答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁河北省邢臺市卓越聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．設(shè)為實(shí)數(shù)，若向量，且，則的值為（

）A．－9 B．－4 C．4 D．92．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結(jié)論正確的是（

）A．矩形的直觀圖是矩形 B．三角形的直觀圖是三角形C．相等的角在直觀圖中仍然相等 D．長度相等的線段在直觀圖中仍然相等3．若復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．4．我國元代瓷器元青花團(tuán)菊花紋小盞如圖所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花為裝飾，釉質(zhì)潤澤，底足露胎，胎質(zhì)致密．碗內(nèi)口沿飾有一周回紋，內(nèi)底心書有一文字，碗外壁繪有一周纏枝團(tuán)菊紋，下筆流暢，紋飾灑脫．該元青花團(tuán)菊花紋小盞口徑8.4厘米，底徑2.8厘米，高4厘米，它的形狀可近似看作一個圓臺，則該圓臺的體積約為（

）（單位：立方厘米）A． B． C． D．5．某汽車零件質(zhì)檢員對一批汽油機(jī)電火花零件進(jìn)行質(zhì)檢，記錄數(shù)據(jù)（單位：毫米）為3.56，3.58，3.59，3.95，4.03，對于這五個數(shù)據(jù)，其上四分位數(shù)為（

）A．3.59 B．3.77 C．3.95 D．3.996．用5、6、7這三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，記事件“能被5整除”，事件“為奇數(shù)”，則事件與事件至少有一個發(fā)生的概率為（

）A． B． C． D．17．在直角梯形中，已知，，，點(diǎn)是邊靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一個動點(diǎn)．則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．8．如圖，為圓錐的底面圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于，的動點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．圓錐的側(cè)面積為B．三棱錐的體積的最大值為C．的取值范圍是D．若為線段上的動點(diǎn)，則的最小值為二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．設(shè)，為復(fù)數(shù)，若，則B．若是關(guān)于的方程的根，則C．若，，則的最大值為3D．設(shè)，為復(fù)數(shù)，則“”是“”的充分不必要條件10．將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲3次，記錄每次朝上的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件為“沒有出現(xiàn)6點(diǎn)”，事件為“至少出現(xiàn)一次6”，事件為“三個點(diǎn)數(shù)之和為9”，則（

）A．與互斥 B．C． D．11．如圖，連接一個棱長為的正方體的六個面的中心形成正八面體（由8個正三角形面組成，對角面為正方形），為正八面體棱上一點(diǎn)，且，則（

）

A．平面平面B．該正八面體外接球的表面積為C．二面角的余弦值為D．異面直線與所成角的余弦值為三、填空題12．若，則方程的解為．13．張華和李明二人進(jìn)行一場游戲比賽，且比賽中不存在平局，先贏三局者獲勝，并可以獲得1000元獎金．已知張華、李明二人在每局比賽中獲勝的可能性均相同．已知當(dāng)張華連贏兩局，李明一局未贏時，因某種特殊情況需要終止比賽．現(xiàn)將1000元獎金按兩人各自最終獲勝的可能性的比例進(jìn)行分配，則張華應(yīng)該分得元．14．若正四棱柱的底面棱長為4，側(cè)棱長為3，且為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動，且滿足與底面的所成角，則點(diǎn)形成的軌跡長度為．

四、解答題15．已知的內(nèi)角，，的對邊為，，，且．(1)求；(2)若，，求的面積．16．已知平面向量，，且．求：(1)向量在向量上的投影向量；(2)的值；(3)向量與夾角的余弦值．17．為探究某藥物對小白鼠的生長抑制作用，將生長情況相同的100只小白鼠隨機(jī)均分為兩組：對照組（不添加藥物）和實(shí)驗(yàn)組（添加藥物），飼養(yǎng)相同時間后，分別測量這兩組小白鼠的體重增加量（單位：），這些小白鼠的體重增加量都在內(nèi)，按照，，，，，分組，得到如下頻率分布直方圖．

