專題03全等三角形（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律命題與定義掌握定義與命題的概念，并解決相關(guān)概念題型且能判斷正誤基礎(chǔ)概念題型，常出現(xiàn)在選擇題全等三角形的概念與性質(zhì)掌握全等三角形定義、對(duì)應(yīng)元素，并能找對(duì)應(yīng)關(guān)系，用性質(zhì)求邊、角的值中考?？碱}型，一般在小題全等三角形的判定熟記SSS/SAS/ASA/AAS/HL，能按已知條件選擇定理高頻易錯(cuò)點(diǎn)，容易忽略全等的條件等腰三角形的概念與性質(zhì)掌握等腰三角形的定義（有兩邊相等的三角形）、邊角性質(zhì)（等邊對(duì)等角）及“三線合一”性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)解決邊、角計(jì)算和證明問(wèn)題中考重點(diǎn)題型，性質(zhì)應(yīng)用常出現(xiàn)在選擇、填空及解答題基礎(chǔ)部分，高頻且難度中等偏基礎(chǔ)等腰三角形的判定熟記等腰三角形的判定定理（等角對(duì)等邊），能根據(jù)已知角或邊的關(guān)系判定三角形為等腰三角形，解決相關(guān)證明和計(jì)算中考常考題型，多與全等、平行線等定理結(jié)合，是易錯(cuò)點(diǎn)，需注意判定條件的準(zhǔn)確應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)掌握等邊三角形定義（三邊相等）、邊角性質(zhì)（三角均為60°、三邊相等），能運(yùn)用性質(zhì)解決角度計(jì)算、線段證明及幾何綜合問(wèn)題多在幾何綜合題中結(jié)合旋轉(zhuǎn)、全等考查，難度中等，是幾何變換類題的高頻考點(diǎn)互逆命題掌握互逆命題的定義，能判斷兩個(gè)命題是否為互逆命題；會(huì)寫出一個(gè)命題的逆命題，并能判斷逆命題的真假基礎(chǔ)概念題型，常出現(xiàn)在選擇題、填空題，考查對(duì)概念的理解及逆命題的書寫與真假判斷互逆定理掌握互逆定理的定義，能判斷兩個(gè)定理是否為互逆定理；明確互逆定理的成立條件（逆命題為真命題），并結(jié)合具體定理（如勾股定理與其逆定理）理解應(yīng)用常結(jié)合具體定理（如勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)與判定等）考查，多為概念理解題，難度基礎(chǔ)，易忽略“逆命題需為真”的關(guān)鍵條件垂直平分線的性質(zhì)掌握垂直平分線定義及“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等”的性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)解決線段相等、點(diǎn)的位置判定及輔助線構(gòu)造問(wèn)題基礎(chǔ)高頻考點(diǎn)，常出現(xiàn)在選擇、填空題，也用于幾何證明的輔助線設(shè)計(jì)，屬于幾何基礎(chǔ)工具類考點(diǎn)角平分線的性質(zhì)掌握角平分線定義及“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”的性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)解決距離相等證明、角度計(jì)算及全等結(jié)合類問(wèn)題基礎(chǔ)高頻易錯(cuò)點(diǎn)，多在選擇、填空及證明題中出現(xiàn)，易忽略“距離是垂線段”的條件，需精準(zhǔn)應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)01命題、定理與證明◎命題表示判斷的語(yǔ)句叫做命題。命題的兩層含義:(1)命題必須是一個(gè)完整的句子，通常是一個(gè)陳述句，包括肯定句和否定句;(2)命題必須是對(duì)某件事情作出肯定或否定的判斷?！蛎}的組成...由條件和結(jié)論兩部分組成。條件是已知事項(xiàng);結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)這樣的命題通常可寫成“如果..那么...”的形式?！蛎}的分類命題分為真命題和假命題兩類:★真命題:有些命題，如果條件成立，那么結(jié)論一定成立，像這樣的命題，稱為真命題?！锛倜}:有些命題，條件成立時(shí)，不能保證結(jié)論總是正確，也就是說(shuō)結(jié)論不成立或不一定成立，像這樣的命題，稱為假命題?！蚨ɡ怼锘臼聦?shí):人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并作為判斷其他命題真假依據(jù)的真命題。數(shù)學(xué)中，有些命題可以從基本事實(shí)或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并且可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理。五、證明及證明的一般步驟★證明:根據(jù)條件、定義以及基本事實(shí)、定理等，經(jīng)過(guò)演繹推理，來(lái)判斷一個(gè)命題是否正確，這樣的推理過(guò)程叫做證明知識(shí)點(diǎn)02判定全等三角形（邊邊邊）◎判定全等三角形（邊邊邊）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）?！蚺卸ㄈ热切危ㄟ吔沁叄﹥蛇吅退鼈兊膴A角分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）?！蚺卸ㄈ热切危ń沁吔牵﹥山呛退鼈兊膴A邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）?！蚺卸ㄈ热切危ń墙沁叄﹥山欠謩e相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成"角角邊"或"AAS"）。◎判定全等三角形（直角邊、斜邊）斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)寫成"斜邊、直角邊"或"HL"）。注意：用“HL”證明兩個(gè)直角三角形全等，書寫時(shí)兩個(gè)三角形符號(hào)前面要加上“Rt”。知識(shí)點(diǎn)03全等三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線相等，面積相等．知識(shí)點(diǎn)04角平分線◎角的平分線的性質(zhì)（一）作已知角的平分線（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分線）1、以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N。2、分別以M,N為圓心，大于123、畫射線OC，射線OC即為所求。（二）角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。幾何表示：∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E?！郟D=PE?！蚪堑钠椒志€的判定角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。幾何表示：∵點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上。知識(shí)點(diǎn)05線段垂直平分線◎定義經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線?！蚓€段垂直平分線的作圖1.分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn)；2.作直線CD，CD為所求直線◎線段垂直平分線性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等知識(shí)點(diǎn)06等腰三角形的概念與性質(zhì)◎等腰三角形概念有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的邊叫做腰，另一邊叫做底，兩條腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．◎等腰三角形的性質(zhì)如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)稱“在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角”．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡(jiǎn)稱“等腰三角形三線合一”．◎等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.可以簡(jiǎn)單的說(shuō)成：在一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊.知識(shí)點(diǎn)07等邊三角形的概念與性質(zhì)◎等邊三角形概念三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.注意：等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.（2）等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.◎等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對(duì)稱軸，每個(gè)角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對(duì)稱軸.（2）三個(gè)角都是60°◎等邊三角形的判定（1）三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形.（2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.知識(shí)點(diǎn)08互逆命題與互逆定理◎互逆命題在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題就叫做它的逆命題。任何一個(gè)命題都有逆命題。◎互逆定理如果一個(gè)定理的逆命題也是定理，那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理。知識(shí)點(diǎn)09尺規(guī)作圖◎作一條線段等于已知線段已知線段a求作線段0A，使OA等于a作法1）任作一條射線OP；2）以點(diǎn)0為圓心，a的長(zhǎng)為半徑畫弧，交0P于點(diǎn)A，則線段OA即為所求依據(jù)圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑.◎作一個(gè)角等于已知角已知∠AOB求作∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB作法1）作射線O'A'；2）以點(diǎn)0為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交0A于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D；3）以點(diǎn)0'為圓心，0C的長(zhǎng)為半徑畫弧，交O'A'于點(diǎn)E；4）以點(diǎn)E為圓心，CD的長(zhǎng)為半徑畫弧，交前弧于點(diǎn)F；5）經(jīng)過(guò)點(diǎn)F作射線O'B',ㄥA'0'B'即為所求.依據(jù)1）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；3）兩點(diǎn)確定一條直線.◎作已知角的角平分線已知∠AOB求作射線OP，使∠AOP=∠BOP作法1）以點(diǎn)0為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交0A于點(diǎn)M，交0B于點(diǎn)N；2）分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)P；3）作射線OP，射線OP即為所求.依據(jù)1）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；3）兩點(diǎn)確定一條直線.◎過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線已知直線AB和AB上的一點(diǎn)M求作AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)M作法作平角ㄥACB的平分線MF.直線MF就是所求作的垂線.已知直線AB和AB外一點(diǎn)M求作AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)M作法1）任意取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P和點(diǎn)M在AB的兩旁；2）以點(diǎn)M為圓心，MP的長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)C和點(diǎn)D；3）分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于CD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E；4）作直線EM，直線EM就是所求作的垂線.依據(jù)1）等腰三角形“三線合一”；2）兩點(diǎn)確定一條直線.◎作線段的垂直平分線已知線段AB求作線段AB的垂直平分線作法1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N；2）作直線MN，直線MN就是線段AB的垂直平分線.依據(jù)1）到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；2）兩點(diǎn)確定一條直線.尺規(guī)作圖的關(guān)鍵:1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；2）讀懂題意后，再運(yùn)用幾種基本作圖方法解決問(wèn)題；3)切記作圖中一定要保留作圖痕跡；4）無(wú)刻度直尺作圖通常會(huì)與等腰三角形的判定，三角形中位線定理，矩形的性質(zhì)和勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.題型一判斷命題與命題真假解｜題｜技｜巧★只需找到一個(gè)滿足條件，但不滿足結(jié)論的例子，即可證明命題為假．示例：“相等的角是對(duì)頂角”是假命題，反例為“兩直線平行時(shí)的同位角相等，但同位角不是對(duì)頂角”．【典例1】下列語(yǔ)句屬于命題的有（

