2025年高三數(shù)學高考社會責任融合版模擬試題一、選擇題（本大題共10小題，每題6分，共60分）鄉(xiāng)村振興·函數(shù)應用某村合作社推廣有機蔬菜種植，經(jīng)測算，某種蔬菜的畝產(chǎn)量$y$（單位：kg）與投入的有機肥料$x$（單位：kg/畝）滿足函數(shù)關系$y=1200-\frac{3600}{x+30}$（$x\geq0$）。若每畝投入肥料成本為20元/kg，蔬菜售價為5元/kg，則當每畝肥料投入為多少時，純利潤最大？A.30kgB.40kgC.50kgD.60kg生態(tài)文明·概率統(tǒng)計某市推行“碳普惠”制度，市民通過綠色出行、垃圾分類等行為積累碳積分。據(jù)統(tǒng)計，市民每日碳積分$X$（單位：分）服從正態(tài)分布$N(50,10^2)$。若$P(X\leq40)=0.16$，則隨機抽取100名市民，預計當日碳積分超過60分的人數(shù)為A.16B.32C.68D.84科技自立·立體幾何我國自主研發(fā)的“嫦娥六號”探測器成功實現(xiàn)月球背面采樣。探測器著陸艙的主體結構為正四棱錐，底面邊長為2米，側棱長為$\sqrt{5}$米。則該正四棱錐的體積為A.$\frac{4}{3}$立方米B.$\frac{8}{3}$立方米C.4立方米D.8立方米文化傳承·數(shù)列應用《九章算術》中有“衰分術”記載：“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿，欲以爵次分之，問各得幾何？”意為：五人按爵位從高到低依次分得獵物，各等級所得成等差數(shù)列，且前三人所得之和為后兩人所得之和的2倍。若總獵物為5鹿，則大夫所得為A.$\frac{5}{3}$鹿B.2鹿C.$\frac{7}{4}$鹿D.$\frac{8}{5}$鹿公共衛(wèi)生·數(shù)據(jù)分析某社區(qū)開展新冠疫苗接種，統(tǒng)計顯示接種率$f(t)$與宣傳天數(shù)$t$的關系為$f(t)=\frac{1}{1+e^{-0.2t}}$（$t\geq0$）。當宣傳第$t$天接種率達到80%時，$t$的值約為（參考數(shù)據(jù)：$\ln4\approx1.386$）A.6B.7C.8D.9交通安全·線性規(guī)劃某城市規(guī)劃“綠色公交網(wǎng)絡”，需在東西向主干道$l$上設置一個公交調(diào)度站$P$，服務A、B兩個社區(qū)。A社區(qū)位于$l$北偏東30°方向，距離$l$為3km；B社區(qū)位于$l$北偏西60°方向，距離$l$為4km。則調(diào)度站$P$到A、B兩社區(qū)的距離之和的最小值為A.5kmB.7kmC.$\sqrt{34}$kmD.$\sqrt{41}$km教育公平·函數(shù)性質(zhì)某公益組織為鄉(xiāng)村學校捐贈平板電腦，首批100臺設備的使用時長$t$（單位：月）與維護費用$y$（單位：元）滿足函數(shù)關系$y=t^2-20t+200$。若定義“性價比指數(shù)”為$\frac{t}{y}$，則設備使用第幾個月時性價比最高？A.10B.12C.15D.20扶貧攻堅·數(shù)列求和某縣通過電商直播助力農(nóng)產(chǎn)品銷售，第1個月銷售額為100萬元，此后每月銷售額的增長率為$r$，且每月需投入基礎設施維護費5萬元。若前$n$個月總利潤為$S_n=200(2^n-1)-5n$萬元，則$r$的值為A.20%B.30%C.50%D.100%應急管理·優(yōu)化問題某市消防救援站接到報警，需從A站調(diào)派消防車前往事故點P。已知A站坐標為$(0,0)$，城市道路網(wǎng)格為橫縱等距的正方形，事故點P在直線$3x+4y=24$上。消防車沿網(wǎng)格線行駛，若每公里耗時2分鐘，則到達P點的最短時間為A.12分鐘B.14分鐘C.16分鐘D.18分鐘國際合作·復數(shù)應用“一帶一路”項目中，中老鐵路某隧道施工需精確計算巖層傾斜角。若隧道軸線方向向量為$\vec{a}=1+i$，巖層傾斜方向向量為$\vec=1-\sqrt{3}i$（$i$為虛數(shù)單位），則兩向量夾角的余弦值為A.$\frac{1-\sqrt{3}}{4}$B.$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$C.$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$D.$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$二、填空題（本大題共6小題，每題5分，共30分）鄉(xiāng)村振興·不等式應用某村建設“光伏農(nóng)場”，計劃安裝A、B兩種型號太陽能板。A型板每塊占地面積2m2，發(fā)電量300W；B型板每塊占地面積1m2，發(fā)電量150W。若農(nóng)場可利用面積不超過1000m2，且A型板數(shù)量不超過B型板的2倍，則最大總發(fā)電量為______W。數(shù)據(jù)安全·排列組合為保障個人信息安全，某APP設置密碼規(guī)則：由3位數(shù)字（0-9）和2位字母（A-Z，不區(qū)分大小寫）組成，且數(shù)字與字母相間排列。