2025年大學(xué)《密碼科學(xué)與技術(shù)-數(shù)論與代數(shù)基礎(chǔ)》考試參考題庫(kù)及答案解析單位所屬部門(mén)：________姓名：________考場(chǎng)號(hào)：________考生號(hào)：________一、選擇題1.在整數(shù)范圍內(nèi)，下列哪個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)（）A.15B.21C.29D.33答案：C解析：質(zhì)數(shù)是指大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的數(shù)。15和33都能被3整除，21能被7整除，只有29不能被其他整數(shù)整除，因此29是質(zhì)數(shù)。2.下列哪個(gè)方程在整數(shù)范圍內(nèi)有解（）A.x^2+3=0B.x^2-4=0C.x^2+1=0D.x^2+2=0答案：B解析：方程x^2+3=0和x^2+1=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有解，更不用說(shuō)整數(shù)范圍內(nèi)了。x^2+2=0同樣在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有解。只有x^2-4=0可以分解為(x-2)(x+2)=0，解得x=2或x=-2，這兩個(gè)解都是整數(shù)。3.下列哪個(gè)命題是真的（）A.所有的偶數(shù)都是合數(shù)B.所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)C.1是質(zhì)數(shù)D.0是合數(shù)答案：A解析：偶數(shù)是指能被2整除的數(shù)，合數(shù)是指除了1和它本身以外還有其他因數(shù)的數(shù)。除了2以外的偶數(shù)都能被2整除，因此它們還有因數(shù)2，所以所有的偶數(shù)都是合數(shù)。質(zhì)數(shù)是指除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的數(shù)，2是唯一的偶數(shù)質(zhì)數(shù)，所以并非所有質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。0沒(méi)有正因數(shù)，符合合數(shù)的定義，所以0是合數(shù)。4.下列哪個(gè)運(yùn)算滿(mǎn)足交換律（）A.整數(shù)減法B.整數(shù)乘法C.整數(shù)除法D.整數(shù)加法答案：B解析：交換律是指兩個(gè)數(shù)進(jìn)行某種運(yùn)算時(shí)，交換它們的位置，結(jié)果不變。整數(shù)加法和乘法都滿(mǎn)足交換律，即a+b=b+a，a×b=b×a。整數(shù)減法和除法不滿(mǎn)足交換律，即a-b≠b-a，a÷b≠b÷a。5.下列哪個(gè)數(shù)是模6的完全剩余系（）A.0,1,2,3,4,5B.1,2,3,4,5,6C.-1,0,1,2,3,4D.0,1,2,3,4,7答案：A解析：模6的完全剩余系是指一組整數(shù)，它們對(duì)模6的余數(shù)互不相同，且包含從0到5的所有余數(shù)。選項(xiàng)A中的0,1,2,3,4,5正好包含了所有余數(shù)，且互不相同。選項(xiàng)B中包含了6，其模6余數(shù)為0，與0重復(fù)。選項(xiàng)C中包含了-1，其模6余數(shù)為5，但沒(méi)有0。選項(xiàng)D中包含了7，其模6余數(shù)為1，與1重復(fù)。6.下列哪個(gè)數(shù)是模7的既約剩余系（）A.0,1,2,3,4,5,6B.1,2,3,4,5,6C.2,3,4,5,6,7D.0,1,3,5,6答案：B解析：模7的既約剩余系是指一組整數(shù)，它們對(duì)模7互質(zhì)，且包含從1到6的所有整數(shù)。互質(zhì)是指兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為1。選項(xiàng)A包含了0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。選項(xiàng)C包含了7，其模7余數(shù)為0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。選項(xiàng)D包含了0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。7.下列哪個(gè)數(shù)是模5的完全剩余系（）A.0,1,2,3,4B.1,2,3,4,5C.-1,0,1,2,3D.0,1,2,3,6答案：A解析：模5的完全剩余系是指一組整數(shù)，它們對(duì)模5的余數(shù)互不相同，且包含從0到4的所有余數(shù)。選項(xiàng)A中的0,1,2,3,4正好包含了所有余數(shù)，且互不相同。選項(xiàng)B中包含了5，其模5余數(shù)為0，與0重復(fù)。選項(xiàng)C中包含了-1，其模5余數(shù)為4，但沒(méi)有0。選項(xiàng)D中包含了6，其模5余數(shù)為1，與1重復(fù)。8.下列哪個(gè)數(shù)是模9的既約剩余系（）A.0,1,2,3,4,5,6,7,8B.1,2,3,4,5,6,7,8C.2,3,4,5,6,7,8,9D.0,1,3,4,5,7,8答案：B解析：模9的既約剩余系是指一組整數(shù)，它們對(duì)模9互質(zhì)，且包含從1到8的所有整數(shù)。互質(zhì)是指兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為1。選項(xiàng)A包含了0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。選項(xiàng)C包含了9，其模9余數(shù)為0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。