中考數(shù)學(xué)攻堅(jiān)戰(zhàn)_第35講平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的秘密解法與實(shí)戰(zhàn)攻略引言在中考數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域中，平面向量坐標(biāo)運(yùn)算猶如一顆璀璨卻又有些神秘的明珠。它不僅是初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系里的重要組成部分，更是連接代數(shù)與幾何的關(guān)鍵橋梁。對(duì)于廣大考生而言，掌握平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的奧秘，就如同獲得了一把打開中考數(shù)學(xué)高分大門的金鑰匙。本講將深入剖析平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的秘密解法，并為大家提供實(shí)用的實(shí)戰(zhàn)攻略，助力同學(xué)們?cè)谥锌紨?shù)學(xué)的戰(zhàn)場(chǎng)上披荊斬棘。一、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的基礎(chǔ)知識(shí)回顧（一）平面向量的基本概念向量，是既有大小又有方向的量。在平面直角坐標(biāo)系中，我們可以用有向線段來表示向量。例如，從點(diǎn)\(A(x_1,y_1)\)到點(diǎn)\(B(x_2,y_2)\)的向量\(\overrightarrow{AB}\)，它的大小可以通過兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算，而方向則由起點(diǎn)指向終點(diǎn)。（二）向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，我們可以將向量用坐標(biāo)來表示。設(shè)\(\overrightarrow{i}\)，\(\overrightarrow{j}\)分別是與\(x\)軸、\(y\)軸正方向相同的單位向量，對(duì)于平面內(nèi)任意向量\(\overrightarrow{a}\)，都存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)\(x\)，\(y\)，使得\(\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\)，我們就把\((x,y)\)叫做向量\(\overrightarrow{a}\)的坐標(biāo)，記作\(\overrightarrow{a}=(x,y)\)。（三）向量坐標(biāo)運(yùn)算的基本法則1.加法運(yùn)算：若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)。這就好比在平面上，將兩個(gè)向量首尾相連，新向量的坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相加。2.減法運(yùn)算：\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)。可以理解為從向量\(\overrightarrow{a}\)的終點(diǎn)指向向量\(\overrightarrow\)的終點(diǎn)所得到的向量。3.數(shù)乘運(yùn)算：若\(\lambda\)是實(shí)數(shù)，\(\overrightarrow{a}=(x,y)\)，則\(\lambda\overrightarrow{a}=(\lambdax,\lambday)\)。數(shù)乘向量改變了向量的大小，當(dāng)\(\lambda\gt0\)時(shí)，方向不變；當(dāng)\(\lambda\lt0\)時(shí)，方向相反。二、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的秘密解法（一）利用向量坐標(biāo)運(yùn)算解決平行問題在平面向量中，若兩個(gè)非零向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)平行，則\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。這是一個(gè)非常重要的結(jié)論，它為我們解決平行問題提供了有力的工具。例1：已知向量\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow=(m,6)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，求\(m\)的值。解法：根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系\(x_1y_2-x_2y_1=0\)，這里\(x_1=2\)，\(y_1=3\)，\(x_2=m\)，\(y_2=6\)，代入可得\(2\times6-m\times3=0\)，即\(12-3m=0\)，解得\(m=4\)。（二）利用向量坐標(biāo)運(yùn)算解決垂直問題若兩個(gè)向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)垂直，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2=0\)。向量的數(shù)量積為零是判斷垂直的重要依據(jù)。例2：已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,-2)\)，\(\overrightarrow=(3,n)\)，且\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)，求\(n\)的值。解法：由向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系\(x_1x_2+y_1y_2=0\)，其中\(zhòng)(x_1=1\)，\(y_1=-2\)，\(x_2=3\)，\(y_2=n\)，代入可得\(1\times3+(-2)\timesn=0\)，即\(3-2n=0\)，解得\(n=\frac{3}{2}\)。