第二十六章解直角三角形（復(fù)習(xí)講義）1.

了解銳角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，體會(huì)直角三角形邊角之間的整體聯(lián)系。2.

能熟記30°、45°、60°特殊角的三角函數(shù)值，并準(zhǔn)確運(yùn)用。3.

理解解直角三角形的方法：已知斜邊求直邊用正、余弦；已知直邊求直邊用正切；已知兩邊求邊用勾股定理、求角用函數(shù)關(guān)系；已知銳角求另一銳角用互余關(guān)系；已知直邊求斜邊用正、余弦。4.

能用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，掌握仰角、俯角、坡度、坡角、方向角（方位角）的含義并用于分析實(shí)際情境。一、銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，：sinA=；：cosA=；：tanA=．根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來(lái)理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過(guò)輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形.二、特殊角的三角函數(shù)值αsinαcosαtanα30°45°160°三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過(guò)程叫做．2．解直角三角形的常用關(guān)系：在Rt△ABC中，∠C=90°，則：（1）三邊關(guān)系：；（2）兩銳角關(guān)系：；（3）邊與角關(guān)系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）．3．科學(xué)選擇解直角三角形的方法口訣：已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；已知直邊求直邊，理所當(dāng)然用正切；已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要記牢；已知銳角求銳角，互余關(guān)系不能少；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.四、三角函數(shù)的應(yīng)用1.仰角和俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．2.坡度和坡角：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3.方向角（或方位角）指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做(或)．題型一題型一求角的正弦值1．如圖，A，B，C是小正方形的頂點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則的值為（

）A． B． C． D．2．如圖所示，在中，若，，，則（

）A． B． C． D．3．如圖，中，，，，則的值為4．如下圖，在中，于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，求的值．題型二題型二已知正弦值求邊長(zhǎng)5．在中，，，，則的值是（）A．5 B．9 C．6 D．36．在中，已知，，，則長(zhǎng)為（）A．12 B．26 C．24 D．137．如圖，在中，，D為邊上的一點(diǎn)，，，．則．8．如圖，已知的三條邊，，，滿足，且，．(1)求，，的值．(2)求的面積．題型三題型三求角的余弦值9．如圖，在中，于，設(shè)，則的值為（

）A． B． C． D．10．如圖，在中，，于點(diǎn)，，，則的值為（

）A． B． C． D．11．如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，則的值是．12．如圖，在中，，于點(diǎn)D，，，求與的值．題型題型四已知余弦求邊長(zhǎng)13．如圖，中，，點(diǎn)在上，若，，則的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．14．在中，，如果，，那么的長(zhǎng)為（）A． B． C．8 D．1015．如圖，在中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．16．如圖，已知，在中，，，求的值．題型題型五求角的正切值17．在中，，如果，那么的值是（

）A． B．2 C． D．18．直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6，8，現(xiàn)將如圖那樣折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則的值是（）A． B． C． D．19．在中，于，且，則．20．如圖，在中是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)E、F．若，，求的值．題型題型六已知正切值求邊長(zhǎng)21．如圖，在中，若，，，則（

）A．3 B．4 C．5 D．622．如圖，在中，，平分，分別以為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)．連接，則的長(zhǎng)為（

）A． B．6 C． D．23．如圖，在中，，為斜邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，將沿直線翻折得對(duì)應(yīng)，交于點(diǎn)，若，則線段的長(zhǎng)是．24．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，，，，求：線段的長(zhǎng)．

題型題型七特殊角三角函數(shù)值混合運(yùn)算25．計(jì)算：(1)(2)26．計(jì)算：(1)．(2)．27．計(jì)算：(1)；(2)．28．計(jì)算：(1)；(2).題型題型八根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)29．已知，在中，，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．30．在中，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．31．閱讀理解題，．．故猜想：一般地，當(dāng)是銳角時(shí)，有．根據(jù)此猜想，的值為（

）A． B． C． D．32．已知，均為銳角，且滿足，那么．題型題型九已知角度比較三角函數(shù)值的大小33．三角函數(shù)、、之間的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．34．比較和的大小（

）A． B． C． D．不確定35．（選填“”或“”或“”）．36．下列結(jié)論（其中是銳角）：①；②；③當(dāng)時(shí)，；④．其中正確的有．題型題型十同角三角函數(shù)關(guān)系37．已知，是銳角，則的值是（

