安徽省示范性高中培優(yōu)聯(lián)盟2026屆數(shù)學高二上期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，B=30°，BC=2，AB=，則邊AC的長等于（）A. B.1C. D.22．已知正四面體的底面的中心為為的中點，則直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.3．數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，為其前n項和．若對任意的，都有，則的值不可能是（）A. B.2C. D.34．已知曲線的方程為，則下列說法正確的是（）①曲線關于坐標原點對稱；②曲線是一個橢圓；③曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.A.① B.①②C.③ D.①③5．在等比數(shù)列中，，則的公比為（）A. B.C. D.6．曲線為四葉玫瑰線，這種曲線在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應用，苜蓿葉型立交橋有兩層，將所有原來需要穿越相交道路的轉(zhuǎn)向都由環(huán)形匝道來實現(xiàn)，即讓左轉(zhuǎn)車輛行駛環(huán)道后自右側(cè)切向匯入高速公路，四條環(huán)形匝道就形成了苜蓿葉的形狀.下列結(jié)論正確的個數(shù)是()①曲線C關于點(0，0)對稱；②曲線C關于直線y＝x對稱；③曲線C的面積超過4π.A.0 B.1C.2 D.37．在正四面體中，棱長為2，且E是棱AB中點，則的值為A. B.1C. D.8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則△ABC（）A.一定是銳角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是鈍角三角形 D.是銳角或直角三角形9．已知命題，；命題，，那么下列命題為假命題的是（）A. B.C. D.10．已知是等差數(shù)列，，，則公差為（）A.6 B.C. D.211．均勻壓縮是物理學一種常見現(xiàn)象.在平面直角坐標系中曲線均勻壓縮，可用曲線上點的坐標來描述.設曲線上任意一點，若將曲線縱向均勻壓縮至原來的一半，則點的對應點為.同理，若將曲線橫向均勻壓縮至原來的一半，則曲線上點的對應點為.若將單位圓先橫向均勻壓縮至原來的一半，再縱向均勻壓縮至原來的，得到的曲線方程為（）A. B.C. D.12．已知，，，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設，則曲線在點處的切線的傾斜角是_______14．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為______.15．圓關于y軸對稱的圓的標準方程為___________.16．過拋物線的準線上任意一點做拋物線的切線，切點分別為，則A點到準線的距離與點到準線的距離之和的最小值為___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）要設計一種圓柱形、容積為500mL的一體化易拉罐金屬包裝，如何設計才能使得總成本最低？18．（12分）已知函數(shù)，.（1）若，求的最大值；（2）若，求證：有且只有一個零點.19．（12分）已知橢圓的右焦點為，且經(jīng)過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設橢圓的左頂點為，過點的直線（與軸不重合）交橢圓于兩點，直線交直線于點，若直線上存在另一點，使.求證：三點共線.20．（12分）已知橢圓C：的離心率為，點為橢圓C上一點（1）求橢圓C的方程；（2）若M，N是橢圓C上的兩個動點，且的角平分線總是垂直于y軸，求證：直線MN的斜率為定值21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面于點M連接.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù)其中.（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，函數(shù)有兩個零點，，滿足，證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用余弦定理即得【詳解】由余弦定理，得，解得AC=1故選：B.2、B【解析】連接，再取中點，連接，得到為直線與所成角，再解三角形即可.【詳解】連接，再取中點，連接，因為分別為VC，中點，則，且底面,所以為直線與所成角，令正四面體邊長為1，則，,，所以，故選：.3、A【解析】由已知建立不等式組，可求得，再對各選項逐一驗證可得選項.【詳解】解：因為數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，為其前n項和．