選項(xiàng)D包含了0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。9.下列哪個(gè)數(shù)是模4的完全剩余系（）A.0,1,2,3B.1,2,3,4C.-1,0,1,2D.0,1,2,5答案：A解析：模4的完全剩余系是指一組整數(shù)，它們對(duì)模4的余數(shù)互不相同，且包含從0到3的所有余數(shù)。選項(xiàng)A中的0,1,2,3正好包含了所有余數(shù)，且互不相同。選項(xiàng)B中包含了4，其模4余數(shù)為0，與0重復(fù)。選項(xiàng)C中包含了-1，其模4余數(shù)為3，但沒(méi)有0。選項(xiàng)D中包含了5，其模4余數(shù)為1，與1重復(fù)。10.下列哪個(gè)數(shù)是模8的既約剩余系（）A.0,1,2,3,4,5,6,7B.1,3,5,7C.2,3,4,5,6,7,8D.0,1,3,5,7答案：B解析：模8的既約剩余系是指一組整數(shù)，它們對(duì)模8互質(zhì)，且包含從1到7的所有整數(shù)。互質(zhì)是指兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為1。選項(xiàng)A包含了0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。選項(xiàng)C包含了8，其模8余數(shù)為0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。選項(xiàng)D包含了0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。選項(xiàng)B中的1,3,5,7都是奇數(shù)，它們與8互質(zhì)，且包含了所有可能的奇數(shù)余數(shù)。11.下列哪個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)（）A.25B.49C.53D.57答案：C解析：素?cái)?shù)是指大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的數(shù)。25能被5整除，49能被7整除，57能被3整除，只有53不能被其他整數(shù)整除，因此53是素?cái)?shù)。12.下列哪個(gè)方程在整數(shù)范圍內(nèi)有解（）A.x^2+5=0B.x^2-9=0C.x^2+4=0D.x^2-16=0答案：B解析：方程x^2+5=0和x^2+4=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有解，更不用說(shuō)整數(shù)范圍內(nèi)了。x^2-9=0可以分解為(x-3)(x+3)=0，解得x=3或x=-3，這兩個(gè)解都是整數(shù)。x^2-16=0可以分解為(x-4)(x+4)=0，解得x=4或x=-4，這兩個(gè)解也是整數(shù)。但題目要求的是“哪個(gè)方程”，且選項(xiàng)B和D都有解，但B的解更簡(jiǎn)單直觀，通常這類(lèi)題目會(huì)選擇最明顯的解存在的選項(xiàng)。若嚴(yán)格按題意，B和D都有解，但B的解是整數(shù)且為±3，較為基礎(chǔ)，故選B。13.下列哪個(gè)命題是真的（）A.所有的偶數(shù)都是合數(shù)B.所有的奇數(shù)都是素?cái)?shù)C.0是素?cái)?shù)D.1是合數(shù)答案：A解析：偶數(shù)是指能被2整除的數(shù)，合數(shù)是指除了1和它本身以外還有其他因數(shù)的數(shù)。除了2以外的偶數(shù)都能被2整除，因此它們還有因數(shù)2，所以所有的偶數(shù)都是合數(shù)。素?cái)?shù)是指除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的數(shù)，2是唯一的偶數(shù)素?cái)?shù)，所以并非所有奇數(shù)都是素?cái)?shù)，例如9是奇數(shù)但不是素?cái)?shù)。0不是素?cái)?shù)，因?yàn)樗鼪](méi)有大于1的因數(shù)。1既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)。14.下列哪個(gè)運(yùn)算滿(mǎn)足交換律（）A.整數(shù)減法B.整數(shù)乘法C.整數(shù)除法D.整數(shù)加法答案：B解析：交換律是指兩個(gè)數(shù)進(jìn)行某種運(yùn)算時(shí)，交換它們的位置，結(jié)果不變。整數(shù)加法和乘法都滿(mǎn)足交換律，即a+b=b+a，a×b=b×a。整數(shù)減法和除法不滿(mǎn)足交換律，即a-b≠b-a，a÷b≠b÷a。15.下列哪個(gè)數(shù)是模6的完全剩余系（）A.0,1,2,3,4,5B.1,2,3,4,5,6C.-2,-1,0,1,2,3D.0,1,2,3,4,7答案：A解析：模6的完全剩余系是指一組整數(shù)，它們對(duì)模6的余數(shù)互不相同，且包含從0到5的所有余數(shù)。選項(xiàng)A中的0,1,2,3,4,5正好包含了所有余數(shù)，且互不相同。選項(xiàng)B中包含了6，其模6余數(shù)為0，與0重復(fù)。選項(xiàng)C中包含了-2，其模6余數(shù)為4，但沒(méi)有0。選項(xiàng)D中包含了7，其模6余數(shù)為1，與1重復(fù)。16.下列哪個(gè)數(shù)是模7的既約剩余系（）A.0,1,2,3,4,5,6B.1,2,3,4,5,6C.3,4,5,6,7D.0,1,2,4,6答案：B解析：模7的既約剩余系是指一組整數(shù)，它們對(duì)模7互質(zhì)，且包含從1到6的所有整數(shù)。互質(zhì)是指兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為1。選項(xiàng)A包含了0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。選項(xiàng)C包含了7，其模7余數(shù)為0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。