專題19多邊形與平行四邊形（6大考點，精選42題）考點概覽考點1多邊形的內(nèi)角和與外角和考點2平行四邊形的性質(zhì)考點3三角形的中位線考點4平行四邊形的判定考點5平行四邊形的性質(zhì)與判定考點6以平行四邊形為載體的壓軸問題考點1多邊形的內(nèi)角和與外角和1．（2025·北京·中考真題）若一個六邊形的每個內(nèi)角都是x°，則x的值為（

）A．60 B．90 C．120 D．150【答案】C【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，即n?2×180°，其中n【詳解】解：∵一個六邊形的每個內(nèi)角都是x°，∴每個內(nèi)角的度數(shù)為：x°=6?2故選：C．2．（2025·甘肅蘭州·中考真題）圖1是通過平面圖形的鑲嵌所呈現(xiàn)的圖案，圖2是其局部放大示意圖，由正六邊形、正方形和正三角形構(gòu)成，它的輪廓為正十二邊形，則圖2中∠ABC的大小是（

）A．90° B．120° C．135° D．150°【答案】D【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和．根據(jù)正三角形的每個內(nèi)角為60°，正方形的每個內(nèi)角為90°，求解即可．【詳解】解：正三角形的每個內(nèi)角為180°3=60°，正方形的每個內(nèi)角為∴∠ABC=60°+90°=150°，故選：D．3．（2025·四川遂寧·中考真題）已知一個凸多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，則該多邊形的邊數(shù)為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，熟知多邊形的內(nèi)角和與外角和公式是解題的關(guān)鍵，根據(jù)多邊形內(nèi)角和與外角和公式，建立方程求解邊數(shù)即可．【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意可得：n?2解方程，得n=10因此，該多邊形的邊數(shù)為10，故選：A．4．（2025·四川自貢·中考真題）如圖，正六邊形與正方形的兩鄰邊相交，則α+β=（

）A．140° B．150° C．160° D．170°【答案】B【分析】本題考查的是對頂角的性質(zhì)，多邊形和正多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握正多邊形每個內(nèi)角的求解公式是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)正多邊形每個內(nèi)角為180°?360°【詳解】解：如圖，∵正六邊形與正方形的兩鄰邊相交，∴∠A=90°，∠B=180°?360°∵∠1+∠2+∠A+∠B=180°，∠1=α，∠2=β，∴∠1+∠2=360°?90°?120°=150°，∴α+β=∠1+∠2=150°，故選：B．5．（2025·云南·中考真題）一個六邊形的內(nèi)角和等于（

）A．360° B．540° C．720° D．900°【答案】C【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，掌握n邊形內(nèi)角和為n?2×180°根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式直接計算即可．【詳解】解：由題意得：6?2×180°=4×180°=720°故選：C．6．（2025·江蘇揚州·中考真題）若多邊形的每個內(nèi)角都是140°，則這個多邊形的邊數(shù)為．【答案】9【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和與外角和問題，熟練掌握多邊形的外角和等于360°是解題關(guān)鍵．先求出這個多邊形的每個外角都是40°，再根據(jù)多邊形的外角和等于360°求解即可得．【詳解】解：∵這個多邊形的每個內(nèi)角都是140°，∴這個多邊形的每個外角都是180°?140°=40°，∴這個多邊形的邊數(shù)為360°÷40°=9，故答案為：9．7．（2025·四川成都·中考真題）正六邊形ABCDEF的邊長為1，則對角線AD的長為．【答案】2【分析】本題考查正多邊形的內(nèi)角，等邊對等角，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，如解圖，連接AC，求出正六邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)，等邊對等角，求出∠BCA的度數(shù)，進而推出△ACD為含30度角的直角三角形，進行求解即可．【詳解】解：連接AC，∵正六邊形ABCDEF，∴AB=BC=CD=1，∠ABC=∠BCD=∠CDE=1∴∠BCA=∠BAC=30°，∴∠ACD=120°?30°=90°，∵正六邊形為軸對稱圖形，∴∠CDA=1∴∠CAD=30°，∴AD=2CD=2；故答案為：2．8．（2025·湖南長沙·中考真題）如圖，五邊形ABCDE中，∠B=120°，∠C=110°，∠D=105°，則∠A+∠E=°．【答案】205【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和求法，根據(jù)其公式解題即可．【詳解】解：多邊形的內(nèi)角和為180°×(n?2)，∴五邊形ABCDE的內(nèi)角和為180°×(5?2)=540°，∴∠A+∠E=540°?∠B?∠C?∠D=540°?120°?110°?105°=205°，故答案為：205．9．（2025·吉林長春·中考真題）圖①是一個正十二面體，它的每個面都是正五邊形，圖②是其表面展開圖，則∠α為度．【答案】36【分析】本題考查的是正多邊形的內(nèi)角與外角的問題，先求解正五邊形的每一個內(nèi)角為：180°?360°【詳解】解：∵正五邊形的每一個內(nèi)角為：180°?360°∴∠α=360°?3×108°=36°，故答案為：3610．