第三章二次根式2、根式有意義的條件是：被開方數(shù)大于等于0，根式為零被開方數(shù)為0；5、二次根式的除法法則：6、最簡二次根式：①被開方數(shù)不含有分母（小數(shù)）；②被開方數(shù)中不含有可以開方開得出的因數(shù)或因式；7、同類二次根式：化簡后的最簡二次根式的被開方數(shù)相同；8、二次根式的加減運算方法：①不是最簡二次根式的要先化成最簡二次根式；②是最簡二次根式，只把二次根式系數(shù)相加減，二次根式不變照寫；9、二次根式乘除混合運算：把系數(shù)相乘除，被開方數(shù)相乘除，再把它們的結(jié)果相乘。一、二次根式的判定易錯點：誤判根號下含變量的式子，忽略被開方數(shù)非負的條件。策略：判斷是否為二次根式，須確保被開方數(shù)（整體）大于或等于零。1．（2526九年級上·吉林長春·階段練習）下列各式中，一定是二次根式的是（

）【答案】B、是二次根式，該選項符合題意；、根指數(shù)為3，屬于三次根式，不是二次根式，該選項不符合題意；故選：．2．（2526八年級上·陜西西安·階段練習）下列各式中，不一定是二次根式的是（

）【答案】D根據(jù)二次根式的定義逐一判斷即可．故選：D．A． B． C． D．【答案】C故選C．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了二次根式的定義，根據(jù)被開方數(shù)為非負數(shù)，即可得出答案．故選：B．二、求二次根式的值易錯點：代入數(shù)值后直接計算，未先判斷被開方數(shù)的正負性。策略：代入數(shù)值前，先確認被開方數(shù)的符號，若為負則無意義（在實數(shù)范圍內(nèi)）。A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B故選：B．【答案】2故答案為：2．【答案】01故答案為：0，1．三、求二次根式的值易錯點：解含分式與根式的復(fù)合條件時，僅考慮其一，忽視分母不為零。策略：遇復(fù)合式子，需同時滿足被開方數(shù)≥0與分母≠0，解不等式組。A．0 B．3 C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡．把每個選項中的m的值代入二次根式化簡即可．故選：B．【答案】7故答案為：．【答案】7根據(jù)二次根式結(jié)果為整數(shù)，確定出正整數(shù)n的值即可．此時的值為．故答案為：．四、使二次根式有意義的條件易錯點：運算結(jié)果未化成最簡形式；忽略字母取值范圍對化簡的影響?！敬鸢浮緼【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握二次根式有意義的條件．故選：A．【分析】本題主要考查二次根式有意義的條件，根據(jù)被開方數(shù)大于等于0求解即可；【分析】本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，熟練掌握二次根式中被開方數(shù)是非負數(shù)，分式分母不為0是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式和分式有意義的條件求解即可．【答案】【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，求立方根，準確記住二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件，即可解出x值，進而求出y值，接著求得立方根即可．∵的立方根是，故答案為：．五、二次根式的乘除法運算易錯點：誤將非同類二次根式合并；合并時僅系數(shù)相加減而根式部分不變。策略：先化簡各根式為最簡形式，再識別并合并同類二次根式（被開方數(shù)相同）。16．（2526八年級上·全國·課后作業(yè)）下列計算正確的是（

）【答案】C【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)以及二次根式的除法運算．根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及二次根式的除法運算逐項判定即可．故選：C．A．和之間 B．和之間 C．和之間 D．和之間【答案】C【分析】本題考查了估算無理數(shù)的大小，二次根式的運算，先通過二次根式的乘法法則進行化簡，然后通過估算無理數(shù)的大小的方法解答即可，解題的關(guān)鍵在于掌握二次根式的運算方法以及估算無理數(shù)大小的方法．故選：．18．（2526八年級上·河南焦作·階段練習）下列各式錯誤的是（

