專題06圓（55題）

1．（2023·江西·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C，D均在直線l上，點(diǎn)P在直線l外，則經(jīng)過

其中任意三個(gè)點(diǎn)，最多可畫出圓的個(gè)數(shù)為（）

A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)

【答案】D

【分析】根據(jù)不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓可得，直線上任意2個(gè)點(diǎn)加上點(diǎn)P可以畫出一個(gè)圓，據(jù)

此列舉所有可能即可求解．

【詳解】解：依題意，A,B；A,C；A,D；B,C；B,D，C,D加上點(diǎn)P可以畫出一個(gè)圓，

∴共有6個(gè)，

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓的條件，熟練掌握不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓是解題的關(guān)鍵．

2．（2024·江西·中考真題）如圖，AB是O的直徑，AB2，點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)

C的弦DEAB，將DBE沿DE翻折交直線AB于點(diǎn)F，當(dāng)DE的長為正整數(shù)時(shí)，線段FB的

長為．

【答案】23或23或2

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，折疊的性質(zhì)，根據(jù)DEAB，可得DE1或2，

利用勾股定理進(jìn)行解答即可，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：AB為直徑，DE為弦，

DEAB，

當(dāng)DE的長為正整數(shù)時(shí)，DE1或2，

當(dāng)DE2時(shí)，即DE為直徑，

∵DE⊥AB

將DBE沿DE翻折交直線AB于點(diǎn)F，此時(shí)F與點(diǎn)A重合，

故FB2；

當(dāng)DE1時(shí)，且在點(diǎn)C在線段OB之間，

如圖，連接OD，

1

此時(shí)ODAB1，

2

∵DE⊥AB，

11

DCDE，

22

3

OCOD2DC2，

2

23

BCOBOC，

2

BF2BC23；

當(dāng)DE1時(shí)，且點(diǎn)C在線段OA之間，連接OD，

23

同理可得BC，

2

BF2BC23，

綜上，可得線段FB的長為23或23或2，

故答案為：23或23或2．

3．（2025·江西·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在O上，ACB35，以BA，BC為邊作ABCD．

(1)當(dāng)BC經(jīng)過圓心O時(shí)（如圖1），求D的度數(shù)；

(2)當(dāng)AD與O相切時(shí)（如圖2），若O的半徑為6，求AC的長．

【答案】(1)55

7

(2)l)

AC3

【分析】（1）先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得出BAC90，再求出ABC903555，

再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DABC55；

（2）連接AO、CO，根據(jù)切線性質(zhì)得出AOAD，證明OABC，得出BECE，

說明OA垂直平分BC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出ABAC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得

出ABCACB35，根據(jù)圓周角定理得出AOC2ABC70，最后根據(jù)弧長公式求

出結(jié)果即可．

【詳解】（1）解：∵BC經(jīng)過圓心O，

∴BC為O的直徑，

∴BAC90，

∵ACB35，

∴ABC903555，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴DABC55；

（2）解：連接AO、CO，如圖所示：

∵AD與O相切，

∴AOAD，

∴OAD90，

∵在ABCD中BC∥AD，

∴∠OEC∠OAD90，

∴OABC，

∴BECE，

∴OA垂直平分BC，

∴ABAC，

∴ABCACB35，

∴AOC2ABC70，

7067

∴l(xiāng))．

AC1803

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，弧長公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的

性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握

相關(guān)的判定和性質(zhì)．

4．（2024·江西·中考真題）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)D是弦AC延長線上一點(diǎn)，連接

BD，BC，DABC60．

(1)求證：BD是半圓O的切線；

(2)當(dāng)BC3時(shí)，求AC的長．

【答案】(1)見解析

(2)2

【分析】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式，熟知

相關(guān)性質(zhì)和計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角結(jié)合已知條件，可得CAB30，即可得DABD=90°，

進(jìn)而可證得結(jié)論；

（2）連接OC，證明△OBC為等邊三角形，求得AOC120，利用弧長公式即可解答．

【詳解】（1）證明：AB是半圓O的直徑，

ACB90，

DABC60，

CAB90ABC30，

ABD180CABD90，

BD是半圓O的切線；

（2）解：如圖，連接OC，

OCOB,CBA60，

OCB為等邊三角形，

COB60，OCCB3，

AOC180COB120，

120

l232．

AC360

5．（2023·江西·中考真題）如圖，在VABC中，AB4，C64，以AB為直徑的O與AC

相交于點(diǎn)D，E為ABD上一點(diǎn)，且ADE40．

(1)求BE的長；

(2)若EAD76，求證：CB為O的切線．

10

【答案】(1)

