第31頁（共31頁）2026年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之三角形一．選擇題（共10小題）1．如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上一個動點，若PA＝3，則PQ的最小值為（）A．3 B．2 C．3 D．232．如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正確的是（）A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E為BC延長線上一點，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D，則∠D的度數(shù)為（）A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°4．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，則∠C等于（）A．45° B．60° C．75° D．90°5．如圖是由4個相同的小正方形組成的網(wǎng)格圖，其中∠1+∠2等于（）A．150° B．180° C．210° D．225°6．如圖，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，邊AB的垂直平分線交AC于點D，則△BDC的周長是（）A．8 B．9 C．10 D．117．下列說法中正確的是（）A．已知a，b，c是三角形的三邊，則a2+b2＝c2 B．在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c28．下列四個圖形中，線段BE是△ABC的高的是（）A． B． C． D．9．如圖，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP，使之與△ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個點中找出符合條件的點P，則點P有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．如圖，正方形ABCD的邊長為10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，連接GH，則線段GH的長為（）A．835 B．22 C．145 D．10二．填空題（共5小題）11．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，則∠B＝．12．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，點D為AB中點，且OD⊥AB，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O，將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則∠OEC為度．13．如圖，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，則∠AEC＝．14．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，DE⊥AC交于點E，DF⊥BC于點F，且BC＝4，DE＝2，則△BCD的面積是．15．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC＝60°，則當(dāng)△PAB為直角三角形時，AP的長為．三．解答題（共5小題）16．已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，點C、D、E三點在同一直線上，連接BD．（1）求證：△BAD≌△CAE；（2）試猜想BD、CE有何特殊位置關(guān)系，并證明．17．CD經(jīng)過∠BCA頂點C的一條直線，CA＝CB．E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請解決下面兩個問題：①如圖1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，則BECF；EF|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請?zhí)砑右粋€關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件，使①中的兩個結(jié)論仍然成立，并證明兩個結(jié)論成立．（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，請?zhí)岢鯡F，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）．18．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點E．求證：∠CBE＝∠BAD．19．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由點B向C點運動，同時，點Q在線段CA上由點C向A點運動．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由．（2）若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？20．如圖，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，連接AE，CD，AE與CD交于點M，AE與BC交于點N．（1）求證：AE＝CD；（2）求證：AE⊥CD；（3）連接BM，有以下兩個結(jié)論：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正確的有（請寫序號，少選、錯選均不得分）．

2026年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之三角形（2025年10月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CAACBCCDCB一．選擇題（共10小題）1．如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上一個動點，若PA＝3，則PQ的最小值為（）A．3 B．2 C．3 D．23【考點】角平分線的性質(zhì)；垂線段最短．【專題】幾何直觀．【答案】C【分析】首先過點P作PB⊥OM于B，由OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝3，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可求得PB的值，又由垂線段最短，可求得PQ的最小值．【解答】解：過點P作PB⊥OM于B，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝3，∴PB＝PA＝3，∴PQ的最小值為3．故選：C．【點評】此題考查了角平分線的性質(zhì)與垂線段最短的知識．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2．如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正確的是（）A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β【考點】三角形的外角性質(zhì)．【專題】三角形．【答案】A【分析】根據(jù)三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得結(jié)論．【解答】解：由折疊得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，故選：A．【點評】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是關(guān)鍵．3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E為BC延長線上一點，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D，則∠D的度數(shù)為（）A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°【考點】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【答案】A【分析】先根據(jù)角平分線的定義得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1+∠2＝∠3+∠4+∠A，∠1＝∠3+∠D，則2∠1＝2∠3+∠A，利用等式的性質(zhì)得到∠D=12∠A，然后把∠【解答】解：∵∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點D，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，即∠1+∠2＝∠3+∠4+∠A，∴2∠1＝2∠3+∠A，∵∠1＝∠3+∠D，∴∠D=12∠A=12故選：A．