第01講空間向量及其線性運(yùn)算【人教A版】模塊一模塊一空間向量的概念1．空間向量的概念(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長(zhǎng)度或模：向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對(duì)于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量【注】(1)空間中點(diǎn)的一個(gè)平移就是一個(gè)向量；(2)數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量.【題型1空間向量的有關(guān)概念】【例1】（2425高二下·甘肅慶陽(yáng)·期中）下列命題是真命題的是（

）A．空間向量就是空間中的一條有向線段B．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等C．任一向量與它的相反向量不相等D．向量BA與向量AB的長(zhǎng)度相等【答案】D【解題思路】根據(jù)空間向量的相關(guān)概念逐一判斷即可.【解答過程】對(duì)于A，有向線段是空間向量的一種表示形式，但不能把二者完全等同起來，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，不相等的兩個(gè)空間向量的模也可以相等，只要它們的方向不相同即可，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，BA與AB僅是方向相反，它們的長(zhǎng)度是相等的，故D正確，故選：D.【變式1.1】（2425高二下·全國(guó)·課堂例題）下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（）A．單位向量都相等B．若|a|=|bC．若向量AB，CD滿足|AB|>|D．相等向量其方向必相同【答案】D【解題思路】根據(jù)向量的相關(guān)概念及向量的性質(zhì)，即可判斷各項(xiàng)的正誤.【解答過程】對(duì)于A中，單位向量長(zhǎng)度相等，方向不確定，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，|a|=|b對(duì)于C中，向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，相等向量其方向必相同，故D正確．故選：D.【變式1.2】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列說法正確的是（

）A．向量AB與向量BA是相等向量B．與實(shí)數(shù)類似，對(duì)于兩個(gè)向量a，b，有a=b，a>C．向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)D．若兩個(gè)非零向量是共線向量，則這兩個(gè)向量所在的直線可以平行，也可以重合【答案】D【解題思路】根據(jù)相等向量的概念判斷A；根據(jù)空間向量的概念判斷B；根據(jù)空間向量模的定義判斷C；根據(jù)共線向量的定義判斷D.【解答過程】對(duì)于A，向量AB與向量BA是相反向量，不是相等向量，因此A不正確；對(duì)于B，與實(shí)數(shù)不一樣，兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，而兩個(gè)向量不能比較大小，因此B不正確；對(duì)于C，向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，因此C不正確；對(duì)于D，若兩個(gè)非零向量是共線向量，則這兩個(gè)向量所在的直線可以平行，也可以重合，D正確.故選：D.【變式1.3】（2425高二上·河南商丘·階段練習(xí)）給出下列命題：①將空間中所有的單位向量平移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓；②在正方體ABCD?A1B③若空間向量a,b,c滿足④空間中任意兩個(gè)單位向量必相等；其中假命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解題思路】根據(jù)空間向量的定義，逐個(gè)命題進(jìn)行判斷即可.【解答過程】對(duì)于①，根據(jù)空間向量的定義，空間中所有的單位向量平移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，故①為假命題；對(duì)于②，根據(jù)正方體的定義，上下底面的對(duì)角線必定相等，結(jié)合向量的方向，所以AC=對(duì)于③，根據(jù)向量相等的定義，明顯成立，故③為真命題；對(duì)于④，向量相等即模相等和方向相同，故空間中任意兩個(gè)單位向量必相等是假命題，故④為假命題.故選：B.模塊二模塊二空間向量的線性運(yùn)算1．空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當(dāng)λ>0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ<0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.