9

(2)證明見解析

【分析】（1）如圖所示，連接OE，先求出OEOBOA2，再由圓周角定理得到

∠AOE2∠ADE80，進(jìn)而求出BOE100，再根據(jù)弧長公式進(jìn)行求解即可；

（2）如圖所示，連接BD，先由三角形內(nèi)角和定理得到AED64，則由圓周角定理可得

∠ABD∠AED64，再由AB是O的直徑，得到ADB90，進(jìn)而求出BAC26，

進(jìn)一步推出ABC90，由此即可證明BC是O的切線．

【詳解】（1）解：如圖所示，連接OE，

∵AB是O的直徑，且AB4，

∴OEOBOA2，

∵E為ABD上一點(diǎn)，且ADE40，

∴∠AOE2∠ADE80，

∴BOE180∠AOE100，

100210

∴的長；

BE1809

（2）證明：如圖所示，連接BD，

∵EAD76，ADE40，

∴∠AED180∠EAD∠ADE64，

∴∠ABD∠AED64，

∵AB是O的直徑，

∴ADB90，

∴∠BAC90∠ABD26，

∵C64，

∴∠ABC180∠C∠BAC90，即ABBC，

∵OB是O的半徑，

∴BC是O的切線．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，求弧長，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理等等，正確

作出輔助線是解題的關(guān)鍵

．

6．（2022·江西·中考真題）（1）課本再現(xiàn)：在O中，AOB是AB所對(duì)的圓心角，C是AB

所對(duì)的圓周角，我們?cè)跀?shù)學(xué)課上探索兩者之間的關(guān)系時(shí)，要根據(jù)圓心O與C的位置關(guān)系

進(jìn)行分類．圖1是其中一種情況，請(qǐng)你在圖2和圖3中畫出其它兩種情況的圖形，并從三種

1

位置關(guān)系中任選一種情況證明CAOB；

2

（2）知識(shí)應(yīng)用：如圖4，若O的半徑為2，PA,PB分別與O相切于點(diǎn)A，B，C60，

求PA的長．

【答案】（1）見解析；（2）23

【分析】（1）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)O在∠ACB的內(nèi)部，作直徑，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等腰

三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；②如圖3，當(dāng)O在∠ACB的外部時(shí)，作直徑CD，同理可理結(jié)論；

（2）如圖4，先根據(jù)（1）中的結(jié)論可得∠AOB=120°，由切線的性質(zhì)可得∠OAP=∠OBP=90°，

可得∠OPA=30°，從而得PA的長．

【詳解】解：（1）①如圖2，連接CO，并延長CO交⊙O于點(diǎn)D，

∵OA=OC=OB，

∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，

∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，

∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB，

1

∴∠ACB=∠AOB；

2

如圖3，連接CO，并延長CO交⊙O于點(diǎn)D，

∵OA=OC=OB，

∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，

∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，

∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB，

1

∴∠ACB=∠AOB；

2

（2）如圖4，連接OA，OB，OP，

∵∠C=60°，

∴∠AOB=2∠C=120°，

∵PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，

11

∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=（180°-120°）=30°，

22

∵OA=2，

∴OP=2OA=4，

∴PA=422223

【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理，圓周角定理等知識(shí)，掌握證明圓周角定理的方法是解本題

的關(guān)鍵．

7．（2021·江西·中考真題）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AD為直徑，過點(diǎn)C作CEAB

于點(diǎn)E，連接AC．

（1）求證：CADECB；

（2）若CE是O的切線，CAD30，連接OC，如圖2．

①請(qǐng)判斷四邊形ABCO的形狀，并說明理由；

②當(dāng)AB=2時(shí)，求AD，AC與CD圍成陰影部分的面積．

2

【答案】（1）見解析；（2）四邊形ABCO是菱形，理由見解析；（3）陰影部分的面積為3．

3

【分析】（1）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證得∠D=∠EBC，再利用圓周角的性質(zhì)證得

∠D+∠CAD=90，即可證明∠CAD=∠ECB；

（2）①利用切線的性質(zhì)得到OC⊥EC，從而證明OC∥AE，再證明∠BAO=∠EBC=60°，推

出∥，即可證明四邊形是菱形；②先計(jì)算，再利用扇形的面積公式

BCAOABCOSAOC3

60222

計(jì)算S，即可求得陰影部分的面積．

扇形OCD3603

【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，

∴∠D+∠ABC=180，

∵∠EBC+∠ABC=180，

∴∠D=∠EBC，

∵AD為⊙O直徑，

∴∠ACD=90，

∴∠D+∠CAD=90，

∵CE⊥AB，

∴∠ECB+∠EBC=90，

∴∠CAD=∠ECB；

（2）①四邊形ABCO是菱形，理由如下：

∵CE是⊙O的切線，

∴OC⊥EC，

∵AB⊥EC，

∴∠OCE=∠E=90，

∴∠OCE+∠E=180，

∴OC∥AE，

∴∠ACO=∠BAC，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAD，

∴∠BAC=∠CAD，

∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，

∴∠EBC=90°-30°=60°，

∴∠BAO=∠EBC=60°，

∴BC∥AO，

∴四邊形ABCO是平行四邊形，

∵OA=OC，

∴四邊形ABCO是菱形；

②∵四邊形ABCO是菱形，

∴AO=AB=2，AD=4，

∵∠CAD=30°，

1

∴CD=AD=2，AC=23，

2

過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，

∴CF=3，

1

∴S△233，

AOC2

∵OC∥AE，

∴∠DOC=∠BAO=60°，

60222

∴S，

扇形OCD3603

2

∴陰影部分的面積為3．

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)以及扇形面積的求法，熟練掌握切

線的性質(zhì)定理以及扇形面積的求法是解答此題的關(guān)鍵．

一、單選題

8．（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長是3，連接AD，P是AD上的

動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC．若PBPC的值是整數(shù)，則點(diǎn)P的位置有（）

