1/10專題13分式及分式的基本性質的八類綜合題型目錄TOC\o"1-2"\h\u典例詳解類型一、分式有無意義的條件類型二、分式的值為零類型三、利用分式的基本性質判斷分式是否正確類型四、分式與最簡分式的判斷類型五、將分式的分子分母的最高次項化為正數(shù)類型六、將分式的分子分母各項系數(shù)化為整數(shù)類型七、求使分式值為整數(shù)時未知數(shù)的整數(shù)值類型八、與分式有關的新定義型問題壓軸專練類型一、分式有無意義的條件1.無意義：分母等于0時，分式無意義。解題時只需讓分母等于0，解出未知數(shù)的值。2.有意義：分母不等于0時，分式有意義。解題時讓分母不等于0，解出未知數(shù)的取值范圍。3.注意：計算時千萬不要把分子算進去。分子的取值不影響分式是否有意義。例1．若分式有意義，則的取值范圍是．【變式1-1】若代數(shù)式有意義，則實數(shù)的取值范圍是．【變式1-2】若分式無意義，則x的值為．【變式1-3】當時，分式有意義；當時，分式無意義．類型二、分式的值為零-分子等于0：這是讓整個分式值為零的前提。-分母不等于0：這是保證分式有意義的底線。解題步驟：1.先讓分子等于0，解出可能的x值2.把這些x值代入分母，檢查分母是否為03.排除使分母為0的x值，剩下的就是答案例2．若分式的值為0，則的值為．【變式2-1】若分式的值為，則的值為．【變式2-2】分式的值為0，則的值為．【變式2-3】若分式的值為0，則的值為．類型三、利用分式的基本性質判斷分式是否正確1.看變形方式：分子和分母是不是同時進行了"乘以同一個數(shù)"或"除以同一個數(shù)"的操作。2.看乘除的數(shù)：這個用來乘或除的整式，必須是一個不為零的整式。3.看是否有遺漏：特別要注意符號和系數(shù)，確保變形是作用在整個分子和整個分母上，而不是只作用在某一項上。例3．下列分式變形正確的是（

）A． B． C． D．【變式3-1】若，則下列分式化簡正確的是（

）A． B． C． D．【變式3-2】若把分式中和的值都擴大2倍，那么分式的值（）A．擴大2倍 B．縮小2倍 C．不變 D．縮小4倍【變式3-3】把分式的分子分母中的都擴大為原來的2倍，則分式的值（

）A．不變 B．縮小為原來的2倍C．擴大為原來的倍 D．擴大為原來的2倍類型四、分式與最簡分式的判斷1.先分解，后觀察：把分子和分母分別進行因式分解。-比如提取公因式、用平方差公式等-分解后更容易看清它們的結構2.找"親戚"：檢查分解后的分子和分母是否有相同的因式。-這些相同的因式就是它們的"公因式"-只要存在公因式，分式就不是最簡的3.看特例：如果分子或分母本身就是一個不能再分解的質數(shù)或因式，那就不用再考慮了。例4．下列各式中：，，，，分式的個數(shù)為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【變式4-1】下列分式為最簡分式的是（

）A． B． C． D．【變式4-2】代數(shù)式，，，中，分式有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式4-3】分式、、、中，最簡分式有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個類型五、將分式的分子分母的最高次項化為正數(shù)1.先判斷，后變號：檢查分子或分母的最高次項系數(shù)是否為負數(shù)。-如果是負數(shù)，就在整個分子或分母前面乘以-1-這相當于改變了整個分子或分母的符號2.要變號，同變化：根據(jù)分式的基本性質，分子和分母要同時變化。-如果只改變分子的符號，那么分式本身的符號也要改變-同理，只改變分母的符號，分式本身的符號也要改變-記住：只變一處，分式變號；兩處都變，符號不變3.化最簡，再檢查：處理完符號后，記得看看分子和分母是否還有公因式。-如果有，需要進行約分，得到最簡分式例5．不改變分式的值，使分式的分子、分母中的最高次項的系數(shù)都是正數(shù)，則分式可化為（

）A． B． C． D．【變式5-1】不改變分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次項的系數(shù)都是正數(shù)，應該是（）A． B．C． D．【變式5-2】不改變分式的值，使分子、分母最高次項的系數(shù)為正數(shù)，正確的是（）A． B． C． D．【變式5-3】不改變分式的值，使的分子、分母中最高次項的系數(shù)都是正數(shù)，則此分式可化為（

）A． B． C． D．類型六、將分式的分子分母各項系數(shù)化為整數(shù)1.