對任意的，都有，所以，即，解得，則當時，，不成立；當時，，成立；當時，，成立；當時，，成立；所以的值不可能是，故選：A.4、D【解析】對于①在方程中換為，換為可判斷；對于②分析曲線的圖形是兩個拋物線的部分組成的可判斷；對于③在第一象限內(nèi)，分析橢圓的圖形與曲線圖形的位置關系可判斷.【詳解】在曲線的方程中，換為，換為，方程不變，故曲線關于坐標原點對稱所以①正確,當時，曲線的方程化為，此時當時，曲線的方程化為，此時所以曲線圖形是兩個拋物線的部分組成的，不是橢圓，故②不正確.當，時，設，設，則，（當且僅當或時等號成立）所以在第一象限內(nèi)，橢圓的圖形在曲線的上方.根據(jù)曲線和橢圓的的對稱性可得橢圓的圖形在曲線的外部（四個頂點在曲線上）所以曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積，故③正確.故選：D5、D【解析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)把方程都變成和有關的式子后進行求解.【詳解】由等比數(shù)列的等比中項性質(zhì)可得，又，所以，因，所以，所以,故選：D.6、C【解析】根據(jù)圖像或解析式即可判斷對稱性①②；估算第一象限內(nèi)圖像面積即可判斷③.【詳解】①將點(－x，－y)代入后依然為，故曲線C關于原點對稱；②將點(y，x)代入后依然為，故曲線C關于y＝x對稱；③曲線C在四個象限的圖像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，∵，∴曲線C上離原點最遠的點的距離為顯然第一象限內(nèi)曲線C的面積小于以為直徑的圓的面積，又∵，∴第一象限內(nèi)曲線C的面積小于，則曲線C的總面積小于4π.故③錯誤.故選：C.7、A【解析】根據(jù)題意，由正四面體的性質(zhì)可得：，可得，由E是棱中點，可得，代入，利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出.【詳解】如圖所示由正四面體的性質(zhì)可得：可得：是棱中點故選：【點睛】本題考查空間向量的線性運算，考查立體幾何中的垂直關系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中等題型.8、C【解析】由余弦定理確定角的范圍，從而判斷出三角形形狀【詳解】由得－cosC>0，所以cosC<0，從而C為鈍角，因此△ABC一定是鈍角三角形.故選：C9、B【解析】由題設命題的描述判斷、的真假，再判斷其復合命題的真假即可.【詳解】對于命題，僅當時，故為假命題；對于命題，由且開口向上，故為真命題；所以為真命題，為假命題，綜上，為真，為假，為真，為真.故選：B10、C【解析】設的首項為，把已知的兩式相減即得解.【詳解】解：設的首項為，根據(jù)題意得，兩式相減得.故選：C11、C【解析】設單位圓上一點為，經(jīng)過題設變換后坐標為，則，代入圓的方程即可得曲線方程.【詳解】由題設，單位圓上一點坐標為，經(jīng)過橫向均勻壓縮至原來的一半，縱向均勻壓縮至原來的，得到對應坐標為，∴，則，故中，可得：.故選：C.12、A【解析】模擬程序運行可得程序框圖的功能是計算并輸出三個數(shù)中的最小數(shù)，計算三個數(shù)判斷作答.【詳解】模擬程序運行可得程序框圖的功能是計算并輸出三個數(shù)中的最小數(shù)，因，，，則，不成立，則，不成立，則，所以應輸出的x值為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用導數(shù)的定義，化簡整理，可得，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，即可求得答案.【詳解】因為=，所以，則曲線在點處的切線斜率為，即，又所以所求切線的傾斜角為故答案為：14、【解析】先求函數(shù)的導數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義求函數(shù)在處的切線方程.【詳解】，，，所以曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，重點考查計算能力，屬于基礎題型.15、【解析】根據(jù)題意可得圓心坐標為，半徑為1，利用平面直角坐標系點關于坐標軸對稱特征可得所求的圓心坐標為，半徑為1，進而得出結(jié)果.【詳解】由題意知，圓的圓心坐標為，半徑為1，設圓關于y軸對稱的圓為，所以，半徑為1，所以的標準方程為.故答案為：16、8【解析】設，，，，由可得，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得兩切線的方程，聯(lián)立求得點的坐標，再根到準線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離，三點共線時距離最小，進而求出最小值【詳解】解：設，，，，由可得，所以，所以直線，的方程分別為：，，聯(lián)立，解得，即，，又有在準線上，所以，所以，設直線的方程為：，代入拋物線的方程可得：，可得，所以可得，即直線恒過點，即直線恒過焦點，即直的方程為：，代入拋物線的方程：，，所以，點到準線的距離與點到準線的距離之和，所以當時，距離之和最小且為8，這時直線平行于軸故答案為：8三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、當圓柱底面半徑為，高為時，總成本最底.