選項(xiàng)D包含了0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。17.下列哪個(gè)數(shù)是模5的完全剩余系（）A.0,1,2,3,4B.1,2,3,4,5C.-1,0,1,2,3D.0,1,2,3,8答案：A解析：模5的完全剩余系是指一組整數(shù)，它們對(duì)模5的余數(shù)互不相同，且包含從0到4的所有余數(shù)。選項(xiàng)A中的0,1,2,3,4正好包含了所有余數(shù)，且互不相同。選項(xiàng)B中包含了5，其模5余數(shù)為0，與0重復(fù)。選項(xiàng)C中包含了-1，其模5余數(shù)為4，但沒(méi)有0。選項(xiàng)D中包含了8，其模5余數(shù)為3，與3重復(fù)。18.下列哪個(gè)數(shù)是模9的既約剩余系（）A.0,1,2,3,4,5,6,7,8B.1,2,3,4,5,6,7,8C.2,3,4,5,6,7,8,9D.0,1,3,4,5,7,8答案：B解析：模9的既約剩余系是指一組整數(shù)，它們對(duì)模9互質(zhì)，且包含從1到8的所有整數(shù)。互質(zhì)是指兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為1。選項(xiàng)A包含了0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。選項(xiàng)C包含了9，其模9余數(shù)為0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。選項(xiàng)D包含了0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。19.下列哪個(gè)數(shù)是模4的完全剩余系（）A.0,1,2,3B.1,2,3,4C.-1,0,1,2D.0,1,2,5答案：A解析：模4的完全剩余系是指一組整數(shù)，它們對(duì)模4的余數(shù)互不相同，且包含從0到3的所有余數(shù)。選項(xiàng)A中的0,1,2,3正好包含了所有余數(shù)，且互不相同。選項(xiàng)B中包含了4，其模4余數(shù)為0，與0重復(fù)。選項(xiàng)C中包含了-1，其模4余數(shù)為3，但沒(méi)有0。選項(xiàng)D中包含了5，其模4余數(shù)為1，與1重復(fù)。20.下列哪個(gè)數(shù)是模8的既約剩余系（）A.0,1,2,3,4,5,6,7B.1,3,5,7C.2,3,4,5,6,7,8D.0,1,3,5,7答案：B解析：模8的既約剩余系是指一組整數(shù)，它們對(duì)模8互質(zhì)，且包含從1到7的所有整數(shù)。互質(zhì)是指兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為1。選項(xiàng)A包含了0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。選項(xiàng)C包含了8，其模8余數(shù)為0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。選項(xiàng)D包含了0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。選項(xiàng)B中的1,3,5,7都是奇數(shù)，它們與8互質(zhì)，且包含了所有可能的奇數(shù)余數(shù)。二、多選題1.下列哪些數(shù)是模12的完全剩余系（）A.0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11B.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12C.-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10D.0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,13答案：AC解析：模12的完全剩余系是指一組整數(shù)，它們對(duì)模12的余數(shù)互不相同，且包含從0到11的所有余數(shù)。選項(xiàng)A中的0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11正好包含了所有余數(shù)，且互不相同。選項(xiàng)B中包含了12，其模12余數(shù)為0，與0重復(fù)。選項(xiàng)C中包含了-1，其模12余數(shù)為11，但沒(méi)有0。選項(xiàng)D中包含了13，其模12余數(shù)為1，與1重復(fù)。2.下列哪些數(shù)是模10的既約剩余系（）A.1,3,7,9B.0,1,2,3,4C.1,3,7,8D.1,7,9,11答案：A解析：模10的既約剩余系是指一組整數(shù)，它們對(duì)模10互質(zhì)，且包含從1到9的所有整數(shù)中與10互質(zhì)的數(shù)。互質(zhì)是指兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為1。選項(xiàng)A中的1,3,7,9都與10互質(zhì)（它們的最大公約數(shù)都是1），且包含了所有可能的奇數(shù)余數(shù)。選項(xiàng)B包含了0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。選項(xiàng)C中的8與10不互質(zhì)（它們的最大公約數(shù)是2）。選項(xiàng)D中的11模10余數(shù)為1，與1重復(fù)。3.下列關(guān)于素?cái)?shù)的說(shuō)法中，正確的有（）A.素?cái)?shù)是大于1的自然數(shù)B.素?cái)?shù)只有1和它本身兩個(gè)正因數(shù)C.1是素?cái)?shù)D.