2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差

2.3.1離散型隨機(jī)變量的均值

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：了解離散型隨機(jī)變量的均值或期望的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求

出均值或期望.

過程與方法：理解公式“E(aC+b)=aEC+bw,以及“若，?B(n,p),則E3=np”.能熟

練地應(yīng)用它們求相應(yīng)的離散型隨機(jī)變量的均值或期望。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：承前啟后，感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化功能與人文

價(jià)值。

教學(xué)重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變顯的均值或期望的概念.

教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值或期望.

授課類型：新授課?

課時(shí)安排：4課時(shí).

教具：多媒體、實(shí)物投影儀.

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1.隨機(jī)變品：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變顯來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變

量.隨機(jī)變量常用希臘字母，、n等表示.

2.離散型隨機(jī)變量:對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)

變量叫做離散型隨機(jī)變量.

3.連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某?區(qū)間內(nèi)的?切值，這樣的變

量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.

4.離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)

變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序

一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出.

若J是隨機(jī)變量，〃+仇是常數(shù)，則〃也是隨機(jī)變量.并且不改變其屬性(離

散型、連續(xù)型)?

5.分布列:設(shè)離散型隨機(jī)變量f可能取得值為汨，生，…，照，…,

f取每一個(gè)值%(戶1,2,…)的概率為尸?=%)=/小則稱表

?????

X\X2?Xi

PP\Pz???Pi???

為隨機(jī)變量f的概率分布，簡稱f的分布列?

6.分布列的兩個(gè)性質(zhì)：(1)260,7=1,2,…；⑵A+月+…=1.

7.離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布：在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)

生，在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)f是一個(gè)隨機(jī)變量.如果在一次試驗(yàn)中

某事件發(fā)生的概率是R那么在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是

=k)=C：,(A=0,1,2,…，〃，q=1—p).

十是得到隨機(jī)變量，的概率分布如卜：

f01???k???n

PC：p，n…C：pkqn-k...—

稱這樣的隨機(jī)變量f股從二項(xiàng)分布，記作B5,夕)，其中〃，〃為參數(shù)，并記

C：PW"=b(k；n,p).

8.離散型隨機(jī)變量的幾何分布：在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)，所作試

驗(yàn)的次數(shù)f色是一個(gè)正整數(shù)的離散型隨機(jī)變量.“4二火”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試

驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)生.如果把k次試驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生記為右、事件A不發(fā)生記為工，

P(4)=p,P(可)=q(q=l—p),見「么

"<=幻=尸(4豆…%A)=P(4)PW)P(4)…尸(看)P(A)=qip(k=

0,1,2,-,q=l-p).于是得到隨機(jī)變量；的概率分布如下：

f123-??k…

PPPqq2P…qip…

稱這樣的隨機(jī)變量￡服從幾何分布.

記作g(A,p)=qip,其中〃=0,1,2,…，q=\-p.

二、講解新課：

根據(jù)已知隨機(jī)變量的分布列，我們可以方便的得出隨機(jī)變量的某些制定的概率，但分

布列的用途遠(yuǎn)不止于此，例如：己知某射手射擊所得環(huán)數(shù)j的分布列如下

,；45678910

P0.020.040.060.090.280.290.22

在〃次射擊之前，可以根據(jù)這個(gè)分布列估計(jì)〃次射擊的平均環(huán)數(shù).這就是我們今天要

學(xué)習(xí)的離散型隨機(jī)變量的均值或期望.

根據(jù)射手射擊所得環(huán)數(shù)e的分布列，

我們可以估計(jì)，在〃次射擊中，預(yù)計(jì)大約有

尸C=4)x7?=0.02〃次得4環(huán)；

PC=5)x〃=0.04〃次得5環(huán)：

????????????

P(^=10)x/?=0.22?次得10環(huán).

故在〃次射擊的總環(huán)數(shù)大約為

4x().02x〃+5x().()4x〃+...+10x().22x/?

=(4x0.02+5X0.04H---卜10x0.22)x〃,

從而，預(yù)計(jì)〃次射擊的平均環(huán)數(shù)約為

4x0.02+5x0.04+…+10x0.22=8.32.

這是一個(gè)由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列得到的，只與射擊環(huán)數(shù)的可能取值及其相應(yīng)的概

率有關(guān)的常數(shù)，它反映了射手射擊的平均水平.