（三）向量坐標(biāo)運(yùn)算在幾何圖形中的應(yīng)用在一些幾何圖形中，我們可以通過建立平面直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)運(yùn)算問題。例3：在平行四邊形\(ABCD\)中，\(A(0,0)\)，\(B(3,1)\)，\(C(4,3)\)，求點(diǎn)\(D\)的坐標(biāo)。解法：設(shè)點(diǎn)\(D\)的坐標(biāo)為\((x,y)\)。因?yàn)樗倪呅蝄(ABCD\)是平行四邊形，所以\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)。\(\overrightarrow{AB}=(3-0,1-0)=(3,1)\)，\(\overrightarrow{DC}=(4-x,3-y)\)。則可得方程組\(\begin{cases}4-x=3\\3-y=1\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}\)，所以點(diǎn)\(D\)的坐標(biāo)為\((1,2)\)。三、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的實(shí)戰(zhàn)攻略（一）認(rèn)真審題，挖掘隱含條件在做平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的題目時(shí)，一定要仔細(xì)審題，從題目中挖掘出隱含的條件。有些條件可能沒有直接給出，需要我們通過對(duì)圖形或已知信息的分析來得到。例如，在一些幾何圖形中，可能會(huì)隱含著向量平行或垂直的關(guān)系，我們要善于發(fā)現(xiàn)這些關(guān)系，并將其轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算。（二）合理建立平面直角坐標(biāo)系建立合適的平面直角坐標(biāo)系是解決平面向量坐標(biāo)運(yùn)算問題的關(guān)鍵。一般來說，我們要選擇圖形中的特殊點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，選擇互相垂直的邊作為坐標(biāo)軸，這樣可以使向量的坐標(biāo)表示更加簡(jiǎn)單。比如，對(duì)于矩形、正方形等圖形，我們可以將其一個(gè)頂點(diǎn)作為原點(diǎn)，相鄰的兩條邊分別作為\(x\)軸和\(y\)軸。（三）靈活運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和結(jié)論在解題過程中，要根據(jù)題目的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和結(jié)論。有時(shí)候，可能需要綜合運(yùn)用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算以及平行、垂直的坐標(biāo)關(guān)系來解決問題。例如，在求向量的模長(zhǎng)時(shí)，我們可以先根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出向量的坐標(biāo)，再利用模長(zhǎng)公式\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{x^2+y^2}\)來計(jì)算。（四）多做練習(xí)題，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的題目類型多樣，只有通過大量的練習(xí)，才能熟練掌握各種解題方法和技巧。在做題過程中，要注意總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，分析每道題的解題思路和方法，遇到類似的題目時(shí)就能快速找到解題的突破口。四、中考真題實(shí)戰(zhàn)演練（一）真題示例例4：（[具體年份][具體地區(qū)]中考題）已知向量\(\overrightarrow{OA}=(3,-4)\)，\(\overrightarrow{OB}=(6,-3)\)，\(\overrightarrow{OC}=(5-m,-3-m)\)。（1）若點(diǎn)\(A\)，\(B\)，\(C\)能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)\(m\)應(yīng)滿足的條件；（2）若\(\triangleABC\)為直角三角形，且\(\angleA\)為直角，求實(shí)數(shù)\(m\)的值。（二）解答過程1.（1）求點(diǎn)\(A\)，\(B\)，\(C\)能構(gòu)成三角形時(shí)\(m\)的條件若點(diǎn)\(A\)，\(B\)，\(C\)能構(gòu)成三角形，則\(\overrightarrow{AB}\)與\(\overrightarrow{AC}\)不平行。先求出\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(6-3,-3-(-4))=(3,1)\)，\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(5-m-3,-3-m-(-4))=(2-m,1-m)\)。因?yàn)閈(\overrightarrow{AB}\)與\(\overrightarrow{AC}\)不平行，所以\(3\times(1-m)-(2-m)\times1\neq0\)，即\(3-3m-2+m\neq0\)，\(1-2m\neq0\)，解得\(m\neq\frac{1}{2}\)。2.（2）求\(\angleA\)為直角時(shí)\(m\)的值因?yàn)閈(\angleA\)為直角，所以\(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\)。根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)，即\(3\times(2-m)+1\times(1-m)=0\)，展開得\(6-3m+1-m=0\)，\(7-4m=0\)，解得\(m=\frac{7}{4}\)。五、總結(jié)與展望平面向量坐