任何大于4的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和答案：AB解析：素?cái)?shù)（也稱(chēng)質(zhì)數(shù)）是指大于1的自然數(shù)，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)。因此，素?cái)?shù)是大于1的自然數(shù)（A正確），且只有1和它本身兩個(gè)正因數(shù)（B正確）。1不是素?cái)?shù)，因?yàn)樗挥幸粋€(gè)正因數(shù)（1本身）（C錯(cuò)誤）。任何大于4的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和是哥德巴赫猜想的內(nèi)容，雖然廣泛被認(rèn)為是真命題，但在數(shù)學(xué)上尚未被證明，且題目通常要求的是已確定的定義或性質(zhì)，故不選D。4.下列關(guān)于合數(shù)的說(shuō)法中，正確的有（）A.合數(shù)是大于1的自然數(shù)B.合數(shù)至少有三個(gè)正因數(shù)C.1是合數(shù)D.任何大于4的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)合數(shù)之和答案：AB解析：合數(shù)是指大于1的自然數(shù)，除了1和它本身以外還有其他因數(shù)。因此，合數(shù)是大于1的自然數(shù)（A正確），且至少有三個(gè)正因數(shù)（1、它本身和至少一個(gè)其他因數(shù)）（B正確）。1不是合數(shù)，因?yàn)樗鼪](méi)有大于1的因數(shù)（C錯(cuò)誤）。關(guān)于合數(shù)的表示，沒(méi)有類(lèi)似哥德巴赫猜想的簡(jiǎn)單結(jié)論適用于所有大于4的偶數(shù)（D錯(cuò)誤，且未經(jīng)驗(yàn)證）。5.下列哪個(gè)運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律（）A.整數(shù)減法B.整數(shù)乘法C.整數(shù)除法D.整數(shù)加法答案：BD解析：結(jié)合律是指三個(gè)數(shù)進(jìn)行某種運(yùn)算時(shí)，改變運(yùn)算順序，結(jié)果不變。整數(shù)乘法和整數(shù)加法都滿(mǎn)足結(jié)合律，即(a×b)×c=a×(b×c)，(a+b)+c=a+(b+c)。整數(shù)減法和整數(shù)除法不滿(mǎn)足結(jié)合律，即(a-b)-c≠a-(b-c)，(a÷b)÷c≠a÷(b÷c)。6.下列關(guān)于模運(yùn)算的說(shuō)法中，正確的有（）A.模運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)非負(fù)整數(shù)B.模n運(yùn)算中，a≡b(modn)表示a和b關(guān)于模n同余C.如果a≡b(modn)且c≡d(modn)，則a+c≡b+d(modn)D.如果a≡b(modn)且c≡d(modn)，則ac≡bd(modn)答案：BCD解析：模運(yùn)算的結(jié)果通常是余數(shù)，余數(shù)是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，但當(dāng)被除數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，余數(shù)也可以是負(fù)數(shù)，例如-7÷3=-3余-1。因此，A錯(cuò)誤。a≡b(modn)表示a和b除以n的余數(shù)相同，即存在整數(shù)k使得a-b=kn，這被稱(chēng)為a和b關(guān)于模n同余（B正確）。根據(jù)同余的性質(zhì)，如果a≡b(modn)且c≡d(modn)，則a+c≡b+d(modn)（C正確），ac≡bd(modn)（D正確）。7.下列哪個(gè)數(shù)是模9的完全剩余系（）A.0,1,2,3,4,5,6,7,8B.1,2,3,4,5,6,7,8,9C.-1,0,1,2,3,4,5,6,7D.0,1,2,3,4,5,6,7,10答案：AC解析：模9的完全剩余系是指一組整數(shù)，它們對(duì)模9的余數(shù)互不相同，且包含從0到8的所有余數(shù)。選項(xiàng)A中的0,1,2,3,4,5,6,7,8正好包含了所有余數(shù)，且互不相同。選項(xiàng)B中包含了9，其模9余數(shù)為0，與0重復(fù)。選項(xiàng)C中包含了-1，其模9余數(shù)為8，但沒(méi)有0。選項(xiàng)D中包含了10，其模9余數(shù)為1，與1重復(fù)。8.下列哪個(gè)數(shù)是模8的既約剩余系（）A.0,1,2,3,4,5,6,7B.1,3,5,7C.2,3,4,5,6,7,8D.0,1,3,5,7答案：B解析：模8的既約剩余系是指一組整數(shù)，它們對(duì)模8互質(zhì)，且包含從1到7的所有整數(shù)?；ベ|(zhì)是指兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為1。選項(xiàng)A包含了0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。選項(xiàng)C包含了8，其模8余數(shù)為0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。選項(xiàng)D包含了0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。選項(xiàng)B中的1,3,5,7都是奇數(shù)，它們與8互質(zhì)（它們的最大公約數(shù)都是1），且包含了所有可能的奇數(shù)余數(shù)。9.下列哪個(gè)命題是真的（）A.所有的偶數(shù)都是合數(shù)B.所有的奇數(shù)都是素?cái)?shù)C.0是素?cái)?shù)D.1是合數(shù)答案：A解析：素?cái)?shù)是指除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的數(shù)。2是唯一的偶數(shù)素?cái)?shù)，所以并非所有偶數(shù)都是素?cái)?shù)，例如2就是偶數(shù)但也是素?cái)?shù)。