2025年內(nèi)蒙古包頭市包鋼第四中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是（）A. B.C. D.2．若集合，，則A. B.C. D.3．已知數(shù)列為等差數(shù)列，則下列數(shù)列一定為等比數(shù)列的是（）A. B.C. D.4．函數(shù)極小值為（）A. B.C. D.5．已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A. B.C. D.6．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，則橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓中心的距離的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知橢圓=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F，橢圓上的A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，|FA|=2|FB|，且·≤a2，則該橢圓離心率的取值范圍是（）A.（0，] B.（0，]C.，1) D.，1)8．在如圖所示的莖葉圖中，若甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為16，則乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A.12 B.10C.8 D.69．設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C. D.11．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，，A為垂足．如果直線AF的斜率是，那么（）A B.C.16 D.812．若函數(shù)在上為增函數(shù)，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．經(jīng)過、兩點(diǎn)的直線斜率為______.14．生活中有這樣的經(jīng)驗(yàn)：三腳架在不平的地面上也可以穩(wěn)固地支撐一部照相機(jī).這個(gè)經(jīng)驗(yàn)用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)公理可以表述為___________.15．已知向量，，，則___________.16．已知數(shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列，且對(duì)任意，都有且．若對(duì)任意恒成立，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某企業(yè)為響應(yīng)“安全生產(chǎn)”號(hào)召，將全部生產(chǎn)設(shè)備按設(shè)備安全系數(shù)分為A，兩個(gè)等級(jí)，其中等設(shè)備安全系數(shù)低于A等設(shè)備.企業(yè)定時(shí)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行檢修，并將部分等設(shè)備更新成A等設(shè)備.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2020年底該企業(yè)A等設(shè)備量已占全體設(shè)備總量的30%.從2021年開始，企業(yè)決定加大更新力度，預(yù)計(jì)今后每年將16%的等設(shè)備更新成A等設(shè)備，與此同時(shí)，4%的A等設(shè)備由于設(shè)備老化將降級(jí)成等設(shè)備.（1）在這種更新制度下，在將來的某一年該企業(yè)的A等設(shè)備占全體設(shè)備的比例能否超過80%？請(qǐng)說明理由；（2）至少在哪一年底，該企業(yè)的A等設(shè)備占全體設(shè)備的比例超過60%.（參考數(shù)據(jù)：，，）18．（12分）已知，2，4，6中的三個(gè)數(shù)為等差數(shù)列的前三項(xiàng)，且100不在數(shù)列中，102在數(shù)列中.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）如圖，四棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，為正方形，平面平面，、分別為、中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線EP與平面AEF所成角的正弦值.20．（12分）某品牌餐飲公司準(zhǔn)備在10個(gè)規(guī)模相當(dāng)?shù)牡貐^(qū)開設(shè)加盟店，為合理安排各地區(qū)加盟店的個(gè)數(shù)，先在其中5個(gè)地區(qū)試點(diǎn)，得到試點(diǎn)地區(qū)加盟店個(gè)數(shù)分別為1，2，3，4，5時(shí)，單店日平均營業(yè)額（萬元）的數(shù)據(jù)如下：加盟店個(gè)數(shù)（個(gè)）12345單店日平均營業(yè)額（萬元）10.910.297.871（參考數(shù)據(jù)及公式：，，線性回歸方程，其中，.）（1）求單店日平均營業(yè)額（萬元）與所在地區(qū)加盟店個(gè)數(shù)（個(gè)）的線性回歸方程；（2）根據(jù)試點(diǎn)調(diào)研結(jié)果，為保證規(guī)模和效益，在其他5個(gè)地區(qū)，該公司要求同一地區(qū)所有加盟店的日平均營業(yè)額預(yù)計(jì)值總和不低于35萬元，求一個(gè)地區(qū)開設(shè)加盟店個(gè)數(shù)的所有可能取值；（3）小趙與小王都準(zhǔn)備加入該公司的加盟店，根據(jù)公司規(guī)定，他們只能分別從其他五個(gè)地區(qū)（加盟店都不少于2個(gè)）中隨機(jī)選一個(gè)地區(qū)加入，求他們選取的地區(qū)相同的概率.