）A． B． C． D．38．下列等式中成立的有（

）①sin30°+sin30°＝sin60°；②若cosA＝sinB，則∠A＝∠B；③若sinA＝cos30°，則銳角A＝60°；④sin60°+sin30°＝2（sin30°+cos30°）．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)39．在中，，若，則的值為．40．如圖，在中，．(1)求證：．(2)若，求的值．題型題型十一解直角三角形的相關(guān)計(jì)算41．中，求的值；42．如圖，在中，．(1)尺規(guī)作圖：求作點(diǎn)D，使得；（不寫(xiě)作法，保留痕跡）(2)在（1）的條件下，若，求的長(zhǎng)．43．如下圖，在Rt中，是邊上的一點(diǎn)，(1)的長(zhǎng)為_(kāi)_________，的長(zhǎng)為_(kāi)_________，的長(zhǎng)為_(kāi)_________．(2)求點(diǎn)到的距離．44．如圖，在中，．(1)已知，，求的長(zhǎng)．(2)已知，，求的度數(shù)．題型題型十二解非直角三角形45．如圖，在中，，，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C．4 D．546．如圖，在中，，，，平分交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B．12 C． D．647．等腰中，，則=48．如圖，在中，，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)求的面積（結(jié)果保留根號(hào)）．題型題型十三構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積49．如圖，在中，，，，則的面積為（）A．6 B．12 C．12 D．2450．如圖，某小區(qū)物業(yè)想對(duì)小區(qū)內(nèi)的三角形廣場(chǎng)進(jìn)行改造，已知與的夾角為，米，米，請(qǐng)你幫助物業(yè)計(jì)算出需要改造的廣場(chǎng)面積是平方米.（結(jié)果保留根號(hào)）51．如圖，在△ABC中，sinB＝，，AC＝5，則△ABC的面積為多少？52．如圖，等腰直角△ABC的面積為16，點(diǎn)D在斜邊AC的延長(zhǎng)線上，∠BDC＝30°，則△BDC的面積是.題型題型十四仰角俯角問(wèn)題53．如圖，小明為了測(cè)量旗桿高度，采用如下方案：在點(diǎn)C處測(cè)得旗桿頂B的仰角為，從與點(diǎn)C相距的E處測(cè)得旗桿頂B的仰角為，若，則旗桿的高度是（精確到）．（參考數(shù)據(jù)：）54．如圖，天琪家與阿權(quán)家住在同一棟樓的同一單元，他倆想測(cè)算出所住樓對(duì)面商業(yè)大廈的高度，進(jìn)行了如下操作：他倆在天琪家的窗臺(tái)B處，測(cè)得商業(yè)大廈頂部N的仰角的度數(shù)，由于樓下植物的遮擋，不能在B處測(cè)得商業(yè)大廈底部M的俯角的度數(shù)．于是，他倆上樓來(lái)到阿權(quán)家，在窗臺(tái)C處測(cè)得大廈底部M的俯角的度數(shù)，竟然發(fā)現(xiàn)與恰好相等．已知A，B，C三點(diǎn)共線，，商業(yè)大廈的高度．55．麥積山位于甘肅省天水市麥積區(qū)，是小隴山中的一座孤峰，因山形酷似麥垛而得名．麥積山石窟始建于年，存有座洞窟、身泥塑石雕、余平方米壁畫(huà)，以其精美的泥塑藝術(shù)聞名世界，被譽(yù)為東方雕塑藝術(shù)陳列館．某學(xué)習(xí)小組把測(cè)量本城市麥積山（圖②）最高點(diǎn)離地面的高度作為一次課題活動(dòng)，同學(xué)們制定了測(cè)量方案，并完成了實(shí)地測(cè)量，測(cè)得結(jié)果如下表：課題測(cè)量麥積山最高點(diǎn)離地面的高度示意圖說(shuō)明如圖，麥積山的最高點(diǎn)到地面的高度為，在測(cè)點(diǎn)用儀器測(cè)得點(diǎn)的仰角為，前進(jìn)一段距離到達(dá)測(cè)點(diǎn)，再用該儀器測(cè)得點(diǎn)的仰角為，且點(diǎn)均在同一豎直平面內(nèi)，點(diǎn)在同一條直線上．測(cè)量數(shù)據(jù)的度數(shù)的度數(shù)的長(zhǎng)度儀器（）的高度米米請(qǐng)你根據(jù)上表中的測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助該小組求出麥積山最高點(diǎn)離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)56．“世界橋梁看中國(guó)，中國(guó)橋梁看貴州”．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組對(duì)“北盤(pán)江第一橋”主橋墩（如圖①）的高度進(jìn)行測(cè)量，如圖②是其設(shè)計(jì)的測(cè)量示意圖．已知主橋墩底端點(diǎn)B到參照點(diǎn)C的水平距離為97米，該小組從點(diǎn)C沿的斜坡行走80米到達(dá)坡頂平臺(tái)的點(diǎn)D處．再沿平臺(tái)行走80米到達(dá)點(diǎn)E處，在點(diǎn)E處得主橋墩頂端點(diǎn)A的仰角為．已知，垂足分別為B，F(xiàn)，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)均在同一平面內(nèi)．（參考數(shù)據(jù)：，，，）(1)求坡頂平臺(tái)到地面的距離；(2)求主橋墩的高度（結(jié)果精確到1米）．題型題型十五方位角問(wèn)題57．