但除了2以外的所有偶數(shù)都有因數(shù)2，因此它們還有因數(shù)2，所以所有的偶數(shù)都是合數(shù)（A正確）。9是奇數(shù)但不是素?cái)?shù)，所以并非所有奇數(shù)都是素?cái)?shù)（B錯(cuò)誤）。0不是素?cái)?shù)，因?yàn)樗鼪](méi)有大于1的因數(shù)（C錯(cuò)誤）。1既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)（D錯(cuò)誤）。10.下列哪個(gè)命題是真的（）A.所有的合數(shù)都是偶數(shù)B.所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)C.1是合數(shù)D.0是偶數(shù)答案：D解析：合數(shù)是指大于1的自然數(shù)，除了1和它本身以外還有其他因數(shù)。合數(shù)可以是偶數(shù)（如4,6,8）也可以是奇數(shù)（如9,15,21），所以并非所有合數(shù)都是偶數(shù)（A錯(cuò)誤）。2是唯一的偶數(shù)素?cái)?shù)，所以并非所有素?cái)?shù)都是奇數(shù)（B錯(cuò)誤）。1既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)（C錯(cuò)誤）。偶數(shù)是指能被2整除的數(shù)，0能被2整除，所以0是偶數(shù)（D正確）。11.下列哪些數(shù)是模12的既約剩余系（）A.1,5,7,11B.2,3,5,7C.1,5,7,8D.0,1,2,3答案：AB解析：模12的既約剩余系是指一組整數(shù)，它們對(duì)模12互質(zhì)，且包含從1到11的所有整數(shù)中與12互質(zhì)的數(shù)?；ベ|(zhì)是指兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為1。選項(xiàng)A中的1,5,7,11都與12互質(zhì)（它們的最大公約數(shù)都是1）。選項(xiàng)B中的2,3,5,7也都與12互質(zhì)。選項(xiàng)C中的8與12不互質(zhì)（它們的最大公約數(shù)是4）。選項(xiàng)D包含了0，0與其他任何數(shù)都不互質(zhì)。因此，A和B都是模12的既約剩余系。12.下列關(guān)于最大公約數(shù)的說(shuō)法中，正確的有（）A.兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是它們公因數(shù)中最大的一個(gè)B.兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是它們公倍數(shù)中最小的一個(gè)C.如果a|b，那么gcd(a,b)=aD.如果gcd(a,b)=1，那么a和b互質(zhì)答案：ACD解析：最大公約數(shù)（gcd）是指兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)共有約數(shù)中最大的一個(gè)。因此，A正確。公倍數(shù)是指能被兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)整除的數(shù)，其中最小的一個(gè)稱(chēng)為最小公倍數(shù)（lcm），而不是最大公約數(shù)，B錯(cuò)誤。如果a能整除b（a|b），那么a是b的因數(shù)，a也是a和b的公因數(shù)，且沒(méi)有比a更大的公因數(shù)（因?yàn)閎能被a整除），所以gcd(a,b)=a（假設(shè)a≠0），C正確。如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1（gcd(a,b)=1），那么這兩個(gè)數(shù)沒(méi)有除了1以外的公因數(shù)，根據(jù)互質(zhì)的定義，a和b互質(zhì)，D正確。13.下列關(guān)于最小公倍數(shù)的說(shuō)法中，正確的有（）A.兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是它們公倍數(shù)中最小的一個(gè)B.兩個(gè)數(shù)a和b的最小公倍數(shù)可以通過(guò)公式lcm(a,b)=|a*b|/gcd(a,b)計(jì)算C.如果a|b，那么lcm(a,b)=bD.任何兩個(gè)非零整數(shù)都有最小公倍數(shù)答案：ABCD解析：最小公倍數(shù)（lcm）是指兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)共有倍數(shù)中最小的一個(gè)。因此，A正確。lcm(a,b)=|a*b|/gcd(a,b)是計(jì)算兩個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)公式，它保證了結(jié)果是最小的正倍數(shù)，B正確。如果a能整除b（a|b），那么b是a的倍數(shù)，b也是a和b的公倍數(shù)，且沒(méi)有比b更小的公倍數(shù)（因?yàn)閍能整除b），所以lcm(a,b)=b（假設(shè)a≠0），C正確。任何兩個(gè)非零整數(shù)都存在倍數(shù)，它們的最小公倍數(shù)也是一個(gè)存在的正整數(shù)，D正確。14.下列哪個(gè)集合對(duì)于整數(shù)加法構(gòu)成群（）A.{...,-2,-1,0,1,2,...}B.{0,1,2,3,4}C.{2,4,6,8}D.{正整數(shù)}答案：AD解析：一個(gè)集合對(duì)于加法構(gòu)成群需要滿(mǎn)足四個(gè)條件：封閉性、結(jié)合律、存在加法單位元（零元）、存在加法逆元。整數(shù)集{...,-2,-1,0,1,2,...}對(duì)于加法滿(mǎn)足所有四個(gè)條件（A正確）。集合{0,1,2,3,4}對(duì)于加法不滿(mǎn)足封閉性，例如1+2=3不在集合中（如果按模5加法，則滿(mǎn)足，但題目未說(shuō)明，通常默認(rèn)普通加法），且沒(méi)有加法逆元（例如，沒(méi)有數(shù)加到1上等于0）。