2025年江蘇省蘇州市常熟市數(shù)學(xué)高二上期末檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若拋物線焦點坐標(biāo)為，則的值為A. B.C.8 D.42．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點，現(xiàn)以為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓的中心并且交橢圓于點，．若過點的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.3．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)記為，則等于（）A. B.C. D.4．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派研究發(fā)現(xiàn)了黃金分割，簡稱黃金數(shù)．離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線稱為黃金雙曲線．若雙曲線是黃金雙曲線，則（）A. B.C. D.5．設(shè)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若（為常數(shù)），則（）A. B.C. D.6．如圖，某圓錐軸截面是等邊三角形，點是底面圓周上的一點，且，點是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.7．在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知，，的面積為，則（）A. B.C. D.8．下列四個命題中為真命題的是（）A.設(shè)p：1＜x＜2，q：2x＞1，則p是q的必要不充分條件B.命題“”的否定是“”C.函數(shù)的最小值是4D.與的圖象關(guān)于直線y＝x對稱9．已知雙曲線C1的一條漸近線方程為y=kx，離心率為e1，雙曲線C2的一條漸近線方程為y=x，離心率為e2，且雙曲線C1、C2在第一象限交于點(1，1)，則=（）A.|k| B.C.1 D.210．如圖所示，在中，，，，AD為BC邊上的高，；若，則的值為（）A. B.C. D.11．等差數(shù)列中，是的前項和，，則（）A.40 B.45C.50 D.5512．已知圓，圓相交于P，Q兩點，其中，分別為圓和圓的圓心.則四邊形的面積為（）A.3 B.4C.6 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則滿足實數(shù)的取值范圍是__14．若數(shù)列滿足，，則__________15．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，O為坐標(biāo)原點，點M是雙曲線左支上的一點，若，，則雙曲線的離心率是____________16．在下列所示電路圖中，下列說法正確的是____(填序號)（1）如圖①所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充分不必要條件；（2）如圖②所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件；（3）如圖③所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充要條件；（4）如圖④所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2，離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l經(jīng)過點M（0，1），且與橢圓C交于A，B兩點，若，求直線l的方程18．（12分）在正方體中，、、分別是、、的中點（1）證明：平面平面；（2）證明：19．（12分）已知直線，圓.（1）證明：直線l與圓C相交；（2）設(shè)l與C的兩個交點分別為A、B，弦AB的中點為M，求點M的軌跡方程；（3）在（2）的條件下，設(shè)圓C在點A處的切線為，在點B處的切線為，與的交點為Q.試探究：當(dāng)m變化時，點Q是否恒在一條定直線上？若是，請求出這條直線的方程；若不是，說明理由.20．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且過點.（1）求圓C的方程；（2）若圓C與直線交于A，B兩點，且，求m的值.21．（12分）某項目的建設(shè)過程中，發(fā)現(xiàn)其補貼額x（單位：百萬元）與該項目的經(jīng)濟回報y（單位：千萬元）之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：補貼額x（單位：百萬元）23456經(jīng)濟回報y（單位：千萬元）2.5344.56（1）請根據(jù)上表所給的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸直線方程；（2）為高質(zhì)量完成該項目，決定對負(fù)責(zé)該項目的7名工程師進行考核.考核結(jié)果為4人優(yōu)秀，3人合格.現(xiàn)從這7名工程師中隨機抽取3人，用X表示抽取的3人中考核優(yōu)秀的人數(shù)，求隨機變量X的分布列與期望.參考公式：22．（10分）某工廠為了解甲、乙兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量，分別從甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機抽取了1000件產(chǎn)品，并對所抽取產(chǎn)品的某一質(zhì)量指數(shù)進行檢測，根據(jù)檢測結(jié)果按分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，若該工廠認(rèn)定產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)不低于6為優(yōu)良級產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)時為優(yōu)等品.