）【答案】C【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)以及乘除運算，根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及乘除法運算法則逐項計算，進而可得答案．故選：C．【答案】【分析】本題考查了二次根式的乘除混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再根據(jù)乘除法法則計算．20．（2526八年級上·福建三明·階段練習）計算下列各式：【答案】(1)(2)(3)【分析】（）根據(jù)二次根式的乘除運算法則計算即可；（）利用乘法分配律計算即可；（）利用平方差公式計算即可；（）利用完全平方公式計算即可；本題考查了二次根式的運算，掌握二次根式的運算法則和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．；；六、二次根式的加減運算21．（2526八年級上·山東濟南·階段練習）下列計算正確的是（

）【答案】D【分析】本題考查了二次根式的加法，減法，以及乘除法運算，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的運算法則．根據(jù)二次根式的加法，減法，以及乘除法運算計算即可．【詳解】解：A選項，與不是同類二次根式，不能合并，故錯誤；故選：D．22．（2526八年級上·陜西咸陽·階段練習）下列計算正確的是（

）【答案】D【分析】本題考查了二次根式的加減乘除法，熟知二次根式的各種運算法則是關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的加減乘除法則依次正確計算即可判斷出結(jié)果．故選：D．23．（2526八年級上·福建三明·階段練習）下列計算正確的是（

）【答案】A【分析】本題考查二次根式的加減法運算以及二次根式的化簡，仔細計算是解題關(guān)鍵；直接利用二次根式的加減法運算以及二次根式的化簡，逐一判斷即可．【詳解】解：故選：A．24．（2526九年級上·河南周口·階段練習）下列計算正確的是（

）【答案】C【分析】本題考查二次根式的運算，掌握算理是解決問題的關(guān)鍵．運用二次根式的計算法則逐項判斷即可．故選：C．【答案】【分析】本題考查了二次根式的運算．先化簡二次根式，再計算即可．故答案為：．【分析】本題考查了二次根式的減法．直接根據(jù)二次根式的減法法則計算即可．七、利用二次根式的性質(zhì)化簡易錯點：滿足于被開方數(shù)無平方因子，但忽略分母中不得含有根號的要求。策略：檢查兩條：1.被開方數(shù)不含能開方的因數(shù)；2.分母中不含根號（需分母有理化）。【答案】A故選：A．【答案】D【分析】本題考查完全平方公式因式分解、二次根式的化簡、二次根式有意義的條件等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．根據(jù)完全平方公式因式分解，再利用二次根式的性質(zhì)化簡解題即可．．故選：D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，利用二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先判斷x的符號，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡即可．故選：C．【答案】C故選：C.【答案】3【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求解．故答案為：3．八、最簡二次根式32．（2526八年級上·山西晉中·階段練習）下列二次根式是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了最簡二次根式，掌握最簡二次根式的定義是關(guān)鍵．最簡二次根式：被開方數(shù)不能含有能開方的數(shù)或因式；被開方數(shù)中不能含有分母；分母中不能含有二次根式；由此即可求解．【詳解】解：A、是最簡二次根式，符合題意；故選：A．33．（2526九年級上·河南南陽·階段練習）下列是最簡二次根式的是（