A．3處B．5處C．7處D．9處

【答案】A

【分析】本題考查了正多邊形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)的綜合，掌握正多邊形，勾

股定理的運(yùn)用是關(guān)鍵．

根據(jù)正多邊形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)得到點(diǎn)P從AD運(yùn)動(dòng)時(shí)，PBPC的取值范圍為

6PBPC333，由此即可求解．

【詳解】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，

∴ABBCCDDEFEAF3，點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為

18062

120，

6

如圖所示，連接CF，交AD于點(diǎn)P，連接BP,BF,BD，設(shè)AD,BF交于點(diǎn)M，

1

∴PBPCPFPC，BADFADBAF60，

2

1

CBDCDB180BCD30ABFAFB，

2

∴ABDABCCBD1203090，DBF120CBDABF60，

∴ADB30，AD2AB6，BDAD2AB233AF，

∴ABBC333，CF6，

當(dāng)點(diǎn)C,P,F三點(diǎn)共線時(shí)，PCPF的值最小，最小值為6，

點(diǎn)P從AD運(yùn)動(dòng)時(shí)，PBPC的取值范圍為6PBPC333，

∵63339，

∴整數(shù)值為6,7,8，共3個(gè)，

故選：A．

9．（2025·江西撫州·二模）如圖，邊長為4的正方形ABCD中，半徑為1的⊙O在正方形ABCD

內(nèi)平移（⊙O可以與該正方形ABCD的邊相切），設(shè)點(diǎn)B到⊙O上的點(diǎn)的距離為x，且x是

整數(shù)，則x的值所有情況有（）

A．3種B．4種C．5種D．6種

【答案】C

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直線和圓的位置關(guān)系，勾股定理，解

題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想進(jìn)行求解；當(dāng)O與AB，BC相切時(shí)，連接BO，證明出OEBF

是正方形，利用性質(zhì)求解；當(dāng)O與AD，CD相切時(shí)，切點(diǎn)分別為G，H，連接OG，OH，

利用同樣的方法進(jìn)行求解即可．

【詳解】解：如圖1，當(dāng)O與AB，BC相切時(shí)，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接BO．

由題意易得四邊形OEBF是正方形，OBC45．

O的半徑為1，OB2，

∴點(diǎn)B到O上的點(diǎn)的距離的最小值為21．

如圖2，當(dāng)O與AD，CD相切時(shí)，切點(diǎn)分別為G，H，連接OG，OH，

由題意易得四邊形OGDH是正方形，ODC45．BDC45，

∴點(diǎn)B，O，D三點(diǎn)共線．

O的半徑為1，

∴OD2，

BD42，

∴點(diǎn)B到O上的點(diǎn)的距離的最大值為4221321．

0211，53216，

∴x的取值可能是1，2，3，4，5，共有5種，

故選：C．

10．（2025·江西贛州·二模）阿基米德不僅是物理學(xué)家，還是偉大的數(shù)學(xué)家，阿基米德折弦

定理就是圓中關(guān)于弦的一個(gè)定理，其條件大致如下：如圖，AB，BC為O的兩條弦

ABBC，點(diǎn)E是ABC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EDBC于點(diǎn)D，根據(jù)以上條件，下列說法錯(cuò)

誤的是（）

A．ABBECE

B．連接BE、CE，則ABBECE

C．CDBDAB

D．作射線EO交O于點(diǎn)F，則BF平分ABC

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角定理、弦與弧的關(guān)系、三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的

三線合一等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題關(guān)鍵．先求出AECE，再根據(jù)ABBEAE

即可判斷A正確；連接BE，CE，AE，先證出AECE，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得

ABBEAE，由此即可判斷B錯(cuò)誤；在CD上截取點(diǎn)G，使得CGAB，連接EG，BE，

CE，AE，先證出BAE≌GCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BEEG，再根據(jù)等腰三角形

