專(zhuān)題02三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型目錄A題型建模·專(zhuān)項(xiàng)突破題型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 1題型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 2題型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 3B綜合攻堅(jiān)·能力躍升A 題型建?！?zhuān)項(xiàng)突破題型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型1.如圖,從VABC紙片中剪去CDE,得到四邊形ABDE.如果∠1+∠2=240°,A.40° B.60° C.50° D.55°2.如圖,將紙片△ABC沿DE折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)F處,已知∠1+∠2=100°,則∠A=_.度：3.如圖1，直線l與△ABC的邊AC，AB分別相交于點(diǎn)D，E(都不與點(diǎn)A重合).(1)若∠A=64°,①求∠1+∠2的度數(shù)；②如圖2，直線m與邊AB，AC相交得到∠3和∠4,直接寫(xiě)出∠3+∠4的度數(shù).(2)如圖3,EO,DO分別平分∠BED和∠CDE,寫(xiě)出∠EOD和∠A(3)如圖4,在四邊形BCDE中,點(diǎn)M,N分別是線段DC、線段BE上的點(diǎn),NG,MG分別平分∠BNM和∠CMN,直接寫(xiě)出∠NGM與∠E,∠D的關(guān)系.題型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型4.如圖,DE⊥AB,垂足為E,∠A=48°,∠ACB=64°,則∠D=°.5.如圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱(chēng)之為“8字形”，如圖2，在圖1的條件下,∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P,并且與CD、AB分別相交于M、N.試解答下列問(wèn)題.(1)如圖1,試說(shuō)明:∠A+∠D=∠B+∠C.(2)如圖2,若∠B=30°,∠D=40°,求∠P的度數(shù).(3)在圖2中,若∠B=α,∠D=β,直接寫(xiě)出∠P的度數(shù)(用含α,β的代數(shù)式表示).6.(24-25七年級(jí)下-河南南陽(yáng)-期末)如圖①，已知線段AB，CD相交于點(diǎn)O，連接AC，BD，我們把形如這樣的圖形稱(chēng)為“八字圖形”.(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn):如圖①,試證明:∠A+∠C=∠B+∠D;(2)拓展研究：如圖②,若∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P,與CD,AB分別交于點(diǎn)M,N.①觀察圖②，寫(xiě)出另外兩組“八字圖形”中與(1)類(lèi)似的結(jié)論：；；②若∠B=n°,∠C=n°,求∠P的度數(shù)(用含m,n的代數(shù)式表示);(3)解決問(wèn)題：在(2)的條件下,若AQ與DQ分別平分∠EAB與∠FDC,AQ與DQ交于點(diǎn)Q,且80°<∠Q<100°,請(qǐng)直接寫(xiě)出m+n的取值范圍.題型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型7.(24-25七年級(jí)下·河南周口·期末)如圖，小軍借助幾何畫(huà)板設(shè)計(jì)了“魚(yú)形”圖案，由四邊形ABCD和△CEF組成，已知在△CEF中，∠E=78°,∠F=47°,AB‖CF,AD‖CE,A.65° B.55° C.458.(24-25七年級(jí)下·四川成都·期中)如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，①如圖1,請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系:②如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若∠A=50°,③如圖3,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°,∠DBE=130°,9.(24-25七年級(jí)下·江蘇宿遷·期末)【問(wèn)題背景】研究了三角形內(nèi)角和定理及其推論后，觀察飛鏢可以抽象成圖①，我們把這個(gè)圖形形象地稱(chēng)為“飛鏢模型”，飛鏢模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系，(1)如圖1,探究∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明：(2)請(qǐng)利用上述結(jié)論或解題方法，完成下面的問(wèn)題：【類(lèi)比探究】①如圖2，已知∠A+∠C+∠E=90°,∠B+∠D=150°,【拓展延伸】②如圖3，已知AM‖EN,∠B+∠D=150°,∠C+∠E=5B 綜合攻堅(jiān)·能力躍升一、單選題1.如圖,D,E兩點(diǎn)分別在VABC的兩邊AB,AC上,連接DE,已知∠1+∠2=α,則∠A=()A.α-90° B.180°-α C.α-180° D.360°-α2.小棗一筆畫(huà)成了如圖所示的圖形,若∠A=60°,∠B=40°,∠C=30°,則∠D+∠E等于()A.100° B.110° C.120° D.130°3.如圖，已知在VABC中，∠A=40°，現(xiàn)將一塊直角三角板放在VABC上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,C,直角頂點(diǎn)D落在VABC的內(nèi)部,則∠ABD+∠ACD=().A.90° B.60° C.50° D.40°二、填空題4.如圖,在VABC中,∠A=70°,剪去∠A得到一個(gè)四邊形,則∠1+∠2的度數(shù)為.5.如圖,CE⊥AF,垂足為E,CE與BF相交于D,∠F=40°,∠C=30°,則.∠ABF=_.6.如圖,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=.