試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁山東省青島市2025-2026學(xué)年上學(xué)期九年級期中模擬數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列方程是關(guān)于的一元二次方程的是（

）A． B．C． D．（為常數(shù)）2．如圖，已知，，，則的長等于（

）A．4 B．5 C．6 D．73．在一個不透明的盒子中裝有若干個白球和3個紅球（除顏色外其余都相同），如果從袋子里摸出一個球記錄下顏色后放回，經(jīng)過多次重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在左右，則白球約為（

）個A．9 B．12 C．15 D．184．勾股定理與黃金分割是幾何中的雙寶，前者好比珠玉，后者堪稱黃金，生活中到處可見黃金分割的美．如圖是一種貝殼的俯視圖，點(diǎn)C為線段的黃金分割點(diǎn)（），已知，則長為（

）A． B． C． D．5．根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0，可列表如下：則方程x2+px+q=0的正數(shù)解滿足（）x00.511.11.21.3x2+px+q﹣15﹣8.75﹣2﹣0.590.842.29A．解的整數(shù)部分是0，十分位是5 B．解的整數(shù)部分是0，十分位是8C．解的整數(shù)部分是1，十分位是1 D．解的整數(shù)部分是1，十分位是26．若關(guān)于的一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根，則可取最大整數(shù)為（

）A． B．0 C．1 D．27．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)G、H是對角線上的兩點(diǎn)，若四邊形是菱形，則線段的長是（

）A． B． C． D．108．如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點(diǎn)恰好落在對角線上的點(diǎn)處（不與、重合），折痕為，若，，則的長為（

）A． B． C．4.5 D．59．如圖，在正方形中，邊長為6，點(diǎn)，分別是，邊上的點(diǎn)，且，平分，連接，分別交，于點(diǎn)，．點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．下列結(jié)論其中正確的有（

）個．①；②；③垂直平分；④；⑤的面積為．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題10．已知正數(shù)滿足，若，則．11．徐老師購買了1681張簽名卡，在畢業(yè)典禮上，他向每位同學(xué)贈送了一張簽名卡，每位同學(xué)間也互贈了一張簽名卡，簽名卡恰好用完，則班級共有名學(xué)生．12．如圖，菱形的對角線相交于點(diǎn)，，垂足為，連接．若，，則．13．如圖在一塊長為22米，寬為17米的矩形地面上，要修建兩條同樣寬且互相垂直的平行四邊形道路，道路與矩形邊所夾的銳角，剩余部分種上草坪，使草坪面積為299米，求圖中的值．請根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程：．14．如圖，為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點(diǎn)處與地面的距離為米，車頭可近似看成一個矩形，且滿，盲區(qū)的長度是6米，車寬的長度為米．

15．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為上一個動點(diǎn)，以為邊向右構(gòu)造菱形，且，連接，則線段長的最小值為．三、解答題16．請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．

已知：，求作：，使得在邊上，且它到、兩邊的距離相等．17．解下列方程：(1)（配方法）；(2)．(3)定義運(yùn)算：，解關(guān)于的方程．18．一個不透明的盒子里裝有四張卡片，分別寫有“美”、“好”、“數(shù)”、“學(xué)”四個字，卡片除文字外都相同、并將四張卡片充分?jǐn)噭颍?1)從盒子中隨機(jī)抽取1張卡片，恰好抽到寫有“數(shù)”的卡片概率是____________；(2)一次從盒子中隨機(jī)抽取2張卡片，用畫樹狀圖或列表的方法，求抽取的卡片恰好1張寫有“數(shù)”、1張寫有“學(xué)”的概率．19．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；(2)如果方程的兩實(shí)根為，，且，求m的值．20．如圖，在與中，，，，，，在同一直線上，連接，交于點(diǎn)，交于，交于，連接．(1)求證：；(2)直接寫出的長為______．21．在綜合實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識來解決實(shí)際問題，實(shí)踐報(bào)告如下：活動課題設(shè)計(jì)圍籬笆的方案活動工具直角三角板、量角器、皮尺、籬笆等活動過程【了解場地】如圖，測出墻與墻的夾角是，墻最長6米，足夠長；【設(shè)計(jì)圖紙】用籬笆圍成一個梯形的菜園，梯形滿足，，且邊上留一個1米寬的門；