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為，其離心率，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)M作兩條不同的直線與橢圓C分別交于點(diǎn)A，B（均異于點(diǎn)M）.若∠AMB的角平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請(qǐng)給予證明；若不是，請(qǐng)說明理由.22．（10分）在下列所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答（若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分）.①與直線平行；②與直線垂直；③直線l的一個(gè)方向向量為；已知直線l過點(diǎn)，且___________.（1）求直線l的一般方程；（2）若直線l與圓C：相交于M，N兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率乘積為，可以直接求出所求直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求出直線方程，最后化成一般式方程即可.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，故所求直線的斜率等于，所求直線的方程為，即，故選：C2、A【解析】通過解不等式得出集合B，可以做出集合A與集合B的關(guān)系示意圖，可得出選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，解不等式即，所以或，所以集合，作出集合A與集合B的示意圖如下圖所示：所以：，故選A【點(diǎn)睛】本題考查集合間的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷【詳解】設(shè)的公差是，即，顯然，且是常數(shù)，是等比數(shù)列，若中一個(gè)為1，則，則不是等比數(shù)列，只要，，都不可能是等比數(shù)列，如，，故選：A4、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可求得該函數(shù)的極小值.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，令，可得或，列表如下：減極小值增極大值減所以，函數(shù)的極小值為.故選：A.5、D【解析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得到2p=4,進(jìn)而得到方程.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是,即p=2,2p=4,故得到方程為.故答案為D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，題目較為簡(jiǎn)單.6、A【解析】不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)，則，且有，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)點(diǎn)，則，且有，所以，.故選：A.7、B【解析】如圖設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為E，根據(jù)題意和橢圓的定義可知，利用余弦定理求出，結(jié)合平面向量的數(shù)量積計(jì)算即可.【詳解】由題意知，如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為E，則，因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形為平行四邊形，由，得，，在中，，所以，由，得，整理，得，又，所以.故選：B8、A【解析】根據(jù)眾數(shù)的概念，求得的值，再根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為16，得，所以乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為故選：A.9、D【解析】當(dāng)時(shí)，不是遞增數(shù)列；當(dāng)且時(shí)，是遞增數(shù)列，但是不成立，所以選D.考點(diǎn)：等比數(shù)列10、C【解析】利用已知條件求得，由此求得.【詳解】依題意，解得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】由題可得方程，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線定義即求【詳解】∵拋物線方程為，∴焦點(diǎn)F(2,0)，準(zhǔn)線l方程為x=?2，∵直線AF的斜率為,直線AF的方程為，由，可得，∵PA⊥l，A為垂足，∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程，得P點(diǎn)坐標(biāo)為，∴.故選：D.12、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要使函數(shù)在上為增函數(shù)，要保證導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上恒正即可，由此得到不等式,解得答案.詳解】由題意可知，若在遞增，則在恒成立，即有，則，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用斜率公式可求得結(jié)果.【詳解】由斜率公式可知，直線的斜率為.