(1)估計(jì)對照組小白鼠體重增加量的平均數(shù)（每組以該組所在區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）及中位數(shù)；(2)求的值及實(shí)驗(yàn)組中體重增加量不大于的小白鼠的只數(shù)；(3)現(xiàn)從實(shí)驗(yàn)組和對照組中各隨機(jī)抓取1只小白鼠，用事件表示“所取2只小白鼠體重增加量均超過”，事件表示“2只小白鼠僅有1只體重增加量不超過”，求，，并判斷是否相互獨(dú)立．18．已知，，，設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，，，且．(1)若，，為角A的平分線，且交于點(diǎn)，求的長；(2)若的面積為，為的中點(diǎn)，求長的最小值；(3)若，求周長的取值范圍．19．如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積；(3)求二面角的余弦值．《河北省邢臺市卓越聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678910答案CBADCADCBCDABD題號11答案ABC1．C【分析】由兩向量共線的坐標(biāo)公式列出方程，求解即得.【詳解】由題意得，解得．故選：C．2．B【分析】由斜二測畫法逐一判斷即可.【詳解】解：對于A，由斜二測畫法可知，矩形的直觀圖為平行四邊形，故A錯誤；對于B，由斜二測畫法可知，三角形的直觀圖是三角形，故B正確；對于C，由A可知，矩形的四個角都為直角，但其直觀圖是平行四邊形，只有對角才相等，故C錯誤；對于D，正方形的四條邊相等，但其直觀圖是平行四邊形，只有對邊才相等，故D錯誤.故選：B.3．A【分析】利用復(fù)數(shù)乘除法法則計(jì)算出，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)和虛部概念得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，則復(fù)數(shù)的虛部為．故選：A．4．D【分析】利用圓臺體積公式直接求解即可.【詳解】設(shè)該圓臺的上底面、下底面的半徑分別為，，由題意，．則該圓臺的體積為立方厘米．故選：D．5．C【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義，即可求解.【詳解】上四分位數(shù)即第75百分位數(shù)，因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)即這組數(shù)據(jù)從小到大排列后的第四個數(shù)，為3.95.故選：C6．A【分析】列舉所有情況，由古典概型的概率公式，結(jié)合并事件的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意知，用5、6、7這三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，則共有6種情況，共有兩種情況，共有四種情況，所以，，，所以，故選：A．7．D【分析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，且，，從而得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，依題意，有，，，，設(shè)，則，且，，，因，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故．

故選：D．8．C【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式即可求解A，根據(jù)體積公式即可求解B，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系，即可求解C，利用兩點(diǎn)間距離最小，由余弦定理即可求解D.【詳解】在中，，則圓錐的母線長，半徑，對于選項(xiàng)A，圓錐的側(cè)面積，A錯誤；三棱錐的體積為，其中為點(diǎn)到的距離，故當(dāng)時，最大，且最大值為2，三棱錐的體積最大，此時，B錯誤；在中，，又，則，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，為最小角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，達(dá)到最大值，又與不重合，則，又，得，C正確；由，得，又，則為等邊三角形，則，將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，得到，則為等邊三角形，，如圖知，由，得，所以，D錯誤．故選：C．

9．BCD【分析】對于A，通過舉例即可判斷，對于B，由條件得到方程另一根為，即可判斷，對于C，由復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷，對于D，由“”確定，都是實(shí)數(shù)，可判斷充分性，再通過舉例可判斷必要性.【詳解】對于選項(xiàng)A，若，例如，，滿足，但，，即，故A錯誤；對于選項(xiàng)B，由是關(guān)于的方程的根，由實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根成對出現(xiàn)，可知該方程另一根為，因此，解得，B正確．對于選項(xiàng)C，，，在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，是該圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，而點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，因此的最大值為，C正確；對于選項(xiàng)D，若，則，都是實(shí)數(shù)，且，即充分性成立；若，例如，，且，但，不是實(shí)數(shù)，無法比較大小，即必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件，故D正確．故選：BCD．10．ABD【分析】利用對立事件、互斥事件的定義可判定A，利用古典概型可計(jì)算B、D，利用列舉法可判定C.【詳解】將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲3次，所有可能結(jié)果有個，事件為“沒有出現(xiàn)6點(diǎn)”，事件為“至少出現(xiàn)一次6”，事件，互為對立事件，因此與互斥，選項(xiàng)A正確；由選項(xiàng)知，沒有出現(xiàn)6點(diǎn)共有種結(jié)果，所以，選項(xiàng)B正確；事件為“三個點(diǎn)數(shù)之和為9”，則按第一次擲出的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6分類計(jì)數(shù)：第一次擲出的點(diǎn)數(shù)123456第二、三擲出的點(diǎn)數(shù)之和876543三個點(diǎn)數(shù)和為9的結(jié)果數(shù)565432所以．由古典概型概率計(jì)算公式，得，選項(xiàng)D正確；這里沒有出現(xiàn)6點(diǎn)的有19種，故，選項(xiàng)C錯誤.故選：ABD．11．ABC【分析】A利用面面平行的判定定理即可求證；B根據(jù)正八面體的性質(zhì)及球的定義即可找出球心為線段的中點(diǎn)，即可求表面積；C取中點(diǎn)，結(jié)合二面角的平面角的定義以及余弦定理即可求出；D將問題轉(zhuǎn)化為求，在中應(yīng)用余弦定理即可.【詳解】依題意可知正八面體的棱長為，，現(xiàn)把正八面體從正方體里隔離出來．由正八面體的性質(zhì)，平面，平面，所以平面，又因，平面，平面，故平面，又，，平面，故平面平面，故A正確；連接，，設(shè)，則長即該正八面體的外接球的半徑，長度為正方體棱長的一半，即，則該正八面體的外接球的表面積為，故B正確；取中點(diǎn)，連接，，因，均為正三角形，所以，，則即為二面角的平面角，