的三線合一可得BDDG，由此即可判斷C正確；先求出AFCF，再根據(jù)圓周角定理可

得ABFCBF，由此即可判斷D正確．

【詳解】解：∵點(diǎn)E是ABC的中點(diǎn)，

∴AECE，

∵ABBEAE，

∴ABBECE，則選項(xiàng)A正確；

如圖，連接BE，CE，AE，

∵AECE，

∴AECE，

∵ABBEAE，

∴ABBECE，則選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

如圖，在CD上截取點(diǎn)G，使得CGAB，連接EG，BE，CE，AE，

由圓周角定理得：BAEGCE，

∵AECE，

∴AECE，

在BAE和GCE中，

ABCG

BAEGCE，

AECE

∴BAE≌GCESAS，

∴BEEG，

∵EDBC，

∴BDDG，

∴CDDGCGBDAB，則選項(xiàng)C正確；

由題意，畫出圖形如下：

∵EF是O的直徑，

∴EAFECF，

又∵AECE，

∴AFCF，

∴ABFCBF，

∴BF平分ABC，則選項(xiàng)D正確；

故選：B．

11．（2025·江西宜春·一模）一張直徑為12cm的半圓形卡紙，過直徑的兩端點(diǎn)剪掉一個(gè)三角

形，以下四種裁剪圖中，所標(biāo)數(shù)據(jù)（單位：cm）長度不合理的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)成三角形

的條件，三線合一定理，如選項(xiàng)A中圖實(shí)所示，過點(diǎn)C作CDAB于D，設(shè)直線CD與半

圓交于E，連接AE，BE，設(shè)ADxcm，則BD12xcm，由勾股定理可得方程

21571313575

72x26212x，解方程求出ADcm，BDcm，CD2；再證明

2424576

20567

△ADE∽△EDB，得到DE2ADBD，則可證明DECD，則此時(shí)滿足點(diǎn)C在圓

576

內(nèi)，據(jù)此可判斷A；同理可判斷B、D；如選項(xiàng)C中圖所示，過點(diǎn)C作CDAB于D，利

用勾股定理求出CD2的長，可證明CDAD，則點(diǎn)C在圓外，據(jù)此可判斷C．

【詳解】解：如選項(xiàng)A中圖實(shí)所示，過點(diǎn)C作CDAB于D，設(shè)直線CD與半圓交于E，

連接AE，BE，

設(shè)ADxcm，則BD12xcm，

由勾股定理得CD2AC2AD2BC2BD2，

2

∴72x26212x，

157

解得x，

24

157

∴ADcm，

24

131246493575

∴BDcm，CD2AC2AD249；

24576576

∵AB是半圓的直徑，

∴AEB90，

∴∠AED∠BED∠AED∠DAE90，

∴DAEDEB，

又∵ADEEDB90，

∴△ADE∽△EDB，

DEAD

∴，

DBDE

20567

∴DE2ADBD，

576

∴DE2CD2，即DECD，

∴此時(shí)滿足點(diǎn)C在圓內(nèi)，故A不符合題意；

同理可得B、D兩個(gè)選項(xiàng)中圖形的裁剪合理；

如選項(xiàng)C中圖所示，過點(diǎn)C作CDAB于D，

1

∴ADBDAB6cm，

2

∴CD2AC2AD245AD2，

∴CDAD，

∴點(diǎn)C在圓外，故C選項(xiàng)中長度不合理，符合題意；

故選：C．

12．（2025·江西南昌·一模）如圖，點(diǎn)M0,2，N0,8，半徑為5的A經(jīng)過點(diǎn)M，N，

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）

A．5,4B．4,6C．6,4D．4,5

【答案】D

【分析】本題考查矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理及其應(yīng)用是

解題的關(guān)鍵．連接AM，過點(diǎn)A作AEMN于點(diǎn)E，AFx軸于點(diǎn)F，可得四邊形AFOE

是矩形，得出AEOF，AFOE，利用M0,2，N0,8，可得OM2，ON8，

MNONOM6，利用垂徑定理可得ME，則可得OE，利用勾股定理可得AE，即可得．

【詳解】解：如圖，連接AM，過點(diǎn)A作AEMN于點(diǎn)E，AFx軸于點(diǎn)F，

又∵FON90，

∴四邊形AFOE是矩形，

∴AEOF，AFOE，

∵M(jìn)0,2，N0,8，

∴OM2，ON8，

∴MNONOM6，

∵AEMN，

1

∴EMENMN3，

2

∴AFOEOMEM5，

∵A的半徑為5，

∴AM5，

∴AEAM2ME24，

∴OF4，

∴A4,5，

故選：D．

二、填空題

13．（2025·江西九江·一模）如圖，VABC內(nèi)接于O，BD是O的直徑，CBD21，

則A的度數(shù)為．

【答案】69/69度

【分析】本題主要考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)的圓周角相等，三角形內(nèi)角和

定理，由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到BCD90，則由三角形內(nèi)角和定理可得D69，

則可得到AD69．

【詳解】解：∵BD是O的直徑，

∴BCD90，

∵CBD21，

∴D902169，

∵BCBC，

∴AD69．

故答案為：69．

14．（2025·江西新余·三模）如圖，在矩形ABCD中，AB4,BC3．點(diǎn)E在邊CD上，且CE3，

M,N分別是邊AB，AD上的點(diǎn)，且BMAN1，P是線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PMN是直