【準(zhǔn)備材料】現(xiàn)有籬笆的長度是．解決問題如何圍籬笆才能使其所圍梯形的面積為？請你幫助興趣小組解決以上問題．22．如圖，在中，點(diǎn)、分別為、上的點(diǎn)，，連接，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)已知______（從以下兩個條件中選擇一個作為已知，填寫序號），請判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．條件①：；條件②：．（注：如果選擇條件①條件②分別進(jìn)行解答，按第一個解答計(jì)分）23．某車間生產(chǎn)兩種筆：型：每支成本5元，定價(jià)為元；型：每支成本6元，定價(jià)為元．根據(jù)車間實(shí)際情況，兩種筆每季度生產(chǎn)總量僅為100萬支，為了將生產(chǎn)的筆全部售出，兩種筆的定價(jià)會相互影響．根據(jù)調(diào)查：型筆的銷量萬支與定價(jià)元的關(guān)系如下：定價(jià)（元）…6789…銷量（萬支）…100908070…型筆的定價(jià)為7元時(shí)，銷量為85萬支，售價(jià)每提高1元，銷量減少5萬支．(1)求型筆的銷量萬支與售價(jià)元的關(guān)系式；(2)當(dāng)型筆的定價(jià)為7元時(shí)，型筆的定價(jià)為______元；該廠家將生產(chǎn)的兩種筆型出售后所獲得的利潤為______萬元；(3)若型筆每支利潤率不超過，求該廠家如何定價(jià)，將生產(chǎn)的所有筆都出售后所獲得的利潤是520萬元？24．【圖形感知】如圖1，正方形紙片，，為線段上的一點(diǎn)，，是線段上任意一點(diǎn)，將四邊形沿翻折得到，點(diǎn)、對應(yīng)點(diǎn)分別為、，直線分別交、分別為點(diǎn)、點(diǎn)．（1）猜想并證明、的位置和數(shù)量關(guān)系；【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，老師指導(dǎo)同學(xué)對圖1所示的紙片進(jìn)行進(jìn)一步的折疊探究．（2）當(dāng)點(diǎn)恰好落到上時(shí)，設(shè)交于，連接，①甲同學(xué)發(fā)現(xiàn)：可以求出的長；②乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)：可以計(jì)算的度數(shù)；請你幫助一下甲乙兩位同學(xué)，求解出的長為______，的度數(shù)為______．（3）老師進(jìn)一步提問，連接，若改變點(diǎn)的位置，點(diǎn)在線段上運(yùn)動過程中，是否存在最小值？甲乙兩位同學(xué)陷入沉思…，請你想一想是否存在？若存在，直接寫出最小值；若不存在，請說明理由．25．如圖，在中，，，，將沿翻折得到，點(diǎn)為的中點(diǎn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動，速度為；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動，速度為，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)設(shè)四邊形的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；(3)連接，當(dāng)平分線段時(shí)，求的值；(4)在運(yùn)動過程中，是否存在某一時(shí)刻，使點(diǎn)在的平分線上？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《山東省青島市2025-2026學(xué)年上學(xué)期九年級期中模擬數(shù)學(xué)試題》參考答案題號123456789答案CABDCBCBC1．C【分析】本題考查一元二次方程的判斷，根據(jù)只含有一個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為2的整式方程，叫做一元二次方程，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、它是分式方程，不符合題意；B、方程化簡為：，為一元一次方程，不符合題意；C、它是一元二次方程，符合題意；D、當(dāng)時(shí)，它不是一元二次方程，不符合題意；故選C．2．A【分析】本題考查平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得到，進(jìn)而得到，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴；故選A．3．B【分析】本題主要考查分式方程的應(yīng)用及利用概率求數(shù)量，讀懂題意列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)盒子中白球有個，根據(jù)題意列出方程，解方程即可得出答案．【詳解】解：設(shè)盒子中白球有個，根據(jù)題意有，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解．故選：B．4．D【分析】本題主要考查了黃金分割，理解和熟練掌握黃金分割定理是解決本題的關(guān)鍵；根據(jù)題意，得到比例關(guān)系，將代入，即可解決本題．【詳解】解：∵點(diǎn)C為線段的黃金分割點(diǎn)（），，∴，∴的長為．故選：D．5．C【分析】通過觀察表格可得x2+px+q=0時(shí)，1.1＜x＜1.2，即可求解．