3.1.1函數(shù)的概念（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)課程基本信息課題3.1.1函數(shù)的概念（第1課時(shí)）課型新授課學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)段高中版本章節(jié)人教A版《數(shù)學(xué)（必修第一冊(cè)）》第三章第一節(jié)教學(xué)目標(biāo)1.理解函數(shù)的概念及其三要素（定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系），能用集合與對(duì)應(yīng)的語言描述函數(shù)關(guān)系，能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域。2.經(jīng)歷“具體實(shí)例→觀察分析→歸納共性→抽象概括”的概念形成過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力，體會(huì)從“變量說”到“集合對(duì)應(yīng)”的必要性和優(yōu)越性。3.感受函數(shù)模型在刻畫現(xiàn)實(shí)世界規(guī)律中的廣泛應(yīng)用，在分析高鐵運(yùn)行、空氣質(zhì)量等實(shí)例中，增強(qiáng)民族自豪感與社會(huì)責(zé)任感，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)概念的形成過程；函數(shù)的三要素教學(xué)難點(diǎn)：用集合與對(duì)應(yīng)的語言刻畫函數(shù)；對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”及符號(hào)“y=f(x)”的理解學(xué)情分析（一）認(rèn)知基礎(chǔ)1.學(xué)生在初中已學(xué)習(xí)函數(shù)的“變量定義”，能識(shí)別變量間的依賴關(guān)系。2.熟悉一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的基本性質(zhì)。3.具備從實(shí)例中歸納共性的初步經(jīng)驗(yàn)，了解解析式、圖象、表格三種表示方法。（二）潛在困難1.容易忽視定義域和值域，認(rèn)為有解析式就是函數(shù)。2.從“變量依賴”上升到“集合對(duì)應(yīng)”存在認(rèn)知難度。3.對(duì)抽象符號(hào)“f：A→B”和“y=f(x)”的理解存在困難。4.對(duì)不同表示法背后的統(tǒng)一對(duì)應(yīng)本質(zhì)理解不深。（三）教學(xué)對(duì)策通過搭建“腳手架”，設(shè)計(jì)漸進(jìn)式探究活動(dòng)，幫助學(xué)生完成從具體到抽象的思維跨越。教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件、GeoGebra軟件、探究學(xué)習(xí)單、高鐵視頻素材、分組探究材料（高鐵運(yùn)行問題、工資計(jì)算問題、空氣質(zhì)量指數(shù)問題、恩格爾系數(shù)問題）教學(xué)過程教學(xué)任務(wù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)意圖（含AI應(yīng)用）第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，溫故引新（5分鐘）視頻導(dǎo)入，激發(fā)興趣播放中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)車組"復(fù)興號(hào)"高鐵震撼宣傳片的視頻片段（時(shí)長(zhǎng)約30秒），展示我國(guó)高鐵技術(shù)的先進(jìn)成果。學(xué)生活動(dòng)：認(rèn)真觀看視頻，感受我國(guó)高鐵技術(shù)的先進(jìn)水平，部分學(xué)生發(fā)出贊嘆聲。從學(xué)生熟悉的實(shí)例和原有認(rèn)知出發(fā)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣滲透科技發(fā)展與個(gè)人努力的思政元素多媒體視頻情境導(dǎo)入課程思政自然融入回顧舊知，引發(fā)思考提問："根據(jù)公式S=350t，我們能說S是t的函數(shù)嗎？為什么？"引導(dǎo)學(xué)生回顧初中函數(shù)概念。學(xué)生活動(dòng)："路程等于速度乘以時(shí)間！"、"S是t的函數(shù)，因?yàn)閷?duì)于每一個(gè)t，都有唯一確定的S與之對(duì)應(yīng)。"激活學(xué)生已有的函數(shù)認(rèn)知基礎(chǔ)為后續(xù)探究做鋪墊認(rèn)知沖突設(shè)計(jì)策略制造認(rèn)知沖突提出認(rèn)知沖突問題："運(yùn)行1小時(shí)，路程一定是350km嗎？為什么？"引導(dǎo)學(xué)生思考定義域的重要性。學(xué)生活動(dòng)：思考教師提出的認(rèn)知沖突問題，與同桌進(jìn)行簡(jiǎn)短討論："不一定，因?yàn)榱熊嚳赡苤贿\(yùn)行了半小時(shí)，1小時(shí)已經(jīng)超出了實(shí)際運(yùn)行時(shí)間范圍。"制造認(rèn)知沖突，讓學(xué)生體會(huì)用更精確語言定義函數(shù)的必要性自然引出本節(jié)課主題問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)思政元素融入強(qiáng)調(diào)："這背后是無數(shù)科研人員不懈努力的結(jié)果，他們?yōu)閲?guó)家科技進(jìn)步奉獻(xiàn)的精神值得我們學(xué)習(xí)。"學(xué)生活動(dòng)：聆聽教師關(guān)于科研人員奉獻(xiàn)精神的講述，表現(xiàn)出敬佩之情。