（2025·吉林·中考真題）如圖，正五邊形ABCDE的邊AB，DC的延長線交于點F，則∠F的大小為【答案】36【分析】本題主要考查了正多邊形外角和定理，三角形內(nèi)角和定理，多邊形外角和為360度，據(jù)此可求出∠FBC、∠FCB的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠FBC=∠FCB=360°∴∠F=180°?∠FBC?∠FCB=36°，故答案為：36．11．（2025·江西·中考真題）如圖，創(chuàng)意圖案中間空白部分為正多邊形，該正多邊形的內(nèi)角和為度．【答案】720【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式；根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式n?2×180°【詳解】解：根據(jù)圖形知，空白部分為六多邊形，六邊形的內(nèi)角和為6?2×180°=720°故答案為：720．12．（2025·湖南·中考真題）如圖，左圖為傳統(tǒng)建筑中的一種窗格，右圖為其窗框的示意圖，多邊形ABCDEFGH為正八邊形，連接AC，BD，AC與BD交于點M，∠AMB=°．【答案】45【分析】本題主要考查了正多邊形內(nèi)角問題，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，先根據(jù)正多邊形內(nèi)角計算公式求出∠ABC=∠BCD=135°，再根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出∠BCA，【詳解】解：∵八邊形ABCDEFGH是正八邊形，∴∠ABC=∠BCD=180°×∴∠BCA=∠BAC=180°?∠ABC同理可得∠CBD=22.5°，∴∠AMB=∠CBD+∠BCA=45°，故答案為：45．13．（2025·山東煙臺·中考真題）【問題呈現(xiàn)】如圖1，已知P是正方形A1A2A3A4外一點，且滿足∠P小穎通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：如圖2，構(gòu)造△QA3A2與△PA思路二：如圖3，構(gòu)造△MA1A2與△NA（1）請參考小穎的思路，直接寫出PA1+P【類比探究】（2）如圖4，若P是正五邊形A1A2A3A4A5外一點，且滿足∠PA1A2+∠PA3A【拓展延伸】（3）如圖5，若P是正十邊形A1A2???A10外一點，且滿足∠PA【答案】（1）PA1+PA【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，解直角三角形，多邊形的內(nèi)角和問題，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)思路一：構(gòu)造△QA3A2與△PA1A（2）在射線PA3上截取A3Q=PA1，連接A2Q，過點A2作A2T⊥PQ于點T（3）同（2）的方法，即可求解．【詳解】（1）P如圖2，在射線PA3上截取A3∵∠PA1∴∠又∵四邊形A1∴A2∴△QA∴∠A1又∵四邊形A1∴∠∴∠PA∴△A∴PQ=P故答案為：PA（2）解：正五邊形的一個內(nèi)角為5?2如圖4，在射線PA3上截取A3Q=PA1，連接A同理可得△QA∴∠PA2∴∠P∵PA1=11∴PQ=PA3∴PT=∴PA（3）如圖，在射線PA3上截取A3Q=PA1，連接A同理可得∠P∴∠P∴P∵PQ=P∴PT=∴PA2故答案為：PA考點2平行四邊形的性質(zhì)14．（2025·貴州·中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=3,BC=5,∠ABC=60°，以A為圓心，AB長為半徑作弧，交BC于點E，則EC的長為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)作圖得到AB=AE，進而推出△ABE為等邊三角形，得到BE=AB=3，再根據(jù)線段的和差關(guān)系進行求解即可．【詳解】解：根據(jù)作圖可知：AB=AE，∵∠ABC=60°，∴△ABE為等邊三角形，∴BE=AB=3，∴CE=BC?BE=5?3=2；故選D．15．（2025·貴州·中考真題）如圖，小紅想將一張矩形紙片沿AD,BC剪下后得到一個?ABCD，若∠1=70°，則∠2的度數(shù)是（

）A．20° B．70° C．80° D．110°【答案】B【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的對邊平行，結(jié)合平行線的性質(zhì)，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵?ABCD，∴AD∥BC，∴∠2=∠1=70°；故選B．16．（2025·湖北·中考真題）如圖，平行四邊形ABCD的對角線交點在原點．若A?1,2，則點C的坐標(biāo)是（

A．2,?1 B．?2,1 C．1,?2 D．?1,?2【答案】C【分析】本題考查平行四邊形的對稱性、關(guān)于原點中心對稱的點的坐標(biāo)特征等知識，由題意，結(jié)合平行四邊形的對稱性可知點A與點C關(guān)于坐標(biāo)原點O中心對稱，由關(guān)于原點中心對稱的點的坐標(biāo)特征即可得到答案．熟記平行四邊形的對稱性、關(guān)于原點中心對稱的點的坐標(biāo)特征是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵平行四邊形ABCD的對角線交點在原點，∴OA=OC，∴點A與點C關(guān)于坐標(biāo)原點O中心對稱，∵點A的坐標(biāo)為A?1,2∴點C的坐標(biāo)是(1,?2)，故選：C．17．（2025·河北·中考真題）平行四邊形的一組鄰邊長分別為3，4，一條對角線長為n．若n為整數(shù)，則n的值可以為．