【注】(1)空間向量的運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的延展，空間向量的加法運(yùn)算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則，而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運(yùn)算，可以將向量合并.(2)向量的減法運(yùn)算是向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，滿足三角形法則.(3)空間向量加法的運(yùn)算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量.【題型2空間向量的加減運(yùn)算】【例2】（2425高二上·四川自貢·期末）已知平行六面體ABCD?A1B1A．CA B．AC C．AC1 【答案】C【解題思路】利用空間向量的加法運(yùn)算，結(jié)合平行六面體計(jì)算即得.【解答過程】在平行六面體ABCD?A1B1C1D故選：C.【變式2.1】（2425高二上·北京·階段練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1CA．AC1 B．A1C C．【答案】C【解題思路】根據(jù)空間向量加減法法則計(jì)算．【解答過程】由題意AB?故選：C．【變式2.2】（2425高二上·廣東深圳·期末）如圖，在四面體ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AE→=4AFA．DFB．DFC．DFD．DF【答案】B【解題思路】根據(jù)條件可得出AF→【解答過程】AE→=4AF∵E是BC的中點(diǎn)，∴AE∴AF∴故選：B.【變式2.3】（2425高二上·天津?yàn)I海新·期末）如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA=a,PB=A．a(chǎn)+b?C．b+c?【答案】B【解題思路】先用PA,PC,【解答過程】因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以BC=所以PC?所以PD=故選：B.【題型3空間向量的線性運(yùn)算】【例3】（2425高二上·廣東·期末）如圖，在四面體OABC中，D為BC的中點(diǎn)，3AG=2AD，且P為OG的中點(diǎn)，則OP=A．16OA+1C．13OA+【答案】A【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解即可.【解答過程】由題意，OP=1故選：A.【變式3.1】（2425高二上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）求a+2b?3A．2a+3C．2a?5【答案】B【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算以及加減運(yùn)算的性質(zhì)，求解即可得出答案.【解答過程】原式=a+3×2故選：B.【變式3.2】（2425高二上·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A

(1)AB?(2)A1(3)1【答案】(1)DB(2)A(3)G【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形計(jì)算即可.【解答過程】（1）AB?（2）A1（3）12【變式3.3】（2425高二·江蘇·課后作業(yè)）如圖，在空間四邊形ABCD中，已知G為△BCD的重心，E,F,H分別為邊CD,AD和BC的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各式：(1)AG→(2)12(3)13【答案】(1)AF(2)FH(3)AG【解題思路】（1）根據(jù)向量共線，加法與減法運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則求解即可；（3）根據(jù)13【解答過程】（1）解：因?yàn)镚為△BCD的重心，E,F為邊CD,AD的中點(diǎn)，所以AG=AB→+所以AG（2）解：因?yàn)镋,F,H分別為邊CD,AD和BC的中點(diǎn)，所以1（3）解：1=AB→+【題型4根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求參數(shù)】【例4】（2425高二上·福建莆田·期末）如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)M在BB1上，點(diǎn)N在DD1A．16 B．13 C．23【答案】A【解題思路】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則確定MN=?【解答過程】MN=故x=?1，y=1，z=16，故選：A.【變式4.1】（2025·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè)）在任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，若AB+DC=λEF，則A．12 B．1 C．2 【答案】C【解題思路】根據(jù)向量加法法則，將AB+DC,【解答過程】如圖，AB+EF=∴AB+DC故選：C.【變式4.2】（2025高二·陜西·專題練習(xí)）平行六面體ABCD?A1B1C1DA．1 B．76 C．56 【答案】B【解題思路】根據(jù)空間向量加法的平行四邊形法則，以及向量相等的概念，根據(jù)題意，列出等量關(guān)系，求解即可.