培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感和進(jìn)取精神增強(qiáng)科技自信思政元素有機(jī)融入第二環(huán)節(jié)：實(shí)例探究，歸納特征（15分鐘）分組探究安排將學(xué)生分為4組：第一組：高鐵運(yùn)行問題（解析式表示）；第二組：工資計(jì)算問題（解析式表示，離散型）；第三組：空氣質(zhì)量指數(shù)問題（圖象表示）；第四組：恩格爾系數(shù)問題（表格表示）學(xué)生活動(dòng)：按分組進(jìn)行合作探究，組長(zhǎng)分配任務(wù)，組員積極參與討論。通過合作探究，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和表達(dá)能力培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神和溝通能力分組合作探究學(xué)習(xí)探究學(xué)習(xí)單引導(dǎo)下發(fā)"探究學(xué)習(xí)單"，提出引導(dǎo)性問題："請(qǐng)各組分析：變量的變化范圍是什么？能用集合表示嗎？對(duì)應(yīng)關(guān)系如何描述？"學(xué)生活動(dòng)：完成學(xué)習(xí)單任務(wù)，嘗試用規(guī)定句式描述每個(gè)實(shí)例："對(duì)于數(shù)集A中的____，按照____，在數(shù)集B中都有唯一確定的____與之對(duì)應(yīng)。"為歸納共性積累素材發(fā)展學(xué)生的歸納概括能力探究學(xué)習(xí)單引導(dǎo)動(dòng)態(tài)演示對(duì)應(yīng)關(guān)系利用GeoGebra動(dòng)態(tài)演示問題3（空氣質(zhì)量指數(shù)圖），展示對(duì)應(yīng)過程："如何在圖象上找到t=12時(shí)對(duì)應(yīng)的AQI值？請(qǐng)大家觀察演示過程。"學(xué)生活動(dòng)：認(rèn)真觀察GeoGebra演示，理解從圖象中確定對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法。通過動(dòng)態(tài)演示，將抽象的對(duì)應(yīng)關(guān)系可視化幫助學(xué)生理解非解析式表示法的對(duì)應(yīng)關(guān)系GeoGebra動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用歸納共性特征在學(xué)生歸納共性后，肯定學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)四個(gè)實(shí)例的共同特征。...動(dòng)：各組代表分享探究結(jié)果："我們組發(fā)現(xiàn)，四個(gè)實(shí)例都有兩個(gè)數(shù)集和一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系..."引導(dǎo)學(xué)生從具體實(shí)例中抽象出共性特征為函數(shù)概念的形成奠定基礎(chǔ)多表示法對(duì)比分析環(huán)保思政融入強(qiáng)調(diào)："數(shù)學(xué)定義需要嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性，正如我國(guó)在環(huán)境保護(hù)、空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)方面所做的努力一樣，需要精確的數(shù)據(jù)和科學(xué)的方法。"學(xué)生活動(dòng)：認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值。增強(qiáng)社會(huì)責(zé)任感認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值環(huán)保意識(shí)培養(yǎng)第三環(huán)節(jié)：形成概念，理解符號(hào)（8分鐘）給出函數(shù)定義基于學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，給出函數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)定義："一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。"學(xué)生活動(dòng)：認(rèn)真聆聽講解，記錄函數(shù)定義，課本標(biāo)記重點(diǎn)內(nèi)容。在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上自然引出函數(shù)概念使抽象概念的形成水到渠成從具體到抽象的概念形成引入數(shù)學(xué)符號(hào)引入符號(hào)f：A→B和y=f(x)，解釋其必要性和簡(jiǎn)潔性："這個(gè)統(tǒng)一的符號(hào)系統(tǒng)，就像數(shù)學(xué)的'通用語言'，讓全世界的數(shù)學(xué)家能夠無障礙交流。"學(xué)生活動(dòng)：理解符號(hào)含義，嘗試用新符號(hào)表示前面探究的實(shí)例。幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象性和概括性培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)符號(hào)化思維訓(xùn)練數(shù)學(xué)文化滲透結(jié)合我國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展歷程，介紹數(shù)學(xué)符號(hào)的重要性："我國(guó)古代數(shù)學(xué)有著輝煌成就，現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究也需要與國(guó)際接軌，這套符號(hào)系統(tǒng)正是連接古今中外的橋梁。"學(xué)生活動(dòng)：感受數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔美和抽象力量，認(rèn)識(shí)到統(tǒng)一符號(hào)系統(tǒng)的重要性。