【詳解】解：由表格可知，當(dāng)x=1.1時(shí)，x2+px+q＜0，當(dāng)x=1.2時(shí)，x2+px+q＞0，∴x2+px+q=0時(shí)，1.1＜x＜1.2，∴解的整數(shù)部分是1，十分位是1，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，通過觀察所給的信息，確定一元二次方程解的范圍是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】本題主要考查了根的判別式、解一元一次不等式等知識，對于一元二次方程，則有方程有兩個實(shí)數(shù)根，方程有兩不等的實(shí)數(shù)根，方程有兩相等的實(shí)數(shù)根，方程沒有實(shí)數(shù)根．根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式即可得到k的取值范圍，即可求出答案．【詳解】解：，根據(jù)題意知且，解得且，故可取的最大整數(shù)是．故選：B．7．C【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，如圖，連接交于點(diǎn)O，連接，證明，，可得，可得，結(jié)合，進(jìn)一步求解即可.【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)O，連接，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴，在與中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，解得：；故選：C．8．B【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形，勾股定理，作，先證明為等邊三角形，進(jìn)而得到為含30度角的直角三角形，設(shè)，得到，折疊得到，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵在菱形中，，∴，∴為等邊三角形，∴，，∵，∴，作于點(diǎn)，設(shè)，則，∵，∴，∴，，∴，∵折疊，∴，在中，由勾股定理，得：，解得；∴；故選B．9．C【分析】由正方形的性質(zhì)可得，，，證明，得出，，證明，得出，求出，結(jié)合題意可得垂直平分，，即可判斷③；證明為的中位線，即可判斷①；證明，即可判斷④；由三角形內(nèi)角和定理并結(jié)合三角形外角的定義及性質(zhì)即可判斷②；作于，則為等腰直角三角形，求出，再由與中線有關(guān)的三角形的面積計(jì)算即可判斷⑤；從而得出答案．【詳解】解：∵四邊形為正方形，∴，，，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵平分，∴垂直平分，，故③正確；∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，故①正確；∵，，∴，∴，∵，∴，故④正確；∵垂直平分，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，故②正確；如圖，作于，，則為等腰直角三角形，∴，∴,∵，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，故⑤錯誤；綜上所述，正確的有①②③④，共個，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．10．【分析】本題考查比例的性質(zhì)，根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行求解即可，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵正數(shù)滿足，∴，∵，∴；故答案為：．11．【分析】此題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，設(shè)班級有名學(xué)生，根據(jù)題意列出方程即可，根據(jù)題意得等量關(guān)系，建立方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)班級有名學(xué)生，根據(jù)題意得：，解得：，（舍去），∴班級共有41名學(xué)生．故答案為：．12．【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理和直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)可得是直角三角形，是斜邊的中線，再根據(jù)勾股定理算出的值，進(jìn)而根據(jù)菱形的面積公式即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴其對角線互相垂直且平分，∴O是的中點(diǎn)．又∵，∴是直角三角形，是斜邊的中線．∴，在菱形中，，且．∵對角線互相垂直（），∴是直角三角形．由勾股定理得：，∴．∵菱形的面積公式分為兩種：對角線乘積的一半，即；底乘高，即．∴，故答案為：．13．【分析】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)矩形面積草坪面積兩條道路的面積兩條道路重合部分的面積列出方程即可．【詳解】解：如圖：過點(diǎn)作，∵，∴，由題意，，米，∴米，米，∵矩形面積草坪面積兩條道路的面積兩條道路重合部分的面積，∴根據(jù)題意，可列方程為：．即，故答案為：．14．/【分析】過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，根據(jù)題意，設(shè)米，由得，，證明，得出，根據(jù)列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，