【解答過程】因?yàn)锳C1=故可得x=1,2y=1,?3z=1，解得故可得x+y+z=1+1故選：B.【變式4.3】（2425高二·湖南·課后作業(yè)）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是上底面A1(1)AE=x(2)AF=x(3)EF=x【答案】(1)x=y=(2)x=1,y=z=(3)x=【解題思路】（1）由向量加法的三角形法則和四邊形法則得AE=AA（2）由向量加法的三角形法則和四邊形法則得AF=AD+（3）因?yàn)镋F=AF?【解答過程】（1）解：由向量加法的三角形法則得，AE=由平行四邊形法則和向量相等得，A1所以AE=所以x=y=1（2）解：由向量加法的三角形法則得，AF=由四邊形法則和向量相等得，DF=所以AF=所以x=1,y=z=1（3）解：由（1），（2）可知，EF=1所以x=1模塊三模塊三共線向量定理與共面向量定理1．共線向量定理(1)共線向量定理對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量a，都有0//a.(3)共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；②證明三點(diǎn)共線.【注】：證明平行時(shí)，先從兩直線上取有向線段表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法；證明三點(diǎn)共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn).2．共面向量定理(1)共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量．(2)共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①證明四點(diǎn)共面；②證明線面平行.【常用結(jié)論】【題型5空間向量共線的判定及應(yīng)用】【例5】（2425高二上·湖南永州·期中）下列條件中，能說明空間中不重合的三點(diǎn)A、B、C共線的是（

）A．AB+BC=AC B．AB?BC=【答案】C【解題思路】根據(jù)向量的加法運(yùn)算可判斷A，根據(jù)向量的減法以及相反向量可判斷B，根據(jù)共線向量的定義可判斷C，向量的模長(zhǎng)相等不一定能推出向量共線，即可判斷D.【解答過程】對(duì)于A，對(duì)于空間中的任意向量，都有AB+對(duì)于B，若AB?BC=AC，則AC+BC=AB，而對(duì)于C，AB=?2BC，則A、B、對(duì)于D，AB=BC，則線段AB的長(zhǎng)度與線段BC的長(zhǎng)度相等，不一定有A、B、故選：C.【變式5.1】（2425高二上·貴州·開學(xué)考試）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A．當(dāng)λ=0時(shí)，點(diǎn)P在棱BBB．當(dāng)λ=μ時(shí)，點(diǎn)P在線段B1C．當(dāng)μ=1時(shí)，點(diǎn)P在棱B1D．當(dāng)λ+μ=1時(shí)，點(diǎn)P在線段B1【答案】B【解題思路】由空間向量共線定理逐一判斷即可.【解答過程】對(duì)于A，當(dāng)λ=0時(shí)，BP=μBB所以BP//BB1，則點(diǎn)P在棱對(duì)于B，當(dāng)λ=μ時(shí)，BP=λBC+即BP=λB所以點(diǎn)P在線段BC1上，故對(duì)于C，當(dāng)μ=1時(shí)，BP=λBC+所以λBC=BP?B所以點(diǎn)P在棱B1C1對(duì)于D，當(dāng)λ+μ=1時(shí)，所以BP=λBC+所以BP?即B1P=λ所以點(diǎn)P在線段B1C上，故故選：B．【變式5.2】（2425高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形且不共面，M?N分別是AC?BF的中點(diǎn)，判斷CE與MN是否共線？【答案】共線.【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合空間向量的共線定理，即可判斷.【解答過程】因?yàn)镸?N分別是AC?BF的中點(diǎn)，而四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形，所以MN=又MN=所以12所以CE=即CE=2MN，即CE與【變式5.3】（2425高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E在A1D1上，且A1E

【答案】證明見解析【解題思路】把EF,FB用基底A1【解答過程】連接EF，F(xiàn)B，∵EF=A===2FB=A=3∴EF=23又EF∩FB=F，∴E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．