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°和三角形外角性質(zhì)進(jìn)行分析．4．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，則∠C等于（）A．45° B．60° C．75° D．90°【考點】三角形內(nèi)角和定理．【答案】C【分析】首先根據(jù)∠A：∠B：∠C＝3：4：5，求出∠C的度數(shù)占三角形的內(nèi)角和的幾分之幾；然后根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，用180°乘以∠C的度數(shù)占三角形的內(nèi)角和的分率，求出∠C等于多少度即可．【解答】解：180°×=180°×5＝75°即∠C等于75°．故選：C．【點評】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的內(nèi)角和是180°．5．如圖是由4個相同的小正方形組成的網(wǎng)格圖，其中∠1+∠2等于（）A．150° B．180° C．210° D．225°【考點】全等圖形．【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【答案】B【分析】根據(jù)SAS可證得△ABC≌△EDC，可得出∠BAC＝∠DEC，繼而可得出答案．【解答】解：在△ABC與△EDC中，AB=∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠BAC＝∠1，∠1+∠2＝180°．故選：B．【點評】本題考查全等圖形的知識，比較簡單，解答本題的關(guān)鍵是判斷出△ABC≌△EDC．6．如圖，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，邊AB的垂直平分線交AC于點D，則△BDC的周長是（）A．8 B．9 C．10 D．11【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)．【答案】C【分析】由ED是AB的垂直平分線，可得AD＝BD，又由△BDC的周長＝DB+BC+CD，即可得△BDC的周長＝AD+BC+CD＝AC+BC．【解答】解：設(shè)AB的中垂線與AB交于點E，∵ED是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∵△BDC的周長＝DB+BC+CD，∴△BDC的周長＝AD+BC+CD＝AC+BC＝6+4＝10．故選：C．【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形周長的計算，掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．7．下列說法中正確的是（）A．已知a，b，c是三角形的三邊，則a2+b2＝c2 B．在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c2【考點】勾股定理．【專題】計算題；證明題．【答案】C【分析】在直角三角形中只有斜邊的平方等于其他兩邊的平方的和，且斜邊對角為直角，根據(jù)此就可以直接判斷A、B、C、D選項．【解答】解：在直角三角形中只有斜邊的平方等于其他兩邊的平方的和，且斜邊對角為直角．A、不確定c是斜邊，故本命題錯誤，即A選項錯誤；B、不確定第三邊是否是斜邊，故本命題錯誤，即B選項錯誤；C、∠C＝90°，所以其對邊為斜邊，故本命題正確，即C選項正確；D、∠B＝90°，所以斜邊為b，所以a2+c2＝b2，故本命題錯誤，即D選項錯誤；故選：C．【點評】本題考查了勾股定理的正確運用，只有斜邊的平方才等于其他兩邊的平方和．8．下列四個圖形中，線段BE是△ABC的高的是（）A． B． C． D．【考點】三角形的角平分線、中線和高．【答案】D【分析】根據(jù)三角形高的畫法知，過點B作AC邊上的高，垂足為E，其中線段BE是△ABC的高，再結(jié)合圖形進(jìn)行判斷．【解答】解：線段BE是△ABC的高的圖是選項D．故選：D．【點評】本題主要考查了三角形的高，三角形的高是指從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，連接頂點與垂足之間的線段．熟記定義是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP，使之與△ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個點中找出符合條件的點P，則點P有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】全等三角形的判定．【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定得出點P的位置即可．【解答】解：要使△ABP與△ABC全等，點P到AB的距離應(yīng)該等于點C到AB的距離，即3個單位長度，故點P的位置可以是P1，P3，P4三個，故選：C．【點評】此題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是利用全等三角形的判定進(jìn)行判定點P的位置．10．如圖，正方形ABCD的邊長為10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，連接GH，則線段GH的長為（）A．835 B．22 C．145 D．10【考點】勾股定理．【答案】B【分析】延長BG交CH于點E，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE＝BE﹣BG＝2、HE＝CH﹣CE＝2、∠HEG＝90°，由勾股定理可得GH的長．【解答】解：如圖，延長BG交CH于點E，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝CD＝10，∵AG＝8，BG＝6，∴AG2+BG2＝AB2，∴∠AGB＝90°，∴∠1+∠2＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，同理：∠4＝∠6，在△ABG和△CDH中，AB=∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∴∠2＝∠4，在△ABG和△BCE中，∠1=∠3AB∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH=GE2故選：B．【點評】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理的綜合運用，通過證三角形全等得出△GHE為等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，則∠B＝50°．【考點】三角形的角平分線、中線和高．【專題】幾何圖形問題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由AE平分∠BAC，可得角相等，由∠1＝30°，∠2＝20°，可求得∠EAD的度數(shù)，在直角三角形ABD在利用兩銳角互余可求得答案．【解答】解：∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠EAD+∠2，∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝30°﹣20°＝10°，Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣30°﹣10°＝50°．故答案為50°．【點評】本題考查了三角形的角平分線、中線和高的相關(guān)知識；求得∠EAD＝10°是正確解答本題的關(guān)鍵．12．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，點D為AB中點，且OD⊥AB，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O，將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則∠OEC為108度．【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．