）①兩點(diǎn)之間線段最短；②不許大聲喧嘩；③連接P，Q兩點(diǎn)；④花兒在春天開(kāi)放；⑤不相交的兩條直線叫做平行線；⑥無(wú)論n取怎樣的自然數(shù)，式子2nA．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】本題考查的是命題的含義與判斷，根據(jù)命題的含義逐一分析判斷即可．【詳解】解：①兩點(diǎn)之間線段最短是命題；②不許大聲喧嘩不是命題；③連接P，Q兩點(diǎn)不是命題；④花兒在春天開(kāi)放是命題；⑤不相交的兩條直線叫做平行線是命題；⑥無(wú)論n取怎樣的自然數(shù)，式子2n故選：B.【變式1】下列命題中，是真命題的是（

）A．如果兩個(gè)角是同旁內(nèi)角，那么這兩個(gè)角一定互補(bǔ)B．兩個(gè)互補(bǔ)的角一定是鄰補(bǔ)角C．從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做這點(diǎn)到這條直線的距離D．在平面內(nèi)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】D【分析】此題主要考查命題真假的判斷，解題的關(guān)鍵是熟知平行線的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角定義、點(diǎn)到直線的距離的概念、垂直的定義．根據(jù)平行線的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角定義、點(diǎn)到直線的距離的概念、垂直的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，原命題是假命題，故A不符合題意；B、兩個(gè)互補(bǔ)的角不一定是鄰補(bǔ)角，原命題是假命題，故B不符合題意；C、從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做該點(diǎn)到直線的距離，原命題是假命題，故C不符合題意；D、在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，此命題為真命題，故D符合題意．故選：D．【變式2】判斷下列句子是不是命題①對(duì)頂角相等；()②畫一個(gè)角等于已知角；()③兩直線平行，同位角相等；()④a，b兩條直線平行嗎？()【答案】是不是是不是【分析】本題考查了命題的定義：一般地，在數(shù)學(xué)中我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．分析是否是命題，需要分別分析各選項(xiàng)是否是用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句即可．【詳解】解：①對(duì)頂角相等，是命題；②畫一個(gè)角等于已知角，不是命題；③兩直線平行，同位角相等，是命題；④a，b兩條直線平行嗎？是問(wèn)句，未做判斷，不是命題；故答案為：是，不是，是，不是．題型二補(bǔ)全證明過(guò)程解｜題｜技｜巧★從已知條件出發(fā)，逐步推導(dǎo)中間結(jié)論（如先證三角形全等，再得對(duì)應(yīng)邊/角相等），直到接近最終求證結(jié)論。每一步需標(biāo)注依據(jù)（如“∵已知/SSS判定定理，∴…”）．★若正向推導(dǎo)受阻，可從求證結(jié)論出發(fā)，逆向思考：“要證明這個(gè)結(jié)論，需要先證明什么條件？”再看該條件是否可由已知或中間結(jié)論推導(dǎo)得出．【典例1】如圖，E是AB，CD外一點(diǎn)，∠D=∠B+∠E．求證：AB∥證明：∵∠D=∠B+∠E∠BFD=∠B+∠E，∴∠D=∠BFD（等量代換）．∴AB∥CD【答案】已知三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】此題考查利用三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行證明，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知條件和三角形的外角性質(zhì)和平行線的判定結(jié)合證明步驟即可得出答案．【詳解】∵∠D=∠B+∠E（已知），∠BFD=∠B+∠E（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），∴∠D=∠BFD（等量代換），∴AB∥故答案為：已知；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【變式1】補(bǔ)全下列推理過(guò)程：如圖，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，試說(shuō)明DG∥BA．解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知），∴∠BFE=∠BDA=90°（垂直的定義），∴EF∥AD（____________）．∴∠2=∠3（____________）．∵∠1=∠2（已知），∴____________（等量代換）．∴DG∥AB（____________）．【答案】答案見(jiàn)詳解；【分析】本題考查證明補(bǔ)充條件，根據(jù)條件與結(jié)論因果關(guān)系直接填寫即可得到答案；【詳解】解：∵EF⊥BC，AD⊥BC（已知），∴∠BFE=∠BDA=90°（垂直的定義），∴EF∥AD（同位角相等，兩直線平行），∴∠2=∠3（兩直線平行，同位角相等），∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠3（等量代換），∴DG∥AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．【變式2】推理填空：如圖，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．求證：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．證明：∵∠B＝∠CGF（已知），∴AB∥CD（）．∵∠BGC＝∠F（已知），∴CD∥EF（）．∴AB∥EF（）．∴∠B＋∠F＝180°（）．又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（），∠BGC＝∠F（已知），∴∠F＋∠BGD＝180°（）．【答案】同位角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；平行公理的推論；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；平角的定義；等量代換【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）；∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行），∵∠BGC＝∠F（已知）；∴CD∥EF（同位角相等，兩直線平行），∴AB∥EF（平行公理的推論）∴∠B＋∠F＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定義），∠BGC＝∠F（已知），∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代換）．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)及推理論證，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)定理．題型三全等三角形的概念解｜題｜技｜巧★緊扣全等三角形“完全重合”的本質(zhì)，明確對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角的關(guān)系，以此判斷三角形是否全等或推導(dǎo)邊、角的等量關(guān)系.【典例1】下列說(shuō)法正確的是（