【題型6由空間向量共線求參數(shù)或值】【例6】（2425高二上·上?！ふn后作業(yè)）設(shè)e1，e2是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知AB=2e1+ke2，BC=e1+3e2A．?2 B．?4 C．?8 D．8【答案】C【解題思路】利用向量的線性運(yùn)算表示AD，根據(jù)A、B、D三點(diǎn)共線可得AB=λAD，建立等量關(guān)系可得【解答過程】∵AB?=2e1?∴AD?∵A、B、D三點(diǎn)共線，∴?λ∈R，使得AB=λ即2e1?∴λ=2，λ(k+4)=k，解得k=?8．故選：C．【變式6.1】（2425高二上·北京·期中）已知a，b，c不共面，e=3a?tb?c，d=?2ta+6A．?3 B．1 C．3 D．?3或3【答案】C【解題思路】利用空間向量平行充要條件即可求得實(shí)數(shù)t的值.【解答過程】e=3a?t若e與d共線，則有e=λ即3=?2tλ?t=6λ?1=2λ，解之得t=3λ=?故選：C.【變式6.2】（2025·貴州六盤水·模擬預(yù)測(cè)）已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+e2A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解題思路】根據(jù)向量共線設(shè)AB=xBC，從而得到方程組，求出【解答過程】因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，所以AB=x即e1+e2+所以λ+μ=1+1=2.故選：C.【變式6.3】（2425高二上·遼寧·期中）設(shè)向量e1,e2,e3不共面，已知AB=?3eA．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解題思路】把A、C、D三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為滿足CD=yAC，列方程組，求出【解答過程】因?yàn)锳B=?3e1所以AC=因?yàn)锳,C,D三點(diǎn)共線，所以存在唯一的即4e即4=?2y2=yλ?18=?4y故選：A.【題型7向量共面的判定及應(yīng)用】【例7】（2425高二上·安徽銅陵·階段練習(xí)）已知A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，點(diǎn)P滿足：5PA=PB+2A．P，A，B，C四點(diǎn)共面 B．P，A，B，D四點(diǎn)共面C．P，B，C，D四點(diǎn)共面 D．P，A，C，D四點(diǎn)共面【答案】C【解題思路】由空間向量共面定理的推論求解即可.【解答過程】因?yàn)?PA=PB即5AP=AB因?yàn)?6+1另解：由已知得PB=5所以PB,PC,PD共面，又存在公共點(diǎn)故選：C．【變式7.1】（2425高二上·北京·期中）已知MA,MB是空間兩個(gè)不共線的向量，MC=5A．MA,MC共線 B．C．MA,MB,MC共面【答案】C【解題思路】利用空間向量的共線定理與共面定理.【解答過程】若MA,MC共線，則又MC=5MA?3與條件矛盾，故A錯(cuò)誤；同理若MB,MC共線，則又MC=5MA?3與條件矛盾，故B錯(cuò)誤；根據(jù)空間向量的共面定理可知MA,故選：C.【變式7.2】（2025高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知A,B,M三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面ABM外的任意一點(diǎn)O，判斷在下列各條件下的點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,M是否共面．(1)OB+(2)OP=4【答案】(1)共面(2)不共面【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的共面定理及推論，即可求解；（2）根據(jù)空間向量的共面定理及推論，即可求解；【解答過程】（1）解：因?yàn)锳,B,M三點(diǎn)不共線，可得A,B,M三點(diǎn)共面，對(duì)于平面ABM外的任意一點(diǎn)O，若OB+即OP=又因?yàn)?3+13+（2）解：因?yàn)锳,B,M三點(diǎn)不共線，可得A,B,M三點(diǎn)共面，對(duì)于平面ABM外的任意一點(diǎn)O，若OP=4OA?根據(jù)空間向量的共面定理，可得點(diǎn)P與A,B,M不共面．【變式7.3】（2425高三上·四川成都·開學(xué)考試）在四棱柱ABCD?A1B1C

(1)當(dāng)k=34時(shí)，試用AB,(2)證明：E,F,G,H四點(diǎn)共面；【答案】(1)AF(2)證明見解析【解題思路】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算進(jìn)行求解；（2）設(shè)AC=λAB+μAD（【解答過程】（1）四棱柱ABCD?A1B因?yàn)閗=3所以AF=1（2）設(shè)AC=λAB+μEG=kλD則EF,EG,EH共面且有公共點(diǎn)E【題型8由空間向量共面求參數(shù)】【例8】（2425高二上·安徽合肥·期末）已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，且對(duì)于平面ABC外一點(diǎn)O，滿足OM=λOA+16OBA．13 B．512 C．12【答案】D【解題思路】根據(jù)空間共面向量定理的推論得到λ+1【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，且OM=λ所以λ+16+故選：D.【變式8.1】（2425高二上·湖南婁底·期末）已知O為空間任意一點(diǎn)，A,B,C,P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若OP=mOA?54A．45 B．94 C．5【答案】C【解題思路】借助空間向量的線性運(yùn)算及四點(diǎn)共面的充要條件即可判斷選項(xiàng).