則，設(shè)米，由得，，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，解得，，∴車寬的長度為米，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．【分析】連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接并延長交于，利用矩形的性質(zhì)，解直角三角形推出為等邊三角形，證明，得到為含30度角的直角三角形，進(jìn)而得到，證明，得到，確定點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短進(jìn)行求解即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在矩形內(nèi)部時(shí)，如圖，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接并延長交于，∵矩形，，，∴，，∴，∴，∴為等邊三角形，，，∴，∵以為邊向右構(gòu)造菱形，且，∴，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)在矩形的外部時(shí)，如圖，同理可得：，∵，即點(diǎn)在直線上運(yùn)動，∴當(dāng)時(shí)，最小，∵，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，添加輔助線，確定點(diǎn)的軌跡，是解題的關(guān)鍵．16．見解析【分析】過點(diǎn)作的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，于交點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的平行線，再上作，連接，即可得到．【詳解】解：如圖，即為所求作．

【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖——角平分線、過直線外一點(diǎn)作平行線，作線段，以及平行四邊形的判定和角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握基本作圖方法是解題關(guān)鍵．17．(1)，(2)，(3)，【分析】本題考查了解一元二次方程，選擇合適的方法進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）由題意可得，再利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴或，∴，；（3）解：∵，∴，∴，∴，∴或，∴，．18．(1)(2)【分析】本題考查利用概率公式計(jì)算概率，掌握樹狀圖或列表法求概率是解題的關(guān)鍵．（1）直接利用概率公式即可解題；（2）運(yùn)用樹狀圖列出所有等可能的結(jié)果，找出符合條件的結(jié)果數(shù)量，利用公式解題即可．【詳解】（1）解：盒子里裝有四張卡片，從盒子中隨機(jī)抽取1張卡片，恰好抽到“數(shù)”的概率是，故答案為：．（2）解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的卡片恰好1張為“數(shù)”，1張為“學(xué)”的結(jié)果有2種，∴抽取的卡片恰好1張為“數(shù)”、1張為“學(xué)”的概率為：．19．(1)見解析(2)或【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，一元一次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵．（1）證明即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，將變形為，代入相應(yīng)的值，得到關(guān)于m的方程，求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．（2）解：∵方程的兩實(shí)根為，，∴，，∵，∴，∴，解得或．20．(1)見解析(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、圓的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）由題意可得，，由勾股定理可得，，從而即可證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，再證明，即可得證；（2）由（1）可得，，，，，由勾股定理計(jì)算得出，由三角形內(nèi)角和定理得出，結(jié)合對頂角相等得出，從而可得點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓，求出，即，再由三角形面積公式，計(jì)算即可得解．【詳解】（1）證明：與中，，，，∴，，∴，，，，，，即，又，．（2）解：由（1）可得：，，，，，∴，，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓，∴，∴，即，∵，∴，∴，故答案為：．21．