如圖，燈塔在海島的北偏東方向，某天上午點(diǎn)，一條船從海島出發(fā)，以海里/時(shí)的速度由西向東方向航行，時(shí)整到達(dá)處，此時(shí)，測(cè)得燈塔在處的北偏東方向．(1)求處到燈塔的距離；(2)已知在以燈塔為中心，周?chē)＠锏姆秶鷥?nèi)均有暗礁，若該船繼續(xù)由西向東航行，是否有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)你說(shuō)明理由．58．如圖，在同一平面內(nèi)，今年國(guó)慶，小明和小紅兩位同學(xué)都在某景區(qū)游玩，他們決定在游客中心匯合，已知景點(diǎn)位于景點(diǎn)的正北方向，游客中心位于景點(diǎn)的正東方向，景點(diǎn)位于游客中心的西北方向6千米，景點(diǎn)位于點(diǎn)的北偏東方向且在游客中心的正北方向．（參考數(shù)據(jù)：）(1)求的長(zhǎng)度（結(jié)果保留一位小數(shù)）；(2)小明從景點(diǎn)乘坐索道沿著方向前往游客中心，小紅從景點(diǎn)乘坐觀光車(chē)沿著方向前往游客中心，若小明和小紅同時(shí)出發(fā)，索道和觀光車(chē)均保持勻速行駛，并且索道的速度是觀光車(chē)速度的倍，上下車(chē)和上下索道的時(shí)間忽略不計(jì)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)小明位于小紅的北偏東時(shí)，小紅與游客中心的距離是多少？（結(jié)果保留一位小數(shù)）59．如圖，是某動(dòng)物園入口，、、是入口附近的三個(gè)展區(qū)，小明和小華相約從入口一起去參觀，但由于興趣不同，兩人決定先沿不同的路線參觀，再到達(dá)展區(qū)匯合．如圖是路線平面示意圖，已知展區(qū)在起點(diǎn)的東北方向，小明從起點(diǎn)出發(fā)沿正北方向走了900米到展區(qū)，在展區(qū)參觀10分鐘，再沿北偏東的方向走一段路即可到達(dá)展區(qū)．小華從起點(diǎn)出發(fā)向正東方向走到展區(qū)，在展區(qū)參觀14分鐘，再沿北偏東方向走一段路即可到達(dá)展區(qū)．（參考數(shù)據(jù)：）(1)求的長(zhǎng)度；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)已知小明的平均速度為90米/分鐘，小華的平均速度為100米/分鐘，若兩人同時(shí)出發(fā)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明誰(shuí)會(huì)先到達(dá)展區(qū)？（結(jié)果精確到0.1）60．中秋樂(lè)游，明月湖畔，月圓人團(tuán)圓．中秋佳節(jié)將至，明月湖公園設(shè)置了如圖所示A、B、C、D四個(gè)打卡點(diǎn)，四個(gè)打卡點(diǎn)位于同一平面內(nèi)，B在A的正東方向，C在B的正北方向，D在A的北偏東方向且在C的北偏西方向，千米，千米．(1)求的長(zhǎng)度；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)小南和小開(kāi)分別從D、A打卡點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，小南以的速度從D打卡點(diǎn)沿方向步行至A打卡點(diǎn)，小開(kāi)以的速度從A打卡點(diǎn)沿方向跑步至B打卡點(diǎn)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，小南出發(fā)多少千米后恰好與小開(kāi)相距千米？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位，參考數(shù)據(jù)：，）題型題型十六坡度坡比問(wèn)題61．五一期間，王老師讀到《行路難》中“閑來(lái)垂釣碧溪上，忽復(fù)乘舟夢(mèng)日邊．”邀約好友一起在江邊垂釣，如圖，河堤的坡度為，長(zhǎng)為米，釣竿與水平線的夾角是，其長(zhǎng)為米，若釣竿與釣魚(yú)線的夾角也是，求浮漂與河堤下端之間的距離？（參考數(shù)據(jù)：）62．如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組在一次外出登山活動(dòng)中，發(fā)現(xiàn)一棵古樹(shù)豎直生長(zhǎng)在山崖上，為了安全測(cè)量古樹(shù)的高度，采用了如下的方法：先從與古樹(shù)底端在同一水平線上的點(diǎn)出發(fā)，沿斜面坡度為的斜坡前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)，再沿水平方向繼續(xù)前進(jìn)一段距離后到達(dá)點(diǎn)．在點(diǎn)處測(cè)得古樹(shù)的頂端的俯角為，底部的俯角為，求古樹(shù)的高度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，）63．校內(nèi)數(shù)學(xué)興趣小組組織了一次測(cè)量探究活動(dòng)．如圖，大樓的頂部豎有一塊廣告牌，小明與同學(xué)們?cè)谏狡碌钠履_A處測(cè)得廣告牌底部D的仰角為，沿坡面向上走到B處測(cè)得廣告牌頂部C的仰角為，已知山坡的坡度，米，米．（測(cè)角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，，，）(1)求點(diǎn)B距水平地面的高度；(2)求廣告牌的高度．64．2024年，元宵節(jié)迎春煙花秀在人民廣場(chǎng)震撼上演，歡樂(lè)、祥和、喜慶、熱烈的節(jié)日氛圍再次拉滿，歡歡和喜喜兩位同學(xué)相約去人民廣場(chǎng)看煙花，并測(cè)量煙花的燃放高度．