（寫出一個即可）【答案】2（答案不唯一）【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，不等式組的整數(shù)解，根據(jù)題意得出1<n<7，進而寫出一個整數(shù)解即可求解．【詳解】解：依題意，4?3<n<4+3∴1<n<7，∵n為整數(shù)，∴n可以是2，3，4，5，6故答案為：2（答案不唯一）．18．（2025·新疆·中考真題）如圖，在?ABCD中，∠BCD的平分線交AB于點E，若AD=2，則BE=．【答案】2【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等角對等邊，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到AB∥CD,AD=BC=2，得到∠DCE=∠CEB，角平分線的定義，得到∠DCE=∠BCE，進而得到∠BCE=∠BEC，進而得到BE=BC即可．【詳解】解：∵?ABCD，AD=2，∴AB∥CD,AD=BC=2，∴∠DCE=∠CEB，∵∠BCD的平分線交AB于點E，∴∠DCE=∠BCE，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC=2；故答案為：2．19．（2025·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在?ABCD中，BC=2AB=8，連接AC，分別以點A，C為圓心，大于12AC的長為半徑作弧，兩弧交于點E，F(xiàn)，作直線EF，交AD于點M，交BC于點N，若點N恰為BC的中點，則AC的長為【答案】4【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明∠BAC=90°是關(guān)鍵．連接AN，證明△ABN是等邊三角形，∠CAN=∠ACN，得到∠BAC=∠BAN+∠CAN=90°，根據(jù)勾股定理即可求出答案．【詳解】解：連接AN，由作圖可知，MN垂直平分AC，∴AN=CN，∵點N恰為BC的中點，∴BC=2BN=2CN，∵BC=2AB=8，∴BN=CN=AB=4，∴BN=AN=AB=CN=4，∴△ABN是等邊三角形，∠CAN=∠ACN，∴∠BAN=∠ABC=∠ANB=60°，∵∠CAN+∠ACN=∠ANB，∴∠CAN=∠ACN=1∴∠BAC=∠BAN+∠CAN=90°，∴AC=B故答案為：4320．（2025·甘肅平?jīng)觥ぶ锌颊骖}）如圖，把平行四邊形紙片ABCD沿對角線AC折疊，點B落在點B'處，B'C與AD相交于點E，此時△CDE恰為等邊三角形，若AB=6cm【答案】12【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠D=∠DCE=∠CED=60°，根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可得∠EAC=∠ECA，結(jié)合三角形的外角性質(zhì)可得∠EAC=∠ECA=30°，進而得到∠DCA=90°，再利用30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得解．【詳解】解：∵△CDE為等邊三角形，∴∠D=∠DCE=∠CED=60°，∵折疊，∴∠BCA=∠ECA，∵ABCD是平行四邊形，∴AB=CD=6,AD∥BC，∴∠EAC=∠BCA，∴∠EAC=∠ECA，∵∠EAC+∠ECA=∠DEC=60°，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠DCA=90°，∴AD=2CD=12cm故答案為：12．21．（2025·甘肅·中考真題）如圖，把平行四邊形紙片ABCD沿對角線AC折疊，點B落在點B'處，B'C與AD相交于點E，此時△CDE恰為等邊三角形．若AB=6cm，則【答案】12【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，折疊得到∠BCA=∠ECA，平行線的性質(zhì)，得到∠EAC=∠BCA，進而得到∠EAC=∠ECA，等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形的外角推出∠ACE=∠CAE=30°，進而得到∠ACD=90°，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，得到AD=2CD即可．【詳解】解：∵折疊，∴∠BCA=∠ECA，∵平行四邊形紙片ABCD，∴AD∥BC,CD=AB=6cm∴∠EAC=∠BCA，∴∠EAC=∠ECA，∵△CED為等邊三角形，∴∠CED=∠ECD=60°，∵∠EAC=∠ECA，∠CED=∠EAC+∠ACE=60°，∴∠ACE=∠CAE=30°，∴∠ACD=∠ACE+∠DCE=90°，∴AD=2CD=12cm故答案為：1222．（2025·四川宜賓·中考真題）如圖，點E是平行四邊形ABCD邊CD的中點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，AD=5．求證：△ADE≌△FCE，并求【答案】見解析，10【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，由平行四邊形的性質(zhì)得到BC=AD=5，BC∥AD，則由平行線的性質(zhì)可得∠EFC=∠EAD，∠ECF=∠EDA，再證明CE=DE，即可利用AAS證明【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC=AD=5，∴∠EFC=∠EAD，∵點E是平行四邊形ABCD邊CD的中點，∴CE=DE，∴△ADE≌△FCEAAS∴CF=AD=5，∴BF=BC+CF=5+5=10．考點3三角形的中位線23．（2025·廣東·中考真題）如圖，點D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊上的中點，∠A=70°，則∠EDF=（