角三角形時(shí)，BP的長為．

32

【答案】2或或22

4

【分析】先證明EBC45，EBA45，①如圖1，過點(diǎn)M作MPAB交BE于點(diǎn)P，

連接PN，證明四邊形ANPM為矩形，②如圖2，過點(diǎn)M作MPMN交BE于點(diǎn)P，此時(shí)

PMN是直角三角形，過點(diǎn)P作PFAB于點(diǎn)F，則PFFB，③如圖3，以MN為直徑作

圓，與BE交于點(diǎn)PPNAM，此時(shí)PMN是直角三角形，過點(diǎn)P構(gòu)造矩形AMGH，且GM

與BP交于點(diǎn)K，則BMK,PGK為等腰直角三角形，可得MKBM1,GKPG，設(shè)GKx，

則PGx，再進(jìn)一步解答即可.

【詳解】解：∵在矩形ABCD中，AB4,BC3，

∴ADBC3，ABCD4，AABCCD90，

∵CEBC3，

∴EBC45，

∴EBA45，

①如圖1，過點(diǎn)M作MPAB交BE于點(diǎn)P，連接PN，

∵PMN是直角三角形時(shí)，

∴MPN90

∵A90，AMP90

∴四邊形ANPM為矩形，

∴MPN90，ANPM，△PMB為等腰直角三角形，

∴PMN是直角三角形，ANPMBM1，

∴BP2BM2，

②如圖2，過點(diǎn)M作MPMN交BE于點(diǎn)P，

此時(shí)PMN是直角三角形，過點(diǎn)P作PFAB于點(diǎn)F，則PFFB，

∴APFMPMN90，

∴PMF90AMNANM，

∴AMN∽FPM，

AMAN

∴，而ANBM1，則AM3，

PFFM

31

∴，

PFFM

∴PF3FM，

設(shè)FMx，則PF3x，

∴BFPF3x，BP2PF32x，

∵BFFMBM，

1

∴3xx1，解得x，

4

32

∴BP32x．

4

③如圖3，以MN為直徑作圓，與BE交于點(diǎn)PPNAM，此時(shí)PMN是直角三角形，

過點(diǎn)P構(gòu)造矩形AMGH，且GM與BP交于點(diǎn)K，則BMK,PGK為等腰直角三角形，

∴MKBM1,GKPG，設(shè)GKx，則PGx，

∴GMGKKM1x，

∴AHGM1x，

∵AN1，

∴HNAHANxPG，

同理可得：NPHPMG，而PHNPGM90，

∴PHN≌MGP，

∴PHGM1x，

∴HGPHPG2x1，

∵AMHG3，

∴2x13，

解得x1，

∴BPBKPK2222，

32

綜上所述，當(dāng)PMN是直角三角形時(shí)，BP的長為2或或22．

4

32

故答案為：2或或22

4

【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理的應(yīng)用，全等三角

形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，畫出圖形，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵.

15．（2025·江西南昌·二模）在VABC中，ABAC,A45,BC4，以點(diǎn)B為圓心，BC的

長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)D，連接BD，則圖中陰影部分的面積為．

【答案】2π42

【分析】此題考查了扇形面積公式、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．求出CBD45，

2

作DHBC于點(diǎn)H，則BHD90,BDH45,得到DHBD22，根據(jù)扇形面積減

2

去三角形面積即可得到答案．

【詳解】解：∵VABC中，ABAC,A45,

1

∴ABCACB180A67.5，

2

∵以點(diǎn)B為圓心，BC的長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)D，連接BD，

∴BDBC4，

∴BDCACB67.5，

∴CBD180BDCACB45，

作DHBC于點(diǎn)H，則BHD90,BDH45,

∴BHD是等腰直角三角形，

2

∴DHBD22

2

454211

∴圖中陰影部分的面積為BCDH2422242，

36022

故答案為：2π42

16．（2025·江西撫州·二模）如圖，以AB為邊作等腰三角形ABC，C120，若O的半

1

徑為2cm，弦AB的長為23cm，點(diǎn)D在O上，若DABBAC，則CD的長為．

2

【答案】2cm或62cm或22cm

【分析】首先確定點(diǎn)C共有兩個(gè)位置，當(dāng)在O處時(shí)，連接OD，易知OD2cm；當(dāng)在C處

時(shí)，此時(shí)分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)D在直線AB下方時(shí)，連接CD1,AD1，過點(diǎn)C作CEAD1于點(diǎn)

E，首先證明CEAE，結(jié)合勾股定理解得AECE2cm，再證明CDE30，由直角

三角形的性質(zhì)可得CD12CE22cm；②當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上方時(shí)，如圖，連接OD2，交BC