【解答過程】因?yàn)镺為空間任意一點(diǎn)，OP=m又因?yàn)锳，B，C，P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，所以m?54+1=1故選：C．【變式8.2】（2425高二上·江蘇無錫·期中）設(shè)a,b,c為空間的一個(gè)基底，OA=2a+3b+5c，OB=a+2A．14 B．12 C．23【答案】D【解題思路】根據(jù)向量共面定理列方程，解方程組即可.【解答過程】由已知OA，OB，OC共面，則可設(shè)OC=x即ka即2x+y=k3x+2y=15x?2y=3，解得故選：D.【變式8.3】（2425高二上·廣東·期中）已知A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O不在平面ABC內(nèi)，OD=12OA+xOB+yOC(x,y>0)，若A，BA．18 B．116 C．1【答案】B【解題思路】先利用已知條件求得x+y=12，再利用均值定理即可求得【解答過程】由OD=12OA+xOB+yOC(x,y>0)及A即x+y=12，又x>0，所以xy≤x+y22故選：B.一、單選題1．（2526高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．若a∥b，bC．若向量AB，CD滿足AB>CDD．若a=b，b【答案】D【解題思路】根據(jù)向量的相關(guān)概念及向量的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷各項(xiàng)的正誤即可.【解答過程】對(duì)于A，單位向量是模為1的向量，但方向是任意的；把空間中所有的單位向量移到同一起點(diǎn)，則終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)榱阆蛄康姆较驘o法確定，規(guī)定：零向量與任意向量平行，所以當(dāng)b=0時(shí)，a與對(duì)于C，向量不能比較大小，但向量的模是實(shí)數(shù)，可以比較大小，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，相等向量的方向相同、長(zhǎng)度相等，因此向量相等具有傳遞性，故D正確．故選：D.2．（2425高二上·山西·期末）如圖，在三棱柱ABC?DEF中，G,?H分別是棱BE,?AC的中點(diǎn)，則A．AB+12C．?AB+1【答案】C【解題思路】由空間向量的加減法運(yùn)算的幾何表示和數(shù)乘關(guān)系即可得到答案.【解答過程】GH=故選：C.3．（2526高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)向量e1,e2,e3不共面，已知AB=e1+A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解題思路】利用A,C,D三點(diǎn)共線得到AC//【解答過程】因?yàn)锳,C,D三點(diǎn)共線，所以AC//CD，則存在實(shí)數(shù)μ，使得由已知得CD=4e故4μ由于e1,e2另解:因?yàn)橄蛄縠1,e由已知得CD=4e故向量表達(dá)式中e1,e2,故選：C.4．（2526高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）在下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）（）A．OM=OA?C．OM+OA+【答案】D【解題思路】根據(jù)四點(diǎn)共面的條件逐項(xiàng)判斷即可求得結(jié)論.【解答過程】空間向量共面定理：OM=x若A，B，C不共線，且對(duì)A，因?yàn)??1?1≠1，所以A,B,C,M四點(diǎn)不共面；對(duì)B，因?yàn)?5+1對(duì)C，由OM+OA+因?yàn)?1?1?1=?3≠1，所以A,B,C,M四點(diǎn)不共面；對(duì)D，由MA+MB+即OM=13OA+故選：D.5．（2425高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在正方體ABCD?A1B①AB+BC+CC1；②AA．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解題思路】根據(jù)空間向量的加法法則判斷．【解答過程】由正方體ACAB+BC+AB+BB故選：D．6．（2425高二上·江西九江·期末）對(duì)于空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，有OP→=xOA→+yOB→+zOC→，則x+y+z=1是A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【解題思路】根據(jù)共面向量定理判斷點(diǎn)P滿足OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1，向量AP，AB，AC共面，得到P，【解答過程】解：若x+y+z=1，則OP=1?y?zOA由共面定理可知向量AP，AB，AC共面，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面；反之，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，當(dāng)O與四個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)(比如A點(diǎn))重合時(shí)，OA=0，x可取任意值，不一定有所以x+y+z=1是P，A，B，C四點(diǎn)共面的充分不必要條件．