）A．20° B．40° C．70° D．110°【答案】C【分析】此題考查了三角形中位線的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，首先得到DE，DF是△ABC的中位線，得到DE∥AC，DF∥AB，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵點D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊上的中點，∴DE，DF是△ABC的中位線∴DE∥AC，DF∥AB∴∠DEB=∠A=70°∵DF∥AB∴∠EDF=∠DEB=70°．故選：C．24．（2025·河南·中考真題）如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，△ABC的三個頂點均在網(wǎng)格線的交點上，點D、E分別是邊BA、CA與網(wǎng)格線的交點，連接DE，則DE的長為（

）

A．12 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理，證明出DE是△ABC的中位線是解題關(guān)鍵．取格點G、H，由網(wǎng)格的性質(zhì)可知，EG∥CH，得到ADAB=AGAH=【詳解】解：如圖，取格點G、H，

由網(wǎng)格的性質(zhì)可知，EG∥∴ADAB=∴D、E分別是AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=1故選：B．25．（2025·山西·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是對角線AC的中點，點E是邊AD的中點，連接OE．下列兩條線段的數(shù)量關(guān)系中一定成立的是（

）A．OE=12ADC．OE=12AB【答案】C【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，由三角形中位線的性質(zhì)得OE=12CD【詳解】解：∵點O是對角線AC的中點，點E是邊AD的中點，∴OE是△ACD的中位線，∴OE=1∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∴OE=1故選：C．26．（2025·黑龍江·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，點D、E分別在邊AB和BC上，且AD=4，CE=3，連接DE，點M、N分別是AC、DE的中點，連接MN，則MN的長度為（

A．52 B．125 C．2 【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，利用平行線+中點模型構(gòu)造全等三角形，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．過點C作CG∥AD，連接DM并延長交CG于點G，連接EG，可證△GMC≌△DMAASA，可得CG=AD=4，GM=DM，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠GCE=90°【詳解】解：如圖，過點C作CG∥AD，連接DM并延長交CG于點G，連接∴∠GCM=∠A，∵點M是AC的中點，∴CM=AM，又∵∠GMC=∠DMA，∴△GMC≌△DMAASA∴CG=AD=4，GM=DM，∵CG∥AD，∴∠GCE=180°?∠C=90°，∵CE=3，∴GE=C∵GM=DM，點N是DE的中點，∴MN是△DEG中位線，∴MN=1故選：A．27．（2025·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，在菱形ABCD中，BD=6，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，且EF=2，則菱形ABCD的面積為．【答案】12【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理，由E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，得EF=12AC=2，所以AC=4，然后根據(jù)菱形ABCD【詳解】解：∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，∴EF=1∴AC=4，∵四邊形ABCD是菱形，∴菱形ABCD的面積為12故答案為：12．28．（2025·江蘇揚州·中考真題）如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，BC的中點，點F在線段DE的延長線上，且∠BFC=90°，若AC=4，BC=8，則DF的長是．【答案】6【分析】本題考查了三角形的中位線定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握三角形的中位線定理是解題關(guān)鍵．先根據(jù)三角形的中位線定理可得DE=12AC=2，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=【詳解】解：∵在△ABC中，點D，E分別是邊AB，BC的中點，AC=4，∴DE=1∵∠BFC=90°，BC=8，∴EF=1∴DF=DE+EF=6，故答案為：6．29．（2025·湖南·中考真題）如圖，在△ABC中，BC=6，點E是AC的中點，分別以點A，B為圓心，以大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，直線MN交AB于點D，連接DE，則DE的長是【答案】3【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)及其尺規(guī)作圖，三角形中位線定理，由作圖方法可得MN垂直平分AB，則點D為AB的中點，據(jù)此可證明DE是△ABC的中位線，則可得到DE=1【詳解】解：由作圖方法可得MN垂直平分AB，∴點D為AB的中點，又∵點E是AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=1故答案為：3．30．