滲透數(shù)學(xué)文化思政元素提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和文化底蘊(yùn)數(shù)學(xué)文化有機(jī)融入符號(hào)應(yīng)用練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生嘗試用新符號(hào)表示前面探究的實(shí)例："高鐵問題可以表示為S=f(t)=350t，其中t∈A?={t|0≤t≤0.5}"學(xué)生活動(dòng)：用新符號(hào)表示探究實(shí)例，加深對(duì)符號(hào)含義的理解。鞏固對(duì)函數(shù)符號(hào)的理解建立新舊知識(shí)的聯(lián)系即時(shí)應(yīng)用反饋第四環(huán)節(jié)：概念辨析，初步應(yīng)用（10分鐘）實(shí)際問題分析引導(dǎo)學(xué)生共同完成"用構(gòu)建長(zhǎng)方形面積問題"的情境："這里x的取值范圍是什么？為什么需要限制x的范圍？"學(xué)生活動(dòng)：積極參與例題分析，理解定義域的實(shí)際意義："x表示長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)，必須大于0且小于10，否則不能構(gòu)成長(zhǎng)方形。"通過具體例題，鞏固對(duì)函數(shù)三要素的理解特別強(qiáng)調(diào)定義域的重要性數(shù)學(xué)與實(shí)際生活聯(lián)系函數(shù)概念辨析出示辨析題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注函數(shù)定義中的關(guān)鍵要素："判斷下列對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)？請(qǐng)說明理由。要特別注意'任意性'和'唯一性'。"學(xué)生活動(dòng)：認(rèn)真完成辨析題，說明判斷理由："這個(gè)對(duì)應(yīng)不是函數(shù)，因?yàn)橐粋€(gè)x對(duì)應(yīng)了兩個(gè)y值，不滿足唯一性要求。"通過正反例辨析，深化對(duì)函數(shù)概念的理解培養(yǎng)批判性思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度變式練習(xí)設(shè)計(jì)批判性思維培養(yǎng)知識(shí)遷移應(yīng)用將新概念應(yīng)用于已學(xué)函數(shù)，建立知識(shí)聯(lián)系："能用今天所學(xué)的定義描述反比例函數(shù)y=k/x(k≠0)嗎？它的定義域是什么？"學(xué)生活動(dòng)：思考反比例函數(shù)的定義域問題："反比例函數(shù)的定義域是{x|x≠0}，因?yàn)榉帜覆荒転?。"將新概念應(yīng)用于已學(xué)函數(shù)，建立知識(shí)聯(lián)系培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力知識(shí)遷移應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值強(qiáng)調(diào)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值："反比例函數(shù)在物理中的電阻與電流關(guān)系等方面有重要應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性。"學(xué)生活動(dòng)：認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用。滲透數(shù)學(xué)應(yīng)用思政元素讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)對(duì)實(shí)際生活的重要作用應(yīng)用意識(shí)培養(yǎng)第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)，升華認(rèn)知（2分鐘）多維度總結(jié)引導(dǎo)學(xué)生從多維度總結(jié)收獲："通過今天的學(xué)習(xí)，大家在知識(shí)、方法、思想方面有什么收獲？還有什么疑問？"學(xué)生活動(dòng)：積極分享學(xué)習(xí)收獲："我知道了函數(shù)的新定義和三要素"、"我學(xué)會(huì)了從實(shí)例中歸納的方法"、"我感受到了數(shù)學(xué)的精確性和廣泛應(yīng)用"梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，強(qiáng)化學(xué)習(xí)重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生反思和總結(jié)的能力反思性學(xué)習(xí)引導(dǎo)數(shù)學(xué)價(jià)值升華總結(jié)升華，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的價(jià)值和意義："函數(shù)是描述世界運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)語言，從今天起，我們將用更精確、更有力的工具去探索數(shù)學(xué)的世界。"學(xué)生活動(dòng)：感受數(shù)學(xué)在描述世界規(guī)律中的強(qiáng)大力量。升華數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)價(jià)值激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)激發(fā)社會(huì)責(zé)任引導(dǎo)聯(lián)系國(guó)家發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步："數(shù)學(xué)與國(guó)家發(fā)展、社會(huì)進(jìn)步緊密相連，希望同學(xué)們能學(xué)好數(shù)學(xué)，為祖國(guó)的繁榮貢獻(xiàn)自己的力量。"