對(duì)于任一射手，若已知其射擊所得環(huán)數(shù)j的分布列，即己知各個(gè)=z)(f=0,1,2,

10),我們可以同樣預(yù)計(jì)他任意〃次射擊的平均環(huán)數(shù)：

OxP(&=0)+lxP(^=l)+-+10xP(g=10).

1.均值或數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量4的概率分布為

??????

gX\X2xn

??????

pPlP2p?

則稱=+x2P2+…+ZP“+…為4的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望.

2.均值或數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變最的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變顯取值的平

均水平?

3.平均數(shù)、均值:一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量J的概率分布中，令夕二小二…

=Pn，則有Pl=Pl=…=P"=,，=(X]+x,+…+X”)x」，所以的數(shù)學(xué)期望又

nn

稱為平均數(shù)、均值.

4.均值或期望的一個(gè)性質(zhì)：若〃+〃(。、》是常數(shù))，。是隨機(jī)變量，則〃也是隨機(jī)

變量，它們的分布列為

???

0X\X2X”

??????

4X]+Z?ax2+b%+b

pPlP2???Pn

于是E〃=(叼+b)Pl+(ax2+力)〃2+…+3”+扮Pn+???

=a(xp,xp+???)+b(

1+x2p2+???+nn/?)+P?+…+〃“+…)

=aE^+b,

由此，我們得到了期望的一個(gè)性質(zhì)：￡(喈+/力=。窈+8

5.若&~B(n,p),則Eg=np

證明如下：

???PC=k)=C；pA(1-〃尸=,

???造二()XC；＞V+1XC：PZ”T+2XC：p2q22+…+AXC：p1'T+X

〃c"八o

CnPq?

又???kC;=k——--=---------------------------=nC^\,

k\(n-k)\(^-1)![(/?-1)-(Z:-1)]!”

???Eg=np(C；\p%"T+C3PZ”-2+…+c31PbzcD+…+

C>：〃"Z°)=〃〃(〃+/-=〃〃.

故若f?4(〃，p),則砧=即.

三、講解范例：

例1.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得I分，罰不中得0分，已知他命中的概率為

0.7,求他罰球一次得分看的期望.

解：因?yàn)镻C=1)=0724=0)=03,

所以=1X().7+()x().3=().7.

例2.一次單元測驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選

項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分.學(xué)生甲

選對(duì)任一題的概率為0.9,學(xué)生乙則在測驗(yàn)中對(duì)?每題都從4個(gè)選擇中隨機(jī)地選擇一個(gè)，求學(xué)

生甲和乙在這次英語單元測驗(yàn)中的成績的期望.

解：設(shè)學(xué)生甲和乙在這次英語測驗(yàn)中正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是則J~B

(20.0.9)，〃?6(20,0.25),

.,.超二20x0.9=18,々=20x0.25=5?

由于答對(duì)每題得5分，學(xué)生甲和乙在這次英語測驗(yàn)中的成績分別是5g和5??所以，

他們?cè)跍y驗(yàn)中的成績的期望分別是：

E(5<)=5E?=5x18=90,E(57)=5E(z/)=5x5=25?

例3.根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0.01.該地

區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60C00元，遇到小洪水時(shí)要損失10000

元.為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案：

方案1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元.

方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元.但圍墻只能防小洪水.

方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水.

試比較哪一種方案好.

解：用Xi、X?和X3分別表示三種方案的損失.

采用第I種方案，無論有無洪水，都損失3800元，即

X)=3800.

采用第2種方案，遇到大洪水時(shí)，損失2000+6()000=62000元；沒有大洪水時(shí)，損

失2000元，即

v[62000,有大洪水；

2-12000,無大洪水.

同樣，采用第3種方案，有

60000,有大洪水;

X「J10000,有小洪水；

0,無洪水.

于是，

EXi=3800,

EX2=62000XP(X2=62000)+200000XP(X2=2000)

=62000X0.01+2000X(1-0.01)=2600,

EX3=600(X)XP(X3=600(M))+1()()(M)XP(X3=10(M)0)+0XP(X3=0)

=60000X0.01+10000X0.25=3100.

采取方案2的平均損失最小，所以可以選擇方案2.

值得注意的足，上述結(jié)論是通過比較“平均損失”而得出的.一般地，我們可以這樣來

理解“平均損失”：假設(shè)問題中的氣象情況多次發(fā)生，那么采用方案2將會(huì)使損失減到最

小.由于洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的，所以對(duì)于個(gè)別的一次決策，采用方

案2也不一定是最好的.