）A．形狀相同的兩個(gè)三角形全等 B．面積相等的兩個(gè)三角形全等C．完全重合的兩個(gè)三角形全等 D．所有的等邊三角形全等【答案】C【分析】本題考查三角形全等的概念及定義，熟知三角形全等的定義是解題關(guān)鍵．利用“能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形”解題即可．【詳解】解：A．形狀相同的兩個(gè)三角形不一定全等，例如兩個(gè)不一樣大小的兩個(gè)等邊三角形不全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．面積相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．完全重合的兩個(gè)三角形全等，正確；D．兩個(gè)邊長(zhǎng)不相等的等邊三角形不全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【變式1】如圖，若沿直線AC對(duì)折，△ABC與△ADC重合，則△ABC≌，AB的對(duì)應(yīng)邊是，AC的對(duì)應(yīng)邊是，∠B的對(duì)應(yīng)角是，∠BCA的對(duì)應(yīng)角是．【答案】△ADCADAC∠D∠DCA【分析】本題考查翻折變換及全等三角形的相關(guān)概念，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)及找全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角的方法．根據(jù)翻折的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：若沿直線AC對(duì)折，△ABC與△ADC重合，則△ABC≌△ADC，AB的對(duì)應(yīng)邊是AD，AC的對(duì)應(yīng)邊是AC，∠B的對(duì)應(yīng)角是∠D，∠BCA的對(duì)應(yīng)角是∠DCA，故答案為：△ADC，AD，AC，∠D，∠DCA．【變式2】如圖，△ABE與△CDE全等，可以確定∠1與是對(duì)應(yīng)角，若AE與CE是對(duì)應(yīng)邊，則AB與是對(duì)應(yīng)邊．【答案】∠2CD【分析】本題考查了全等三角形的定義，根據(jù)全等三角形的定義求解即可．【詳解】解：由圖可知，∠1與∠2是對(duì)頂角，∵△ABE與△CDE全等，∴∠1與∠2是對(duì)應(yīng)角，又AE與CE是對(duì)應(yīng)邊，∴AB與CD是對(duì)應(yīng)邊，故答案為：∠2，CD．題型四全等三角形的性質(zhì)解｜題｜技｜巧★解題時(shí)先精準(zhǔn)定位全等三角形的對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角，再利用“全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等”的性質(zhì)，推導(dǎo)所求邊或角的等量關(guān)系．【典例1】如圖，△ABC≌△ADE，且D，C，E三點(diǎn)共線，若∠BAD=30°，則∠E=（

）．A．75° B．70° C．65° D．60°【答案】A【分析】本題主要考查等邊對(duì)等角、三角形全等的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)得到∠BAD=∠CAE是解題的關(guān)鍵．由△ABC≌△ADE，得到∠BAC=∠DAE,AC=AE，進(jìn)而得到∠BAD=∠CAE，∠E=∠ACE即可求解．【詳解】∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE,AC=AE，又∵∠BAC=∠BAD+∠CAD,∠DAE=∠CAD+∠CAE，∴∠BAD=∠CAE=30°，∴∠E=∠ACE=180°?30°故選：A．【變式1】如圖，△AOB≌△COD，A和C，B和D是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，若BO=8，AO=6，AB=5，則CD的長(zhǎng)為（A．10 B．8 C．5 D．不能確定【答案】C【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可解答．【詳解】解：∵△AOB≌△COD，A和C，B和∴CD=AB=5．故選：C．【變式2】已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠α的度數(shù)是（）A．72° B．60° C．58° D．50°【答案】D【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)兩個(gè)三角形全等，找到對(duì)應(yīng)邊a與a、c與c，其夾角為對(duì)應(yīng)角，從而得出∠α【詳解】解：∵圖中的兩個(gè)三角形全等，a與a，c與c分別是對(duì)應(yīng)邊，那么它們的夾角就是對(duì)應(yīng)角，∴∠α=50°，故選：D．題型五全等三角形的判定解｜題｜技｜巧★先分析已知的邊、角條件，找準(zhǔn)三角形間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，再匹配SSS、SAS、ASA、AAS（直角三角形加HL）判定定理，證明三角形全等．【典例1】如圖，可直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的條件是（A．AC=DF,BC=EF B．∠A=∠D,AB=DEC．AC=DF,AB=DE D．∠B=∠E,BC=EF【答案】C【分析】本題主要考查了全等三角形的判定．利用HL證明Rt△ABC≌【詳解】解：在Rt△ABC和Rt∵AC=DF,AB=DE，∴Rt△ABC≌故選：C．【變式1】如圖，已知AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．求證：△ABD≌△ACE．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．先通過(guò)角度的和差關(guān)系得出∠BAD=∠CAE，再結(jié)合已知的AB=AC，AD=AE，利用“SAS”判定兩個(gè)三角形全等．【詳解】證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS【變式2】如圖，∠A=∠B,AE=BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1=∠2，AE和BD相交于點(diǎn)O．求證：△AEC≌△BED．

【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查全等三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)對(duì)頂角相等，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理推出∠AEC=∠BED，利用ASA即可得證．【詳解】證明：∵AE和BD相交于點(diǎn)O，∴∠AOD=∠BOE，在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，∠AOD=∠BOE，∴∠BEO=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO，∴∠1+∠AED=∠AED+∠BEO，即∠AEC=∠BED；在△AEC和△BED中

∠A=∠BAE=BE∴△AEC≌△BEDASA【變式3】如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求證：AB∥【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定有關(guān)知識(shí)，根據(jù)等式的性質(zhì)可得BC=EF，運(yùn)用SSS證明△ABC與△DEF全等，得到∠ABC=∠DEF，利用同位角相等，兩直線平行得到結(jié)論．【詳解】證明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，∴BC=EF，在△ABC與△DEF中AB=DEAC=DF∴△ABC≌△DEFSSS∴∠ABC=∠DEF，∴AB∥題型六等腰三角形的性質(zhì)解｜題｜技｜巧★先識(shí)別等腰三角形的相等邊（腰）或相等角（底角），再運(yùn)用“等邊對(duì)等角”或“三線合一”性質(zhì)，推導(dǎo)所求邊、角的等量關(guān)系或垂直、平分關(guān)系.【典例1】如圖，在△ABC中，∠BAC=138°，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△AB′C′．若點(diǎn)B′恰好落在BC邊上，且AA．16° B．15° C．14° D．13°【答案】C【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠C=∠C′，AB=AB′，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠C=∠CAB【詳解】解：∵AB∴∠C=∠CAB∴∠AB∵將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△AB∴∠C=∠C′，∴∠B=∠AB∵∠B+∠C+∠CAB=180°，∴3∠C=180°?138°，∴∠C=14°，故選：C．【變式1】已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為6cm，另一邊長(zhǎng)為7cm，則它的周長(zhǎng)為【答案】19或20【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三條邊的關(guān)系，主要利用了等腰三角形兩腰相等的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于分情況討論．因?yàn)橐阎獌蛇呴L(zhǎng)度為6cm和7【詳解】解：∵等腰三角形的一邊長(zhǎng)為6cm，另一邊長(zhǎng)為7∴當(dāng)腰長(zhǎng)為6cm∵6+6>7，∴6cm，6cm，∴周長(zhǎng)為6+6+7=19（cm），當(dāng)腰為7cm∵6+7>7，∴6cm，7cm，∴周長(zhǎng)為6+7+7=20（cm）．故答案為：19或20．【變式2】如圖，在△ABC中，AB=BC，BE，CF分別是AC，AB邊上的高，在BE上取一點(diǎn)D，使BD=CA，在射線CF上取一點(diǎn)G，使CG=BA，連接AD，AG，若∠DAE=38°，∠EBC=20°，則∠GAB=°．【答案】58【分析】本題考查了等腰三角形的三線合一、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題關(guān)鍵．先根據(jù)等腰三角形的三線合一可得∠EBA=∠EBC=20°，再求出∠BAE=70°，∠ADB=128°，然后證出△ACG≌△DBA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠CAG=∠BDA=128°，然后根據(jù)∠GAB=∠CAG?∠BAE求解即可得．【詳解】解：∵AB=BC，BE⊥AC，∠EBC=20°，∴∠EBA=∠EBC=20°，∠AEB=90°，∴∠BAE=90°?∠EBA=70°，∵∠DAE=38°，∴∠ADB=∠DAE+∠AEB=128°，∵CF⊥AB，∴∠ACG=90°?∠BAE=20°，∴∠ACG=∠DBA，在△ACG和△DBA中，CA=BD∠ACG=∠DBA∴△ACG≌△DBASAS∴∠CAG=∠BDA=128°，∴∠GAB=∠CAG?∠BAE=58°，故答案為：58．【變式3】如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D在邊BC上，且BD=1，AD與BE相交于點(diǎn)P，若∠APE=60°，則CE的長(zhǎng)為．【答案】1【分析】根據(jù)題干條件和三角形的內(nèi)角和等于180°，推斷出∠BDA=∠CEB，判定△ABD≌△BCE，即可得到BD=CE．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°．∴∠APE=∠ABD∵∠EBC+∠ACB+∠CEB=180°∠PBD+∠BDA+∠BPD=180°∴∠BDA=∠CEB在△ABD和△BCE中，∠BDA=∠CEB∴△ABD≌△BCE（SAS∴BD=CE=1故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是能證明△ABD≌△BCE．題型七等腰三角形的判定解｜題｜技｜巧★先通過(guò)已知條件（如平行線、對(duì)頂角、全等結(jié)論等）找到同一三角形中的相等角，再依據(jù)“等角對(duì)等邊”定理判定該三角形為等腰三角形.【典例1】如圖，△ABC的面積為10cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP，則△PBC的面積為（