三、解答題7.如圖1,△PMN為直角三角形,∠MPN=90°.VABC的兩頂點(diǎn)B,C分別在直角邊PM,PN上,且P點(diǎn)在VABC內(nèi).(1)若∠A=40°,則∠ABC+∠ACB=度,∠ABP+∠ACP=度;(2)如圖2,連接AP,若∠ABP+∠ACP+2∠BAP=90°,試說(shuō)明AP平分∠BAC;(3)請(qǐng)判斷點(diǎn)P是否滿(mǎn)足BP平分∠ABC且CP平分∠ACB,并說(shuō)明理由.8.【問(wèn)題呈現(xiàn)】小明在學(xué)習(xí)了三角形有關(guān)內(nèi)角與外角的相關(guān)知識(shí)后遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖①，∠1與∠2分別為VABC的兩個(gè)外角,則∠1+∠2=180°+∠A.【推理證明】②∠1與∠2分別為VABC的兩個(gè)外角，∠1=∠A+_.∠2=∠A+_.?∠1+∠2=.圖∠3+∠4+∠A=180°,?∠1+∠2=180°+∠A.【初步應(yīng)用】(1)如圖②,在VABC紙片中剪去△AED,得到四邊形BCDE,若∠1=130°,則∠2=∠A的大小為度.(2)如圖③,在VABC中,BP、CP分別為外角∠DBC、∠ECB的平分線,則∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.【拓展提升】(3)如圖④,在四邊形ABCD中,BP、CP分別為外角∠EBC、∠FCB的平分線,若∠A+∠D=230°,求∠P的度數(shù).9.【認(rèn)識(shí)模型】(1)如圖①,AB,CD相交于點(diǎn)O,連接AD,CB,可以得出∠A,∠B,∠C,∠D四個(gè)角之間的等量關(guān)系是：(直接寫(xiě)結(jié)果)【應(yīng)用模型】(2)如圖②,BE,CD相交于點(diǎn)A,CF為∠BCD的平分線,交BE于點(diǎn)H,EF為∠BED的平分線,交CD于點(diǎn)G.寫(xiě)出∠B，∠D，∠F間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論：(3)如圖③,求∠FAB+∠ABE+∠GCD+∠CDF+∠BEG+∠DFA+∠EGC的度數(shù).10.如圖所示的圖形，像我們常見(jiàn)的符號(hào)--箭號(hào)，我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”.(1)探究：觀察“箭頭四角形”，試探究圖1中∠BDC與∠A,∠B,∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)應(yīng)用：請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在VABC上，使三角尺的兩條直角邊XY，XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，若∠A=60°,則∠ABX+∠ACX=°;②如圖3,∠ABE,∠ACE的三等分線BF,CF相交于點(diǎn)F,若∠BAC=58°,∠BEC=130°,求∠BFC的度數(shù).11.(1)已知:如圖(1)的圖形我們把它稱(chēng)為“8字形”,試說(shuō)明:∠A+∠B=∠C+∠D.(2)如圖(2),AP,CP分別平分∠BAD,∠BCD,若∠ABC=36°,∠ADC=16°.求∠P的度數(shù).(3)如圖(3),直線AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系是:(4)如圖(4),直線AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系是.12.如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請(qǐng)發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問(wèn)題：(1)觀察“規(guī)形圖”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由;(2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在VABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若∠A=50°，直接寫(xiě)出∠ABX+∠ACX的結(jié)果:②如圖3,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°,∠DBE=130°,求∠DCE的度數(shù);③如圖4,∠ABD,∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1,G2,?,G9,若13.“8”字模型是初中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)模型之一，掌握了這種模型，給同學(xué)們解答幾何題帶來(lái)很大的便捷.(1)初識(shí)模型：如圖1，是我們常見(jiàn)的“8”字模型圖，它的結(jié)論是∠A+∠B=∠D+∠E，請(qǐng)你給予證明.(2)模型求解：如圖2，線段EF在四邊形ABCD內(nèi)部，連接BE、CF，相交于點(diǎn)O，請(qǐng)借助“8”字模型的結(jié)論求:∠A+∠ABE+∠DCF+∠D+∠E+∠F的度數(shù).(3)構(gòu)造模型：如圖3，是我們常見(jiàn)的“五角星”，請(qǐng)你添加輔助線，借助于“8”字模型求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).(4)模型應(yīng)用：我們可以利用連接多邊形的某些對(duì)角線畫(huà)出類(lèi)似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、“八角星”等,如圖4“七角星ABCDEFG”的七個(gè)內(nèi)角和;∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=°;猜測(cè)"n角星"的n個(gè)內(nèi)角的和為(用含n的式子表示).14.