）【答案】B【分析】本題主要考查了最簡二次根式的識別，解題的關(guān)鍵是掌握最簡二次根式的定義.利用最簡二次根式的定義逐項進行判斷即可，即被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式.B.該選項是最簡二次根式，符合題意；故選：B.34．（2526八年級上·山西太原·階段練習）化為最簡二次根式是（）【答案】A【分析】本題考查了最簡二次根式的定義，掌握最簡二次根式必須同時滿足以下條件：“被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式”，是解題的關(guān)鍵．故選：A．【答案】12【分析】本題考查了最簡二次根式，解二元一次方程組，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．如果一個二次根式符合下列兩個條件：1、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；2、被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式．那么，這個根式叫做最簡二次根式．據(jù)此得到關(guān)于m、n的二元一次方程組，解之即可．故答案為：1；2．【答案】∴符合條件的正整數(shù)的值為，，，∴的最小值為，故答案為：．37．（2526八年級上·全國·課后作業(yè)）化簡：(2)．(3)．(4)．【答案】(1)(2)(4)【分析】本題考查了最簡二次根式，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．（1）（2）（3）（4）根據(jù)最簡二次根式的性質(zhì)進行計算，即可解答．重難點01二次根式的乘除法混合運算【答案】B【分析】本題考查了二次根式的乘除運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的乘除法則計算即可．故選：B．【答案】故答案為：．40．（1920八年級下·遼寧大連·期末）計算：【答案】(1)【分析】（）利用平方差公式計算即可；（）利用二次根式的性質(zhì)化簡，再根據(jù)二次根式的乘除運算法則計算即可；本題考查了二次根式的乘除運算，掌握二次根式的性質(zhì)和運算法則是解題的關(guān)鍵．【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)化簡，二次根式的乘除混合運算，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再結(jié)合二次根式的乘除混合運算法則進行計算，即可作答．42．（2526八年級上·全國·課后作業(yè)）計算：【答案】(1)【分析】本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則、除法法則是解決問題的關(guān)鍵．（1）利用乘法分配律展開后利用二次根式的乘法法則進行計算即可；（2）利用二次根式的除法法則進行計算即可；（3）利用二次根式的乘法法則和除法法則進行計算即可．重難點02二次根式的混合運算43．（2526八年級上·山東青島·階段練習）計算(3)；【分析】本題考查二次根式的化簡，二次根式的混合運算，平方差公式，完全平方公式，乘法運算律．（1）先化簡，再按照運算法則計算即可；（2）先按照乘法分配律去括號，再按照運算法則計算即可；（3）按照運算法則計算即可；（4）先按照完全平方公式和平方差公式去括號，再按照運算法則計算即可．；44．（2526八年級上·山東濟南·階段練習）計算：【分析】本題考查了二次根式的混合運算．（1）先化簡二次根式，再計算減法，進而計算加法即可；（2）先計算乘法公式，再計算加減即可．45．（山西省臨汾市多校20252026學年上學期10月月考九年級數(shù)學?試卷（華東師大版））計算：【答案】(1)【分析】本題考查了二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的乘法法則、加減法法則以及絕對值的性質(zhì)．（1）依次進行二次根式的乘法運算、化簡各二次根式、去絕對值，最后合并同類二次根式；（2）先化簡括號內(nèi)各二次根式，再去括號，最后合并同類二次根式；46．（2526八年級上·陜西寶雞·階段練習）計算：【答案】(1)(2)(3)【分析】此題考查的是二次根式的乘法公式、化簡二次根式并合并同類二次根式及根據(jù)二次根式性質(zhì)化簡．（1）先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可；（2）利用二次根式的性質(zhì)化簡，再合并同類二次根式即可；（3）利用二次根式的性質(zhì)，和立方根的定義化簡并計算即可；（4）利用二次根式的乘法公式計算后再合并同類二次根式即可．根據(jù)上述解題過程，回答下列問題：(1)第①步的依據(jù)是___________．(2)第___________步開始出現(xiàn)錯誤（填序號）．錯誤原因是___________．(3)請寫出正確的計算答案___________．【答案】(1)二次根式的除法法則(2)②，去括號時，符號錯誤【分析】本題考查了二次根式的混合運算，二次根式的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）理解題意，得出第①步的依據(jù)是二次根式的除法法則，即可作答．（2）認真分析計算過程得第②步開始出現(xiàn)錯誤，去括號時，符號錯誤，即可作答．（3）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再運算乘法，最后運算減法，即可作答．