于點(diǎn)G，在CG上取一點(diǎn)H，使得CHD2H，連接D2H，然后計(jì)算CD2的值．

【詳解】解：如下圖，過點(diǎn)O作OFAB于點(diǎn)F，連接OA,OB，

∵O的半徑為2cm，弦AB的長為23cm，

∴OAOB2cm，AFBF3cm，

2

∴OFOA2AF22231cm，

OF1

∴sinOAF，

OA2

∴OAF30，

∴OBFOAF30，

∴AOB180OAFOBF120，

即點(diǎn)C其中一個(gè)位置與點(diǎn)O重合，

延長OF交O于點(diǎn)C，連接AC,BC，

則有ACBC，

∴ACBC，

∴CFOCOF211cm，

2

∴ACAF2CF23122，

CF1

∵sinCAB，

AC2

∴CAB30，

∴CBACAB30，

∴ACB180CABCBA120，

∴以AB為邊作等腰三角形ABC，BCA120，點(diǎn)C共有兩個(gè)位置，如圖C,O，

當(dāng)在O處時(shí)，連接OD，則OD2cm；

當(dāng)在C處時(shí)，此時(shí)分兩種情況，

①當(dāng)點(diǎn)D在直線AB下方時(shí)，如圖，連接CD1,AD1，過點(diǎn)C作CEAD1于點(diǎn)E，

1

∵DABBAC15，

2

∴CADCABDAB45，

∴ECA90CAD45CAD，

∴CEAE，

∵AE2CE2AC2，即2CE222，

∴AECE2cm，

??

∵CACA，

∴CDECBA30，

∴CD12CE22cm；

②當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上方時(shí)，如圖，連接OD2，交BC于點(diǎn)G，

1

則DABBAC15，

22

∴D2ACBACBAD215，

∵，

BD2BD2

∴BCD2BAD215，

在CG上取一點(diǎn)H，使得CHD2H，連接D2H，

∴HCD2HD2C15，

∴D2HG30，

1

∴GDDH，

222

∴22，

GHD2HD2G3GD2

∵BAD2CAD215，

∴，

BD2CD2

∴OD2垂直平分BC，

1

∴CGBC1cm，

2

∴GHHCGHD2H3D2G2D2G1cm，

1

∴D2G23cm，

23

2

∴222．

CD2D2GCG23162cm

綜上所述，CD的長為2cm或62cm或22cm．

故答案為：2cm或62cm或22cm．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、圓周角、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、

等腰三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，難度較大，綜合性較強(qiáng)，正確作出輔助線

并分類討論是解題關(guān)鍵．

17．（2025·江西新余·二模）如圖，以AB為邊作等腰三角形ABC，C120，若O的半

1

徑為2cm，弦AB的長為23cm，點(diǎn)D在O上，若DABBAC，則CD的長為．

2

【答案】2cm或62cm或22cm

【分析】首先確定點(diǎn)C共有兩個(gè)位置，當(dāng)在O處時(shí)，連接OD，易知OD2cm；當(dāng)在C處

時(shí)，此時(shí)分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)D在直線AB下方時(shí)，連接CD1,AD1，過點(diǎn)C作CEAD1于點(diǎn)

E，首先證明CEAE，結(jié)合勾股定理解得AECE2cm，再證明CDE30，由直角

三角形的性質(zhì)可得CD12CE22cm；②當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上方時(shí)，如圖，連接OD2，交BC

于點(diǎn)G，在CG上取一點(diǎn)H，使得CHD2H，連接D2H，然后計(jì)算CD2的值．

【詳解】解：如下圖，過點(diǎn)O作OFAB于點(diǎn)F，連接OA,OB，

∵O的半徑為2cm，弦AB的長為23cm，

∴OAOB2cm，AFBF3cm，

2

∴OFOA2AF22231cm，

OF1

∴sinOAF，

OA2

∴OAF30，

∴OBFOAF30，

∴AOB180OAFOBF120，

即點(diǎn)C其中一個(gè)位置與點(diǎn)O重合，

延長OF交O于點(diǎn)C，連接AC,BC，

則有ACBC，

∴ACBC，

∴CFOCOF211cm，

2

∴ACAF2CF23122，

CF1

∵sinCAB，

AC2

∴CAB30，

∴CBACAB30，

∴ACB180CABCBA120，

∴以AB為邊作等腰三角形ABC，BCA120，點(diǎn)C共有兩個(gè)位置，如圖C,O，

當(dāng)在O處時(shí)，連接OD，則OD2cm，即CD2cm；

當(dāng)在C處時(shí)，此時(shí)分兩種情況，

①當(dāng)點(diǎn)D在直線AB下方時(shí)，如圖，連接CD1,AD1，過點(diǎn)C作CEAD1于點(diǎn)E，

1

∵DABBAC15，

2

∴CADCABDAB45，

∴ECA90CAD45CAD，

∴CEAE，

∵AE2CE2AC2，即2CE222，

∴AECE2cm，

??