則不同密碼的總數(shù)為______（用數(shù)字作答）。體育強國·三角函數(shù)某運動員進行跳遠訓練，起跳后身體重心軌跡為拋物線$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{6}{5}x$（單位：米），其中$x$為水平距離，$y$為豎直高度。則該運動員的跳遠成績?yōu)開_____米（落地時重心高度為0）。社區(qū)服務·線性回歸某志愿者團隊記錄服務時長$x$（小時）與居民滿意度$y$的關系，得到數(shù)據(jù)如下：|$x$|2|4|6|8||$y$|65|75|85|95|則$y$關于$x$的線性回歸方程為$\hat{y}=\hatx+\hat{a}$，其中$\hat=$______。糧食安全·導數(shù)應用某農(nóng)場種植小麥，邊際成本$C'(x)=2x+30$（元/噸），邊際收益$R'(x)=150-4x$（元/噸），其中$x$為產(chǎn)量（噸）。則利潤最大時的產(chǎn)量為______噸。智慧交通·圓錐曲線某市地鐵線路規(guī)劃中，兩站點A、B間的軌道為橢圓弧，已知A、B相距8公里，中間最大高度差為3公里（以AB為x軸，中點為原點）。則該橢圓的離心率為______。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）教育公平·函數(shù)與導數(shù)某公益基金會為貧困地區(qū)學生捐贈學習平板，根據(jù)使用年限$x$（年），平板殘值$y$（百元）滿足函數(shù)$y=ax^2+bx+c$。已知第1年殘值為28百元，第2年為22百元，第3年為16百元。（1）求$a$、$b$、$c$的值；（2）若每年維護成本為$C(x)=2x+3$（百元），求平板使用幾年后，平均每年總成本最低（總成本=初始價值-殘值+維護成本總和）。（12分）生態(tài)文明·概率與統(tǒng)計為研究城市綠化對空氣質(zhì)量的影響，某課題組測量不同綠化覆蓋率區(qū)域的PM2.5濃度（$\mug/m^3$），數(shù)據(jù)如下：|綠化覆蓋率|[20%,40%)|[40%,60%)|[60%,80%]||------------|-----------|-----------|-----------||樣本數(shù)|20|30|50||平均濃度|75|60|45|（1）估計該市PM2.5平均濃度；（2）若規(guī)定PM2.5濃度≤50為“優(yōu)良”，[50,75]為“輕度污染”，>75為“中度污染”。已知綠化覆蓋率與空氣質(zhì)量的列聯(lián)表如下：||優(yōu)良|非優(yōu)良||----------|------|--------||高綠化（≥60%）|35|15||低綠化（<60%）|10|40|能否在犯錯誤概率不超過0.001的前提下認為“空氣質(zhì)量與綠化覆蓋率有關”？（參考公式：$\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，臨界值：$\chi^2_{0.001}=10.828$）（12分）科技強國·立體幾何我國“天問一號”火星探測器的著陸平臺采用“緩沖式著陸腿”。簡化模型如圖，四邊形ABCD為正方形，邊長為2米，四條側棱PA=PB=PC=PD=3米，P在底面ABCD的射影為中心O。（1）證明：平面PAC⊥平面PBD；（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值。（12分）鄉(xiāng)村振興·數(shù)列與不等式某村發(fā)展特色產(chǎn)業(yè)，建立“合作社+農(nóng)戶”模式。第1年合作社帶動50戶農(nóng)戶，此后每年新增農(nóng)戶數(shù)比上一年多20%，同時每年有5%的參與農(nóng)戶退出。設第$n$年初的農(nóng)戶數(shù)為$a_n$。（1）求$a_n$的遞推公式；（2）證明：$a_n<100$對任意$n\inN^*$恒成立。（12分）公共服務·圓錐曲線某市規(guī)劃圓形休閑廣場，直徑AB=400米，中心為O。廣場內(nèi)擬修建兩個對稱的半圓形噴泉，圓心分別為C、D，且C、D在AB上，CD=200米。（1）以O為原點，AB為x軸建立坐標系，求噴泉邊界（半圓）的方程；（2）在廣場內(nèi)設置觀景臺P，要求P到兩個噴泉邊界的距離相等，求P點的軌跡方程，并說明其幾何形狀。（14分）創(chuàng)新發(fā)展·函數(shù)與導數(shù)（開放探究題）某科技公司研發(fā)智能配送機器人，其電池續(xù)航時間$T(v)$（單位：小時）與行駛速度$v$（單位：km/h）的關系為$T(v)=\frac{k}{v}-v$（$k$為常數(shù)，$0<v<\sqrt{k}$）。（1）若$v=20$km/h時，$T=2$小時，求$k$的值及最大續(xù)航時間；（2）為提升配送效率，公司需優(yōu)化機器人行駛策略：方案①：以恒定速度$v$行駛，完成100km配送任務；方案②：先以速度$v_1$行駛50km，再以速度$v_2$行駛50km，且$v_