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，中線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)AP交BC于Q，如圖，先證明∠BAP=∠BQP得到BA=BQ，則利用等腰三角形的性質(zhì)得到AP=QP，再根據(jù)三角形面積公式得到S△BPQ=12S【詳解】解：延長(zhǎng)AP交BC于Q，如圖，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠QBP，∵AP⊥BP，∴∠APB=∠QPB=90°，∴∠ABP+∠BAP=∠QBP+∠BQP，∴∠BAP=∠BQP，∴BA=BQ，∵BP⊥AQ，∴AP=QP，∴S△BPQ=∴S故選：C．【變式1】如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分線CF相交于點(diǎn)F，過(guò)F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD=7cm，DE=3cm，求CE的長(zhǎng)為【答案】4【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，角平分線有關(guān)計(jì)算．利用邊角關(guān)系并結(jié)合等量代換來(lái)推導(dǎo)證明是本題的關(guān)鍵．根據(jù)BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB的外角，且DF∥BC，可得∠DFB=∠DBF，∠ECF=∠EFC，根據(jù)等角對(duì)等邊得出BD=DF=7，EF=CE，根據(jù)EF=DF?DE即可求得．【詳解】解：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，∵DF∥BC，∴∠DFB=∠FBC=∠DBF，∴BD=DF=7(cm同理可得∠ECF=∠EFC，EF=CE，∵EF=DF?DE=4(cm∴CE=4(cm故答案為：4．【變式2】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．求證：2CB=AB【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，等角對(duì)等邊，熟知等邊三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．方法一：在AB上截取BD=BC，連接CD，可證明△BDC是等邊三角形，得到∠BDC=60°，BC=DC，則可證明∠DCA=30°=∠A，得到AD=DC，據(jù)此可證明AB=AD+BD=2BC；方法二：如圖所示，延長(zhǎng)BC到D使得CD=CB，連接AD，證明△ACD≌△ACBSAS，得到AD=AB，∠CAD=∠CAB=30°，再證明△BAD【詳解】證明：方法一：如圖，在AB上截取BD=BC，連接CD，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°∴∠B=90°?30°=60°，又∵BD=BC，∴△BDC是等邊三角形，∴∠BDC=60°，BC=DC，∵∠BDC=∠A+∠DCA=60°，∴∠DCA=30°=∠A，∴AD=DC，∴AD=BC=BD，∴AB=AD+BD=2BC，∴2BC=AB；方法二：如圖所示，延長(zhǎng)BC到D使得CD=CB，連接AD，∵∠C=90°，∴∠ACD=180°?∠C=90°=∠C，又∵AC=AC，∴△ACD≌△ACBSAS∴AD=AB，∴∠BAD=∠CAD+∠CAB=60°，∴△BAD是等邊三角形，∴AB=BD，∵BD=BC+CD=2BC，∴2BC=AB．【變式3】如圖所示，已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CE平分∠ACD，(1)∠AEC=∠ADB；(2)△ADE是等邊三角形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)．解題關(guān)鍵是利用等邊三角形的性質(zhì)得到邊和角的關(guān)系，再通過(guò)全等三角形的判定定理證明三角形全等，進(jìn)而得出角相等或邊相等的結(jié)論，以證明相關(guān)角的關(guān)系和三角形的形狀．（1）利用等邊三角形的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠B=∠ACE，再結(jié)合邊相等，利用SAS判定△ABD≌△ACE即可得到∠AEC=∠ADB；（2）根據(jù)△ABD≌△ACE得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，再利用等角減等角得到∠DAE=60°，即可判定【詳解】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE=1在△ABD和△ACE中，AB=AC∴△ABD≌△ACE(SAS∴∠AEC=∠ADB．（2）證明：∵△ABD≌△ACE，∴AD=AE，即∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠DAE=∠BAC=60°，∴△ADE為等邊三角形．題型八互逆命題解｜題｜技｜巧★先拆分原命題的“條件”與“結(jié)論”并互換得到逆命題，再通過(guò)邏輯推理或舉反例判斷逆命題的真假.【典例1】下列命題的逆命題是真命題的是（

）A．若a>0,b>0，則a+b>0 B．直角都相等C．同位角相等，兩直線平行 D．三角形的外角和為360°【答案】C【分析】本題考查了逆命題、判斷命題的真假和平行線的判定與性質(zhì)，多邊形的外角和，不等式等知識(shí)點(diǎn)，熟記性質(zhì)與定義是解題的基礎(chǔ)，會(huì)舉反例判斷假命題是解題的關(guān)鍵．先寫出各命題的逆命題，再分別根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，多邊形的外角和，不等式等知識(shí)點(diǎn)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、逆命題為：若a+b>0，則a>0,b>0，錯(cuò)誤，是假命題，當(dāng)a=2,b=?1時(shí)滿足a+b>0，但不滿足a>0,b>0，故本選項(xiàng)不符合題意；B、逆命題為：相等的角都是直角，錯(cuò)誤，是假命題，故本選項(xiàng)不符合題意；C、逆命題為：兩直線平行，同位角相等，正確，是真命題，故本選項(xiàng)符合題意；D、外角和為360°的圖形是三角形，錯(cuò)誤，是假命題，任意多邊形外角和都是360°，故本選項(xiàng)不符合題意，故選：C．【變式1】請(qǐng)寫出命題“若a>b，則a+1>b+1”的逆命題：．【答案】若a+1>b+1，則a>b【分析】此題考查逆命題，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題．其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題．由此即可解答．【詳解】解：“若a>b，則a+1>b+1”的逆命題為：若a+1>b+1，則a>b，故答案為：若a+1>b+1，則a>b．【變式2】下列命題：①若|a|>|b|，則a>b；②直角三角形的兩個(gè)銳角互余；③如果a=0，那么ab=0；④互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0．其中原命題和逆命題均為真命題的是．（請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）【答案】②④【分析】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)懗鲆粋€(gè)命題的逆命題，難度不大．寫出原命題的逆命題后進(jìn)行判斷即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：①若|a|>|b|，則a>b，錯(cuò)誤，為假命題；其逆命題為若a>b，則|a|>|b|，錯(cuò)誤，為假命題；②直角三角形的兩個(gè)銳角互余，正確，為真命題；逆命題為兩個(gè)角互余的三角形為直角三角形，正確，為真命題；③如果a=0，那么ab=0，正確，為真命題；其逆命題為若ab=0，那么a=0，錯(cuò)誤，為假命題；④互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)和為0，是真命題，它的逆命題是：和為0的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，是真命題．原命題和逆命題均是真命題的是②④，故答案為：②④．題型九互逆定理解｜題｜技｜巧★先拆分原定理的條件與結(jié)論并互換得到逆命題，再驗(yàn)證逆命題是否為真（真則為互逆定理，假則不是），且常結(jié)合具體定理（如勾股定理與其逆定理）輔助判斷.【典例1】下列定理：①有兩邊相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；③同位角相等，兩直線平行．其中有逆定理的有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【分析】本題考查了命題與定理，逆定理，熟練掌握逆命題與逆定理的區(qū)別是解題的關(guān)鍵．分別寫出其逆命題，然后判斷對(duì)錯(cuò)，即可得出答案．【詳解】解：①有兩邊相等的三角形是等腰三角形的逆命題是：等腰三角形有兩邊相等，是真命題，故①有逆定理，符合題意；②全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等的逆命題是：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，是真命題，故②有逆定理，符合題意；③同位角相等，兩直線平行的逆命題是：兩直線平行，同位角相等，是真命題，故③有逆定理，符合題意；故選：D．【變式1】下列定理中沒(méi)有逆定理的是（