解讀基礎(chǔ)：(1)圖1形似燕尾，我們稱(chēng)之為“燕尾形”，請(qǐng)寫(xiě)出∠A、∠B、∠C、∠D之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)圖2形似8字，我們稱(chēng)之為“八字形”，請(qǐng)寫(xiě)出∠A、∠B、∠C、∠D之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由：應(yīng)用樂(lè)園：直接運(yùn)用上述兩個(gè)結(jié)論解答下列各題(3)①如圖3,在△ABC中,BD、CD分別平分∠ABC和∠ACB,請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A和∠D的關(guān)系;②如圖4,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=.(4)如圖5,∠BAC與∠BDC的角平分線相交于點(diǎn)F,∠GDC與∠CAF的角平分線相交于點(diǎn)E,已知∠B=26°,∠C=54°,求∠F和∠E的度數(shù).專(zhuān)題02三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型目錄A題型建模·專(zhuān)項(xiàng)突破題型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 1題型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 2題型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 3B綜合攻堅(jiān)·能力躍升A 題型建模·專(zhuān)項(xiàng)突破題型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型1.如圖，從VABC紙片中剪去△CDE,，得到四邊形ABDE.如果∠1+∠2=240°,那么∠CA.40° B.60° C.50【答案】答案B【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)平角的定義得出∠CED+∠CDE=180°-∠1【詳解】解：∠1+∠2=240°∠CED+∠CDE=180∠C=180°故選:B.2.如圖，將紙片△ABC沿DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，已知∠1+∠2=100°,則∠A=_.【答案】50【分析】本題考查了翻折變換(折疊問(wèn)題).解題時(shí)注意挖掘出隱含于題中的已知條件：三角形內(nèi)角和是180°,平角的度數(shù)也是180°.根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠ADE=∠EDF,∠AED=∠DEF,利用平角是與∠AED的和，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù).【詳解】解：∵將紙片△ABC沿DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處∴∠ADE=∠EDF,∠AED=∠DEF,∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED=180°+180°,∴∠1+∠2+2(∠ADE+∠AED)=360°.又∵∠1+∠2=100°,∴∠ADE+∠AED=130°,∴∠A=180°=(∠ADE+∠AED)=50°.故答案為：503.如圖1,直線l與△ABC的邊AC,AB分別相交于點(diǎn)D,E(都不與點(diǎn)A重合).(1)若∠A=64°,①求∠1+∠2的度數(shù);②如圖2,直線m與邊AB,AC相交得到∠3和∠4,直接寫(xiě)出∠3+∠4的度數(shù).(2)如圖3,EO,DO分別平分∠BED和∠CDE,寫(xiě)出∠EOD和∠A的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由:(3)如圖4,在四邊形BCDE中,點(diǎn)M,N分別是線段DC、線段BE上的點(diǎn),NG,MG分別平分∠BNM和∠CMN,直接寫(xiě)出∠NGM與∠E,∠D的關(guān)系.【答案】(1)①244°【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是正確解答的關(guān)鍵.(1)①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義進(jìn)行計(jì)算即可；②根據(jù)①的結(jié)論即可解答：(2)由(1)的結(jié)論以及三角形內(nèi)角和定理即可解答：(3)由(2)的結(jié)論可得∠BNM+∠CMN=∠D+∠E,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可.【詳解】(1)解:①如圖1,∵∠1=∠A+∠ADE,∠2=∠A+∠AED,∴∠1+∠2=∠A+∠ADE+∠AED+∠A,∵∠A+∠ADE+∠AED=180°,∠A=64°,∴∠1+∠2=∠A+180°=64°+180°=244°;②由①方法可得:∠3+∠4=∠1+∠2=244°.(2)解:∠EOD=90°-∵EO,DO分別平分∠BED和∠CDE,∴∠OED=12∴∠OED+∠EDO=12∴∠EOD=180°答案(3)解:∠E+∠D+2∠NGM=360°,理由如下:由圖2可得,∠BNM+∠CMN=∠D+∠E,∵NG,MG分別平分∠BNM和∠∠CMN,∴∠BNG=∠MNG=12∴∠MGN=180°∴2∠MGN+∠D+∠E=360°.題型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型4.如圖,DE⊥AB,垂足為E,∠A=48°,∠ACB=64°,則∠D=°.【答案】22【分析】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B=180°-∠A-∠ACB=68°，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求解即可.【詳解】解:?∠A=48°,∠ACB=64°,B∠B=180°-∠A-∠ACB=68°DE⊥ABD∠DEB=90°?∠D=90°-∠B=22°.故答案為：22.5.如圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱(chēng)之為“8字形”.如圖2，在圖1的條件下,∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P,并且與CD、AB分別相交于M、N.