1/10專題09冪的運算的四類綜合題型目錄TOC\o"1-2"\h\u典例詳解類型一、冪的混合運算類型二、逆用冪的相關(guān)公式求值類型三、利用冪的乘方比較大小類型四、與冪的運算有關(guān)的新定義型問題壓軸專練類型一、冪的混合運算1.運算法則：先算乘方，再算乘除，最后算加減；有括號先算括號內(nèi)。同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；相除則指數(shù)相減；冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘。2.符號處理：負(fù)數(shù)的偶次冪為正，奇次冪為負(fù)?；旌线\算中先確定符號，再算絕對值，避免符號錯誤。例1．計算：．【變式1-1】計算：(1)；(2)．【變式1-2】計算：(1)；(2)．【變式1-3】化簡或化簡求值(1)．(2)，其中，．類型二、逆用冪的相關(guān)公式求值1.開方運算：是乘方的逆運算。若an=b（n為正整數(shù)），則a是b的n次方根。正數(shù)偶次方根有兩個（互為相反數(shù)），奇次方根唯一；負(fù)數(shù)奇次方根為負(fù)，偶次方根無意義；0的方根是0。2.對數(shù)運算：是指數(shù)運算的逆。若ab=N（a>0,a≠1,N>0），則b=logaN。遵循基本性質(zhì)：loga1=0，logaa=1，及運算公式。3.應(yīng)用要點：逆運算需注意底數(shù)、指數(shù)限制（如對數(shù)底數(shù)和真數(shù)范圍），結(jié)合乘方、指數(shù)法則逆向推導(dǎo)，解決方程求解等問題。例2．解決下列有關(guān)冪的問題：(1)若，求值；(2)若n為正整數(shù)，且，求的值．【變式2-1】（1）已知，，求的值．（2）已知，，，求的值．【變式2-2】①若，求的值．②已知，，求的值．【變式2-3】（1）已知，．求的值；（2）已知，．用a，b表示的值；（3）已知為正整數(shù)，且．求的值．類型三、利用冪的乘方比較大小1.

轉(zhuǎn)化底數(shù)法：當(dāng)?shù)讛?shù)不同但可化為同底數(shù)時，用冪的乘方將冪轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪，再比較指數(shù)大小（底數(shù)>1時，指數(shù)大則冪大；0<底數(shù)<1時相反）。2.

轉(zhuǎn)化指數(shù)法：底數(shù)難統(tǒng)一時，將指數(shù)化為相同，通過冪的乘方變形成同指數(shù)冪，比較底數(shù)大?。ㄖ笖?shù)為正，底數(shù)大則冪大）。3.

中間值過渡：若底數(shù)、指數(shù)均難統(tǒng)一，借助中間值（如1、10等），分別比較兩數(shù)與中間值的大小，間接判斷關(guān)系，需注意符號對大小的影響。例3．在學(xué)習(xí)了“冪的運算法則”后，經(jīng)常遇到比較冪的大小的問題，對于此類問題，通常有兩種解決方法，一種是將冪化為底數(shù)相同的形式，另一種是將冪化為指數(shù)相同的形式，請閱讀下列材料：若，，則的大小關(guān)系是______（填“”或“”．）解：，，且，，類比閱讀材料的方法，解答下列問題：(1)上述求解過程中，逆用了哪一條冪的運算性質(zhì)：______；A．同底數(shù)冪的乘法