【詳解】（1）解：依題意，第①步的依據(jù)是二次根式的除法法則；（2）解：第②步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因為：去括號時，符號錯誤；48．（2526八年級上·山東菏澤·階段練習）計算：【答案】(1)0【分析】本題主要考查二次根式，立方根的混合運算，掌握其運算法則是關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再根據(jù)二次根式的混合運算法則計算即可；（2）運用乘法公式展開，再根據(jù)二次根式的混合運算法則計算即可；（3）根據(jù)二次根式的混合運算法則計算即可；（4）根據(jù)二次根式，立方根，負指數(shù)冪的計算法則計算即可；．；49．（2526八年級上·甘肅白銀·階段練習）計算：(2)【分析】本題考查二次根式的混合運算，熟記運算順序和運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的乘法進行計算即可；（2）根據(jù)二次根式的乘除法進行計算即可求解；（3）先計算乘除再合并，即可求解；（4）利用平方差公式和完全平方公式計算即可．重難點03二次根式分母有理化【答案】D故選：D．A．互為相反數(shù) B．互為倒數(shù) C．相等 D．互為負倒數(shù)【答案】A∴a與b互為相反數(shù).故選：A．【分析】本題主要考查了含乘方的二次根式的混合運算，積的乘方的逆運算，解題關(guān)鍵是利用平方差公式進行分母有理化．先進行分母有理化，再利用積的乘方的逆應(yīng)用，進行計算．聰明的小明同學根據(jù)上述材料，做了這樣的解答：請你根據(jù)上述材料和小明的解答過程，解決如下問題：(2)(3)2024(4)7【分析】本題主要考查了二次根式的運算，分母有理化，平方差公式，代數(shù)式求值．（1）根據(jù)有理化因式的定義即可解決問題；（2）根據(jù)題意得出所給兩個二次根式都是正數(shù)，再結(jié)合有理化因式的定義比較它們的倒數(shù)大小即可解決問題；（4）根據(jù)題干所給示例進行計算即可．故答案為：；重難點04已知字母的值求代數(shù)式的值【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．直接利用二次根式乘法運算法則化簡，進而將已知數(shù)據(jù)代入求出答案即可．【分析】本題考查了分式的化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．先計算分式的乘法，再算減法，然后把a的值代入化簡后的式子進行計算，即可解答．(2)25【分析】本題考查二次根式的化簡求值，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵：（1）利用平方差公式法進行因式分解，整體代入法進行計算即可；（2）利用完全平方公式進行因式分解，整體代入法進行計算即可．重難點05已知式子的值求代數(shù)式的值A(chǔ)．2 B．3 C．5 D．13【答案】C故選：C．A．0 B． C．1 D．【答案】D【分析】本題主要考查了完全平方公式以及非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．通過對等式進行變形，湊成完全平方的形式，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出和的值，進而計算．故選：D．A． B．2 C． D．1【答案】B∴a、b同號，∴a、b都小于0，故選：B．又∵兩數(shù)之和為正，重難點06二次根式的應(yīng)用【答案】A【分析】本題考查二次根式的應(yīng)用，整式的加減運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意并結(jié)合圖形列出關(guān)系式，去括號合并即可得到結(jié)果．先設(shè)小長方形卡片的長為，再結(jié)合圖形得出上面的陰影長方形的周長和下面的陰影長方形的周長，再把它們加起來即可求出答案．【詳解】解：設(shè)小長方形卡片的長為，則圖②中兩塊陰影部分周長和是：故選：A【答案】A【分析】本題主要考查了二次根式的比較大小，二次根式的分母有理化，解題的關(guān)鍵是掌握倒數(shù)法比較大?。葘γ總€數(shù)的倒數(shù)進行分母有理化，再比較大小，根據(jù)倒數(shù)大的反而小，即可求解．故選：A．【分析】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，根據(jù)公式計算即可；【分析】此題考查了二次根式比較大小，利用二次根式的性質(zhì)把二次根號外的數(shù)放到二次根號內(nèi)，比較被開方數(shù)即可．【分析】本題考查了分母有理化，利用平方差公式是分母有理化的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平方差公式，可得答案；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，可得答案；（3）利用（2）的結(jié)論，可得答案．，，故答案為：1，1；，【答案】(1)【分析】本題考查二次根式的應(yīng)用、算術(shù)平方根等知識點，根據(jù)圖形運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)正方形的邊長等于面積的算術(shù)平方根求解即可；故答案為：．(1)假如一個物品從小亮家墜落，求該物品落地時的速度；(2)不正確，理由見解析【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根的實際應(yīng)用：（2）解：不正確，理由如下：