例4.隨機(jī)拋擲一枚骰子，求所得骰子點(diǎn)數(shù)4的期望.

解：???PC=i)=l/6,i=l,2,—6,

=1x1/6+2x1/6+--+6x1/6=3.5.

例5.有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是15%,對(duì)這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查，每次抽取1件，

如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品為止，但抽查次數(shù)不超過10次.

求抽查次數(shù)J的期望(結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字)?

解:抽查次數(shù)J取141()的整數(shù)，從這批數(shù)量很大的產(chǎn)品中抽出1件檢查的試驗(yàn)可

以認(rèn)為是彼此獨(dú)立的，取出次品的概率是0.15,取出正品的概率是0.85,前k-1次取出正

品而第k次(攵=1,2,...?10)取出次品的概率：

=%)=0.85ix0.15(k=\,2,…，10)

需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：P?=10)=0.859?由此可得J的概率

分布如卜?：

.12345678910

4

P0.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660.04810.040902316

根據(jù)以上的概率分布，可得。的期望

=1x0.15+2x0.1275+???+10x0.2316=535.

例6.隨機(jī)的拋擲一個(gè)骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)j的數(shù)學(xué)期望.

解：拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)。的概率分布為

。123456

111111

666666

所以

=IX-4-2X-+3Xi4-4X-4-5X-!-+6X-5-

“666666

=(1+2+3+44-5+6)X-=3.5.

6

拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)E的數(shù)學(xué)期望，就是E的所有可能取值的平均值.

例7.某城市出租汽車的起步價(jià)為10元，行駛路程不超出4km時(shí)租車費(fèi)為10元，

若行駛路程超出4km,則按每超出1km加收2元計(jì)費(fèi)(超出不足1km的部分按1km

計(jì)).從這個(gè)城市的民航機(jī)場到某賓館的路程為15km.某司機(jī)經(jīng)常駕車在機(jī)場與此賓

館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個(gè)城

市規(guī)定，庫停車5分鐘按1km路程計(jì)費(fèi))，這個(gè)司機(jī)一次接送旅客的行車路程小是一

個(gè)隨機(jī)變量.設(shè)他所收租車費(fèi)為小

(I)求租車費(fèi)〃關(guān)于行車路程4的關(guān)系式；

(II)若隨機(jī)變量。的分布列為

15161718

P0.10.50.30.1

求所收租車費(fèi)〃的數(shù)學(xué)期望.

(川)已知某旅客實(shí)時(shí)租車費(fèi)38元，而出租汽車實(shí)際行駛了15km,問出租車在途

中因故停車?yán)塾?jì)最多幾分鐘？

解：(I)依題意得片2(。-4)十10,即，尸2>2；

(II)心=15x().U16x0.5+17x0.3+18x().1=16.4

V〃=2>2

:.E〃=2鱷+2=34.8(元)

故所收租車費(fèi)〃的數(shù)學(xué)期望為34.8元.

(III)由38=2。+2,得418,5x(18-15)=15

所以出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多15分鐘??

四、課堂練習(xí)：

1.口袋中有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5,從中任取3球，以4表示取出球的最大

號(hào)碼，則()

A.4；B.5；C.4.5；D.4.75.

答案：C?

2.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中的1分,罰不中得0分.已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的

概率為0.7,求

⑴他罰球1次的得分f的數(shù)學(xué)期望；

(2)他罰球2次的得分n的數(shù)學(xué)期望；

⑶他罰球3次的得分f的數(shù)學(xué)期望.

解：⑴因?yàn)镻(4=l)=0.7,=0)=03,所以

塔=1XPC=1)+0X=0)=0.7

(2)n的概率分布為

n012

P0.32C；x0.7x030.72

所以E^=0X0.09+1X0.42+2X().98=1.4.

⑶f的概率分布為

0123

產(chǎn)0.33C；X0.7X0.32C；x0.7?x0.307

所以=ox0.027+1x0.189+2x0.98=2.1.

3.設(shè)有力升水，其中含有大腸桿菌〃個(gè).今取水1升進(jìn)行化驗(yàn)，設(shè)其中含有大腸桿菌

的個(gè)數(shù)為九求f的數(shù)學(xué)期望.

分析：任取1升水，此升水中含一個(gè)大腸桿菌的概率是,，事件"發(fā)生，即〃

m

個(gè)大腸桿菌中恰有幺個(gè)在此升水中，由〃次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件/(在此升水中含一個(gè)大腸

桿菌)恰好發(fā)生4次的概率計(jì)算方法可求出夕(§=外，逆而可求.