【解析】設圓柱底面半徑為cm，高為cm，圓柱表面積為Scm2，進而根據(jù)體積得到，然后求出表面積，進而運用導數(shù)的方法求得表面積的最小值，此時成本最小.【詳解】設圓柱底面半徑為cm，高為cm,圓柱表面積為Scm2,每平方厘米金屬包裝造價為元，由題意得：，則，表面積造價，，令，得，令，得，的單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，當圓柱底面半徑為，高為時，總成本最底.18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）利用導數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性，從而可求最值.（2）求導后發(fā)現(xiàn)導數(shù)中無參數(shù)，故單調(diào)性與（1）中所求一致，然后利用零點存在定理結(jié)合的范圍，以及函數(shù)單調(diào)性證明在定義域內(nèi)有且只有一個零點.【小問1詳解】若，則，其定義域為，∴，由，得，∴當時，；當時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴【小問2詳解】證明：，由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞誠，∵，∴當時，，故在上無零點；當時，，∵且，∴在上有且只有一個零點.綜上，有且只有一個零點.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】(1)根據(jù)給定條件利用橢圓的定義求出軸長即可計算作答.(2)根據(jù)給定條件設出的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，求出直線PA的方程并求出點M的坐標，求出點N的坐標，再利用斜率推理作答.【小問1詳解】依題意，橢圓的左焦點，由橢圓定義得：即，則，所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】由(1)知，，直線不垂直y軸，設直線方程為，，由消去x得：，則，，直線的斜率，直線的方程：，而直線，即，直線的斜率，而，即，直線的斜率，直線的方程：，則點，直線的斜率，直線的斜率，，而，即，所以三點共線.【點睛】思路點睛：解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結(jié)合題設條件建立有關參變量的等量關系20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，結(jié)合代入法進行求解即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關系、斜率公式進行求解即可.【小問1詳解】橢圓的離心率，又，∴∵橢圓C：經(jīng)過點，解得，∴橢圓C的方程為；【小問2詳解】∵∠MPN的角平分線總垂直于y軸，∴MP與NP所在直線關于直線對稱．設直線MP的斜率為k，則直線NP的斜率為∴設直線MP的方程為，直線NP的方程為設點，由消去y，得∵點在橢圓C上，則有，即同理可得∴，又∴直線MN的斜率為【點睛】關鍵點睛：由∠MPN的角平分線總垂直于y軸，得到MP與NP所在直線關于直線對稱是解題的關鍵.21、（1）證明見詳解（2）【解析】（1）連接，交于點，則為中點，再由等腰三角形三線合一可知為中點，連接，利用中位線可知，根據(jù)直線與平面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，利用向量法即可求出兩平面所成角的余弦值.【小問1詳解】連接，交于點，則為中點，因為，于，則為中點，連接，則，又因為平面，平面,所以平面；【小問2詳解】如圖所示，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，設平面的一個法向量為，由可得，令，得，即，易知平面的一個法向量為，設平面與平面所成角為，，則平面與平面所成角的余弦值為.22、（1）單調(diào)遞增區(qū)間,無遞減區(qū)間；（2）證明見解析【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，從而判斷其正負，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意可得到，進而變形為，然后換元令，將證明的問題轉(zhuǎn)換為成立的問題，從而構造新函數(shù)，求新函數(shù)的導數(shù)，判斷其單調(diào)性，求其最值，進而證明不等式成立.【小問1詳解】時，，,令，當時，，當時，，故