專題02全等三角形（9知識&5題型&8方法清單）【清單01】全等形1.定義：能夠完全重合的兩個圖形叫作全等形.全等形的特征：“兩相同”與“兩無關(guān)”.(1)“兩相同”：①形狀相同；②大小相同.(2)“兩無關(guān)”：①與位置無關(guān)；②與方向無關(guān).2.全等變換的常見方式：平移、翻折、旋轉(zhuǎn).【清單02】全等三角形1.全等三角形的有關(guān)概念和表示方法相關(guān)概念示例定義能夠完全重合的兩個三角形叫作全等三角形△ABC與△DEF全等相關(guān)概念示例對應(yīng)元素對應(yīng)頂點：重合的頂點叫作對應(yīng)頂點點A與點D，

點B與點E，點C與點F對應(yīng)邊：重合的邊叫作對應(yīng)邊AB與DE，BC與EF，AC與DF對應(yīng)角：重合的角叫作對應(yīng)角∠A與∠D，

∠B與∠E，∠C與∠F相關(guān)概念示例表示方法全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”△ABC≌△DEF2.三種常見的全等類形(1)平移型(2)翻折型(3)旋轉(zhuǎn)型【清單03】全等三角形的判定與性質(zhì)一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）兩直角邊對應(yīng)相等一邊一銳角對應(yīng)相等斜邊、直角邊定理（HL）性質(zhì)對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等（其他對應(yīng)元素也相等，如對應(yīng)邊上的高相等）備注判定三角形全等必須有一組對應(yīng)邊相等【清單04】全等三角形的證明思路【清單05】全等三角形證明方法1．證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個三角形全等.(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點到角兩邊的距離相等.(3)等式性質(zhì).2．證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進行證明.(2)證明兩個角所在的兩個三角形全等.(3)利用角平分線的判定進行證明.(4)同角（等角）的余角（補角）相等.(5)對頂角相等.3．證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法：可通過證明兩個三角形全等，得到對應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.4．輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長中線法；(3)作以角平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(或補短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5.證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個角所在的兩個三角形及它們?nèi)鹊臈l件.如果要證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等的條件不充分時，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個三角形全等以補足條件.如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個三角形之間不存在全等關(guān)系，此時應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過構(gòu)造出全等三角形來研究平面圖形的性質(zhì).【清單06】用尺規(guī)作一個角等于已知角用尺規(guī)作一個角等于已知角已知∠AOB(如圖①)，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB，并證明.作法：(1)以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；(2)作一條射線O′A′，以點O′為圓心，OC為半徑作弧，交O′A′于點C′；(3)以點C′為圓心，CD為半徑畫弧，與上一步作的弧相交于點D′；(4)過點D′作射線O′B′，則∠A′O′B′即為所求作的角(如圖②).證明：連接CD，C′D′.由作法(1)(2)可知OC=OD=O′C′；由作法(3)可知CD=C′D′，O′C′=O′D′，∴OD=O′D′.∴△OCD≌△O′C′D′(SSS).∴∠AOB=∠A′O′B′.【清單07】作一個角的平分線已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線.作法：(1)以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.(2)分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點C.(3)畫射線OC.射線OC即為∠AOB的平分線(如圖).【清單08】角的平分線的性質(zhì)與判定1.性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.角的平分線的性質(zhì)的兩個必要條件(1)點在角平分線上；(2)這個點到角兩邊的距離即點到角兩邊的垂線段的長度.兩者缺一不可.幾何語言：如圖，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，∴PE=PF.2.判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.幾何語言：如圖，∵點P為∠AOB內(nèi)一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點P在∠AOB的平分線OC上.【清單09】證明幾何命題的一般步驟1.證明一個幾何命題的一般步驟(1)明確命題中的已知和求證；(2)根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；(3)經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.2.推理證明中常見的分析方法(1)綜合法：從已知條件入手，根據(jù)已學(xué)過的定義、定理、全等的判定方法等，逐步推出要證的結(jié)論.(2)分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已學(xué)過的定義、定理、全等的判定方法等，尋找使結(jié)論成立所需的條件，這樣一步步逆推，一直追溯到結(jié)論成立的條件與已知條件吻合.(3)“兩頭湊”的方法：分別從已知條件和結(jié)論入手，當(dāng)從已知條件推導(dǎo)出的結(jié)論與從結(jié)論倒推出所需的條件相吻合時，問題可得證.【題型一】全等三角形及其性質(zhì)【例11】（2425八年級上·江蘇無錫·期中）下列各選項中的兩個圖形屬于全等圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：解：A、兩個圖形大小不相等，不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；B、兩個圖形大小不相等，不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；C、兩個圖形能夠完全重合，是全等圖形，符合題意；D、兩個圖形大小不相等，不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；故選：C．A． B． C． D．【答案】D故選：D．【答案】/∴的對應(yīng)邊是，故答案為：．【變式11】（2425八年級上·河北唐山·期中）下列圖形中，是全等圖形的是（）A．a(chǎn)，b，c，d B．a(chǎn)與b C．b，c，d D．a(chǎn)與c【答案】D因此，與是全等圖形，故選：D．【答案】B故選：B．【答案】66故答案為：66．【題型二】三角形全等的判定綜合A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙【答案】D故選：D．【答案】D故選：．輪次行動者添加條件1甲2乙3甲…上表記錄了兩人游戲的部分過程，則下列說法不正確的是（）【答案】A故乙必勝，故本選項的說法正確；故選：A．【答案】A故選：A．【答案】不能；選擇條件①(還可選擇條件②，但不能選擇條件③)，理由見解析【詳解】解：不能．【題型三】三角形全等的性質(zhì)與判定綜合(1)判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；又∵是的中點，．【答案】A故選：A．A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B故選：B．【答案】6故答案為：6.【詳解】（1）解：①全等，理由如下：（2）解：設(shè)經(jīng)過秒后點和點第一次相遇，∴點，點在邊上相遇，∴經(jīng)過，點，點第一次在邊上相遇．(1)點E為線段上的任意一點，點F位于A點的右邊，連接交于點H．當(dāng)點F在A點左邊時，過點D作所在直線的垂線，交于點M，如圖，【題型四】角的平分線【例41】（2425八年級上·重慶大足·期中）如圖，是一塊三角形草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個涼亭供大家休息．若要使涼亭到草坪三條邊的距離都相等，則涼亭應(yīng)建在三角形草坪（