解：記事件A：”在所取的1升水中含一個(gè)大腸桿菌”，則P(A)=‘.

tn

???尸(。乂)二月(4)二乙—)*(1-—)fl-*(A-0,1,2,

mm

:.B(n,—),故E，=〃X--—?

mnim

五、小結(jié)：(1)離散型隨機(jī)變量的期望，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平；

⑵求離散型隨機(jī)變量4的期望的基本步驟：①理解。的意義，寫出?？赡苋〉娜恐?；

②求。取各個(gè)值的概率，寫出分布列；⑤根據(jù)分布列，由期望的定義求出房.公式E

(a€+b)=aE€+b,以及服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望E€=np.

六、課后作業(yè)：P64-65練習(xí)1,2,3,4P69A組1.2,3

1.一袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和兩個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)，則其中含紅球

個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是(用數(shù)字作答)

解：令取取黃球個(gè)數(shù)J(二0、1、2)則J的要布列為

012

331

p

To5To

331

于是E(J)—0X—+1X—+2X——0.8

10510

故知紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為1.2

2.袋中有4個(gè)黑球、3個(gè)白球、2個(gè)紅球，從中任取2個(gè)球，每取到一個(gè)黑球記。分,

每取到一個(gè)白球記1分，每取到一個(gè)紅球記2分，用J表示得分?jǐn)?shù)

①求4的概率分布列

②求J的數(shù)學(xué)期望

解：①依題意彳的取值為0、1、2、3、4

C21

J=0時(shí)，取2黑p(J=0)7=

6

4=1時(shí)，取1黑1白P(4=D=

C；3

c\c；Cji

時(shí)，取2白或1紅1黑p(J=2)=

C；C；36

C\-C\_1

€=3時(shí)，取1白1紅，概率p(J=3)=C；=6

63366369

3.學(xué)校新進(jìn)了三臺(tái)投影儀用于多媒體教學(xué)，為保證設(shè)備正常工作，事先進(jìn)行獨(dú)立試驗(yàn)，已知

各設(shè)備產(chǎn)生故障的概率分別為口、P?、P3,求試驗(yàn)中三臺(tái)投影儀產(chǎn)生故障的數(shù)學(xué)期望.

解.：設(shè)J表示產(chǎn)生故障的儀器數(shù)，Ai表示第i臺(tái)儀器出現(xiàn)故障(；1、2、3)

4表示第i臺(tái)儀器不出現(xiàn)故障，則：

p(^=l)=p(Ai?A2?4)+P(A[?A，?A3)+p(^1?A2?A；1)

--

=P1(1—P2)(1—P3)+P2(l-Pl)(IP3)+P3(l-Pl)(IPj)

=pi+P2+P3-2p】p2-2p2P：；-2p：1pi+3Plp2P：；

p(J=2)=p(Ai?A2?A)+p(Ai?A2?Ay)+p(A]?A2?A；t)

=PlP2(1—P3)+P1P3(1-P2)+P2P3(1-Pl)

=P1P2+P1P3+P2P3-3piP2P3

p(J=3)=p(Ai?A2,A3)=P1P2P3

:.=1Xp(^=l)+2Xp(^=2)+3Xp(^=3)=pi+pj+pa?

注：要充分運(yùn)用分類討論的思想，分別求出三臺(tái)儀器中有一、二、三臺(tái)發(fā)生故障的概率后再

求期望.

4.一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)，含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)

學(xué)期望是一1.2?

解：從5個(gè)球中同時(shí)取出2個(gè)球，出現(xiàn)紅球的分布列為

012

*

P若5

..黨=0x0.1+1x0?6+2x0.3=1.2

5.A、8兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官?，每?duì)三名隊(duì)員，A隊(duì)隊(duì)員是4，42，八,，B

隊(duì)隊(duì)員是四，82,83,按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對(duì)陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下：

對(duì)陣隊(duì)員A隊(duì)隊(duì)員勝的概率B隊(duì)隊(duì)員勝的概率

2

Ai對(duì)Bi

33

23

A2對(duì)B2

55

23

也對(duì)B3

75

現(xiàn)按表中對(duì)陣方式出場，每場勝隊(duì)得1分，負(fù)隊(duì)得0分，設(shè)A隊(duì)，8隊(duì)最后所得分分別為

小

（1）求〃的概率分布；（2）求七自，Erj

解：（I）〃的可能取值分別為3,2,1,0.