如圖，歡歡從點(diǎn)出發(fā)，沿坡度的山坡走了130米到達(dá)坡頂點(diǎn)，喜喜則沿點(diǎn)正東方向到達(dá)離點(diǎn)水平距離40米的點(diǎn)觀看，此時(shí)煙花在與，同一水平線上的點(diǎn)處點(diǎn)燃，一朵朵燦爛的煙花在點(diǎn)的正上方點(diǎn)綻放，歡歡在坡頂處看煙花綻放處的仰角為，喜喜在處測(cè)得點(diǎn)的仰角為（點(diǎn)，，，，在同一平面內(nèi)）．（參考數(shù)據(jù)：，）(1)求歡歡從斜坡處走到處上升的高度；(2)煙花燃放結(jié)束后，歡歡和喜喜兩位同學(xué)來(lái)到煙花燃放地幫忙清理現(xiàn)場(chǎng)的垃圾，他們清理時(shí)發(fā)現(xiàn)剛才燃放的煙花盒子上的說(shuō)明書(shū)寫(xiě)著煙花的燃放高度為米，請(qǐng)你幫他們計(jì)算一下說(shuō)明書(shū)寫(xiě)的煙花燃放的高度（圖中DE）是否屬實(shí)？題型題型十七生活實(shí)際問(wèn)題65．圖①是一輛自行車(chē)的實(shí)物圖，圖②是這輛自行車(chē)的部分結(jié)構(gòu)幾何示意圖，車(chē)架的長(zhǎng)為60cm，且，座桿的長(zhǎng)為，點(diǎn)在同一條直線上，．求：(1)車(chē)架的長(zhǎng)；(2)車(chē)座點(diǎn)到車(chē)架的距離．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）66．如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖，為了提高傳送過(guò)程的安全性，工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角，使其由改為．已知原傳送帶長(zhǎng)為．(1)求新傳送帶的長(zhǎng)度；(2)如果需要在貨物著地點(diǎn)C的左側(cè)留出的通道，試判斷距離B點(diǎn)的貨物是否需要挪走，并說(shuō)明理由．（結(jié)果精確到，已知，，）67．一場(chǎng)突如其來(lái)的病毒，讓我們的寒假變得不平凡，在這關(guān)鍵時(shí)刻，教育部門(mén)決定采取“停課不停學(xué)”的網(wǎng)絡(luò)授課，為了更方便的使用手機(jī)聽(tīng)課，有的家長(zhǎng)給孩子們購(gòu)買(mǎi)手機(jī)支架．圖1是一種手機(jī)支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托板上，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，量得托板長(zhǎng)，底座長(zhǎng)，托板固定在支撐板頂端點(diǎn)處，托板可繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板可繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)．(1)為了觀看舒適，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使，如圖2，求到直線的距離．(2)在（1）的條件下，再將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使，求到直線的距離．（結(jié)果保留1位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：）68．如圖1是一種折疊式可調(diào)節(jié)釣魚(yú)竿支架，圖2是其示意圖，是地插，用來(lái)將支架固定在地面上，支架可繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，用來(lái)調(diào)節(jié)與地面的夾角，支架可繞支點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，用來(lái)調(diào)節(jié)與的夾角，支架可伸縮調(diào)節(jié)長(zhǎng)度．已知，，釣魚(yú)竿始終與地面平行．(1)如圖2，當(dāng)支架與地面垂直時(shí)，，求的度數(shù)；(2)如圖3，若保持支架與地面的夾角不變，調(diào)節(jié)支架與的夾角，使得，求此時(shí)支架的長(zhǎng)度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后1位．參考數(shù)據(jù)：，，）．基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測(cè)基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測(cè)1．（（25-26九年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)））若，則銳角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（（25-26九年級(jí)上·河北秦皇島·階段練習(xí)））在中，，給出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的個(gè)數(shù)有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)3．（25-26九年級(jí)上·河北保定·階段練習(xí)）若，則是（）A．直角三角形B．等邊三角形C．含有的任意三角形D．頂角為鈍角的等腰三角形4．（24-25九年級(jí)上·河北石家莊·期中）如圖，在中，，，，則等于（