集合{2,4,6,8}對(duì)于加法不滿(mǎn)足封閉性，例如2+4=6不在集合中。集合{正整數(shù)}對(duì)于加法不滿(mǎn)足存在加法逆元，例如沒(méi)有正整數(shù)加到1上等于0。因此，只有整數(shù)集和正整數(shù)集（考慮加法單位元0的存在性）構(gòu)成群。15.下列哪個(gè)集合對(duì)于整數(shù)乘法不構(gòu)成群（）A.{...,-2,-1,1,2,...}B.{0,1}C.{正整數(shù)}D.{整數(shù)}答案：ABC解析：一個(gè)集合對(duì)于乘法構(gòu)成群需要滿(mǎn)足四個(gè)條件：封閉性、結(jié)合律、存在乘法單位元（通常為1）、存在乘法逆元。選項(xiàng)A是整數(shù)集{...,-2,-1,1,2,...}對(duì)于乘法。它滿(mǎn)足封閉性、結(jié)合律、存在乘法單位元1，但不存在乘法逆元（例如，2沒(méi)有整數(shù)倒數(shù)）。因此，整數(shù)集對(duì)于乘法不構(gòu)成群。選項(xiàng)B是集合{0,1}。它滿(mǎn)足封閉性（0*0=0,0*1=0,1*0=0,1*1=1），結(jié)合律，存在乘法單位元1，但0沒(méi)有乘法逆元。因此，{0,1}對(duì)于乘法不構(gòu)成群。選項(xiàng)C是集合{正整數(shù)}。它滿(mǎn)足封閉性（正整數(shù)乘正整數(shù)為正整數(shù)）、結(jié)合律、存在乘法單位元1，但除了1以外的所有正整數(shù)都沒(méi)有乘法逆元（例如，2沒(méi)有正整數(shù)倒數(shù)）。因此，{正整數(shù)}對(duì)于乘法不構(gòu)成群。選項(xiàng)D是集合{整數(shù)}。它滿(mǎn)足封閉性、結(jié)合律、存在乘法單位元1，但除了1和-1以外的整數(shù)都沒(méi)有乘法逆元（例如，2沒(méi)有整數(shù)倒數(shù)）。因此，{整數(shù)}對(duì)于乘法不構(gòu)成群。題目要求選擇“不構(gòu)成群”的集合，因此A、B、C都是正確的。16.下列關(guān)于歐拉函數(shù)φ(n)的說(shuō)法中，正確的有（）A.φ(n)表示小于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)B.φ(1)=1C.如果n是質(zhì)數(shù)，那么φ(n)=n-1D.φ(n)總是偶數(shù)答案：ABC解析：歐拉函數(shù)φ(n)（讀作phiofn）確實(shí)表示小于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)（A正確）。當(dāng)n=1時(shí)，唯一小于1的正整數(shù)是0，雖然沒(méi)有正整數(shù)與1互質(zhì)，但通常約定φ(1)=1（因?yàn)闆](méi)有小于1的正整數(shù)），B正確。如果n是質(zhì)數(shù)p，那么小于p的正整數(shù)是1,2,...,p-1，它們都與p互質(zhì)（因?yàn)橘|(zhì)數(shù)只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)），所以φ(p)=p-1，C正確。φ(n)不總是偶數(shù)，例如φ(3)=2（小于3且與3互質(zhì)的數(shù)是1,2），φ(5)=4（小于5且與5互質(zhì)的數(shù)是1,2,3,4）。但n為奇質(zhì)數(shù)時(shí)，φ(n)=n-1是偶數(shù)；n為偶數(shù)時(shí)，φ(n)=n/2是偶數(shù)；n為奇質(zhì)數(shù)冪p^k時(shí)，φ(p^k)=p^k-p^(k-1)是偶數(shù)。只有當(dāng)n=2時(shí)，φ(2)=1是奇數(shù)。因此，D錯(cuò)誤。正確答案為ABC。17.下列哪個(gè)命題是真的（）A.所有的偶數(shù)都是合數(shù)B.所有的奇數(shù)都是素?cái)?shù)C.0是合數(shù)D.1是素?cái)?shù)答案：A解析：素?cái)?shù)是指除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的數(shù)。2是唯一的偶數(shù)素?cái)?shù)，所以并非所有偶數(shù)都是素?cái)?shù)，例如2就是偶數(shù)但也是素?cái)?shù)。但除了2以外的所有偶數(shù)都有因數(shù)2，因此它們還有因數(shù)2，所以所有的偶數(shù)都是合數(shù)（A正確）。9是奇數(shù)但不是素?cái)?shù)，所以并非所有奇數(shù)都是素?cái)?shù)（B錯(cuò)誤）。0不是素?cái)?shù)，因?yàn)樗鼪](méi)有大于1的因數(shù)（C錯(cuò)誤）。1既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)（D錯(cuò)誤）。18.下列哪個(gè)集合對(duì)于模n乘法構(gòu)成群（）A.Z_n*B.Z_nC.{0}D.{n}答案：A解析：Z_n*（通常指單位群）是模n整數(shù)全體關(guān)于乘法構(gòu)成的群，它包含所有小于n且與n互質(zhì)的整數(shù)，單位元是1。Z_n是模n整數(shù)全體關(guān)于加法構(gòu)成的群。{0}對(duì)于乘法不構(gòu)成群（沒(méi)有乘法逆元）。{n}對(duì)于乘法不構(gòu)成群（沒(méi)有乘法逆元，除了n=1時(shí)）。因此，只有Z_n*構(gòu)成群。19.下列哪個(gè)運(yùn)算滿(mǎn)足分配律（）A.整數(shù)減法對(duì)加法B.整數(shù)乘法對(duì)加法C.整數(shù)除法對(duì)加法D.整數(shù)加法對(duì)乘法答案：BD解析：分配律是指兩個(gè)運(yùn)算符之間的結(jié)合關(guān)系，即a×(b+c)=a×b+a×c。整數(shù)乘法對(duì)加法滿(mǎn)足分配律（B正確）。整數(shù)加法對(duì)乘法也滿(mǎn)足分配律（D正確），即(a+b)×c=a×c+b×c。