（1）用統(tǒng)計有關(guān)知識判斷甲、乙兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量哪一條更好，并說明理由（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）用分層抽樣的方法從該工廠樣品的優(yōu)等品中抽取6件產(chǎn)品，在這6件產(chǎn)品中隨機抽取2件，求抽取到的2件產(chǎn)品都是甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進而根據(jù)拋物線的焦點坐標(biāo)，可得的值.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為拋物線的焦點坐標(biāo)為，所以，所以，故選A.【點睛】該題考查的是有關(guān)利用拋物線的焦點坐標(biāo)求拋物線的方程的問題，涉及到的知識點有拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于簡單題目.2、A【解析】由切線的性質(zhì)，可得，，再結(jié)合橢圓定義，即得解【詳解】因為過點的直線圓的切線，，，所以由橢圓定義可得，可得橢圓的離心率故選：A3、D【解析】求導(dǎo)后代入即可.【詳解】，.故選：D.4、A【解析】根據(jù)黃金雙曲線的定義直接列方程求解【詳解】雙曲線中的，所以離心率，因為雙曲線是黃金雙曲線，所以，兩邊平方得，解得或（舍去），故選：A5、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】.故選：C.6、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計算即可.【詳解】以過點且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：C.7、C【解析】利用面積公式，求出，進而求出，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出【詳解】由面積公式得：，因為的面積為，所以，求得：因，所以由余弦定理得：所以由正弦定理得：，即，解得：故選：C8、D【解析】根據(jù)推出關(guān)系和集合的包含關(guān)系判斷A，根據(jù)全稱命題的否定形式可判斷B，根據(jù)對鉤函數(shù)性質(zhì)即三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)反函數(shù)的圖像性質(zhì)可判斷D.【詳解】解：對于選項A：是的真子集，所以命題p是q的充分不必要條件，故A錯誤；對于選項B：命題“”的否定是“”，故B錯誤；對于選項C：函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時取最小值，故C錯誤；對于選項D：與互為反函數(shù)，故圖象關(guān)于直線y＝x對稱，故D正確.9、C【解析】根據(jù)漸近線方程設(shè)出雙曲線方程，再由過點，可知雙曲線方程，從而可求離心率.【詳解】由題，設(shè)雙曲線的方程為，又因為其過，且可知，不妨設(shè)，代入，得，所以雙曲線的方程為，所以，同理可得雙曲線的方程為，所以可得，所以，當(dāng)時，結(jié)論依然成立.故選：C10、B【解析】根據(jù)題意求得，化簡得到，結(jié)合，求得的值，即可求解.【詳解】在中，，，，AD為BC邊上的高，可得，由又因為，所以，所以.故選：B.11、B【解析】應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)“若，則”即可求解【詳解】故選：B12、A【解析】求得，由此求得四邊形的面積.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，所以，由、兩式相減并化簡得，即直線的方程為，到直線的距離為，所以，所以四邊形的面積為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分別對，分別大于1，等于1，小于1的討論，即可.【詳解】對，分別大于1，等于1，小于1的討論，當(dāng),解得當(dāng)，不存在，當(dāng)時，，解得，故x的范圍為點睛】本道題考查了分段函數(shù)問題，分類討論，即可，難度中等14、7【解析】根據(jù)遞推公式，依次求得值.【詳解】依題意，由，可知，故答案為：715、5【解析】根據(jù)得出，設(shè)，從而利用雙曲線的定義可求出，的關(guān)系，從而可求出答案.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，則，因為，所以，因為，不妨設(shè)，，由雙曲線的定義可得，所以，，由勾股定理可得，，所以，所以雙曲線的離心率故答案為：.16、（1）（2）（3）【解析】充分不必要條件是該條件成立時，可推出結(jié)果，但結(jié)果不一定需要該條件成立；必要條件是有結(jié)果必須有這一條件，但是有這一條件還不夠；充要條件是條件和結(jié)果可以互推；條件和結(jié)果沒有互推關(guān)系的是既不充分也不必要條件【詳解】（1）開關(guān)閉合，燈泡亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)不一定閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的充分不必要條件，選項（1）正確.