（2025·四川廣安·中考真題）已知△ABC的面積是1．（1）如圖1，若D，E分別是邊BC和AC的中點，AD與BE相交于點F，則四邊形CDFE的面積為．（2）如圖2，若M，N分別是邊BC和AC上距離C點最近的6等分點，AM與BN相交于點G，則四邊形CMGN的面積為．【答案】13【分析】（1）連接DE，可證明DE是△ABC的中位線，得到DE∥AB，DE=12AB，證明△CDE∽△CBA，可得S△CDES△CBA=DEAB2=（2）連接MN，證明△CMN∽△CBA，得到S△CMNS△ABC=CMBC2=136，MNAB=CMBC=16，∠CMN=∠CBA【詳解】解：（1）如圖所示，連接DE，∵D，E分別是邊BC和AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴S△CDE∵△ABC的面積是1，∴S△CDE∵D是BC的中點，∴S△BDE∵DE∥AB，∴△DEF∽△ABF，∴EFBF∴BF=2EF，∴BE=BF+EF=3EF，∴S△DEF∴S△DEF∴S四邊形故答案為：13（2）如圖所示，連接MN，∵M，N分別是邊BC和AC上距離C點最近的6等分點，∴CM=1∴CMCB又∵∠C=∠C，∴△CMN∽△CBA，∴S△CMNS△ABC=CM∴MN∥AB；∵△ABC的面積是1，∴S△CMN∵M是BC靠近點C的六等分點，∴BMCM∴S△BMN∴S△BMN∵MN∥AB，∴△MNG∽△ABG，∴NGBG∴BG=6NG，∴BN=BG+NG=7NG，∴S△MNG∴S四邊形故答案為：121【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．考點4平行四邊形的判定31．（2025·北京·中考真題）如圖，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點，DF⊥BC，垂足為F，點G在DE的延長線上，(1)求證：四邊形DFCG是矩形；(2)若∠B=45°，DF=3，DG=5，求BC和AC的長．【答案】(1)見解析(2)BC=8【分析】本題主要考查了矩形的判定，三角形中位線定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）由三角形中位線定理可得DE∥CF，即DG∥CF，則可證明四邊形DFCG是平行四邊形，再由DF⊥BC，即可證明平行四邊形DFCG是矩形；（2）求出CF=5，解Rt△BDF得到BD=32，BF=3，則BC=BF+CF=8；由線段中點的定義可得AB=2BD=62；過點A作AH⊥BC于H，解Rt△ABH得到【詳解】（1）證明：∵D，E分別為AB，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥CF，即DG∥CF，∵DG=FC，∴四邊形DFCG是平行四邊形，又∵DF⊥BC，∴平行四邊形DFCG是矩形；（2）解：∵DG=5，∴CF=DG=5；∵DF⊥BC，∴∠DFB=90°，在Rt△BDF中，∠B=45°，DF=3∴BD=DF∴BC=BF+CF=8；∵點D為AB的中點，∴AB=2BD=62如圖所示，過點A作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，AH=AB?∴CH=BC?BH=2，在Rt△AHC中，由勾股定理得A32．（2025·青海·中考真題）如圖，在△ABC中，點O，D分別是邊AB，BC的中點，過點A作AE∥BC交DO的延長線于點E，連接AD，(1)求證：四邊形AEBD是平行四邊形；(2)若AB=AC，試判斷四邊形AEBD的形狀，并證明．【答案】(1)見解析(2)當(dāng)AB=AC時，四邊形AEBD是矩形，理由見解析【分析】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)；（1）先證明△AEO≌△BDOAAS，可得AE=BD，結(jié)合AE（2）由AB=AC，點D是BC邊上的中點，可得AD⊥BC即∠ADB=90°，結(jié)合由（1）得四邊形AEBD是平行四邊形，從而可得結(jié)論.【詳解】（1）證明：∵點O為AB的中點∴OA=OB，∵AE∴∠EAO=∠OBD，∠AEO=∠BDO，在△AEO和△BDO中∠EAO=∠OBD∴△AEO≌△BDOAAS∴AE=BD∵AE∴四邊形AEBD是平行四邊形；（2）證明：當(dāng)AB=AC時，四邊形AEBD是矩形，理由如下：∵AB=AC，點D是BC邊上的中點，∴AD⊥BC即∠ADB=90°，∵由（1）得四邊形AEBD是平行四邊形，∴四邊形AEBD是矩形.33．（2025·湖南長沙·中考真題）如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且BE=DF．(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；(2)連接EF，若BC=12，BE=5，求EF的長．【答案】(1)見解析(2)2【分析】該題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得出AB∥CD且AB=CD．結(jié)合BE=DF，得出AE=CF．結(jié)合AE∥CF，即可證明四邊形（2）過點E作EH⊥CD于點H．根據(jù)四邊形ABCD是正方形，BC=12，得出CD=BC=12,∠B=∠BCD=90°．結(jié)合∠EHC=90°，證出四邊形EBCH是矩形．得出EB=HC=5,EH=BC=12．結(jié)合DF=BE=5，得出HF=2．在Rt△EHF中，由勾股定理求出EF【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD且AB=CD．又∵BE=DF，∴AB?BE=CD?DF．∴AE=CF．又∵AE∥∴四邊形AECF是平行四邊形．（2）解：過點E作EH⊥CD于點H．∵四邊形ABCD是正方形，BC=12，∴CD=BC=12,∠B=∠BCD=90°．又∵∠EHC=90°，∴四邊形EBCH是矩形．∴EB=HC=5,EH=BC=12．又∵DF=BE=5，∴HF=CD?DF?CH=12?5?5=2．在Rt△EHF中，由勾股定理得EF=考點5平行四邊形的性質(zhì)與判定34．（2025·安徽·中考真題）在如圖所示的?ABCD中，E，G分別為邊AD，BC的中點，點F，H分別在邊AB，CD上移動（不與端點重合），且滿足AF=CH，則下列為定值的是（

