第二章習(xí)題參考答案1.若,則.2.若,,則.3.若,,則.4.若,且和獨(dú)立,則是獨(dú)立且分布同為的隨機(jī)變量.若,,且和獨(dú)立，則.練習(xí)：1.威布爾(Weibull)分布(記為W(m,a))的密度函數(shù)為分布函數(shù)為.用逆變換法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù).解：由得，上式最后面等號(hào)是因?yàn)楹屯植?2.柯西(Cauchy)分布的密度函數(shù)為分布函數(shù)為,用逆變換法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù).解：由3.(次序統(tǒng)計(jì)量的分布)設(shè)是來自的一組樣本,令.試用逆變換法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù).提示：可以通過產(chǎn)生個(gè)來自的獨(dú)立樣本并取最小的獲得,但效率較低.由入手，采用逆變換法解決.解：因?yàn)橛山獾?.的分布律如下：給出有效模擬該隨機(jī)變量的方法及步驟.分析：可以參照本章例2.1一個(gè)更有效的算法，將概率值大的前置、先抽.5.參數(shù)為的負(fù)二項(xiàng)分布的分布律如下：其中為正整數(shù)，.利用負(fù)二項(xiàng)分布與幾何分布的關(guān)系，給出模擬負(fù)二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)的方法及步驟;(2)驗(yàn)證并利用該遞歸關(guān)系,給出模擬負(fù)二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)的方法及步驟.解：（1）根據(jù)負(fù)二項(xiàng)分布與幾何分布的關(guān)系，先獨(dú)立產(chǎn)生個(gè)參數(shù)為的幾何分布隨機(jī)數(shù)，其和便是一個(gè)參數(shù)為的負(fù)二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù).(2)遞歸關(guān)系易于驗(yàn)證，模擬的方法及步驟類似于泊松分布和二項(xiàng)分布，略去.6.給出具有如下密度函數(shù)的隨機(jī)變量的方法.(1)(2)解：（1）由解得.故.（2）計(jì)算得，故產(chǎn)生上均勻分布隨機(jī)數(shù)，當(dāng)時(shí)，由得當(dāng)時(shí)，由得7.用逆變換法生成具有如下分布函數(shù)的隨機(jī)變量.(1)(2)解：(1)(2).8.給出具有如下密度函數(shù)的隨機(jī)變量的方法.解：方法=1\*GB3①產(chǎn)生上均勻分布隨機(jī)數(shù)，當(dāng)時(shí)，由得當(dāng)時(shí)，由得方法=2\*GB3②令可見服從參數(shù)為2的指數(shù)分布.對(duì)應(yīng)算法如下：Step1:產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù);Step2:令;Step3:產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù),并令9.設(shè)為均值為1的指數(shù)分布隨機(jī)變量.給出模擬分布為給定下的條件分布的隨機(jī)變量的有效方法,其密度函數(shù)為生成1000個(gè)這樣的隨機(jī)數(shù),并用其估計(jì),并計(jì)算的理論值.解：.又由解得.R代碼：n=1000n=1000U<-runif(n)X<--log(1-U*(1-exp(-0.05)))mean(X)[1]0.02475943[1]0.02475943得到一次估計(jì)結(jié)果0.02484236.10.(合成法)假設(shè)容易產(chǎn)生分布函數(shù)為的隨機(jī)變量.如何產(chǎn)生分布函數(shù)為的隨機(jī)變量？其中,,且.解：假定分布函數(shù)為的隨機(jī)變量是由逆變換法產(chǎn)生的，則先產(chǎn)生上的均勻分布隨機(jī)數(shù),并令即可.如果分布函數(shù)為的隨機(jī)變量是由其他方法產(chǎn)生的，可采用類似的步驟，即先由均勻分布隨機(jī)數(shù)的取值區(qū)間確定隨機(jī)變量取自哪一種分布，再產(chǎn)生隨機(jī)數(shù).11.給出具有如下分布函數(shù)的隨機(jī)變量的方法.(1)(2)其中,.方法=1\*GB3①：首先注意到(1)和(2)是具體和一般的關(guān)系，其次若將(2)中記為,可見該問題又是上題10的特殊情況，故可以采用上題中的合成法求解該題.具體方法如下：Step1:先產(chǎn)生兩個(gè)均勻分布隨機(jī)數(shù)；Step2:；Step3:方法=2\*GB3②（舍選法）可得相應(yīng)密度函數(shù)，Step1:先產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)；Step2:若，則令,否則返回Step1.12.討論密度函數(shù)不同的隨機(jī)數(shù)生成方法.分析：方法=1\*GB3①(逆變換法)求出分布函數(shù)由得方程但該方程沒有解析解.當(dāng)然也可以考慮用數(shù)值或其他方法得到近似解.方法=2\*GB3②（舍選法）假定取后續(xù)分析和書中例2.9等類似，不再展開了.13.給出密度函數(shù)為的隨機(jī)數(shù)生成方法.解：用舍選法，步驟如下：Step1:先產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)；Step2:Step3:若，則令,否則返回Step1.14.用篩選法生成密度函數(shù)為的隨機(jī)變量.解：,，步驟如下：Step1:先產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)；Step2:若，則令,否則返回Step1.14.