試卷第=page44頁，共=sectionpages44頁試卷第=page33頁，共=sectionpages44頁北京市廣渠門中學(xué)2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共10小題，共50分。1．若集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．2．命題“，”的否定為（

）A．， B．，C．， D．，3．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．4．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則時的解析式為（

）A． B．C． D．5．計算的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．256．若實數(shù)，滿足，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．下列四組中給出的兩個函數(shù)，不是同一個函數(shù)的是（

）A．；，B．；C．，；，D．；8．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，的圖象如圖所示，那么滿足不等式的的取值范圍是（

）A． B．C． D．9．根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限約為，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)約為.則下列各數(shù)中數(shù)量級上與最接近的是（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．10．設(shè)A，B是中兩個子集，對于，定義：，.在這一定義下，若，，則A，B滿足（

）A． B． C． D．二、填空題：本大題共5小題，共25分。11．已知冪函數(shù)的圖象過點，則，.12．函數(shù)的定義域為.13．若函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方，則實數(shù)的取值范圍是.14．已知，若且，都有，則實數(shù)的一個取值為；的最大值為.15．已知函數(shù)，其定義域記為集合，且.以下所有正確結(jié)論的序號是.①；②是減函數(shù)：③若，則；④對任意，都存在使得.三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16．已知集合.(1)若，求，；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.17．已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點.(1)求的值；(2)證明為奇函數(shù)；(3)直接寫出的值域（不需要證明）.18．已知函數(shù).(1)若不等式的解集為，求實數(shù)的值；(2)解關(guān)于的不等式；(3)若在區(qū)間上的最小值為，求實數(shù)的值.19．學(xué)校將舉辦第十二屆“星光杯”班級合唱比賽.高一某班為了籌集合唱節(jié)采購的費用，決定開展愛心義賣，銷售同學(xué)們親手制作的紀(jì)念品.考慮到制作成本、場地費用、銷售單價等因素，根據(jù)以往愛心義賣的數(shù)據(jù)分析，預(yù)計累計總凈利潤）（單位：百元）與銷售天數(shù)（）滿足(1)為保證累計總凈利潤不為負，求最多銷售的天數(shù)；(2)銷售多少天時，能使每天的平均凈利潤最大？（每天的平均凈利潤）20．已知函數(shù).(1)求的值；(2)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；(3)求關(guān)于的不等式的解集.21．記集合的元素個數(shù)為.對于集合且，如果且，均，使得，那么就稱是集合的一個“平衡數(shù)”(1)當(dāng)時，直接判斷和是否為的“平衡數(shù)”；(2)若為集合的“平衡數(shù)”，求證：；(3)求集合的“平衡數(shù)”的最小值（用表示）.答案第=page44頁，共=sectionpages55頁答案第=page55頁，共=sectionpages55頁參考答案題號12345678910答案AACCACDCDB11．2712．13．14．1（答案不唯一）15．①③16．（1）當(dāng)時，，，或，；（2）若，則當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍為或.17．（1）由題意，，解得.（2）由（1）知，，定義域為，而，所以函數(shù)為奇函數(shù).（3）由，因為，則，即，所以，則，所以函數(shù)的值域為.18．（1）由題意，不等式的解集為，則2和4為方程的根，且，所以，解得.（2）由，則，，則.當(dāng)時，不等式為，解得；當(dāng)時，不等式為，若，即時，解得或；若，即時，不等式為，解得；若，即時，解得或.綜上所述，當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式解集為.（3）函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)時，函數(shù)開口向下，且對稱軸為，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，不滿足題意；當(dāng)時，函數(shù)開口向上，且對稱軸為，若，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，不滿足題意；若，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得（舍去）或.綜上所述，.19．（1）由題意，令，則，即，解得，由于，則為保證累計總凈利潤不為負，最多銷售18天.（2）由題意，每天的平均凈利潤為，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則，所以銷售6天時，能使每天的平均凈利潤最大.20．（1）因為，則.（2）當(dāng)時，，且函數(shù)在上為增函數(shù)，理由如下：任取、且，即，則，因為，則，，，，故，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.（3）對任意的，，故函數(shù)的定義域為，，故函數(shù)為偶函數(shù)，因為，則，所以，則，由（2）知，函數(shù)在上為增函數(shù)，由，可得，所以，則有或，可得或，可得或，解不等式，即，解得或，解不等式，即，解得.綜上所述，不等式的解集為.21．（1）當(dāng)時，,，若，取，顯然，所以不是的“平衡數(shù)”，若，則P可以為，以上四個集合，含元素或的各兩個，，均可滿足定義，所以是的“平衡數(shù)”；（2），，若，取，顯然其中六個元素不存在兩個元素之和為13，即不是的“平衡數(shù)”，同理，更不滿足定義；事實上，中的元素滿足和為13的有六組，而當(dāng)時，由抽屜原理，在上述六組數(shù)中取7個數(shù)，必有2個