）A．四邊形EFGH的周長 B．∠EFG的大小C．四邊形EFGH的面積 D．線段FH的長【答案】C【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì)，通過全等三角形轉(zhuǎn)化面積關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．利用平行四邊形的性質(zhì)，通過證明三角形全等分析四邊形EFGH各邊、角、面積等是否為定值，重點關(guān)注面積能否通過轉(zhuǎn)化為平行四邊形面積的一部分來判斷．【詳解】解：連接EG，在?ABCD中，E，G分別為AD，BC中點，∵AD∥BC且AD=BC，AE=12AD∴AE∥BG且AE=BG，∴四邊形ABGE是平行四邊形，∴AB∥EG，同理EG∥CD，且EG=AB=CD．∴四邊形DCGE是平行四邊形，則△GEF與△GEH的面積分別為?ABGE與?EGCD面積的一半，四邊形EFGH的面積=S△GEF∴四邊形EFGH的面積始終為?ABCD面積的一半，是定值．選項A：EF、FG等邊長隨F、H移動變化，周長不定，錯誤．選項B：∠EFG隨F選項D：FH長度隨F、H移動改變，錯誤．綜上，四邊形EFGH的面積是定值，故選：C．35．（2025·廣東·中考真題）如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，過點A，C分別作AE∥DC，CE∥AB，AE與CE命題1：若連接BE交CA于點F，則S△CFB命題2：若連接ED，則ED⊥AC．命題3：若連接ED，則ED=BC．任選兩個命題，先判斷真假，再證明或舉反例．【答案】命題1是真命題，證明見解析；命題2是真命題，證明見解析；命題3是真命題，證明見解析【分析】命題1：連接DE，交AC于O，如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到CD=DA=DB=12AB，判定四邊形ADCE是平行四邊形，進而得到四邊形ADCE命題2：連接DE，交AC于O，如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到CD=DA=DB=12AB，判定四邊形ADCE命題3：連接DE，交AC于O，如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到CD=DA=DB=12AB，判定四邊形ADCE【詳解】解：命題1：若連接BE交CA于點F，則S△CFB命題1是真命題，證明如下：連接DE，交AC于O，如圖所示：∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴CD=DA=DB=1∵AE∥DC，CE∥∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵DA=DC，∴四邊形ADCE是菱形，∴AC⊥DE，且OA=OC，OE=OD，∵D為AB的中點，∴DO是△ABC的中位線，則OD=1∴S△CFB=命題2：若連接ED，則ED⊥AC．命題2是真命題，證明如下：連接DE，交AC于O，如圖所示：∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴CD=DA=DB=1∵AE∥DC，CE∥∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵DA=DC，∴四邊形ADCE是菱形，∴AC⊥DE；命題3：若連接ED，則ED=BC．命題3是真命題，證明如下：連接DE，交AC于O，如圖所示：∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴CD=DA=DB=1∵AE∥DC，CE∥∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴CE=AD，∴CE=DB，∵CE∥∴四邊形BCED是平行四邊形，∴ED=BC．【點睛】本題考查平行四邊形及特殊平行四邊形綜合，涉及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì)、三角形面積公式等知識，熟記平行四邊形及特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．36．（2025·江蘇蘇州·中考真題）如圖，C是線段AB的中點，∠A=∠ECB,CD∥BE．(1)求證：△DAC≌△ECB；(2)連接DE，若AB=16，求DE的長．【答案】(1)詳見解析(2)8【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：（1）中點得到AC=BC，平行線的性質(zhì)，得到∠ACD=∠B，利用ASA證明△DAC≌△ECB即可；（2）根據(jù)△DAC≌△ECB，得到CD=BE，進而得到四邊形CBED為平行四邊形，進而得到DE=BC，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵C是線段AB的中點，∴AC=CB=1∵CD∥BE，∴∠DCA=∠B．在△DAC和△ECB中，∠A=∠ECB,∴△DAC≌△ECB(ASA（2）∵AB=16，C是線段AB的中點，∴BC=1∵△DAC≌△ECB，∴CD=BE．又∵CD∥BE，∴四邊形BCDE是平行四邊形，∴DE=BC=8．37．（2025·北京·中考真題）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，點D在射線BC上，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)180°?2α得到線段AE（點E不在直線AB上），過點E作EF∥AB，交直線BC于點F．