為米，為米時(shí)，籬笆所圍梯形的面積為【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，過點(diǎn)作于，則四邊形為矩形，由矩形的性質(zhì)可得，，設(shè)為米，由平行線的性質(zhì)可得，從而得出，求出，，再由題意列出一元二次方程，解方程即可得解，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)作于，則，四邊形為矩形，，，設(shè)為米，，，，，，，由題意可得，，，解得，（此時(shí)，不符題意），答：為6米，為10米時(shí)，籬笆所圍梯形的面積為．22．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定，矩形和菱形的判定，斜邊上的中線，熟練掌握相關(guān)判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到，根據(jù)，推出，即可得證；（2）選擇①，先證明四邊形是平行四邊形，三線合一得到，即可得出結(jié)論；選擇②，先證明四邊形是平行四邊形，再推出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，即，．（2）若選①，四邊形是矩形．證明：，，，又分別為的中點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形，，，，，即，四邊形是平行四邊形，，是的中點(diǎn)，，平行四邊形是矩形．若選②，四邊形是菱形．證明：，，，又分別為的中點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形，，，，，即，四邊形是平行四邊形，，是的中點(diǎn)，，平行四邊形是菱形．23．(1)(2)22，340(3)廠家應(yīng)將型筆每支定價(jià)8元，B型筆每支定價(jià)20元，可獲利520萬元【分析】此題考考查了函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用與解方程，利潤及利潤率的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于正確列出等量關(guān)系．（1）由表得出定價(jià)為6元時(shí)，銷量為100萬支，根據(jù)型筆的定價(jià)與銷量的關(guān)系，列出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)型筆的定價(jià)求出型筆的銷量，B型筆的銷量，再根據(jù)B型筆的定價(jià)與銷量的關(guān)系求出B型筆的定價(jià)，計(jì)算利潤；（3）根據(jù)總利潤得到關(guān)于、的方程，再根據(jù)總產(chǎn)量為100萬支再次得到關(guān)于、的方程，解出即可．【詳解】（1）解：由題意可知，型筆的定價(jià)為6元時(shí)，銷量為100萬支，型筆的定價(jià)每增加1元，銷量降低10萬支，，答：型筆的銷量萬支與售價(jià)元的關(guān)系式為．（2）解：型筆的定價(jià)為7元時(shí)，型筆的銷量為90萬支，此時(shí)B型筆銷量為（萬支），由于B型筆的定價(jià)為7元時(shí)，銷量為85萬支，售價(jià)每提高1元，銷量減少5萬支，（元），此時(shí)，每支A型筆的利潤為（元），每支B型筆的利潤為（元）則總利潤為（萬元），故答案為：，；（3）解：由題意知，，由于總產(chǎn)量為100萬支，則，得，，解得，，由于型筆每支的利潤率不超過，則，解得，（不符題意），（元），答：廠家應(yīng)將型筆每支定價(jià)8元，B型筆每支定價(jià)20元，可獲利520萬元．24．（1）位置關(guān)系：，數(shù)量關(guān)系：，證明見解析；（2）；；（3）存在，【分析】（1）過作于，證明四邊形是矩形得，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）過作于，過點(diǎn)作于，設(shè)，根據(jù)（1）結(jié)論及正方形的性質(zhì)得，，由折疊的性質(zhì)得，，在中，由，可得或（不符合題意，舍去），求可得的值，證明得，證明得，可得答案；（3）如圖，連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理得，，由（1）知：，即，推出點(diǎn)在以為直徑的上，連接，，，過作于，作于，繼而得到，四邊形是矩形，計(jì)算出，，∴，進(jìn)一步推出，即，當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，取“”，此時(shí)取得最小值．【詳解】（1）解：位置關(guān)系：，數(shù)量關(guān)系：，證明：過作于，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，，∴四邊形是矩形，∴，∵將四邊形沿翻折得到，∴，∴，又∵，∴，在和中，，∴，；（2）解：過作于，過點(diǎn)作于，∴，∵四邊形是正方形，，，∴，，∴，設(shè)，由（1）知：四邊形是矩形，，∴，，，∴，，∵將四邊形沿翻折得到，點(diǎn)恰好落到上，∴，，在中，，∴，解得：或（不符合題意，舍去），∴，∵，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，故答案為：；；（3