因正八面體的棱長為5，則，，在中由余弦定理，可得，故C正確；因，故為異面直線與所成的角，又因?yàn)椋?，，在中由余弦定理，，在中，，，則，故D錯誤．故選：ABC．12．【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，代入，結(jié)合復(fù)數(shù)模的運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的條件列出方程求解即可.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則有，由復(fù)數(shù)相等的條件得，，所以故原方程的解為．故答案為：13．875【分析】利用獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算李明連贏三局獲勝的概率，再用對立事件的概率公式即可求出張華獲勝的概率，即可求出張華應(yīng)該分得獎金.【詳解】由題意，如果比賽繼續(xù)，李明需要連贏三局才能獲勝，因張華和李明二人在每局比賽中獲勝的可能性均相同，則李明連贏三局獲勝的概率為，張華獲勝的概率為，所以張華應(yīng)分得獎金的，李明應(yīng)分得獎金的，即張華應(yīng)該分得元．故答案為：87514．【分析】根據(jù)線面角的定義得即為與底面的所成角，再由已知確定點(diǎn)形成的軌跡是以為圓心，為半徑的四分之一圓，即可得.【詳解】由平面，則即為與底面的所成角，所以且，則，故點(diǎn)形成的軌跡是以為圓心，為半徑的四分之一圓，所以軌跡長度為．故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊角互化和余弦定理可得的值，再由同角三角函數(shù)的關(guān)系可得的值；（2）將已知條件代入可得，然后由三角形的面積公式可得結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理得，即，由余弦定理得，又，所以；（2）由，有，可得，得，即．的面積為．16．(1)；(2)；(3).【分析】（1）由已知及數(shù)量積的運(yùn)算律得，再由投影向量的定義求向量在向量上的投影向量；（2）應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求向量的模長；（3）應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及夾角公式求向量與夾角的余弦值.【詳解】（1）由，得，即，向量在向量上的投影向量是；（2）由；（3），

所以.17．(1)平均數(shù)為，中位數(shù)為(2)，(3)，，，不相互獨(dú)立【分析】（1）應(yīng)用頻率分布直方圖平均數(shù)及中位數(shù)公式計(jì)算求解；（2）先應(yīng)用頻率和為1得出參數(shù)，再結(jié)合頻率計(jì)算求解只數(shù)；（3）應(yīng)用獨(dú)立事件概率乘積公式判斷即可.【詳解】（1）估計(jì)對照組小白鼠體重增加量的平均數(shù)為因?yàn)?，所以估?jì)對照組小白鼠體重增加量的中位數(shù)為20．（2）由，得．

估計(jì)實(shí)驗(yàn)組中體重增加量不大于的小白鼠只數(shù)為（3）由題意知，從對照組中隨機(jī)抓取1只小白鼠，體重增加量超過的概率為0.5，超過的概率為0.3，從實(shí)驗(yàn)組中隨機(jī)抓取1只小白鼠，體重增加量超過的概率為0.4，超過的概率為0.15，所以，

，因?yàn)?，所以，不相互?dú)立.18．(1)(2)(3)【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角恒等變換先計(jì)算A，再根據(jù)三角形面積公式、等面積法計(jì)算即可；（2）利用三角形面積公式確定，再利用中線的向量性質(zhì)，平方結(jié)合基本不等式計(jì)算最小值即可；（3）利用正弦定理化邊為角，再由輔助角公式結(jié)合角的范圍、正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】（1），

由，由，因此有，由已知得，且為角A的平分線，所以，因?yàn)?，則，即，解得．（2）由已知，又的面積為，則，解得，

又，則當(dāng)且僅當(dāng)時，等號取到，所以；即邊上中線長的最小值為．（3）由正弦定理可知：，

因此有，因?yàn)?，所以因此周長的取值范圍為．19．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）取中點(diǎn)，通過證明四邊形為平行四邊形，從而得到，再由線面平行的判定即可證明；（2）由題知，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可證平面，然后利用體積計(jì)算公式求解；（3）取的中點(diǎn)，連接，過作于，則為二面角的平面角，在中，可求，再得到即可.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，