）A． B． C． D．5．（2025·河北石家莊·三模）如圖，四邊形是平行四邊形，連接對(duì)角線，將沿所在直線折疊得到，交于點(diǎn)，若，，，則的長(zhǎng)度是（）A． B． C． D．6．（2025·河北唐山·三模）如圖，由8個(gè)全等的菱形組成的網(wǎng)格中，每個(gè)小菱形的邊長(zhǎng)均為1，，其中點(diǎn)、、都在格點(diǎn)上，則的值為（

）A． B．2 C．3 D．7．河堤橫斷面如圖所示，斜坡AB的坡度，，則的長(zhǎng)是8．（25-26九年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）在中，，，，那么長(zhǎng)為．9．（25-26九年級(jí)上·河北·階段練習(xí)）如圖，在中，，若，則．10．（25-26九年級(jí)上·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，中，，，的垂直平分線分別交、于、，若，則．11．（25-26九年級(jí)上·河北·階段練習(xí)）如圖，在中，，，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別相交于點(diǎn)，，連接交邊于點(diǎn)，連接．若，則的周長(zhǎng)為．12．（24-25九年級(jí)上·河北張家口·期中）如圖，折疊矩形的一邊，使落在邊上的處，且．

（1）與是否相似？（選填“是”或者“否”）（2）若則矩形的面積為．13．已知為銳角，且，求的度數(shù)．14．（2025·河北承德·二模）一款手機(jī)支架的示意圖如圖所示，底座支架與桌面垂直，，固定連接桿，為固定值，是活動(dòng)連桿，其可繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使的度數(shù)發(fā)生變化進(jìn)而帶動(dòng)手機(jī)夾升降．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)求點(diǎn)B到的距離．15．（2025·河北邯鄲·二模）如圖是某跨江大橋段抽象出的豎直截面圖．【測(cè)量】從點(diǎn)處測(cè)得支架頂端的仰角為，從點(diǎn)處測(cè)得支架頂端的仰角為，支架的豎直高度為202米．【計(jì)算】求的長(zhǎng)．【應(yīng)用】通過(guò)該橋的限速標(biāo)準(zhǔn)為22米/秒，一輛汽車(chē)用時(shí)36秒通過(guò)路段，通過(guò)計(jì)算判斷這輛汽車(chē)是否超速？（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，）16．解答課題設(shè)計(jì)遮陽(yáng)棚前擋板模型抽象示意圖德百旅游小鎮(zhèn)游客服務(wù)中心為了方便旅游高峰期間游客遮陽(yáng)，在服務(wù)窗口外安裝了遮陽(yáng)棚，結(jié)果發(fā)現(xiàn)旅游高峰期正午時(shí)納涼面積不夠，現(xiàn)在為使服務(wù)窗口外的納涼區(qū)域增加到寬，計(jì)劃在遮陽(yáng)棚前端加裝一塊前擋板（前擋板垂直于地面），抽象模型如圖1，現(xiàn)在要計(jì)算所需前擋板的寬度．測(cè)量數(shù)據(jù)實(shí)地測(cè)得相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫(huà)出了側(cè)面示意圖，如圖2，遮陽(yáng)棚長(zhǎng)為，其與墻面的夾角，其靠墻端離地面高為．通過(guò)實(shí)地勘察，該服務(wù)窗口在每年的旅游高峰期間正午的太陽(yáng)高度角（太陽(yáng)光線與地面夾角約為，若加裝前擋板后，此時(shí)服條窗口前恰好有寬的陰影，如圖3．任務(wù)1求遮陽(yáng)棚前端到墻面的距離．任務(wù)2當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)度．結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：17．（2025·河北廊坊·一模）圖1是古代數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中對(duì)“邑的計(jì)算”的相關(guān)研究．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組也類(lèi)比進(jìn)行了如下探究如圖②，正八邊形游樂(lè)城的邊長(zhǎng)為，南門(mén)設(shè)立在邊的正中央，游樂(lè)城南側(cè)有一條東西走向的道路，在上（門(mén)寬及門(mén)與道路間距離忽略不計(jì)），東側(cè)有一條南北走向的道路，處有一座雕塑．在處測(cè)得雕塑在北偏東方向上，在處測(cè)得雕塑在北偏東方向上．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）(1)__________，_________；(2)求點(diǎn)到道路的距離．18．（23-24九年級(jí)上·河北·期末）漢中龍頭山景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗(yàn)，擬在如圖①景區(qū)內(nèi)修建觀光索道．設(shè)計(jì)示意圖如圖②所示，以山腳A為起點(diǎn)，沿途修建兩段長(zhǎng)度相等的觀光索道，最終到達(dá)山頂D處，中途設(shè)計(jì)了一段與平行的觀光平臺(tái)．索道與的夾角為，與水平線夾角為，點(diǎn)B的垂直高度為，，垂足為點(diǎn)F．（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A，E，F(xiàn)在同一水平線上．）(1)求索道的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1m）；(2)求山頂點(diǎn)D到水平地面的距離的長(zhǎng)（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）19．（25-26九年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、O都在格點(diǎn)上，那么的值為（