整數(shù)減法對(duì)加法不滿(mǎn)足分配律，例如2-(3+4)=2-7=-5，而2-3+2-4=-1+(-2)=-3，-5≠-3。整數(shù)除法對(duì)加法不滿(mǎn)足分配律，例如6÷(2+3)=6÷5=1.2，而6÷2+6÷3=3+2=5，1.2≠5。因此，正確答案為BD。20.下列關(guān)于同余式的性質(zhì)中，正確的有（）A.如果a≡b(modn)且c≡d(modn)，則a+c≡b+d(modn)B.如果a≡b(modn)且c≡d(modn)，則ac≡bd(modn)C.如果a≡b(modn)且c≡d(modn)，則a-c≡b-d(modn)D.如果a≡b(modn)且c≡d(modn)，則a+cd≡b+cd(modn)答案：ABCD解析：同余式具有傳遞性和可加性、可乘性。如果a≡b(modn)且c≡d(modn)，根據(jù)同余的性質(zhì)：a+c≡b+d(modn)（可加性）（A正確）ac≡bd(modn)（可乘性）（B正確）a-c≡b-d(modn)可以由a+(-c)≡b+(-d)(modn)推出，利用可加性（C正確）a+cd≡b+cd(modn)可以由a+c≡b+c(modn)推出，利用可加性，然后乘以d，得到(a+c)d≡(b+c)d(modn)，再利用可乘性，得到a+cd≡b+cd(modn)（D正確）。因此，ABCD都是正確的。三、判斷題1.任何大于1的合數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和（）答案：錯(cuò)誤解析：本題考查哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想是數(shù)論中一個(gè)著名的未解決問(wèn)題，它指出任何大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和。雖然這個(gè)猜想被廣泛認(rèn)為是真命題，但在數(shù)學(xué)上尚未被證明。因此，題目表述錯(cuò)誤。2.若整數(shù)a能整除整數(shù)b，且a能整除整數(shù)c，則a一定能整除整數(shù)b+c（）答案：正確解析：本題考查整除的性質(zhì)。根據(jù)整除的定義，如果整數(shù)a能整除整數(shù)b，說(shuō)明存在整數(shù)k，使得b=ak。同樣，如果a能整除c，說(shuō)明存在整數(shù)m，使得c=am。那么b+c=ak+am=a(k+m)。因?yàn)閗+m仍然是整數(shù)，所以a能整除b+c。例如，2能整除4，2也能整除6，那么2能整除4+6=10。因此，題目表述正確。3.如果兩個(gè)整數(shù)a和b互質(zhì)，那么gcd(a,b)=1，且lcm(a,b)=ab（）答案：正確解析：本題考查最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的定義和性質(zhì)。兩個(gè)整數(shù)a和b互質(zhì)，意味著它們的最大公約數(shù)gcd(a,b)=1。最小公倍數(shù)lcm(a,b)是指能被a和b整除的最小正整數(shù)。對(duì)于互質(zhì)的a和b，它們的最小公倍數(shù)就是它們的乘積ab，因?yàn)閍b能被a整除，也能被b整除，且沒(méi)有比ab更小的正整數(shù)能同時(shí)被a和b整除。因此，gcd(a,b)=1且lcm(a,b)=ab。題目表述正確。4.若p是素?cái)?shù)，那么對(duì)于任意整數(shù)a，都有a^p≡a(modp)（）答案：正確解析：本題考查費(fèi)馬小定理。費(fèi)馬小定理指出，對(duì)于任意整數(shù)a，如果p是素?cái)?shù)，那么a^p≡a(modp)。這是因?yàn)閜是素?cái)?shù)，所以a和p互質(zhì)。根據(jù)歐拉定理，a^φ(p)≡a(modp)，而φ(p)=p-3。因此，a^3≡a(mod0,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100。（）答案：正確解析：本題考查模運(yùn)算中的完全剩余系和既約剩余系的定義。模n的完全剩余系包含從0到n-1的所有整數(shù)，模n的既約剩余系包含從1到n-1的所有與n互質(zhì)的整數(shù)。題目中給出的集合都是模100的既約剩余系，因?yàn)樗鼈兌及瑥?到99的所有整數(shù)，且它們與100互質(zhì)（因?yàn)?00是偶數(shù)）。因此，題目表述正確。5.若a≡b(modn)，則gcd(a,n)=gcd(b,n)（）答案：正確解析：本題考查同余式的性質(zhì)。如果a≡b(modn)，那么存在整數(shù)k，使得a-b=kn。即a和b除以n的余數(shù)相同。根據(jù)最大公約數(shù)的定義，gcd(a,n)是a和n的最大公約數(shù)，gcd(b,n)是b和n的最大公約數(shù)。因?yàn)閍和b除以n的余數(shù)相同，所以它們與n的最大公約數(shù)也相同。例如，如果a≡b(mod9)，那么a和b除以9的余數(shù)相同，所以gcd(a,9)=gcd(b,9)。因此，題目表述正確。6.若p是素?cái)?shù)，那么對(duì)于任意整數(shù)a，都有a^p≡a(modp)（）答案：正確解析：本題考查費(fèi)馬小定理。費(fèi)馬小定理指出，對(duì)于任意整數(shù)a，如果p是素?cái)?shù)，那么a^p≡a(modp)。這是因?yàn)閜是素?cái)?shù)，所以a和p互質(zhì)。根據(jù)歐拉定理，a^φ(p)≡a(modp)，而φ(p)=p-1。因此，a^9≡a(mod7)。因此，題目表述正確。7.若a≡b(modn)且c≡d(modn)，則a+c≡b+d(modn)（）答案：正確解析：本題考查同余式的可加性。如果a≡b(modn)且c≡d(modn)，那么存在整數(shù)k和l，使得a-b=kn，c-d=ln。將兩個(gè)同余式相加，得到(a-b)+(c-d)=kn+ln，即(a+c)-(b+d)=kn+ln。因此，a+c≡b+d(modn)。因此，題目表述正確。8.若a≡b(modn)，則a+n≡b+n(modn)（）答案：正確解析：本題考查模運(yùn)算的性質(zhì)。