）A．三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等B．直角三角形的兩個(gè)銳角互余C．斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等D．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等【答案】D【分析】本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．分別寫出各個(gè)命題的逆命題，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定定理、直角三角形的判定定理判斷即可．【詳解】解：A中、三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等的逆命題是兩個(gè)三角形全等的三邊分別相等，是真命題，則原定理有逆定理，不符合題意；B中、直角三角形的兩個(gè)銳角互余的逆命題是兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形，是真命題，則原定理有逆定理，不符合題意；C中、斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等的逆命題是兩個(gè)全等的直角三角形斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等，是真命題，則原定理有逆定理，不符合題意；D中、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等的逆命題是對(duì)應(yīng)角相等的三角形全等，是假命題，則原定理沒(méi)有逆定理，符合題意；故選：D．【變式2】下列說(shuō)法對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(1)每個(gè)定理都有逆定理．(2)每個(gè)命題都有逆命題．(3)假命題沒(méi)有逆命題．(4)真命題的逆命題是真命題．【答案】(1)說(shuō)法錯(cuò)誤，理由見(jiàn)解析(2)說(shuō)法正確，理由見(jiàn)解析(3)說(shuō)法錯(cuò)誤，理由見(jiàn)解析(4)說(shuō)法錯(cuò)誤，理由見(jiàn)解析【分析】利用逆定理、逆命題的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：說(shuō)法錯(cuò)誤，理由如下：每個(gè)定理不一定有逆定理，若一個(gè)定理有逆定理，那么它的逆命題是真命題；（2）解：說(shuō)法正確，理由如下：每個(gè)命題都有逆命題，只需要將原命題的題設(shè)和結(jié)論互換即可得到原命題的逆命題；（3）解：說(shuō)法錯(cuò)誤，理由如下：每個(gè)命題都有逆命題，只需要將原命題的題設(shè)和結(jié)論互換即可得到原命題的逆命題；（4）解：說(shuō)法錯(cuò)誤，理由如下：每個(gè)命題都有逆命題，只需要將原命題的題設(shè)和結(jié)論互換即可得到原命題的逆命題，原命題為真命題，但是逆命題不一定是真命題，例如：原命題為“對(duì)頂角相等”是真命題，逆命題為“相等的角為對(duì)頂角”是假命題．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解命題、逆命題、互逆命題的定義，難度不大．題型十線段垂直平分線的性質(zhì)解｜題｜技｜巧★先找或構(gòu)造線段垂直平分線上的點(diǎn)，再利用“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等”的性質(zhì)，推導(dǎo)線段等量關(guān)系以解決證明或計(jì)算問(wèn)題．【典例1】到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是（

）．A．三角形兩邊垂直平分線交點(diǎn) B．三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)C．三角形兩條中線交點(diǎn) D．三角形兩條高線所在直線的交點(diǎn)【答案】A【分析】本題考查中垂線的性質(zhì)，根據(jù)中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，進(jìn)行判斷即可．【詳解】到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)．故選：A．【變式1】如圖，△ABC中，AB<AC<BC，使PA+PB=BC，那么符合要求的作圖痕跡是（

） B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．由PA+PB=BC和可得PA=PC，根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理可得，點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：∵PA+PB=BC，PC+PB=BC，∴PA=PC，∴點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，即點(diǎn)P為AC的垂直平分線與BC的交點(diǎn)．故選：D．【變式2】如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點(diǎn)O是AC，BC的垂直平分線的交點(diǎn)，連接AO，BO．若∠AOB=α，則∠AIB的大小為（用含α的代數(shù)式表示）．【答案】90°+【分析】連接CO并延長(zhǎng)至D，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA＝OC，OB＝OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到∠AOB＝12∠OCA＋∠OCB＝α．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠IAB＋∠IBA＝180°?∠AIB，根據(jù)角平分線的定義得到【詳解】解：連接CO并延長(zhǎng)至D，∵點(diǎn)O是AC,BC的垂直平分線的交點(diǎn)，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一個(gè)外角，∴∠AOD＝∠OCA＋∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝2∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD＋∠BOD＝2∠OCA＋2∠OCB＝α，∴∠OCA＋∠OCB＝α∴∠ACB＝α∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝1∴∠IAB＋∠IBA＝1∴∠AIB＝180°?（∠IAB＋∠IBA）＝90°＋α故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．題型十一線段垂直平分線的判定解｜題｜技｜巧★先找到到某線段兩端距離相等的兩個(gè)點(diǎn)，再依據(jù)“到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”，判定這兩點(diǎn)的連線就是該線段的垂直平分線．【典例1】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．AC垂直平分BD B．BD垂直平分ACC．AC與BD互相垂直平分 D．以上說(shuō)法均不正確【答案】A【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定，熟知到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段垂直平分線的判定即可解答．【詳解】解：∵AB=AD，BC=DC，∴AC垂直平分BD，根據(jù)現(xiàn)有條件，無(wú)法證明BD垂直平分AC，故選：A．【變式1】如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)P，Q，R分別在邊AB，BC，AC上，且PB=QC，QB=RC．求證：點(diǎn)Q在PR的垂直平分線上．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)以及線段的垂直平分線的判定，掌握“到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定定理證明△PBQ≌△QCR得PQ=RQ，根據(jù)線段的垂直平分線的判定證明結(jié)論．【詳解】證明：在△PBQ和△QCR中，PB=QC∴△PBQ≌△QCRSAS∴PQ=RQ，∴點(diǎn)Q在PR的垂直平分線上．【變式2】課本再現(xiàn)：前面已經(jīng)證明了：“線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”；反過(guò)來(lái)，其逆命題：“到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上”成立嗎？事實(shí)上，可以證明這個(gè)“線段垂直平分線”判定定理．現(xiàn)已經(jīng)寫出了已知，求證，請(qǐng)你完成這一定理的證明過(guò)程：已知：如圖，線段AB，PA=PB，求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．證明：【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證明．連接點(diǎn)P與AB的中點(diǎn)O，利用SSS可證△PAO≌△PBO，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可證∠POA=∠POB=90°，所以可證PO是AB的垂直平分線．【詳解】連接點(diǎn)P與AB的中點(diǎn)O，在△PAO和△PBO中，PA=PBPO=PO∴△PAO≌△PBOSSS∴∠POA=∠POB，又∠POA+∠POB=180°，∴∠POA=∠POB=90°，∴PO是AB的垂直平分線，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．題型十二角平分線的性質(zhì)與判定解｜題｜技｜巧★利用角平分線性質(zhì)時(shí)，先找角平分線上的點(diǎn)并作角兩邊的垂線段，借“垂線段相等”推等量關(guān)系；用判定時(shí)，先證某點(diǎn)到角兩邊的垂線段相等，再依此判定該點(diǎn)在角平分線上（核心是緊扣“垂線段”這一關(guān)鍵條件）．【典例1】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC．若BC=5，BD=3，則點(diǎn)D到AB的距離為．【答案】2【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，則由角平分線的性質(zhì)可得ED=CD，由線段的和差關(guān)系求出CD的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解；如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴ED=CD，∵BC=5，BD=3，∴CD=BC?BD=2，∴ED=2，∴點(diǎn)D到AB的距離為2，故答案為：2．【變式1】如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB于點(diǎn)F，且DE=DG，S△ADG=24，S△AED=18，則【答案】3【分析】過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DH=DF，進(jìn)而證明Rt△DEF≌Rt△DGH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到△DEF【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DH=DF，在Rt△DEF和DE=DGDF=DH∴Rt△DEF≌∴S△DEF設(shè)S△DEF同理可證:Rt△ADF≌∴S△ADF∴24?S=18+S，解得，S=3，【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并利用角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在正方形網(wǎng)格中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．(1)畫出△ABC關(guān)于直線DE的軸對(duì)稱圖形△A(2)在直線DE上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到邊AB，【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查作圖－軸對(duì)稱變換、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可．（2）延長(zhǎng)BA交直線DE于點(diǎn)F，取CF的中點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．【詳解】（1）如圖，△A（2）如圖，延長(zhǎng)BA交直線DE于點(diǎn)F，取CF的中點(diǎn)P，則△BCF為等腰三角形，∴BP為∠CBF的平分線，∴點(diǎn)P到邊AB,BC的距離相等，∴點(diǎn)P即為所求．題型十三角平分線的實(shí)際應(yīng)用解｜題｜技｜巧★先將實(shí)際問(wèn)題中“到角兩邊距離相等”的需求轉(zhuǎn)化為幾何條件，再借助角平分線的性質(zhì)或判定，確定符合要求的點(diǎn)的位置（如選址、路徑規(guī)劃等），核心是緊扣“垂線段距離相等”這一關(guān)鍵關(guān)聯(lián)．【典例1】如圖，直線l1，l2，l3表示三條公路．現(xiàn)要建造一個(gè)中轉(zhuǎn)站P，使P到三條公路的距離都相等，則中轉(zhuǎn)站PA．一處 B．二處 C．三處 D．四處【答案】D【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，分情況找點(diǎn)P的位置即可．【詳解】解：①三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，共一處；②三個(gè)外角兩兩平分線的交點(diǎn)，共三處，∴中轉(zhuǎn)站P可選擇的點(diǎn)共有四處．故選：D．【變式1】如圖是某校的局部平面圖，學(xué)校有三條小路MN,PQ和AB，已知MN∥PQ,AB與MN,PQ相交．學(xué)校計(jì)劃修建一個(gè)亭子，使其到小路MN,PQ,AB的距離均相等，則亭子可以選擇的修建位置有（