故答案為：.14、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面【解析】根據(jù)題意結(jié)合平面公理2即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可知，三腳架與地面接觸的三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上，則為數(shù)學(xué)中的平面公理2：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.故答案為：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.15、2【解析】由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，，，所以?故答案為：2.16、66【解析】根據(jù)恒成立和嚴(yán)格遞增可得，然后利用遞推求出，的值，不難發(fā)現(xiàn)在此兩項(xiàng)之間的所有項(xiàng)為連續(xù)正整數(shù)，于是可得，，然后可解.【詳解】因?yàn)?，且?shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列，所以或，若，則（矛盾），故由可得：，，，，，，，，，，，，，因，，，且數(shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列，，所以，，所以，所以故答案為：66三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）A等設(shè)備量不可能超過生產(chǎn)設(shè)備總量的80%，理由見解析；（2）在2025年底實(shí)現(xiàn)A等設(shè)備量超過生產(chǎn)設(shè)備總量的60%.【解析】(1)根據(jù)題意表示出2020年開始，經(jīng)過年后A等設(shè)備量占總設(shè)備量的百分比為，求出，根據(jù)的范圍進(jìn)行判斷；(2)令＞即可求解.【小問1詳解】記該企業(yè)全部生產(chǎn)設(shè)備總量為“1”，2020年開始，經(jīng)過年后A等設(shè)備量占總設(shè)備量的百分比為，則經(jīng)過1年即2021年底該企業(yè)A等設(shè)備量，，可得，又所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，可得，所以，顯然有，所以A等設(shè)備量不可能超過生產(chǎn)設(shè)備總量的80%.【小問2詳解】由，得.因?yàn)閱握{(diào)遞減，又，，所以在2025年底實(shí)現(xiàn)A等設(shè)備量超過生產(chǎn)設(shè)備總量的60%.18、（1）（2）【解析】（1）確定數(shù)列為遞增數(shù)列，然后由4個(gè)數(shù)確定等差數(shù)列，得通項(xiàng)公式，驗(yàn)證100和102是否為數(shù)列中的項(xiàng)得結(jié)論；（2）由裂項(xiàng)相消法求和【小問1詳解】首先數(shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)2，4，6為的前三項(xiàng)時(shí)，易知此時(shí)，100，102都是該數(shù)列中的項(xiàng)，不滿足題意當(dāng)，2，6為的前三項(xiàng)時(shí)，易知此時(shí)，100不是該數(shù)列中的項(xiàng)，102是該數(shù)列中的項(xiàng)，滿足題意所以【小問2詳解】因?yàn)樗运?19、（1）見解析（2）【解析】（1）連接，證明，即可證明平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，由平面平面，得平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求得答案.【小問1詳解】證明：連接，是正方形，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面；【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為4的正三角形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以直線EP與平面AEF所成角的正弦值為.20、（1）；（2）5，6，7；（3）.【解析】（1）先求得，，進(jìn)而得到b，a求解；（2）根據(jù)題意，由求解；（3）利用古典概型的概率求解.【詳解】（1）由題可得，，，設(shè)所求線性回歸方程為，則，將，代入，得，故所求線性回歸方程為.（2）根據(jù)題意，，解得：，又，所以的所有可能取值為5，6，7.（3）設(shè)其他5個(gè)地區(qū)分別為，他們選擇結(jié)果共有25種，具體如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中他們?cè)谕粋€(gè)地區(qū)的有5種，所以他們選取地區(qū)相同的概率.21、（1）（2）是，證明見解析【解析】（1）根據(jù)離心率及橢圓上的點(diǎn)可求解；（2）根據(jù)題意分別設(shè)出直線MA、MB，與橢圓聯(lián)立后得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再通過斜率公式計(jì)算即可證明.【小問1詳解】由，得，所以a2=9b2①，又橢圓過點(diǎn)，則②，由①②解得a=6，b=2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】設(shè)直線MA的斜率為k，點(diǎn)，因?yàn)椤螦MB的平分線與y軸平行，所以直線MA與MB的斜率互為相反數(shù)，則直線MB的斜率為-k.聯(lián)立直線MA與橢圓方程，得整理，得，所以，同理可得，所以，又所以為定值.22、（1）若選擇①②，則直線方程為：；若選擇③，則直線方程為；（2）若選擇①②，則；若選擇③，則.【解析】（1）根據(jù)所選擇的條件，結(jié)合直線過點(diǎn)，即可寫出直線的方程；（2）利用（1）中所求直線方程，以及弦長(zhǎng)公式，即可求得結(jié)