B．同底數(shù)冪的除法

C．冪的乘方

D．積的乘方(2)比較的大??；(3)比較與的大??；(4)已知，，．求之間的等量關(guān)系．【變式3-1】比較大?。海ㄌ睢啊?、“”或“”）．【變式3-2】閱讀下列兩則材料，解決問題．材料一：比較和的大小．解：因為，所以，即．小結(jié)：指數(shù)相同的情況下，通過比較底數(shù)（底數(shù)大于1）的大小，來確定兩個冪的大小．材料二：比較和的大?。猓阂驗椋?，即．小結(jié)：底數(shù)相同（底數(shù)大于1）的情況下，通過比較指數(shù)的大小，來確定兩個冪的大?。?1)比較的大小；(2)比較的大?。?3)已知，比較的大小（均為大于1的數(shù)）．類型四、與冪的運算有關(guān)的新定義型問題1.理解新定義：緊扣題目給出的新運算規(guī)則（如自定義冪的運算符號、新公式），明確底數(shù)、指數(shù)的變化邏輯，對比常規(guī)冪運算找異同，避免混淆。2.轉(zhuǎn)化應(yīng)用：將新定義轉(zhuǎn)化為熟悉的冪運算形式，運用同底數(shù)冪、冪的乘方等法則推導(dǎo)，結(jié)合新規(guī)則中的限制條件（如底數(shù)范圍、指數(shù)特殊規(guī)定）逐步計算。3.驗證與拓展：通過簡單例子驗證對新定義的理解，再解決復(fù)雜問題；注意新定義下公式的逆向運用，靈活處理含字母的化簡或求值。例4．對于整數(shù)a、b定義運算：（其中m、n為常數(shù)），如．(1)填空：當(dāng)，時，__________；(2)若，，求的值．【變式4-1】定義一種冪的新運算：，請利用這種運算規(guī)則解決下列問題．(1)求的值；(2)，求的值；(3)若運算的結(jié)果為，則t的值是多少？【變式4-2】我們給出以下兩個定義：①三角形

；②3×3的方格圖

請你根據(jù)上面兩個定義，解答下列問題：(1)填空：

=__________(2)填空：

=____________(3)若

，求

【變式4-3】在形如的式子中，我們已經(jīng)研究過兩種情況：①已知和，求，這是乘方運算：②已知和，求，這是開方運算．現(xiàn)在我們研究第三種情況：已知和，求，我們把這種運算叫做對數(shù)運算．定義：如果，，，則叫做以為底的對數(shù)，記作：，例如：求，因為，所以；又比如，，(1)根據(jù)定義計算：①；②；③如果，那么；(2)設(shè)，，則，，，、均為正數(shù)），，，，即這是對數(shù)運算的重要性質(zhì)之一，進(jìn)一步，我們還可以得出：；（其中、、、、均為正數(shù)，，(3)請你猜想：（，，、均為正數(shù)）一、單選題1．計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．2．下列運算正確的是（

）A． B．C． D．3．已知，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．4．已知a，b，c為自然數(shù)，且滿足，則的取值不可能是（

）A． B．2 C．1 D．75．我們定義：，若，則的值為（

）A．4 B．16 C．64 D．256二、填空題6．化簡：（1）．（2）．7．計算：．8．定義新運算：，則．9．若，則的值為．10．【新情境】如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球8個、20個、8個．先從甲袋中取出個球放入乙袋，再從乙袋中取出個球放入丙袋，最后從丙袋中取出個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數(shù)相同，則的值等于．三、解答題11．計算：(1)；(2)；12．若（且，m、n是正整數(shù)），則，利用上面結(jié)論解決下面的問題：(1)如果，求x的值；(2)如果，求x的值．13．計算：(1)若，求的值；(2)若，求的值．14．定義一種冪的新運算：，請利用這種運算規(guī)則解答下列問題：(1)求的值．(2)，，，求的值．(3)若運算的結(jié)果為，則的值是多少？15．如果，那么我們規(guī)定，例如：因為，所以．(1)（理解）根據(jù)上述規(guī)定，填空：________，________；(2)（說理）記，，，試說明：；(3)（應(yīng)用）若（且），求的值．16．閱讀下列各式：，，……(1)發(fā)現(xiàn)規(guī)律：______，______．(2)應(yīng)用規(guī)律：①填空：______，______；②計算：．(3)若，請求出n的值．17．若（且，m、n是正整數(shù)），則．利用上面結(jié)論解決下面的問題：(1)如果，求x的值；(2)如果，求x的值；(3)若，，用含x的代數(shù)式表示y（結(jié)果需要化簡）．18．我們知道，一般的數(shù)學(xué)公式、法則、