【專題】壓軸題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】連接OB、OC，根據(jù)角平分線的定義求出∠BAO，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得OA＝OB，根據(jù)等邊對等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，然后判斷出點O是△ABC的外心，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得OB＝OC，再根據(jù)等邊對等角求出∠OCB＝∠OBC，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE＝CE，然后根據(jù)等邊對等角求出∠COE，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解．【解答】解：法一：如圖，連接OB、OC，∵∠BAC＝54°，AO為∠BAC的平分線，∴∠BAO=12∠BAC=12又∵AB＝AC，∴∠ABC=12（180°﹣∠BAC）=12（180°﹣∵DO是AB的垂直平分線，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝27°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝63°﹣27°＝36°，∵AO為∠BAC的平分線，AB＝AC，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴OB＝OC，∴點O在BC的垂直平分線上，又∵DO是AB的垂直平分線，∴點O是△ABC的外心，∴∠OCB＝∠OBC＝36°，∵將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，∴OE＝CE，∴∠COE＝∠OCB＝36°，在△OCE中，∠OEC＝180°﹣∠COE﹣∠OCB＝180°﹣36°﹣36°＝108°．法二：證明點O是△ABC的外心，推出∠BOC＝108°，根據(jù)OB＝OC，推出∠OCE＝36°可得結(jié)論．故答案為：108．【點評】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)，綜合性較強，難度較大，作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，則∠AEC＝70°．【考點】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義以及三角形外角定理求得12∠DAC+12∠ACF=12（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=1又∵∠B＝40°（已知），∠B+∠1+∠2＝180°（三角形內(nèi)角和定理），∴12∠DAC+12∠ACF=12（∠B+∠2）+12（∠B+∠1）=12∴∠AEC＝180°﹣（12∠DAC+12∠ACF故答案為：70°．【點評】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)，熟練應(yīng)用角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，DE⊥AC交于點E，DF⊥BC于點F，且BC＝4，DE＝2，則△BCD的面積是4．【考點】角平分線的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得DF＝DE；最后根據(jù)三角形的面積＝底×高÷2，求出△BCD的面積是多少即可．【解答】解：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DF＝DE＝2，∴S△BCD=12?BC×DF=1故答案為：4．【點評】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．15．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC＝60°，則當(dāng)△PAB為直角三角形時，AP的長為23或2或27．【考點】勾股定理；含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線．【專題】壓軸題；分類討論．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用分類討論，①當(dāng)∠APB＝90°時，情況一：如圖1，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出PO＝BO，易得△BOP為等邊三角形，利用銳角三角函數(shù)可得AP的長；易得BP，利用勾股定理可得AP的長；情況二：如圖3，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得結(jié)論．②當(dāng)∠ABP＝90°時，如圖2，由對頂角的性質(zhì)可得∠AOC＝∠BOP＝60°，易得∠BPO＝30°，易得BP的長，利用勾股定理可得AP的長；【解答】解：①當(dāng)∠APB＝90°時，情況一：（如圖1），∵AO＝BO，∴PO＝BO，∵∠AOC＝60°，∴∠BOP＝60°，∴△BOP為等邊三角形，∵AB＝BC＝4，∴AP＝AB?sin60°＝4×32=情況二：如圖3，∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝AO，∵∠AOC＝60°，∴△AOP為等邊三角形，∴AP＝AO＝2，②當(dāng)∠ABP＝90°時（如圖2），∵∠AOC＝∠BOP＝60°，∴∠BPO＝30°，∴BP=OBtan30°在直角三角形ABP中，AP=(23)故答案為：23或2或27．【點評】本題主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，點C、D、E三點在同一直線上，連接BD．（1）求證：△BAD≌△CAE；（2）試猜想BD、CE有何特殊位置關(guān)系，并證明．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題；探究型．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）要證△BAD≌△CAE，現(xiàn)有AB＝AC，AD＝AE，需它們的夾角∠BAD＝∠CAE，而由∠BAC＝∠DAE＝90°很易證得．（2）BD、CE有何特殊位置關(guān)系，從圖形上可看出是垂直關(guān)系，可向這方面努力．要證BD⊥CE，需證∠BDE＝90°，需證∠ADB+∠ADE＝90°可由直角三角形提供．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）BD、CE特殊位置關(guān)系為BD⊥CE．證明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠ADB＝∠E．∵∠DAE＝90°，∴∠E+∠ADE＝90°．∴∠ADB+∠ADE＝90°．即∠BDE＝90°．∴BD、CE特殊位置關(guān)系為BD⊥CE．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；全等問題要注意找條件，有些條件需在圖形是仔細(xì)觀察，認(rèn)真推敲方可．做題時，有時需要先猜后證．17．CD經(jīng)過∠BCA頂點C的一條直線，CA＝CB．E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請解決下面兩個問題：①如圖1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，則BE＝CF；EF＝|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請?zhí)砑右粋€關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件∠α+∠BCA＝180°，使①中的兩個結(jié)論仍然成立，并證明兩個結(jié)論成立．（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，請?zhí)岢鯡F，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）．【考點】直角三角形全等的判定；三角形內(nèi)角和定理．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由題意推出∠CBE＝∠ACF，再由AAS定理證△BCE≌△CAF，繼而得答案．【解答】解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，∠CBE∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF；EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．②所填的條件是：∠α+∠BCA＝180°．證明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣∠α．∵∠BCA＝180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE＝∠BCA．