所以小明的說法不正確．(2)銷售收入為3780元【分析】本題主要考查了二次根式的實際應(yīng)用，熟練掌握二次根式的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)長方形周長計算公式求解即可；（2）先求出種植草莓的面積，再根據(jù)草莓的售價和產(chǎn)量進行求解即可．答：銷售收入為3780元．70．（2425八年級下·吉林長春·期末）如圖，現(xiàn)有兩塊同樣大小的長方形木板，甲同學采用如圖①所示的方式，在長方形木板上截出三塊面積分別為4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A、B、(1)正方形木板A的邊長為______分米，B的邊長為______分米，C的邊長為______分米；(2)乙同學想采用如圖②所示的方式，在長方形木板上截出兩塊面積均為16平方分米的正方形木板，請你判斷能否截出，并說明理由．(2)不能截出，理由見解析【分析】（1）依據(jù)題意，根據(jù)正方形方面積公式求解；（2）依據(jù)題意，比較無理數(shù)的大?。绢}主要考查了二次根式的應(yīng)用，解題時要熟練掌握無理數(shù)的大小比較是關(guān)鍵．【詳解】（1）由題意，在長方形木板①上截出三個面積分別為4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A，B，C，（2）不能截出．理由如下，由題意得，正方形木板的邊長為4分米，不能截出．71．（1819八年級下·廣東惠州·期末）（1）計算：……（2）觀察（1）中的式子，寫第n個根式，并化簡．（3）請根據(jù)（2）的結(jié)論計算：【分析】本題考查二次根式的化簡計算，規(guī)律總結(jié)，算術(shù)平方根，掌握知識點是解題的關(guān)鍵．（1）逐個計算，最后根據(jù)算術(shù)平方根計算即可；（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律計算，即可解答．……（2）由（1）得……按此規(guī)律，可得72．（2425八年級下·河北廊坊·階段練習）已知有兩塊面積均為108平方厘米的正方形紙板．現(xiàn)甲，乙兩種操作方案．甲方案：在紙板上裁出一個面積為24平方厘米，且寬為厘米的長方形紙板①；乙方案：將紙板的一邊減少厘米，另一邊減少厘米，得到長方形紙板②；(1)求甲方案中裁出的長方形紙板①的長；(2)求乙方案中得到的長方形紙板②的面積；(3)小明準備在紙板①，②中選出一個，剪出長2厘米，寬厘米的紙條，請直接寫出小明應(yīng)該選擇哪個，才能使剪出的紙條最多？(2)18平方厘米(3)小明應(yīng)該選擇長方形紙板①，才能使剪出的紙條最多【分析】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握二次根式運算法則．（1）根據(jù)長方形面積公式列式解答即可；（2）先求正方形的邊長，然后求出乙方案中長方形的長和寬，然后求出結(jié)果即可；（3）分別畫圖，求出紙板①，②中可以剪出的紙條條數(shù)，然后進行判斷即可．【詳解】（1）解：甲方案中裁出的長方形紙板①的長為：（2）解：∵正方形紙板的面積為108平方厘米，∵將紙板的一邊減少厘米，另一邊減少厘米，得到長方形紙板②，∴乙方案中得到的長方形紙板②的長為：∴乙方案中得到的長方形紙板②的面積為：∴長方形紙板①和長方形紙板②可以剪出長2厘米，寬厘米的紙條條數(shù)，如圖所示：∴長方形紙板①可以剪出6個長2厘米，寬厘米的紙條，長方形紙板②可以剪出4個長2厘米，寬厘米的紙條，∴小明應(yīng)該選擇長方形紙板①，才能使剪出的紙條最多．50010001500