）A．三條角平分線的交點處 B．三條中線的交點處C．三條高線的交點處 D．以上都不對【答案】A【詳解】解：因為角平分線上的點到角兩邊的距離相等，所以涼亭的位置應(yīng)為三角形的三條角平分線的交點．故選：A．【答案】C故選：C

【答案】B【詳解】解：∵兩把相同的長方形直尺的寬度一致，∴點P到射線，的距離相等，故選：B．A．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等C．三角形三條角平分線的交點到三條邊的距離相等D．線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等【答案】A∵兩把完全相同的長方形直尺，因為為公共邊，故選：A．

【詳解】（1）證明：如圖，連接，

【題型五】尺規(guī)作圖【例51】（2425八年級上·河北邢臺·期中）如圖，用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，能得出的依據(jù)是邊邊邊、邊角邊、角邊角、角角邊中的．【答案】【詳解】以為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點C，D；同樣地，以為圓心，同樣的長度（即與前面半徑相等）為半徑畫弧，交于點，再以為圓心，長為半徑畫弧，與前面所畫的弧相交于點，故答案為：．①作射線；作法的合理順序是（

）【答案】D【詳解】解：角平分線的作法：第三步，作射線，連接頂點與點，完成角平分線的作圖，對應(yīng)步驟，故選：．(1)寫出長的取值范圍：__________；A．已知兩邊及夾角 B．已知三邊C．已知兩角及夾邊 D．已知兩邊及一邊對角【答案】C故選：C．C．弧是以A為圓心，為半徑畫的 D．弧是以長為半徑畫的【答案】AB、弧是以點B為圓心，長為半徑畫的，故選項錯誤，不符合題意；C、弧是以B為圓心，為半徑畫的，故選項錯誤，不符合題意；D、弧是以長為半徑畫的，故選項錯誤，不符合題意．故選：A．【變式53】（2324八年級上·北京朝陽·期中）下面是小明設(shè)計的“已知兩邊及夾角作三角形”的尺規(guī)作圖過程．作法：如圖，①以為圓心，長為半徑作泒，交于點；②以為圓心，長為半徑作弧，交于點；③作射線；④以A為圓心，長為半徑作弧，交于點；⑤分別以A，B為圓心，，長為半徑作弧，兩弧交于直線上方的點；⑥連接、．根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明：【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；【題型一】平移模型模型歸納

【題型二】對稱模型模型歸納有公共邊：有公共頂點：【答案】A故選：A．【答案】A故選A．【答案】①③④故答案為：①③④．cm．【答案】45故答案為：45．【題型三】一線三等角模型模型歸納：條件：已知A，P，B三點共線，PC=PD，且∠1=∠2=∠3圖示：同側(cè)型圖示：異側(cè)型結(jié)論：△APC【例31】（2425八年級上·廣東江門·期中）通過對下圖數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；請運用圖1的模型解決下列問題：