找出分母：先看分子和分母中所有分數(shù)系數(shù)的分母。-例如，系數(shù)是1/2、2/3和5/6，它們的分母就是2、3和6。2.

計算最小公倍數(shù)：求出這些分母的最小公倍數(shù)(LCM)。-在上例中，2、3、6的最小公倍數(shù)是6。-這個最小公倍數(shù)就是我們要找的"放大倍數(shù)"。3.

同乘倍數(shù)：用這個最小公倍數(shù)同時乘以分子和分母。-這樣就能把所有分數(shù)系數(shù)都變成整數(shù)。-同時，分式的值保持不變。例6．不改變分式的值，把的分子、分母中含x項的系數(shù)化為整數(shù)為（

）A． B．C． D．【變式6-1】不改變分式的值，將分式中分子、分母的系數(shù)都化為整數(shù)，其結果為（）A． B． C． D．【變式6-2】不改變分式的值，把它的分子和分母中各項系數(shù)都化為整數(shù)，則所得結果為（

）A． B． C． D．【變式6-3】不改變分式的值，將分式中各項系數(shù)均化為整數(shù)，結果為（

）．A． B． C． D．類型七、求使分式值為整數(shù)時未知數(shù)的整數(shù)值1.

先化簡：如果分式比較復雜，先進行因式分解和約分。-把它變成最簡形式，這樣更容易分析。2.

再變形：用"分離常數(shù)法"把分式拆開。-例如，把

(x+3)/(x-1)

變形為

1+4/(x-1)

。-這樣，只要

4/(x-1)

是整數(shù)，整個分式的值就是整數(shù)。3.

列方程：確定分母的取值。-分母必須是分子的約數(shù)。-在上例中，

x-1

必須是4的約數(shù)，即

±1,±2,±4

。-然后解出

x

的值，并確保分母不為零。例7．若x取整數(shù)，則使分式的值為整數(shù)的x的值有個．【變式7-1】若分式的值為整數(shù)，則非負整數(shù)的值為．【變式7-2】若為正整數(shù)，且也為正整數(shù)，則的值為．【變式7-3】使得為整數(shù)的自然數(shù)的個數(shù)為個．類型八、與分式有關的新定義型問題1.

讀懂定義：這是最重要的一步。仔細閱讀題目給出的新規(guī)則，比如"新運算"或"新符號"的含義。-用筆把規(guī)則里的關鍵條件劃出來-確保完全理解后再動手2.

套用規(guī)則：把題目中的具體數(shù)字或字母，代入到新定義的規(guī)則里。-這一步就像做翻譯，把新的語言翻譯成我們熟悉的數(shù)學表達式-通常是一個分式3.