）A．4處 B．3處 C．2處 D．1處【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等成為解題的關(guān)鍵．由角平分線的交點(diǎn)到角邊的距離相等，則兩同旁內(nèi)角平分線的交點(diǎn)滿足條件；據(jù)此作圖即可解答．【詳解】解：如圖所示：∵∠BAN和∠ABQ的平分線的交點(diǎn)到AB、∴這兩個(gè)角的平分線的交點(diǎn)滿足條件；∵∠BAM和∠ABP的平分線的交點(diǎn)到AB、MN、PQ距離相等，∴這兩個(gè)角的平分線的交點(diǎn)滿足條件；∴滿足這條件的點(diǎn)有2個(gè)．故選：C．【變式2】探索新知：如圖①，AD是△ABC的角平分線，ABAC與BDDC之間有怎樣的關(guān)系呢？過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為∵AD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥AC∴DE=DF∵S△ABD∴S△ABDS新知應(yīng)用：(1)如圖②，AD是△ABC的角平分線，若AB=5，AC=3，則(2)如圖②，AD是△ABC的角平分線，若S△ABDS△ADC(3)如圖③，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，若AB:BC:AC=5:6:4，S△ABC=m，則S四邊形【答案】(1)5(2)a(3)14【分析】本題考查角平分線性質(zhì)（角平分線分對(duì)邊的比等于鄰邊比、角平分線關(guān)聯(lián)三角形面積比與鄰邊比），解題關(guān)鍵是運(yùn)用探索新知得出的角平分線性質(zhì)，建立邊與面積的比例關(guān)系．（1）依據(jù)探索新知結(jié)論ABAC=BDDC，代入AB=5、AC=3得BDDC=53；設(shè)（2）根據(jù)探索新知中S△ABDS△ADC=AB（3）用BD平分∠ABC的性質(zhì)，結(jié)合AB:BC=5:6，及S△ABC=m，算S△ABD=511m；同理，由CE平分∠ACB，結(jié)合AC:BC=4:6，算S△ACE=2由S四邊形【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H由探索新知，AD是△ABC的角平分線時(shí)，ABAC∵AB=5，AC=3，∴BDDC設(shè)BD=5x，DC=3x，∴BC=BD+DC=8x，∴BDBC（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H由探索新知可知，對(duì)于△ABC，AD是角平分線時(shí)：S△ABD=S△ABD∵DE=DF∴S△ABD∵S△ABD∴ABAC故答案為ab（3）∵BD平分∠ABC，∴點(diǎn)D到AB，BC的距離相等，∴S△ABD∵S△ABC∴S△ABD=5同理CE平分∠ACB，∴S△ACE∴S△ACE=2連接AF，過(guò)點(diǎn)F作FG,FH，F(xiàn)M分別垂直于AB，BC，AC，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴FG=FH，F(xiàn)H=FM，∴FG=FM∴AF平分∠ACB，∴點(diǎn)F到AB，BC，AC三邊的距離相等，∴S△ABF∵S∴S△ABF=13m∴S==14故答案為：1455題型十四全等三角形之倍長(zhǎng)中線解｜題｜技｜巧★遇中線時(shí)延長(zhǎng)中線至兩倍（使延長(zhǎng)段等于原中線），利用SAS構(gòu)造全等三角形，將分散的邊或角集中，轉(zhuǎn)化為可直接利用的等量關(guān)系．【典例1】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AC=3，AD=5，則AB的取值范圍是．【答案】7<AB<13【分析】此題考查了三角形的三邊關(guān)系以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接CE，易證得△ABD≌△ECDSAS，可求得AE的長(zhǎng)，證得EC=AB【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD=5，連接CE，∵AD為BC邊上的中線，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，AD=DE∠ADB=∠EDC∴△ABD≌△ECDSAS∴AB=EC，∵AC=3，AE=AD+DE=10，∵AE?AC<EC<AC+AE，∴7<EC<13∴7<AB<13，∴AB的取值范圍是：7<AB<13．故答案為：7<AB<13．【變式1】我們規(guī)定：兩組邊相等及其夾角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫兄弟三角形，如圖，在△OAC和△OBD中，OA=OB，OC=OD，∠AOC=60°，∠BOD=120°．(1)△OAC和△OBD兄弟三角形；（填“是”或“不是”）(2)取BD的中點(diǎn)P，連接OP，求證：AC=2OP，小林同學(xué)根據(jù)求證的結(jié)論，想起了老師上課講的“中線倍延”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個(gè)問(wèn)題，試幫小林同學(xué)完成證明過(guò)程．【答案】(1)是(2)見(jiàn)詳解【分析】本題是三角形綜合題，考查了新定義兄弟三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）證出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定義可得出結(jié)論；（2）證明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出OE=AC，則可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由條件可知∠AOC+∠BOD=180°，又∵AO=OB，OC=OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形，故答案為：是；（2）證明：延長(zhǎng)OP至E，使PE=OP，由條件可知BP=PD，在△BPE和△DPO中，PE=OP∠BPE=∠DPO∴△BPE≌△DPO（SAS），∴∠E=∠DOP，∴BE∥∴∠EBO+∠BOD=180°，由條件可知∠EBO=∠AOC，∵BE=OD，OD=OC，∴BE=OC，在△EBO和△COA中，EB=OC∠EBO=∠AOC∴△EBO≌△COA（SAS），∴OE=AC，又∵OE=2OP，∴AC=2OP．【變式2】在通過(guò)構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題的過(guò)程中，有一種方法叫作倍長(zhǎng)中線法，【舉例】如圖1，在△ABC中，AB>AC，AD是中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE=DA，可得△ADC≌△EDB．請(qǐng)你說(shuō)明理由．【應(yīng)用】如圖2，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，M為BC中點(diǎn)，求證：DE=2AM．【答案】舉例:見(jiàn)解析；應(yīng)用：見(jiàn)解析．【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理（SAS等）是解題的關(guān)鍵．舉例：要說(shuō)明△ADC≌△EDB，根據(jù)中線定義得到BD=CD，再結(jié)合已知DE=DA以及對(duì)頂角相等，利用SAS判定全等．應(yīng)用：通過(guò)倍長(zhǎng)中線法，延長(zhǎng)AM到N使MN=AM，先證△AMC≌△NMB，得到相關(guān)角和邊相等，再結(jié)合已知條件證明△ADE≌△NAB，從而得出DE=2AM．【詳解】解：舉例：∵AD是中線，∴BD=CD．在△ADC和△EDB中，CD=BD∠∴△ADC≌△EDB(SAS應(yīng)用：延長(zhǎng)AM到N，使MN=AM，連接BN．∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，∴CM=BM．在△AMC和△NMB中，AM=NM∠∴△AMC≌△NMB(SAS∴AC=NB，∠C=∵AD=AC，∴AD=NB．∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠∴∠又∵∠∴∠在△ADE和△NAB中，AE=AB∠∴△ADE≌△NAB(SAS∴DE=AN．∵AN=2AM，∴DE=2AM．題型十五全等三角形之一線三垂直解｜題｜技｜巧★先識(shí)別“一線三垂直”模型（一條直線上有三個(gè)垂直關(guān)系，形成兩個(gè)直角三角形），再利用直角相等、余角（或?qū)斀牵┫嗟燃耙阎呄嗟?，用AAS或ASA證明直角三角形全等，實(shí)現(xiàn)分散邊、角的集中轉(zhuǎn)化．【典例1】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是線段BC上一點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AD，且AE=AD，連接EC交AB于點(diǎn)F，若BD=3.3，BF=2.5，則AB的長(zhǎng)度為（