∵CACA，

∴CDECBA30，

∴CD12CE22cm；

②當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上方時(shí)，如圖，連接OD2，交BC于點(diǎn)G，

1

則DABBAC15，

22

∴D2ACBACBAD215，

∵，

BD2BD2

∴BCD2BAD215，

在CG上取一點(diǎn)H，使得CHD2H，連接D2H，

∴HCD2HD2C15，

∴D2HG30，

1

∴GDDH，

222

∴22，

GHD2HD2G3GD2

∵BAD2CAD215，

∴，

BD2CD2

∴OD2垂直平分BC，

1

∴CGBC1cm，

2

∴GHHCGHD2H3D2G2D2G1cm，

1

∴D2G23cm，

23

2

∴222．

CD2D2GCG23162cm

綜上所述，CD的長為2cm或62cm或22cm．

故答案為：2cm或62cm或22cm．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、圓周角、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、

等腰三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，難度較大，綜合性較強(qiáng)，正確作出輔助線

并分類討論是解題關(guān)鍵．

18．（2025·江西宜春·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P與x軸交于B，C兩點(diǎn)，

與y軸交于點(diǎn)A，且OBOC2OA4，則圓的半徑為．

【答案】5

【分析】本題主要考查了勾股定理，圓的基本性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，連接PC，設(shè)PCPAr，

2

則OPPAOAr2，由勾股定理得r2r242，解方程即可得到答案．

【詳解】解：如圖所示，連接PC，

設(shè)PCPAr，則OPPAOAr2，

在RtCOP中，由勾股定理得PC2OP2OC2，

2

∴r2r242，

解得r=5，

∴PC5，

∴圓的半徑為5，

故答案為：5．

三、解答題

19．（2025·江西南昌·三模）在正方形網(wǎng)格中，圓經(jīng)過格點(diǎn)A，B，請(qǐng)僅用無刻度的直尺作圖：

(1)在圖1中，作圓的直徑AC；

(2)在圖2中，在圓上找一點(diǎn)D，使ADAB．

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查網(wǎng)格中作圖，涉及圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的

判定，利用轉(zhuǎn)化的思想得到作圖依據(jù)是解答的關(guān)鍵．

（1）利用90度的圓周角（即ABC90）所對(duì)的弦是直徑可畫出直徑AC；

（2）取格點(diǎn)C、T，連接BT延長交圓于點(diǎn)D，連接AD，證明ABC∽ATB，得到

ABTACBADB，根據(jù)等腰三角形的判定可得ADAB．

【詳解】（1）解：如圖1中，直徑AC即為所求；

（2）解：如圖2中，點(diǎn)D即為所求．

20．（2025·江西南昌·三模）如圖，在VABC中，以AB為直徑作O，交AC于點(diǎn)P，

PD是O的切線，且PDBC，垂足為點(diǎn)D．

(1)求證：AC；

(2)若PD2BD4，求O的半徑．

【答案】(1)見解析

(2)5

【分析】（1）連接OP，如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到OPPD，則可判斷OP∥BC，所以

OPAC，然后利用OPAA可得到結(jié)論；

（2）連接PB，先利用勾股定理計(jì)算出PB25，再根據(jù)圓周角定理得到APB90，接

著證明△BDP∽△BPC，則利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可計(jì)算出BC10，然后利用

AC得到BA10，從而得到O的半徑．

【詳解】（1）證明：連接OP，如圖，

PD是O的切線，

OPPD，

PDBC，

OP∥BC，

OPAC，

OAOP，

OPAA，

AC；

（2）解：連接PB，如圖，

在Rt△PBD中，

PD2BD4，則BD2，

PB=22+42=25，

AB為直徑，

APB90，

BDPBPC，DBPPBC，

△BDP∽△BPC，

BP:BCBD:BP，

2

∴BP2BCBD，即252BC，

解得BC10，

AC，

BABC10，

O的半徑為5．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵

是學(xué)會(huì)添加常用輔助線解決問題；

21．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在VABC中，O為AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC長

為半徑作圓，與BC相切于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作ADBO，交BO的延長線于點(diǎn)D，且

AODBAD．

(1)求證：AB為O的切線；

4

(2)若BC6，tanABC，求OD的長．

3

【答案】(1)見解析

(2)5

【分析】本題主要考查切線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定、切線長定理、全

等與相似三角形的判定與性質(zhì)及解直角三角形的應(yīng)用．

（1）作OEAB，先由AODBAD求得ABDOAD，再由BCOD90及

BOCAOD求得OBCOADABD，最后證BOC≌BOE得OEOC，依據(jù)切

線的判定可得；

（2）先求得EOAABC，在RtABC中求得AC8、AB10，由切線長定理知

BEBC6、AE4、OE3，繼而得BO35，再證ABD∽OBC，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成