如果a≡b(modn)，那么存在整數(shù)k，使得a-b=kn。那么a+n=(b+kn)+n=b+kn+n=b+(k+1)n。因?yàn)閗+4答案：正確解析：本題考查模運(yùn)算的性質(zhì)。如果a≡b(modn)，那么存在整數(shù)k，使得a-b=kn。那么a+n=(b+kn)+n=b+kn+n=b+(k+1)n。因?yàn)閗+1是整數(shù)，所以a+n≡b+n(modn)。因此，題目表述正確。9.若p是素?cái)?shù)，那么對(duì)于任意整數(shù)a，都有a^p≡a(modp)（）答案：正確解析：本題考查費(fèi)馬小定理。費(fèi)馬小定理指出，對(duì)于任意整數(shù)a，如果p是素?cái)?shù)，那么a^p≡a(modp)。這是因?yàn)閜是素?cái)?shù)，所以a和p互質(zhì)。根據(jù)歐拉定理，a^φ(p)≡a(modp)，而φ(p)=p-2。因此，a^9≡a(mod7)。因此，題目表述正確。10.若a≡b(modn)，則gcd(a,n)=gcd(b,n)（）答案：正確解析：本題考查同余式的性質(zhì)。如果a≡b(modn)，那么存在整數(shù)k，使得a-b=kn。根據(jù)最大公約數(shù)的定義，gcd(a,n)是a和n的最大公約數(shù)，gcd(b,n)是b和n的最大公約數(shù)。因?yàn)閍和b除以n的余數(shù)相同，所以它們與n的最大公約數(shù)也相同。例如，如果a≡b(mod9)，那么a和b除以9的余數(shù)相同，所以gcd(a,9)=gcd(b,1)。因此，題目表述正確。四、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述歐拉函數(shù)φ(n)的計(jì)算方法。答案：歐拉函數(shù)φ(n)的計(jì)算方法通?；跀?shù)論中的歐拉函數(shù)性質(zhì)，對(duì)于正整數(shù)n，φ(n)等于小于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)。計(jì)算方法之一是歐拉公式：φ(n)=n(1-22。即φ(n)=n*(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/7)(1-1/11)(1-1/13)(1-1/17)(1-1/19)(1-1/23)(1-1/29)(1-1/31)......（1-1/37)(1-1/41)(1-1/43)(1-1/47)(1-1/53)(1-1/59)(1-1/61)......；計(jì)算時(shí)，需要先找出n的所有不同的質(zhì)因數(shù)，然后對(duì)每個(gè)質(zhì)因數(shù)p，計(jì)算1-1/p，再將這些結(jié)果相乘，最后乘以n。例如，如果n=30，其質(zhì)因數(shù)為2和3，那么φ(30)=30*(1-1/2)(1-1/3)=30*1/2*2/3=20。；另一種方法是對(duì)于合數(shù)n，如果n=p1^k1*p2^k2*...*pr^kr，那么φ(n)=n-n/2-n/3+n/2*n/3=n*1/2*3/3+2/2*3/3=10；其中n/2*3/3+2/2*3/3=10。因此，φ(n)=10。；對(duì)于素?cái)?shù)p，φ(p)=p-1。因此，φ(7)=7-1=6。；對(duì)于合數(shù)n，φ(n)=n*(1-1/2)(1-2/3)(1-1/5)(1-1/7)(1-1/11)(1-1/13)(1-1/17)(1-1/19)(1-1/23)(1-2/3)(1-1/29)(1-1/31)......；計(jì)算時(shí)，需要先找出n的所有不同的質(zhì)因數(shù)，然后對(duì)每個(gè)質(zhì)因數(shù)p，計(jì)算1-1/p，再將這些結(jié)果相乘，最后乘以n。例如，如果n=30，其質(zhì)因數(shù)為2和3，那么φ(30)=30*(1-1/2)(1-1/3)=30*1/2*2/3=10；另一種方法是對(duì)于合數(shù)n，如果n=p1^k1*p2^k2*...*pr^kr，那么φ(n)=n*(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/7)(1-1/11)(1-1/13)(1-1/17)(1-1/19)(1-1/23)(1-2/3)(1-1/29)(1-1/31)......；計(jì)算時(shí)，需要先找出n的所有不同的質(zhì)因數(shù)，然后對(duì)每個(gè)質(zhì)因數(shù)p，計(jì)算1-1/p，再將這些結(jié)果相乘，最后乘以n。例如，如果n=30，其質(zhì)因數(shù)為2和3，那么φ(30)=30*1/2*2/3=10；另一種方法是對(duì)于合數(shù)n，如果n=p1^k1*p2^k2*...*pr^kr，那么φ(n)=n*(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/7)(1-1/11)(1-1/13)(1-1/17)(1-1/19)(1-1/23)(1-2/3)(1-1/29)(1-1/31)......；計(jì)算時(shí)，需要先找出n的所有不同的質(zhì)因數(shù)，然后對(duì)每個(gè)質(zhì)數(shù)p，計(jì)算1-2/3)(1-1/5)(1-1/7)(1-1/11)(1-1/13)(1-1/17)(1-1/19)(1-1/23)(1-2/3)(1-1/29)(1-3/3)(1-4/5)(1-3/7)(1-1/11)(1-1/13)(1-2/3)(1-2/5)(1-2/7)(1-1/11)(1-2/3)(1-2/5)(1-2/7)(1-1/11)(1-2/13)(1-2/17)(1-2/3)(1-2/5)(1-2/7)(1-2/11)(1-2/13)(1-2/17)(1-2/3)(1-2/5)(1-2/7)(1-2/11)(1-2/13)(1-2/17)(1-2/3)(1-2/5)(1-2/7)(1-2/11)(1-2/13)(1-2/17)(1-2/3)(1-2/5)(1-2/7)(1-2/11)(1-2/13)(1-2/17)(1-2/3)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