）A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，則∠AGE=∠EGB=90°，先證明△AEG≌△DAB得到EG=AB，AG=BD=3.3，則有EG=BC，進(jìn)而推出△EFG≌△CFB，得到GF=BF=2.5，再利用線段的和差即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，則∠AGE=∠EGB=90°，∴∠EAG+∠AEG=90°，∵AE⊥AD，∴∠EAD=90°，∴∠EAG+∠DAB=90°，∴∠AEG=∠DAB，又∵∠AGE=∠DBA=90°，AE=AD，∴△AEG≌△DABAAS∴EG=AB，AG=BD=3.3，∵AB=BC，∴EG=BC，又∵∠EGF=∠CBF=90°，∠EFG=∠CFB，∴△EFG≌△CFBAAS∴GF=BF=2.5，∴AB=AG+GF+BF=3.3+2.5+2.5=8.3．故選：A．【變式1】(1)如圖①，點(diǎn)A是線段DE上一點(diǎn)，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE，求證：DE=BD+CE；如圖②，若點(diǎn)A在直線DE上，（1）中其他條件不變，BD,CE,DE有什么數(shù)量關(guān)系？并證明．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)BD=DE+CE，見(jiàn)解析【分析】（1）證明△ADB≌△CEA即可根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得到結(jié)論；（2）證明△ADB≌△CEA即可根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得到答案．【詳解】（1）證明：∵BD⊥DE,CE⊥DE，∴∠D=∠E=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°．∵∠BAC=90°,∴∠DAB+∠CAE=90°,∴∠DBA=∠CAE．又∵AB=AC,∴△ADB≌△CEAAAS∴BD=AE,CE=AD,∴DE=AD+AE=CE+BD．（2）解：BD=DE+CE．理由如下：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB=∠AEC=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°．∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠EAC=90°，∴∠ABD=∠EAC．∵AB=AC，∴△ADB≌△CEA，∴BD=AE,CE=AD．∵AE=AD+DE，∴BD=CE+DE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用同角的余角相等證明角相等是解題關(guān)鍵．【變式2】已知：如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，連接AD,BE，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F．求證：F為AD的中點(diǎn)．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BF于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BF交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，先證明△ANB≌△DME(AAS)，進(jìn)而證明△AFN≌△DFM【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BF于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BF交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則∠ANB=∠M=90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CB=CE，∴∠CBE=∠CEB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ABC=∠CED=90°,AB=DE，∴∠DEF+∠CEB=90°,∠ABF+∠CBE=90°，∴∠ABF=∠DEF，即∠ABN=∠DEM，又∵∠ANB=∠M=90°,AB=DE，∴△ANB≌△DME(AAS)∴AN=DM，∵∠ANF=∠M=90°,∠AFN=∠DFM,AN=DM，∴△AFN≌△DFMAAS∴AF=FD，∴F是AD的中點(diǎn)．題型十六全等三角形之動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題解｜題｜技｜巧★先分析動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡、速度等要素，確定不同時(shí)刻的圖形狀態(tài)，再抓住公共邊、已知等角/等邊等不變量，結(jié)合全等判定定理列出等量關(guān)系，求解動(dòng)點(diǎn)位置或運(yùn)動(dòng)時(shí)間．【典例1】如圖，AB=12m，CA⊥AB于點(diǎn)A，DB⊥AB于點(diǎn)B，且AC=4m，點(diǎn)P從B向A運(yùn)動(dòng)，每分鐘走1m，點(diǎn)Q從B向D運(yùn)動(dòng)，每分鐘走2m，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)（

）分鐘后，△CAPA．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【分析】本題考查了直角三角形全等的判定方法，運(yùn)用分類討論的思想.設(shè)運(yùn)動(dòng)x分鐘后△CAP與△PQB全等，則BP=x，BQ=2x，則AP=12?x，分兩種情況：①若BP=AC，則x=4，此時(shí)AP=BQ，△CAP≌△PBQ；②若BP=AP，則12?x=x【詳解】解：∵CA⊥AB于點(diǎn)A，DB⊥AB于點(diǎn)B，∴∠A=∠B=90°，設(shè)運(yùn)動(dòng)x分鐘后△CAP與△則BP=x，BQ=2x，則AP=12?x，分兩種情況：①若BP=AC，則x=4，∴AP=12?4=8，BQ=8，AP=BQ，∴△CAP②若BP=AP，則12?x=x，解得x=6，BQ=12≠AC，此時(shí)△CAP與△綜上所述：運(yùn)動(dòng)4分鐘后△CAP與△故選：C.【變式1】如圖．在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=6，AD=8．延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=4，連接DE，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BC→CD→DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)t的值為多少時(shí)，△ABP和△DCE全等．（

）A．2或9 B．2或7 C．2 D．3或7【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)題意得出BP=2t=4和AP=22?2t=4即可求得．【詳解】解：由題意得：AB=CD，∠ABP=∠DCE=90°，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=4，根據(jù)SAS證得△ABP≌∴BP=2t=4，即t=2；若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=4，根據(jù)SAS證得△BAP≌∴AP=22?2t=4，即t=9．∴當(dāng)t的值為2或9秒時(shí)．△ABP與△DCE全等．故選：A．【變式2】如圖，在△ABC和△BDE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠CBE為銳角，AB=BC=5，BE=BD=3，連接AE、CD，AE與CD交于點(diǎn)M，AE與BC交于點(diǎn)N．(1)AE與CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？說(shuō)明理由．(2)固定△ABC不動(dòng)，將△BDE繞著點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)360°，在變化的過(guò)程中AD的長(zhǎng)度變化的范圍是______．【答案】(1)AE=CD,AE⊥CD，理由見(jiàn)解析(2)2≤AD≤8【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用：（1）證明△ABE≌△CBD即可；（2）根據(jù)△ABD的三邊關(guān)系即可求出AD的取值范圍．【詳解】（1）解：AE=CD,AE⊥CD，理由如下：∵∠ABC=∠DBE=90°，∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，即∠ABE=∠CBD，在△ABE和△CBD中，AB=CB∠ABE=∠CBD∴△ABE≌△CBDSAS∴AE=CD,∠BAE=∠BCD，∵∠ANB=∠CNM，∴∠CMN=∠ABN=90°，∴CD⊥AE；（2）解：∵AB?BD≤AD≤AB+BD（當(dāng)且僅當(dāng)A,B,D共線時(shí)取等號(hào)），∴5?3≤AD≤5+3,即2≤AD≤8．故答案為：2≤AD≤8．題型十七全等三角形之旋轉(zhuǎn)手拉手解｜題｜技｜巧★如果題目中出現(xiàn)兩個(gè)等腰三角形，可以考慮連接對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，用旋轉(zhuǎn)全等模型；如果只出現(xiàn)一個(gè)等腰三角形，可以用旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等．【典例1】【綜合與實(shí)踐】星光中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂角頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在兩個(gè)等腰三角形頂角的變化過(guò)程中，始終存在一對(duì)全等三角形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組同學(xué)稱此模型為“手拉手模型”．請(qǐng)你和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)一起研究下面的問(wèn)題．