(1)如圖1，α=45°，點D與點C重合，求證：BF=AC；(2)如圖2，點D，F(xiàn)都在BC的延長線上，用等式表示DF與BC的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)DF=2BC【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)α=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得AE=AD=AC，∠EAB=90°?∠BAC=45°，進而證明四邊形ABFE是平行四邊形，得出BF=AE，BF=AC；即可得證；（2）在DB上取一點G，使得AG=AB，證明△DAG≌△EABSAS得出DG=BE，∠AGD=∠ABE=180°?∠AGC=180°?α，進而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠FBE=180°?2α，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BFE=∠ABF=α，進而得出∠BEF=α，根據(jù)等角對等邊可得BE=BF，則DG=BF，根據(jù)三線合一可得GC=BC，進而根據(jù)DF=BD?BF=BD?DG=BG=2BC【詳解】（1）證明：∵∠ACB=90°，∠ABC=45°∴∠BAC=∠ABC=45°∵線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)180°?2×45°=90°得到線段AE，點D與點C重合∴AE=AD=AC，∠EAB=90°?∠BAC=45°，∴∠EAB=∠ABC，∴BC∵EF∥AB，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴BF=AE，∴BF=AC；（2）DF=2BC，證明：如圖，在CD上取一點G，使得CG=CB∵∠ACB=90°∴AG=AB∴∠AGB=∠ABG=α，∴∠BAG=180°?2α∵將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)180°?2α得到線段AE，∴DA=EA∴∠DAE=∠GAB=180°?2α∴∠DAG=∠EAB∴△DAG≌△EAB∴DG=BE，∠AGD=∠ABE=180°?∠AGC=180°?α又∵∠ABC=α∴∠FBE=∠ABE?∠ABC=180°?α?α=180°?2α∵EF∥AB，∴∠BFE=∠ABF=α∴∠BEF=180°?∠FBE?∠BFE=α∴BE=BF∴DG=BF∵AG=AB，AC⊥BC∴GC=BC∴DF=BD?BF=BD?DG=BG=2BC38．（2025·河南·中考真題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以BC為直徑的圓交AD于點E．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心O（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)若點E是AD的中點，連接OA,CE．求證：四邊形AOCE是平行四邊形．【答案】(1)作圖見詳解(2)證明過程見詳解【分析】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，尺規(guī)作垂線，平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識是關(guān)鍵．（1）運用尺規(guī)作直徑BC的垂直平分線即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合題意得到AE∥OC，AE=12AD,OC=【詳解】（1）解：如圖所示，∵BC是直徑，∴運用尺規(guī)作直徑BC的垂直平分線角BC于點O，∴點O即為所求點的位置；（2）證明：如圖所示，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC,AD=BC，∵點O,E分別是BC,AD的中點，∴AE∥OC，AE=12AD，OC=∴四邊形AOCE是平行四邊形．考點6以平行四邊形為載體的壓軸問題39．（2025·湖南·中考真題）【問題背景】如圖1，在平行四邊形紙片ABCD中，過點B作直線l⊥CD于點E，沿直線l將紙片剪開，得到△B1C【動手操作】現(xiàn)將三角形紙片B1C1①將三角形紙片B1C1E1置于四邊形紙片ABED內(nèi)部，使得點B1與點B重合，點E1在線段AB②連接CC1，過點C作直線CN⊥CD交射線EE③在邊AB上取一點G，分別連接BD，DG，F(xiàn)G，如圖5所示．【問題解決】請解決下列問題：(1)如圖3，填空：∠A+∠ABF=______°；(2)如圖4，求證：△CNM≌△C(3)如圖5．若AB=2AD=27AF，∠AGD=60°，求證：【答案】(1)90(2)證明過程見詳解(3)證明過程見詳解【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠A=∠C，根據(jù)題意得到∠BEC=∠BED=90°，∠CBE+∠C=90°，∠ABF=∠CBE，由此即可求解；（2）根據(jù)題意得到∠ABE=∠BEC=90°，BE=BE1,BC=BC1,EC=E1C1，△BEE1是等腰直角三角形，則（3）根據(jù)題意，設(shè)AF=a，則AD=BC=7a=BC1,AB=27a，在Rt△ABF中，sin∠ABF=AFAB=a27a=127=714，BF=AB2?AF2=2【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD,∠A=∠C，∵直線l⊥CD，∴∠BEC=∠BED=90°，∴∠CBE+∠C=90°，∵將三角形紙片B1C1E1置于四邊形紙片ABED內(nèi)部，使得點B1與點B重合，點E1在線段AB∴∠ABF=∠CBE，∴∠A+∠ABF=∠C+∠CBE=90°，故答案為：90；（2）證明：根據(jù)題意，∠BEC=∠BED=90°,AB∥DC，∴∠ABE=∠BEC=90°，∵將三角形紙片B1C1E1置于四邊形紙片ABED內(nèi)部，使得點B1與點B重合，點E1在線段AB∴△BEC≌△BE∴BE=BE∴△BEE∴∠BEE∴∠CEN=180°?