學(xué)生活動(dòng)：增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)在動(dòng)機(jī)和愛國(guó)情懷。滲透愛國(guó)主義思政元素培養(yǎng)學(xué)生的愛國(guó)情懷和社會(huì)責(zé)任感思政元素自然融入板書設(shè)計(jì)一、函數(shù)的定義設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。二、函數(shù)的三要素：定義域A、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系f三、實(shí)例探究：?jiǎn)栴}1:S=350t,A?={t|0≤t≤0.5}問題2:w=350d,A?={1,2,3,4,5,6}問題3:A?={t|0≤t≤24}...:A?={2006,2007,...,2015}四、共同特征：1.兩個(gè)非空數(shù)集A,B2.對(duì)應(yīng)關(guān)系f3.?x∈A,?唯一y∈B課堂小結(jié)總結(jié)函數(shù)的概念及其三要素，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)符號(hào)的重要性，回顧課堂中的思政元素，鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，為祖國(guó)繁榮貢獻(xiàn)力量。教學(xué)反思在這次函數(shù)概念的教學(xué)里，我一直努力帶著學(xué)生從初中熟悉的“變量說”，穩(wěn)穩(wěn)當(dāng)當(dāng)?shù)剡^渡到高中有點(diǎn)抽象的“集合對(duì)應(yīng)說”。我采用了實(shí)例分析、符號(hào)講解，還融入了思政元素這些方法，滿心期待能實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。現(xiàn)在靜下心來反思整個(gè)教學(xué)過程，收獲了不少經(jīng)驗(yàn)，也發(fā)現(xiàn)了一些能改進(jìn)的地方。一、函數(shù)概念過渡學(xué)生們從“變量說”邁向“集合對(duì)應(yīng)說”的時(shí)候，整體還算順利。有些學(xué)生在我的引導(dǎo)下，通過分析實(shí)例慢慢理解了新的函數(shù)概念?？蛇€是有部分同學(xué)在抽象出集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，顯得有點(diǎn)費(fèi)勁。仔細(xì)想想，初中對(duì)函數(shù)的理解直觀又具體，高中這個(gè)就變得抽象多了，需要學(xué)生有更強(qiáng)的邏輯思維和抽象概括能力。以后教學(xué)的時(shí)候，得多找些生活里各種各樣的函數(shù)關(guān)系實(shí)例讓學(xué)生練習(xí)。就像水電費(fèi)隨著用量變化，氣溫和當(dāng)天衣服增減的關(guān)系等等。讓他們多體會(huì)集合與對(duì)應(yīng)關(guān)系在函數(shù)里是怎么體現(xiàn)的，這樣能加深對(duì)函數(shù)概念的理解。二、實(shí)例分析時(shí)間分配分析四個(gè)實(shí)例的時(shí)間安排基本挺合理的。高鐵運(yùn)行、工資計(jì)算、空氣質(zhì)量指數(shù)、恩格爾系數(shù)這幾個(gè)例子，從解析式、離散型解析式、圖象、表格等不同角度展示了函數(shù)關(guān)系，很全面也有層次，能幫助學(xué)生理解函數(shù)概念。不過，空氣質(zhì)量指數(shù)那個(gè)用圖象表示的實(shí)例，對(duì)有些學(xué)生來說理解起來有點(diǎn)困難。圖象這東西，信息看著直觀，可藏得也深，學(xué)生得有不錯(cuò)的觀察和分析能力才能找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系。以后碰到這種抽象表示的實(shí)例，得給學(xué)生更多時(shí)間去觀察、討論。比如讓他們自己動(dòng)手畫畫簡(jiǎn)單函數(shù)圖象，再分析分析上面的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣能增強(qiáng)他們對(duì)圖象表示函數(shù)的理解。三、函數(shù)符號(hào)理解函數(shù)符號(hào)y=f(x)的理解，學(xué)生們普遍覺得有點(diǎn)難。他們對(duì)抽象符號(hào)“f”和整個(gè)表達(dá)式的意思把握不準(zhǔn)，老是把它當(dāng)成普通數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)。這說明他們沒真正理解函數(shù)符號(hào)代表的對(duì)應(yīng)關(guān)系本質(zhì)。為了改善這個(gè)情況，教學(xué)中得更著重講清楚符號(hào)的含義?？梢耘e些具體例子，詳細(xì)說說“f”就是一種對(duì)應(yīng)規(guī)則。把集合A里的任意元素x放進(jìn)去，按照這個(gè)規(guī)則，在集合B里能找到唯一對(duì)應(yīng)的y。比如說，把f想象成一個(gè)“魔法盒子”，x是輸入的東西，經(jīng)過“盒子”里的規(guī)則運(yùn)算，輸出唯一的y，這樣學(xué)生能更形象地明白函數(shù)符號(hào)啥意思。還得多增加一些函數(shù)符號(hào)應(yīng)用的練習(xí)，讓學(xué)生在實(shí)際做題中熟練掌握，加深對(duì)含義的理解。四、思政元素融入思政元素融入得挺自然有效的。播放“復(fù)興號(hào)”高鐵視頻，一下子就激發(fā)了學(xué)生的民族自豪感，讓他們感受到國(guó)家科技進(jìn)步背后科研人員的付出，培養(yǎng)了進(jìn)取精神。在實(shí)例探究時(shí)，結(jié)合空氣質(zhì)量指數(shù)這些例子，增強(qiáng)了學(xué)