故選：B．7．（2425高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知A,B,C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O在平面ABC外，點(diǎn)P滿足AP=xOA+25OB+A．?45 B．?15 C．【答案】A【解題思路】由向量減法運(yùn)算可得AP=【解答過程】由AP=xOA+所以O(shè)P=當(dāng)點(diǎn)P,A,B,C共面時(shí)，可得x+1+25+故選：A.8．（2425高二上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)D在△ABC確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，滿足CD=2OC?xOA?yOB，且x>0，A．34+22 B．32+【答案】B【解題思路】由四點(diǎn)共面可知x+y=2，結(jié)合基本不等式的乘“1”法即可求解.【解答過程】CD=因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)共面，所以3?x?y=1?x+y=2，注意到x>0,y>0，從而2x當(dāng)且僅當(dāng)x=4?22所以2x+1故選：B.二、多選題9．（2425高二上·重慶萬州·階段練習(xí)）以下四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（

）A．向量a，b，若a?bB．若空間向量m、n、p，滿足m//n，nC．對(duì)于空間向量m、n、p，滿足m=n，nD．對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，若OP=2OA?2OB?OC，則P、【答案】ABD【解題思路】根據(jù)零向量的性質(zhì)判斷AB選項(xiàng)；根據(jù)相等向量的定義判斷C選項(xiàng)；根據(jù)共面向量的推論判斷D選項(xiàng).【解答過程】當(dāng)a為零向量時(shí)，滿足a?b=0，但是a當(dāng)n為零向量時(shí)，m與p不一定共線，故B錯(cuò)；相等向量具有傳遞性，故C正確；因?yàn)??2?1=?1≠1，所以P,A,B,C不共面，故D錯(cuò).故選：ABD.10．（2425高二上·廣西桂林·期末）如圖，已知四面體ABCD，點(diǎn)E,F分別是BC,CD的中點(diǎn)，下列等式正確的是（

）A．ABB．ABC．ABD．AB【答案】AC【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算逐項(xiàng)分析即可得解.【解答過程】因?yàn)锳B+因?yàn)锳B+因?yàn)锳B+因?yàn)锳B?故選：AC.11．（2425高二上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）空間四點(diǎn)A,B,C,D及空間任意一點(diǎn)O，由下列條件一定可以得出A,B,C,D四點(diǎn)共面的有（

）A．AB=2AC+3C．AB∥AC 【答案】ACD【解題思路】根據(jù)空間向量共面定理及其推論，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷，即可選擇.【解答過程】對(duì)A：AB=2AC+3AD，定有故A,B,C,D四點(diǎn)共面，故A正確；對(duì)B：OA=3OB?OC?故A,B,C,D四點(diǎn)不共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：AB∥AC，可得則A,B,C,D四點(diǎn)一定共面，故C正確；對(duì)D：OC=BO+3AO?5故A,B,C,D四點(diǎn)一定共面，故D正確.故選：ACD.三、填空題12．（2425高二上·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）在空間四邊形PABC中，PB?AB?CA【答案】PC【解題思路】根據(jù)空間向量的加法與減法運(yùn)算法則可得結(jié)果.【解答過程】由題意得，PB?故答案為：PC.13．（2425高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)e1，e2是空間兩個(gè)不共線的向量，已知AB=2e1+ke2，CB=e1+3e2【答案】?8【解題思路】根據(jù)A，B，D三點(diǎn)共線可得AB=λBD，即可得到關(guān)于λ,k的方程組，即可解出【解答過程】因?yàn)镃B=e1則BD=又AB=2e1+ke2，而所以存在λ∈R，使得AB即2e1+ke2故答案為：?8．14．（2425高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知i，j，k是不共面向量，a=2i?j+3k，b=?i+4j?2k，c【答案】65【解題思路】根據(jù)空間向量共面定理列出方程組計(jì)算可得結(jié)果.【解答過程】若a，b，c三個(gè)向量共面，則存在實(shí)數(shù)m,n滿足a=m即2i所以2=?m+7n?1=4m+5n解得m=?1733，n=7故答案為：657四、解答題15．（2526高二上·全國(guó)·課堂例題）已知平行六面體ABCD?A(1)A