）A． B． C． D．120．某區(qū)域平面示意圖如圖，點(diǎn)O在河的一側(cè)，和表示兩條互相垂直的公路．甲偵測(cè)員在處測(cè)得點(diǎn)位于北偏東，乙勘測(cè)員在處測(cè)得點(diǎn)位于南偏西，測(cè)得，，請(qǐng)求出點(diǎn)到的距離（

）（參考數(shù)據(jù)，，）A．160 B．330 C．480 D．52021．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，分別是邊的中點(diǎn)，連接，若，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A位于第一象限內(nèi)，，并且點(diǎn)A到x軸的距離為6，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為．若為鈍角三角形，則a的取值范圍是（

）A． B．C．且，或 D．且，或23．（2025·河北邯鄲·二模）在正六邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，若圖中陰影部分的面積為，如下結(jié)論：結(jié)論一：．結(jié)論二：．下列判斷正確的是（

）A．結(jié)論一正確，結(jié)論二不正確 B．結(jié)論一不正確，結(jié)論二正確C．結(jié)論一正確，結(jié)論二正確 D．結(jié)論一不正確，結(jié)論二不正確24．在等腰中，，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上且，連接，將沿翻折到的內(nèi)部，得到，連接．則（）A． B． C． D．能力提升進(jìn)階練能力提升進(jìn)階練25．（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A、B、C都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則的值是．26．如圖，在中，，則27．如圖，在正方形紙片中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)．將該紙片的右下角向上翻折，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，邊翻折至的位置，與交于點(diǎn)P，那么的值是．28．在中，為線段上一點(diǎn)，且，則的值為29．如圖，某地政府為解決當(dāng)?shù)剞r(nóng)戶網(wǎng)絡(luò)銷(xiāo)售農(nóng)產(chǎn)品物流不暢問(wèn)題，計(jì)劃打通一條東西方向的隧道，無(wú)人機(jī)從處的正上方處，沿正東方向以的速度飛行到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得A處的俯角為，然后以同樣的速度沿正東方向又飛行到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得處的俯角為．由以上測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算得隧道的長(zhǎng)度為m．（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，）30．如圖，在中，，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到，連接，交于點(diǎn)D，則的值為．

31．（24-25九年級(jí)上·河北·期末）某船向正東航行，在A處望見(jiàn)燈塔C在東北方向，前進(jìn)到B處望見(jiàn)燈塔C在北偏西，又航行了半小時(shí)到D處，望見(jiàn)燈塔C恰在西北方向，若船速為每小時(shí)40海里．求A、D兩點(diǎn)間的距離．（結(jié)果不取近似值）