化簡求解：得到熟悉的表達式后，就可以用我們學過的分式知識來解題了。-可以是化簡、求值，也可以是解方程-用我們已經(jīng)掌握的方法來解決問題例8．（24-25八年級下·江西鷹潭·階段練習）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．如：；，則和都是“和諧分式”．(1)下列分式中，屬于“和諧分式”的是：________（填序號）；①；②；③；④(2)將“和諧分式”化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式為：________；(3)當取什么整數(shù)時，“和諧分式”的值為整數(shù)？【變式8-1】（2025七年級下·全國·專題練習）（運算能力）定義：若一個分式約分后是一個整式，則稱這個分式為“巧分式”，約分后的整式稱為這個分式的“巧整式”．例如：，則稱分式是“巧分式”，為它的“巧整式”．根據(jù)上述定義，解決下列問題：(1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序號）；①；②；③．(2)若分式的“巧整式”為，請判斷是否是“巧分式”，并說明理由．【變式8-2】（23-24八年級上·廣西南寧·階段練習）我們給出定義：若一個分式約分后是一個整式，則稱這個分式為“巧分式”，約分后的整式稱為這個分式的“巧整式”．例如：，則稱分式是“巧分式”，為它的“巧整式”．根據(jù)上述定義，解決下列問題．(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序號）；①；②；③．(2)若分式（m為常數(shù)）是一個“巧分式”，它的“巧整式”為，求m的值：(3)若分式的“巧整式”為．①求整式A．②是“巧分式”嗎？【變式8-3】（24-25八年級下·河南南陽·階段練習）通過小學的學習我們知道，分數(shù)可分為“真分數(shù)”和“假分數(shù)”，而假分數(shù)都可化為帶分數(shù)，如：．我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．如這樣的分式就是假分式：這樣的分式就是真分式．類似地，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式）．如．解決下列問題：(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；(2)將假分式化為帶分式；(3)若分式的值為整數(shù)，x為整數(shù)，求分式的值．一、單選題1．（25-26八年級上·山東淄博·階段練習）下列各式：，，，，，其中分式共有（

）個．A．2 B．3 C．4 D．52．（25-26七年級下·全國·單元測試）分式，，，中最簡分式的個數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（25-26七年級下·全國·單元測試）如果把分式中的和的值都擴大為原來的倍，那么分式的值（

）A．擴大為原來的倍 B．擴大為原來的倍C．縮小為原來的 D．不變4．（2025·山東淄博·中考真題）若分式有意義，則的取值范圍是（

）A．且 B．且C．且 D．且且5．（25-26八年級上·山東淄博·階段練習）式子：（1）；（2）；（3）．其中正確的是（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個6．（24-25九年級·浙江·自主招生）若是整數(shù)，分式的值也是整數(shù)，則滿足條件的的個數(shù)是（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．8個二、填空題7．（25-26八年級上·山東淄博·階段練習）當x時，分式有意義．當時，分式的值為0．8．（24-25九年級下·江蘇南通·階段練習）若分式的值為負，則的范圍是．9．（25-26八年級上·山東淄博·階段練習）分式的值為整數(shù)，則所有符合條件的整數(shù)x的值為．10．（25-26八年級上·全國·課后作業(yè)）不改變分式的值，把下列各式的分子與分母中各項的系數(shù)都化為整數(shù)．（1）；（2）．11．（25-26八年級上·全國·課后作業(yè)）不改變分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次項的系數(shù)為正數(shù)．（1）；（2）；（3）．12．（25-26八年級上·全國·課后作業(yè)）利用分式的基本性質填空：（1），括號內(nèi)應填入；

（2），括號內(nèi)應填入；（3），括號內(nèi)應填入；

（4），括號內(nèi)應填入．三、解答題13．（25-26八年級上·全國·課前預習）當為何值時，下列分式的值為0？(1)(2)(3)14．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）不改變分式的值，將下列分式的分子和分母中各項系數(shù)都化為整數(shù)，且分子與分母的首項系數(shù)都不含“”號：(1)；(2)．15．（25-26八年級上·全國·課后作業(yè)）不改變分式的值，將下列各式的分子和分母的各項系數(shù)都化為整數(shù)．(1)；(2)．16．（24-25七年級下·安徽滁州·階段練習）已知．(1)若y的值為正數(shù)，求x的取值范圍；(2)若y的值為整數(shù)，求整數(shù)x的所有可能值．17．（24-25七年級上·上海楊浦·期末）閱讀材料：我們知道，分子比分母小的分數(shù)叫做“真分數(shù)”：分子比分母大，或者分子、分母同樣大的分數(shù)，叫做“假分數(shù)”．類似的，我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．例如：、這樣的分式就是假分式；如：、這樣的分式就是真分式