圖1

圖3圖中實線所圍成的圖形的面積；故答案為：．即點是的中點．【例32】（2425八年級上·山西陽泉·期中）閱讀與思考請仔細(xì)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．

點，，在同一條直線上，任務(wù)：(1)將上述解答過程中的空白部分補充完整．(2)在圖1中，除了上面兩個角相等、直角相等外，請你再寫出一組相等的角．故答案為：直角三角形的兩個銳角互余，；【例33】（2425八年級上·河南新鄉(xiāng)·期中）綜合與實踐在學(xué)習(xí)三角形全等的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗．請運用已有經(jīng)驗，對“一線三等角模型”進行研究．直接猜想深入探究問題解決（2）成立，理由如下：當(dāng)點在上，點在上，如圖1，當(dāng)點在上，點在上，如圖2，【題型四】手拉手模型模型歸納【例4】（2425八年級上·貴州銅仁·期中）【閱讀材料】小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律：兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形，底角頂點連起來，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形，小明把具有這種規(guī)律的圖形稱為“手拉手模型”．

∴D、C、H三點共線，【變式41】（2324七年級下·河南鄭州·期中）【綜合實踐】如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因為頂點相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”．連接，【變式42】（2425八年級上·福建南平·期中）【綜合與實踐】星光中學(xué)八年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂角頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在兩個等腰三角形頂角的變化過程中，始終存在一對全等三角形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組同學(xué)稱此模型為“手拉手模型”．請你和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)一起研究下面的問題．

證明如下：如圖2證明如下：如圖2【題型五】角含半角模型模型歸納：如圖，AB=AC<，>∠BAC=2α<，∠DAE=α<.【變式51】（2324八年級下·山西朔州·期中）閱讀與思考下面是莉莉同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記的部分內(nèi)容．請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．神奇的“半角模型”初中數(shù)學(xué)中存在一些常見的模型，“半角模型”就是其中之一，“截長補短”法是解決這類問題的一種常用方法．任務(wù)：(1)材料中的依據(jù)1是指________________，依據(jù)2是指________________．(2)根據(jù)例題中的方法，補全材料“拓展”中的輔助線．【詳解】（1）材料中的依據(jù)1是指正方形的四條邊相等（或正方形的性質(zhì)）；依據(jù)2是指全等三角形的對應(yīng)邊相等（或全等三角形的性質(zhì)）故答案為：正方形的四條邊相等（或正方形的性質(zhì)）；全等三角形的對應(yīng)邊相等（或全等三角形的性質(zhì)）；、、三點共線，故答案為：．故答案為：；、、三點共線，【題型六】利用“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形方法知指導(dǎo)：條件：如圖，AO為△ABC的中線關(guān)鍵詞策略：延長中線AO至D，使得DO=AO，連接BD結(jié)論：△AOC【方法總結(jié)】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，有時需要考慮倍長中線（或與中點有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．我們把這種添加輔助線稱為“倍長中線法”．【問題解決】(1)直接寫出圖1中的取值范圍：______．(2)猜想圖2中與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（4）解：如圖所示，過點E、F分別作直線的垂線，垂足分別為M、N，【例62】（2425八年級上·河北保定·期中）在通過構(gòu)造全等三角形解決問題的過程中，有一種方法叫做倍長中線法．【變式61】（2425八年級上·廣東汕頭·期中）【方法呈現(xiàn)】【問題背景】【構(gòu)建聯(lián)系】是的中點，∵點F為的中點，【變式62】（2425八年級上·山西大同·期中）閱讀理解中線是三角形中的重要線段之一．在利用中線解決幾何問題時，當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件時，可以考慮做輔助線，即把中線延長一倍，通過構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所要求的結(jié)論集中到同一個三角形中，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題，這種作輔助線的方法稱為“倍長中線法”【詳解】（1）解：是的中點，（2）解：延長交的延長線于，如圖2所示：點是的中點，點是的中點，方法小結(jié)：從上面的思路可以看出，解決問題的關(guān)鍵是將中線延長一倍，構(gòu)造出全等三角形，我們把這種方法叫做“倍長中線法”．（1）請你利用上面解答問題的思路方法，求出求的取值范圍的過程．【問題解決】直接寫出所有正確選項的序號是．【問題拓展】（2）答案為：A、B、C；點為的中點，【題型七】利用角平分線構(gòu)造全等三角形方法指導(dǎo)條件:<OP平分∠AOB</m>策略：結(jié)論：△OPD【例71】（2223八年級上·福建泉州·期中）【問題情境】在括號內(nèi)填寫全等判定方法字母簡稱在括號內(nèi)填寫理由依據(jù)【問題探究】【拓展延伸】[問題