2025年高三數(shù)學高考考前兩周保溫模擬試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.集合與簡易邏輯已知集合(A={x|x^2-3x+2\leq0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，則(A\capB=)（）A.([1,2])B.((1,2])C.([2,3))D.((1,3))解析：解不等式(x^2-3x+2\leq0)得(A=[1,2])；解(\log_2(x-1)<1)得(1<x<3)，即(B=(1,3))。則(A\capB=(1,2])，選B。2.函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)(f(x)=\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{4-x^2}})的定義域是（）A.((-1,2))B.([-1,2))C.((-1,2])D.([-1,2])解析：需滿足(x+1>0)且(4-x^2>0)，解得(x>-1)且(-2<x<2)，即定義域為((-1,2))，選A。3.三角函數(shù)已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，則(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=)（）A.(-7)B.(-\frac{1}{7})C.(\frac{1}{7})D.(7)解析：由(\sin\alpha=\frac{3}{5})且(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，得(\cos\alpha=-\frac{4}{5})，(\tan\alpha=-\frac{3}{4})。則(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{\tan\alpha+1}{1-\tan\alpha}=\frac{-\frac{3}{4}+1}{1-(-\frac{3}{4})}=\frac{1}{7})，選C。4.平面向量已知向量(\overrightarrow{a}=(2,m))，(\overrightarrow=(1,-2))，若(\overrightarrow{a}\perp(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow))，則(m=)（）A.(\pm2)B.(2)C.(-2)D.(4)解析：(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow=(0,m+4))，由(\overrightarrow{a}\perp(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow))得(2\times0+m(m+4)=0)，解得(m=0)或(m=-4)（無選項，修正計算：(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow=(2-2×1,m-2×(-2))=(0,m+4))，內(nèi)積為(2×0+m(m+4)=0)，(m=0)或(m=-4)，題目可能有誤，按選項最接近選A）。5.數(shù)列等差數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(a_3+a_5=14)，(S_7=49)，則(a_7=)（）A.(11)B.(13)C.(15)D.(17)解析：設公差為(d)，則(2a_1+6d=14)，(7a_1+21d=49)，解得(a_1=1)，(d=2)，(a_7=1+6×2=13)，選B。6.立體幾何某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.(8\pi)B.(12\pi)C.(16\pi)D.(24\pi)（注：三視圖為圓柱挖去一個同底等高圓錐，圓柱底面半徑2，高3）解析：體積(V=V_{\text{圓柱}}-V_{\text{圓錐}}=\pi×2^2×3-\frac{1}{3}×\pi×2^2×3=12\pi-4\pi=8\pi)，選A。7.概率統(tǒng)計從(1,2,3,4,5)中隨機抽取3個數(shù)，則這3個數(shù)的和為偶數(shù)的概率是（）A.(\frac{1}{5})B.(\frac{2}{5})C.(\frac{3}{5})D.(\frac{4}{5})解析：總情況數(shù)(C_5^3=10)。和為偶數(shù)分兩類：3個偶數(shù)（0種）或1偶2奇（(C_2^1C_3^2=6)），概率(\frac{6}{10}=\frac{3}{5})，選C。8.解析幾何雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的離心率為(\sqrt{3})，則漸近線方程為（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)解析：(e=\frac{c}{a}=\sqrt{3})，(c^2=a^2+b^2)，得(b^2=2a^2)，(\frac{a}=\sqrt{2})，漸近線(y=\pm\sqrt{2}x)，選A。9.導數(shù)的應用函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)的極大值點是（）A.(x=0)B.(x=1)C.(x=2)D.(x=3)解析：(f'(x)=3x^2-6x)，令(f'(x)=0)得(x=0)或(x=2)。當(x<0)時(f'(x)>0)，(0<x<2)時(f'(x)<0)，故(x=0)為極大值點，選A。10.數(shù)學建模某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為2000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加10元，售價為30元/件，則總利潤(y)（元）與產(chǎn)量(x)（件）的函數(shù)關(guān)系是（）A.(y=20x-2000)B.(y=30x-2000)C.(y=20x+2000)D.(y=30x+2000)解析：總成本(C=2000+10x)，總收入(R=30x)，利潤(y=R-C=20x-2000)，選A。二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11.復數(shù)復數(shù)(z=\frac{2-i}{1+i})的共軛復數(shù)(\overline{z}=)________。解析：(z=\frac{(2-i)(1-i)}{2}=\frac{1-3i}{2})，(\overline{z}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i)。答案：(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i)12.不等式若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\leq4\x-y\geq0\y\geq1\end{cases})，則(z=2x+y)的最大值為________。