又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA，∴∠CBE＝∠ACF，又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CFA，∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE＝CF，CE＝AF，又∵EF＝CF﹣CE，∴EF＝|BE﹣AF|．（2）猜想：EF＝BE+AF．證明過程：∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF＝180°，∴∠BCE＝∠CAF，又∵BC＝CA，∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE＝CF，EC＝FA，∴EF＝EC+CF＝BE+AF．【點評】本題綜合考查全等三角形、等邊三角形和四邊形的有關(guān)知識．注意對三角形全等，相似的綜合應(yīng)用．18．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點E．求證：∠CBE＝∠BAD．【考點】等腰三角形的性質(zhì)．【專題】證明題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)三角形三線合一的性質(zhì)可得∠CAD＝∠BAD，根據(jù)同角的余角相等可得：∠CBE＝∠CAD，再根據(jù)等量關(guān)系得到∠CBE＝∠BAD．【解答】證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C，∴∠CBE＝∠CAD，∴∠CBE＝∠BAD．【點評】考查了余角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．19．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由點B向C點運動，同時，點Q在線段CA上由點C向A點運動．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由．（2）若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？【考點】全等三角形的判定．【專題】證明題；動點型．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）經(jīng)過1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，由已知可得BD＝PC，BP＝CQ，∠ABC＝∠ACB，即據(jù)SAS可證得△BPD≌△CQP．（2）可設(shè)點Q的運動速度為x（x≠3）cm/s，經(jīng)過ts△BPD與△CQP全等，則可知PB＝3tcm，PC＝（8﹣3t）cm，CQ＝xtcm，據(jù)（1）同理可得當(dāng)BD＝PC，BP＝CQ或BD＝CQ，BP＝PC時兩三角形全等，求x的解即可．【解答】解：（1）結(jié)論：△BPD與△CQP全等．理由：經(jīng)過1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，∵△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴在△BPD和△CQP中，BD=∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）設(shè)點Q的運動速度為x（x≠3）cm/s，經(jīng)過ts△BPD與△CQP全等；則可知PB＝3tcm，PC＝（8﹣3t）cm，CQ＝xtcm，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，根據(jù)全等三角形的判定定理SAS可知，有兩種情況：①當(dāng)BD＝PC，BP＝CQ時，②當(dāng)BD＝CQ，BP＝PC時，兩三角形全等；①當(dāng)BD＝PC且BP＝CQ時，8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，∵x≠3，∴舍去此情況；②BD＝CQ，BP＝PC時，5＝xt且3t＝8﹣3t，解得：x=15故若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為154cm/s時，能夠使△BPD與△CQP【點評】本題主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．20．如圖，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，連接AE，CD，AE與CD交于點M，AE與BC交于點N．（1）求證：AE＝CD；（2）求證：AE⊥CD；（3）連接BM，有以下兩個結(jié)論：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正確的有②（請寫序號，少選、錯選均不得分）．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）欲證明AE＝CD，只要證明△ABE≌△CBD；（2）由△ABE≌△CBD，推出∠BAE＝∠BCD，由∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，又∠CNM＝∠ANB，∠ABC＝90°，可得∠NMC＝90°；（3）結(jié)論：②；作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．利用角平分線的判定定理證明即可；【解答】（1）證明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，AB=∴△ABE≌△CBD，∴AE＝CD．（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠BAE＝∠BCD，∵∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，又∠CNM＝∠ANB，∵∠ABC＝90°，∴∠NMC＝90°，∴AE⊥CD．（3）結(jié)論：②理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，S△ABE＝S△CDB，∴12?AE?BK=12?CD∴BK＝BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，∴BM平分∠AMD．不妨設(shè)①成立，則△CBM≌△EBM，則AB＝BD，顯然不可能，故①錯誤．故答案為②．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會添加常用輔助線解決問題．

考點卡片1．垂線段最短（1）垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段．（2）垂線段的性質(zhì)：垂線段最短．正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．它是相對于這點與直線上其他各點的連線而言．（3）實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個中去選擇．2．三角形的角平分線、中線和高（1）從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．（2）三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．（3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點．3．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．4．三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．5．全等圖形（1）全等形的概念能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．（2）全等三角形能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符號“全等”用符號“≌”表示．注意：在記兩個三角形全等時，通常把對應(yīng)頂點寫在對應(yīng)位置上．（4）對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊、對應(yīng)角把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應(yīng)頂點；重合的邊叫做對應(yīng)邊；重合的角叫做對應(yīng)角．6．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊．7．直角三角形全等的判定1、斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應(yīng)該抓住“直角”