.5．C【分析】拋擲一枚骰子的所有可能結(jié)果是：；事件A包含的結(jié)果是：；事件B包含的結(jié)果是：，由對立互斥獨立的概念逐一判斷各個選項即可求解.【詳解】拋擲一枚骰子的所有可能結(jié)果是：；事件A包含的結(jié)果是：；事件B包含的結(jié)果是：.因為沒包含所有可能結(jié)果（如1，3沒包含在內(nèi)），A與B不對立，故A錯誤；因為，A與B不互斥，故B錯誤；因為，，因此A與B相互獨立，故C正確；，，而，故D錯誤.故選：C.6．B【分析】結(jié)合圖象可判斷A,B,C；由定義域可判斷D.【詳解】對于A：，結(jié)合余弦函數(shù)圖象知，時，單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B：，，時，，結(jié)合正弦函數(shù)圖象知，單調(diào)遞增，故B正確；對于C：，，周期為，時，，結(jié)合余弦函數(shù)圖象知，在上單調(diào)遞減，故C錯誤；對于D：，時，函數(shù)無意義，所以在上不單調(diào)，故D錯誤；故選：B.7．B【分析】根據(jù)二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】由，得，解得，故.故選：B.8．D【分析】利用過點作平面的平行平面，從而可得點的軌跡為線段，即可計算長度，得出結(jié)果.【詳解】

在長方體中，取，的中點，，連接，，，由點為的中點，得，，則四邊形是平行四邊形，所以，又，，則四邊形是平行四邊形，于是，取中點E，在上取點F，使得，連接，，，而，則四邊形為平行四邊形，，而平面，平面，于是平面，由為的中點，E為中點，得，而平面，平面，則平面，又，平面，因此平面平面，又由直線平面，點平面，則點在平面與平面的交線上，從而點的軌跡就是線段，而，所以點的軌跡長度為.故選：D.9．AC【分析】對于A，由向量垂直得數(shù)量積為0從而列方程驗算即可；對于B，由向量平行的充要條件列方程即可；對于C，由數(shù)量積大于0且不共線即可說明C正確；對于D，由條件求得，再舉反例說明D錯誤即可.【詳解】若，則，解得，故A正確；若，則，解得，故B錯誤；當(dāng)時，，由B知此時與不共線，所以與的夾角為銳角，故C正確；若，則，即，即，解得，當(dāng)時，，，，，顯然，故D錯誤.故選：AC.10．BCD【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理可求圓錐的母線長，根據(jù)比例關(guān)系可得挖去圓柱的半徑和高，逐項求解即可.【詳解】如圖所示，因為為的四等分點，所以，，

對于A，挖去的圓柱的體積，故A錯誤；對于B，圓錐母線長，所以圓錐的側(cè)面積，故B正確；對于C，圓柱的側(cè)面積，剩下幾何體的表面積，故C正確；對于D，因為圓錐的底面半徑為4，母線長，則，故D正確.故選：BCD.11．AD【分析】根據(jù)題意，可得，求出b的范圍，可判斷A的正誤；在銳角中，角A，的大小都不確定，即可判斷B的正誤；化簡計算，根據(jù)二倍角的正弦公式，即可判斷C的正誤；根據(jù)余弦定理，結(jié)合均值不等式，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】選項A：如圖，因為有兩解，所以，解得，故A正確；選項B：在銳角中，角A，的大小都不確定，和的大小也無法確定，故B錯誤；選項C：因為，所以，即，所以或，即或，故為等腰三角形或直角三角形，故C錯誤；選項D：由余弦定理得，所以，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時的最大值為，故D正確.故選：AD.12．0.42/【分析】利用獨立事件的乘法公式即可求解.【詳解】因為A，B相互獨立，所以.故答案為：13．【分析】先對給定6人比賽成績從小到大排序，利用百分位數(shù)和極差計算公式求解.【詳解】將6個數(shù)據(jù)從小到大排列為，因為，所以這6人成績的分位數(shù)是，極差為，所以分位數(shù)與極差之和是.故答案為：.14．【分析】由A，P，D和B，P，E三點共線及平面向量基本定理即可得出.【詳解】由A，P，D三點共線，設(shè)，由得，故，由得，故，——①再由B，P，E三點共線，設(shè)，所以，即——②由①②及向量與不共線，由平面向量基本定理，得，解得.故得又，故，，所以.故答案為：.15．(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中概率之和等于1，可求出，平均數(shù)可利用同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值和頻率的乘積之和求解;（2）求出樣本空間，再結(jié)合古典概型計算公式求解即可.【詳解】（1）因為，所以.平均值：（2）抽取的3天中，“輕度超標(biāo)日”有2天，記為a，b，“重度超標(biāo)日”有1天，記為A，樣本空間，設(shè)事件B為這2天都是“輕度超標(biāo)日”，則.因為抽中樣本空間中每一個樣本點的可能性都相等，所以這是一個古典概型.所以.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，交于點N，連接，易得，由線面平行的判定定理得證；（2）由三棱錐體積公式求解.【詳解】（1）連接，交于點N，連接，因為四邊形為矩形，所以為的中點，又點是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）因為為等邊三角形，是的中點，所以，又，故，因為平面，設(shè)，則，所以，即，解得，故這個三棱柱的側(cè)棱長為3.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)數(shù)量積的定義結(jié)合余弦定理可得，，聯(lián)立求得邊a，進而可得面積.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，又因為，則，可得，因為，則，可得，顯然，則，所以.（2）因為，且且，可得，即①.又因為，可得②.聯(lián)立①②可得，解得或（負根舍去），所以的面積為.18．(1)(2)(3)【分析】（1）由余弦定理可得；（2）由正弦定理及平方關(guān)系可得；（3）由二倍角公式及兩角和與差的公式可得.【詳解】（1）因為，即，解得或，因為，所以.（2）因為，由（1）得，且，因為，所以.由正弦定理，所以，因為，所以，，.（3）由（2）得，，故.19．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）取中點，連接，，，可得，可得，，利用線面垂直的判定定理可證平面，得證；（2）過作于點，過作于點，連接，易證平面平面，可得平面，利用等體積轉(zhuǎn)換可得，運算得解；（3）法1，易證平面，直線與平面所成的角即直線與直線所成角的余角，運算得解；法2，由題可得平面，點到平面的距離等于點到平面的距離，也就是點到平面的距離的，運算得解.【詳解】（1）連接，因為，，所以.同理，取中點，連接，，由等腰三角形三線合一，得，.又，平面，平面，所以平面，平面，所以.因為，所以.（2）如圖，過作于點，過作于點，連接.由（1）已證得平面，且平面，所以平面平面，又因為兩平面交線為，且，所以平面，所以，又因為，，所以平面，所以.因為，，所以，，所以.所以.（3）法一：依題意，可知點在以為直徑的圓上，所