（2）開關(guān)閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)必須閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的必要不充分條件，選項（2）正確.（3）開關(guān)閉合，燈泡亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)必須閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的充要條件，選項（3）正確.（4）開關(guān)閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)不一定閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的既不充分也不必要條件，選項（4）錯誤.故答案為（1）（2）（3）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解析】（1）根據(jù)橢圓的焦距為2，離心率為，求出，，即可求橢圓的方程；（2）設(shè)直線方程為，代入橢圓方程，由得，利用韋達定理，化簡可得，求出，即可求直線的方程.試題解析：（1）設(shè)橢圓方程為，因為，所以，所求橢圓方程為.（2）由題得直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為y=kx+1，則由得，且．設(shè)，則由得，又，所以消去得，解得，，所以直線的方程為，即或.18、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）連接，分別證明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】證明：連接，在正方體中，，，所以，四邊形為平行四邊形，所以，在中，、分別為、的中點，所以，，所以，，因為平面，平面，所以，平面因為且，、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則，，平面，平面，平面又，所以，平面平面【小問2詳解】證明：在正方體中，平面，平面，,因為四邊形為正方形，則，因為，則平面由知（1）平面平面，所以，平面，平面，因此，19、（1）證明見解析；（2）；（3）點Q恒在直線上，理由見解析.【解析】（1）求出直線過定點，得到在圓內(nèi)部，故證明直線l與圓C相交；（2）設(shè)出點，利用垂直得到等量關(guān)系，整理后即為軌跡方程；（3）利用Q、A、B、C四點共圓，得到此圓方程，聯(lián)立，求出相交弦的方程，即直線的方程，根據(jù)直線過的定點，得到，從而得到點Q恒在直線上.【小問1詳解】證明：直線過定點，代入得：，故在圓內(nèi)，故直線l與圓C相交；【小問2詳解】圓的圓心為，設(shè)點，由垂徑定理得：，即，化簡得：，點M的軌跡方程為：【小問3詳解】設(shè)點，由題意得：Q、A、B、C四點共圓，且圓的方程為：，即，與圓C的方程聯(lián)立，消去二次項得：，即為直線的方程，因為直線過定點，所以，解得：，所以當(dāng)m變化時，點Q恒在直線上.【點睛】本題的第三問是稍有難度的，處理方法是根據(jù)四點共圓，直徑的端點坐標(biāo)，求出此圓的方程，與曲線聯(lián)立后得到相交弦的方程，是處理此類問題的關(guān)鍵.20、（1）（2）或【解析】（1）由已知設(shè)圓C的方程為，點代入計算即可得出結(jié)果.（2）由已知可得圓心C到直線的距離,利用點到直線的距離公式計算即可求得值.【小問1詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓C的圓心在直線上，.則圓C的方程為，圓C過點，則，解得：則，圓C的圓心坐標(biāo)為.則圓C的方程為；【小問2詳解】圓心C到直線的距離.則，解得或21、（1）（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【解析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和公式直接求解即可，（2）由題意可知，的可能取值為0，1，2，3，然后求各自對應(yīng)的概率，從而可求得分布列和期望【小問1詳解】.，...【小問2詳解】由題意可知，的可能取值為0，1，2，3.，，分布列為0123.22、（1）甲更好，詳細(xì)見解析（2）【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算甲、乙兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)，比較大小即可得答案；（2）由題意可知，甲、乙生產(chǎn)線的樣品中優(yōu)等品件數(shù)，利用分層抽樣可得從甲生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有件件，記為，從乙生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有件，記為；列出抽取到的2件產(chǎn)品的所有基本事件，根據(jù)古典概型計算即可.【小問1詳解】解：甲生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為：＝3×0.05×2+5×0.15×2+7×0.2×2+9×0.1×2＝6.4；乙生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為：＝3×0.15×2+5×0.1×2+7×0.2×2+9×0.05×2＝5.6因為，所以甲生產(chǎn)線生產(chǎn)產(chǎn)品質(zhì)量的平均水平高于乙生產(chǎn)線生產(chǎn)產(chǎn)品質(zhì)量的平均水平，故甲