比例解答即可．

【詳解】（1）證明：過點(diǎn)O作AB邊上的垂線，并交AB于點(diǎn)E，

ADBO，

ADB90，

BADABD90，AODOAD90，

AODBAD，

ABDOAD，

又∵BC是O的切線，

ACBC，

∴BCO90，

∴BOCOBC90，

∵BOCAOD，

∴OBCOAD，

∴OBCABD，

即OBCOBE，

∵OEAB，

∴OEB90BCO，

又∵OBOB，

∴OBC≌OBEAAS，

∴OEOC，

又∵OEAB，

∴AB是O的切線；

（2）∵ACBC，

AC4

tanABC，

BC3

又∵BC6，

4

ACBCtanABC68，ABAC2BC2826210，

3

∵OBC≌OBE，

BEBC6，

AEABBE1064，

OEAB，

OEBC

tanEAO，

AEAC

BCAE64

OE3，

AC8

即O的半徑為3，

OCOE3，

OAACOC835，OBBC2OC2623235，

∵OBCOAD，AODBOC，

OAD∽OBC，

OAOD

，

OBOC

OAOC53

OD5．

OB35

22．（2025·江西新余·三模）如圖，在VABC中，AB是O的直徑，C是O上的一點(diǎn)，D

是BC的中點(diǎn)，連接DO并延長至點(diǎn)E，連接AE，且ABCE．

(1)求證：AE為O的切線．

(2)若O的半徑為4，OE210，連接AD，求AD的長．

【答案】(1)見解析

455

(2)AD

5

【分析】（1）證明OD∥AC，可得ACB90ODB，證明OAE90，進(jìn)一步可得結(jié)

論；

OAAEOE

（2）先求解AEOE2OA226，證明AOE∽CAB，可得，即

ACBCAB

426210

，再進(jìn)一步求解即可．

ACBC8

【詳解】（1）證明：∵D是BC的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，

∴OD∥AC，

∴ACBODB，

∵AB是O的直徑，

∴ACB90ODB，

∴BBOD90，

∵BE,BODAOE，

∴EAOE90，

∴OAE90，

∴AEAB，而OA為O的半徑，

∴AE為O的切線；

（2）解：∵O的半徑為4，OE210，

∴OA4，

∴AEOE2OA226，

∵OAEACB90，BE，

∴AOE∽CAB，

OAAEOE426210

∴，即，

ACBCABACBC8

810815

解得AC,BC，

55

∵ODBC，

1415

∴CDBC，

25

455

∴ADCD2AC2．

5

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形

的判定與性質(zhì)，圓的切線的判定，熟練的證明切線與相似三角形是解本題的關(guān)鍵.

23．（2025·江西九江·三模）如圖，AB是O的直徑，四邊形AFDE是平行四邊形，請(qǐng)僅用

無刻度的直尺按要求完成以下作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．

(1)在圖1中，點(diǎn)F與點(diǎn)O重合，請(qǐng)作出AD的中點(diǎn)G．

(2)在圖2中，請(qǐng)作出AD的中點(diǎn)H．

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了復(fù)雜作圖，涉及到平行四邊形的性質(zhì)、垂徑定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的

性質(zhì)是作圖的關(guān)鍵．

（1）連接OE并延長交O于G，連接AD交OE于M，則根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平

分可得到AMMD，根據(jù)平分弦（不是直徑）的直徑且垂直于弦,平分弦所對(duì)的兩條弧可得

OG平分AD；

（2）由（1）可作AD的中點(diǎn)H，由中位線定理的圓周角定理定理得到ONAD，同（1）

理．

【詳解】（1）解：如圖1，點(diǎn)G即為AD的中點(diǎn)；

（2）解：如圖2，點(diǎn)H即AD的中點(diǎn)．

24．（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）追本溯源

題（1）來自課本中的練習(xí)，請(qǐng)你完成解答，并完成變式訓(xùn)練題（2）．

(1)如圖1，AB與O相切于點(diǎn)C，OAOB，AB10cm．若O的直徑為8cm，求OA的長．

(2)如圖2，AB與O相切于點(diǎn)C，OAAB．若O的直徑為8cm，tanAOB2，求OA的

長．

【答案】(1)OA41cm；

(2)OA5cm．

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形．

（1）連接OC，利用切線的性質(zhì)求得OCAB，利用等腰三角形的性質(zhì)求得CA5，最后利

用勾股定理求解即可；

（2）連接OC，作ADOB于點(diǎn)D，利用等腰三角形的性質(zhì)求得AOBB，得到

OC1

tanB2，求得BCOC2，利用勾股定理求得BO25，利用等腰三角形的性

BC2

AD

質(zhì)求得ODBD5，再由tanB2，結(jié)合勾股定理求解即可．

BD

【詳解】（1）解：連接OC，

∵AB與O相切于點(diǎn)C，

∴OCAB，

∵OAAB，

1

∴CACBAB5，

2

∵O的直徑為8cm，

∴OC4cm，

∴OA524241cm；

（2）解：連接OC，作