(1)如圖1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，連接BE，CF，延長(zhǎng)BE交CF于點(diǎn)D．則∠BDC=°；(2)如圖2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=α90°<α<180°，連接BE，CF，延長(zhǎng)BE，F(xiàn)C交于點(diǎn)D．請(qǐng)猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及∠BDC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示），并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°，連接BE，CF交于點(diǎn)D，連接CE，連接AD并延長(zhǎng)交CE于點(diǎn)G，直接寫出∠CDG的度數(shù)．【答案】(1)30(2)BE=CF，∠BDC=180°?α，見(jiàn)解析(3)45°【分析】本題考查了三角形有關(guān)的內(nèi)容，利用全等三角形性質(zhì)解題．（1）可證△BAE≌△CAF，得∠ABE=∠ACF，由對(duì)頂角相等得∠AOB=∠COD，可得∠BDC=∠BAC=30°．（2）可證△BAE≌△CAF，得BE=CF，∠ABE=∠ACF，在四邊形ABDC中，∠ABE+∠BDC+∠DCA+∠BAC=360°，又因?yàn)椤螦CF+∠DCA=180°，得出∠BDC+∠BAC=180°，可得∠BDC=180°?α．（3）可證△BAE≌△CAF，得∠ABE=∠ACF，易證∠CDB=∠BAC=90°，則∠BDF=90°，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE,AN⊥CF，由△BAM≌△CAN，可知全等三角形面積相等則對(duì)應(yīng)高相等，可得AM=AN，由角平分線的判定定理，知點(diǎn)A在∠BDF的角平分線上，則∠ADF=45°，所以∠CDG=∠ADF=45°．【詳解】（1）解：∠BDC=30°，設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O．∴∠AOB=∠COD∵∠BAC=∠EAF=30°，∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE即∠BAE=∠CAF．在△BAE和△CAF中AB=AC∴△BAE≌△CAF(SAS)，∴∠ABE=∠ACF．∴180°?∠ABE?∠AOB=180°?∠ACF?∠COD，∴∠BDC=∠BAC=30°．（2）解：①BE=CF證明如下：如圖2∵∠BAC=∠EAF=α90°<α<180°∴∠BAC?∠EAC=∠EAF?∠EAC即∠BAE=∠CAF在△BAE和△CAF中AB=AC∴△BAE≌△CAF(SAS)∴BE=CF②∠BDC=180°?α證明如下：如圖2∵△BAE≌△CAF（已證）∴∠ABE=∠ACF在四邊形ABDC中，∠ABE+∠BDC+∠DCA+∠BAC=360°又∵∠ACF+∠DCA=180°，∴∠BDC+∠BAC=180°，∴∠BDC=180°?α．（3）解：∠CDG=45°．如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE,AN⊥CF．設(shè)AE與CF交于O，則∠AOF=∠DOE．∵∠BAC=∠EAF=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE．即∠BAE=∠CAF在△BAE和△CAF中AB=AC∴△BAE≌△CAF(SAS)∴BE=CF，∠AEB=∠AFC．又∠EOF=∠AFC+∠EAF=∠ODE+∠AEB，∴∠EDO=∠EAF=90°，∴∠BDO=90°，∵S△ABE=又∵△BAE≌△CAF∴S∴AN=AM．∵AM⊥BE,AN⊥CF，∴DA平分∠BDF．∴∠ADB=∠ADF=1∴∠CDG=∠ADF=45°【變式1】問(wèn)題提出（1）如圖1，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°（AB>AD），將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接BD、CD．當(dāng)點(diǎn)E落在AB邊上且D、E、C三點(diǎn)共線時(shí)，在這個(gè)“手拉手”模型中，和△ABD全等的三角形是_______，∠BDC的度數(shù)為_(kāi)___________；（2）如圖2，已知等邊三角形ABC，AB=5，P是其外一點(diǎn)，且∠APB=120°，PC=7，求四邊形APBC的周長(zhǎng)；問(wèn)題解決（3）某市園林綠化部門在某小區(qū)門口的空地上新建一個(gè)家門口的“口袋公園”，設(shè)計(jì)形狀大致為三角形ABE，如圖3所示，AB段臨街道有足夠長(zhǎng)度，D是小道AE上某小區(qū)的入口（點(diǎn)D不在點(diǎn)E處），且AD=200米，設(shè)計(jì)人員準(zhǔn)備將公園分成△ABD，△BDE兩大部分，C是△ADB內(nèi)一標(biāo)志點(diǎn)，此處將栽植一棵風(fēng)景大樹(shù)，設(shè)計(jì)∠ADC=∠CAB=45°，AC⊥BC，△ADB內(nèi)部種植三種不同類的草坪，平均每平方米約6元，留出適當(dāng)大小的△BDE區(qū)域作為休閑健身區(qū)，其內(nèi)安裝健身器材需38000元，請(qǐng)你預(yù)算滿足上述條件的建設(shè)費(fèi)用大致需多少元？（不考慮其他花費(fèi)）【答案】（1）△ACE；40°；（2）四邊形APBC的周長(zhǎng)為17；（3）滿足條件的建設(shè)費(fèi)用158000元．【分析】此題主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，正確地添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）先求出∠ADE=70°，進(jìn)而得∠AEC=110°，再依據(jù)“SAS”判定△ABD和△ACE全等得∠AEC=∠ADB=110°，由此得∠BDC=∠ADB?∠ADE=40°，據(jù)此即可得出答案；（2）延長(zhǎng)AP到H，使PH=PB，連接BH，證明△PBH是等邊三角形，得PB=HB，∠PBH=60°，再根據(jù)△ABC是等邊三角形得AC=CB=AB=5，∠CBA=60°，由此得∠CBP=∠ABH，進(jìn)而依據(jù)“SAS”判定△CBP和△ABH全等得PC=AH=7，則AP+PB=7，由此即可得出四邊形APBC的周長(zhǎng)；（3）過(guò)點(diǎn)C作CK⊥CD交AD于點(diǎn)K，連接BK，則△CDK和△CAB都是等腰直角三角形，進(jìn)而得CD=CK，∠CDA=∠CKD=45°，CA=CB，∠DCK=∠ACB=90°，由此得∠DCA=∠KCB，繼而依據(jù)“SAS”判定△DCA和△KCB全等得AD=BK=200米，∠CDA=∠CKB=45°，則∠BKD=90°，再求出S△ABD【詳解】解：（1）在△ADE中，AD=AE，∠DAE=40°，∴∠ADE=∠AED=1∴∠AEC=180°?∠ADE=110°，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAC=∠DAE∴△ABD≌△ACESAS∴∠AEC=∠ADB=110°，∴∠BDC=∠ADB?∠ADE=110°?70°=40°，∴和△ABD全等的三角形是△ACE，∠BDC的度數(shù)為40°，故答案為：△ACE；40°；（2）延長(zhǎng)AP到H，使PH=PB，連接BH，如圖2所示，∵∠APB=120°，∴∠BPH=180°?∠APB=60°，∵PH=PB，∴△PBH是等邊三角形，∴PB=HB，∠PBH=60°，∵△ABC是等邊三角形，AB=5，∴AC=CB=AB=5，∠CBA=60°，∴∠CBA=∠PBH=60°，∴∠CBA+∠ABP=∠PBH+∠ABP，即∠CBP=∠ABH，在△CBP和△ABH中，CB=AB∠CBP=∠ABH∴△CBP≌△ABHSAS∴PC=AH=7