∠BEE∵直線CN⊥CD，即∠ECN=90°，∴∠CNE=45°=∠CEN，∴CE=CN，∴CN=C∵∠BE1C1=90°∴AB⊥C∵AB∥CD,CN⊥CD，∴C1∴∠C1E∴△CNM≌△C（3）解：∵∠A+∠ABF=90°，∴BF⊥AD，∵AB=2AD=27∴設(shè)AF=a，則AD=BC=7在Rt△ABF中，sin∠ABF=AF∴tan∠ABF=如圖所示，過點F作FH⊥AB于點H，過點D作DK⊥AB于點K，∴FH∥DK，sin∠HBF=sin∠ABF=解得，F(xiàn)H=3∵∠A+∠ABF=90°=∠A+∠AFH，∴∠AFH=∠ABF，∴sin∠AFH=sin∠ABF=解得，AH=7∵FH∥DK，∴AFAD=FH解得，DK=33a∵DK⊥AB,∠AGD=60°，∴tan∠AGD=∴KG=DK∴AG=AK+KG=a∴AFAD=a7a∴△AFG∽△ADB，∴∠AFG=∠ADB，∴FG∥BD．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的計算，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形的計算，相似三角形的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．40．（2025·上?！ぶ锌颊骖}）在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上兩點．(1)當(dāng)E是邊BC中點時，①如圖（1），聯(lián)結(jié)EF，如果AE=EF，求證：∠BAE=∠CFE；②如圖（2），如果CF=DF，聯(lián)結(jié)AE，BF交邊AE于點G，求S△BEG(2)如圖（3）所示，聯(lián)結(jié)AE，AF，如果AD=5，AB=3，CF=1，∠AEB=∠AFE=∠EFC．求AF的長．【答案】(1)①見解析；②2(2)AF=【分析】（1）①延長FE，AB交于H，可證明△BEH≌△CEFAAS，得到EH=EF，∠H=∠CFE，則可證明AE=EH②如圖所示，延長BF，AD交于M，由平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AD=BC，證明△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF，得到BEAM=GEAG=BGGM，BCDM=BFMF=CFDF=1，則BF=MF，BC=DM；設(shè)CE=BE=m（2）延長AD，EF交于M，由平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，CD=AB=3，證明△AEF∽△MEA，△AEF∽△ECF，再證明△ECF∽△MDF，得到ECDM=EFFM=CFDF，求出DF=CD?CF=2，設(shè)CE=s，F(xiàn)E=t，則由相似三角形的性質(zhì)可得AE=st【詳解】（1）解：①如圖所示，延長FE，AB交于∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EBH=∠ECF，∵E是邊BC中點，∴BE=CE，∴△BEH≌△CEFAAS∴EH=EF，∵AE=EF，∴AE=EH，∴∠H=∠BAE，∴∠BAE=∠CFE；②如圖所示，延長BF，AD交于∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF，∴BEAM=GE∴BF=MF，∵E是邊BC中點，∴BC=2CE=2BE，設(shè)CE=BE=m，則BC=DM=2m，∴AM=AD+DM=4m，∴GEAG∵BFMF∴BGGF∴S△BGES△BGA設(shè)S△ABG=4n，則∴S△EGF∴S△BGE（2）解；如圖所示，延長AD，EF交于∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，CD=AB=3，∴∠AEB=∠EAD，∵∠AEB=∠AFE=∠EFC，∴∠EFA=∠EAD，又∵∠AEF=∠MEA，∴△AEF∽△MEA；∵∠AEB+∠AEF+∠FEC=∠EFC+∠FCE+∠FEC=180°，∠AEB=∠EFC，∴∠AEF=∠FCE，∴△AEF∽△ECF，∵AD∥BC，∴△ECF∽△MDF，∴ECDM∵CF=1，∴DF=CD?CF=2，設(shè)CE=s，∵△AEF∽△ECF，∴CFEF=∴AE=st，∵ECDM=EF∴DM=2s，∴AM=AD+DM=5+2s；∵△AEF∽△MEA，∴EFAE=AE∴tst=stt+2tst∴AF=5【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．41．（2025·四川成都·中考真題）如圖，在?ABCD中，點E在BC邊上，點B關(guān)于直線AE的對稱點F落在?ABCD內(nèi)，射線AF交射線DC于點G，交射線BC于點P，射線EF交CD邊于點Q．【特例感知】（1）如圖1，當(dāng)CE=BE時，點P在BC延長線上，求證：△EFP≌△ECQ；【問題探究】（2）在（1）的條件下，若CG=3，GQ=5，求DQ的長；【拓展延伸】（3）如圖2，當(dāng)CE=2BE時，點P在BC邊上，若CQDQ=1n，求【答案】（1）見解析；（2）4；（3）2n+1【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得：∠B=∠AFE,BE=FE，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得∠PCG=∠QFG，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠CQE=∠P，即可求證；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得EQ=EP，從而得到FQ=CP，可證明△FQG≌△CPG，從而得到FG=CG=