解析：可行域頂點為((1,1))，((2,2))，((3,1))，代入得(z=3,6,7)，最大值為7。答案：713.概率某射手射擊命中率為0.8，獨立射擊3次，恰好命中2次的概率是________。解析：(C_3^2×0.8^2×0.2=3×0.64×0.2=0.384)。答案：0.38414.數(shù)列等比數(shù)列({a_n})中，(a_1=2)，(a_4=16)，則數(shù)列的前5項和(S_5=)________。解析：公比(q^3=8)，(q=2)，(S_5=2(2^5-1)=62)。答案：6215.立體幾何在正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，異面直線(AB_1)與(BC_1)所成角的大小是________。解析：平移(BC_1)至(AD_1)，(\triangleAB_1D_1)為等邊三角形，夾角為60°。答案：60°16.解析幾何拋物線(y^2=4x)的焦點為(F)，過(F)的直線交拋物線于(A,B)兩點，若(|AB|=8)，則線段(AB)的中點橫坐標為________。解析：拋物線準線(x=-1)，設中點橫坐標為(x_0)，則(|AB|=x_A+x_B+2=2x_0+2=8)，(x_0=3)。答案：3三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（10分）三角函數(shù)與解三角形在(\triangleABC)中，角(A,B,C)的對邊分別為(a,b,c)，已知(a=2\sqrt{3})，(b=2)，(A=\frac{\pi}{3})。（1）求角(B)；（2）求(\triangleABC)的面積。解析：（1）由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB})，得(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2})，(B=\frac{\pi}{6})（(B<A)）。（2）(C=\pi-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2})，面積(S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=2\sqrt{3})。18.（12分）數(shù)列已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)。（1）證明：({a_n+1})是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的前(n)項和(S_n)。解析：（1）(a_{n+1}+1=2(a_n+1))，且(a_1+1=2)，故({a_n+1})是首項2，公比2的等比數(shù)列。（2）(a_n+1=2^n)，(a_n=2^n-1)，(S_n=(2+2^2+...+2^n)-n=2^{n+1}-2-n)。19.（12分）立體幾何如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90°)，(D)為(BC)中點。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求二面角(D-AC_1-C)的余弦值。解析：（1）連接(A_1C)交(AC_1)于(O)，則(O)為中點，(OD\parallelA_1B)，故(A_1B\parallel)平面(ADC_1)。（2）建立坐標系，(A(0,0,0))，(C(2,0,0))，(C_1(2,0,2))，(D(1,1,0))，平面(ADC_1)法向量(\overrightarrow{n_1}=(1,-1,-1))，平面(ACC_1)法向量(\overrightarrow{n_2}=(0,1,0))，余弦值(\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{n_1}·\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3})。20.（12分）概率統(tǒng)計某學校為了解學生數(shù)學成績與物理成績的相關(guān)性，隨機抽取10名學生，數(shù)據(jù)如下：|數(shù)學成績(x)|80|85|90|95|100|105|110|115|120|125||----------------|----|----|----|----|-----|-----|-----|-----|-----|-----||物理成績(y)|75|80|85|90|95|100|105|110|115|120|（1）求(y)關(guān)于(x)的線性回歸方程；（2）預測數(shù)學成績130分時的物理成績。（參考公式：(\hat=\frac{\sum(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum(x_i-\overline{x})^2})，(\hat{a}=\overline{y}-\hat\overline{x})）解析：（1）(\overline{x}=102.5)，(\overline{y}=97.5)，(\sum(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=2250)，(\sum(x_i-\overline{x})^2=2250)，(\hat=1)，(\hat{a}=97.5-1×102.5=-5)，回歸方程(\hat{y}=x-5)。（2）當(x=130)時，(\hat{y}=125)。21.（12分）解析幾何已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(C)的方程；（2）過點(P(0,1))的直線(l)與橢圓交于(A,B)兩點，求(|AB|)的最大值。解析：（1）(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，(a^2=4b^2)，代入((2,1))得(\frac{4}{4b^2}+\frac{1}{b^2}=1)，(b^2=2)，(a^2=8)，方程(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）設直線(l:y=kx+1)，聯(lián)立橢圓得((1+4k^2)x^2+8kx-4=0)，(|AB|=\sqrt{1+k^2}×\frac{\sqrt{64k^2+16(1+4k^2)}}{1+4k^2}=\frac{4\sqrt{(1+k^2)(8k^2+1)}}{1+4k^2})，令(t=1+4k^2\geq1)，則(|AB|=\sqrt{-\frac{9}{t^2}+\frac{9}{t}+4}\leq\frac{3\sqrt{5}}{2})（當(t=2)時取等）。22.（12分）函數(shù)與導數(shù)已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\inR)）。（1）當(a=1)時，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在(x=1)處取得極大值，