試解答下列問(wèn)題.(1)如圖1,試說(shuō)明:∠A+∠D=∠B+∠C.(2)如圖2,若∠B=30°,∠D=40°,求∠P的度數(shù).(3)在圖2中,若∠B=α,∠D=β,直接寫(xiě)出∠P的度數(shù)(用含α,β的代數(shù)式表示).【答案】答案(1)見(jiàn)解析(2)∠P=35°;3∠P=1【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用、角平分線的定義等知識(shí)，掌握利用三角形的內(nèi)角和定理解決“8字形“中的角度問(wèn)題是解題的關(guān)鍵。(1)利用三角形的內(nèi)角和定理與對(duì)頂角相等可得結(jié)論；(2)由(1)可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP,∠PCB+∠B=∠PAB+∠P,再兩式相加,結(jié)合角平分線的定義可得∠D+∠B=2∠P,再把∠B=30°,∠D=40°代入計(jì)算即可得到答案:(3)由(1)可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP,∠PCB+∠B=∠PAB+∠P,再兩式相加,結(jié)合角平分線的定義可得∠P=12【詳解】(1)證明:?∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°,又圖∠AOD=∠BOC,B∠A+∠D=∠C+∠B;(2)解:由(1)可得,∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①,∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②,?∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P,H∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB,由①+②,得∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P,即2∠P=∠D+∠B.又圖∠B=30°,∠D=40°,D2∠P=30°+40°=70°,?∠P=35°;(3)解:由(1)得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①,∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②,?∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P,B∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB,由①+②,得∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P,?∠B=α,∠D=β,∠P=126.(24-25七年級(jí)下·河南南陽(yáng)·期末)如圖①，已知線段AB，CD相交于點(diǎn)O，連接AC，BD，我們把形如這樣的圖形稱(chēng)為“八字圖形”.(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn):如圖①,試證明:∠A+∠C=∠B+∠D;(2)拓展研究：如圖②,若∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P,與CD,AB分別交于點(diǎn)M,N.①觀察圖②，寫(xiě)出另外兩組“八字圖形”中與(1)類(lèi)似的結(jié)論：；；②若∠B=n°,∠C=n°,求∠P的度數(shù)(用含m,n的代數(shù)式表示);(3)解決問(wèn)題：在(2)的條件下,若AQ與DQ分別平分∠EAB與∠FDC,AQ與DQ交于點(diǎn)Q,且80°<∠Q<100°,請(qǐng)直接寫(xiě)出mt+n的取值范圍.【答案】答案(1)見(jiàn)解析①∠B+∠BDN=∠P+∠PAN,∠C+∠CAM=∠P+∠PDM:②∠P=12(m+n(2(3)160<m+n<200【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和，四邊形內(nèi)角和，平角的定義，角平分線的定義，對(duì)頂角相等，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)∠AOC=∠DOB,∠A+∠C+∠AOC=∠D+∠B+∠DOB=180°,即可證明;(2)①結(jié)合對(duì)頂角相等以及三角形內(nèi)角和,可得到∠B+∠BDN=∠P+∠PAN,∠B+∠BDN=∠P+∠PAN;②根據(jù)角平分線,可知∠1=∠2,∠3=∠4,由(1)得∠C+∠1=∠P+∠3,∠B+∠4=∠P+∠2,推出∠P=∠B+∠C2,(3)結(jié)合角平分線以及平角,得出∠PAQ=∠PDQ=90°,然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和,得到∠Q=180°-∠P,然后解不等式即可得到m+n的取值范圍.【詳解】(1)證明:∵∠AOC=∠DOB,∠A+∠C+∠AOC=∠D+∠B+∠DOB=180°,∴∠A+∠C=∠B+∠D;(2)解:①Q(mào)∠PNA=∠BND,∠P+∠PAN+∠ANP=∠BDN+∠B+∠BND=180°,∴∠B+∠BDN=∠P+∠PAN;Q∠CMA=∠PMD,∠P+∠PDM+∠PMD=∠C+∠CAM+∠CMA=180°,∴∠C+∠CAM=∠P+∠PDM;故答案為:∠B+∠BDN=∠P+∠PAN,∠C+∠CAM=∠P+∠PDM;②如圖所示：∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P,∴∠1=∠2,∠3=∠4,由(1)得∠C+∠1=∠P+∠3,∠B+∠4=∠P+∠2,∴∠C+∠1+∠B+∠4=∠P+∠2+∠P+∠3,∴∠B+∠C=2∠P.∵∠B=n°∴∠P=∠B+∠C2(3)解:160<m+n<200,理由如下:AQ與DQ分別平分∠EAB與∠FDC,∴∠EAQ=∠BAQ=12∵∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P,∴∠CAP=∠PAO,∠BDP=∠PDC,Q∠EAQ+∠BAQ+∠CAP+∠PAO=180°,∠CDQ+∠FDQ+∠BDP+∠PDC=180°,∴2(∠PAO+∠BAQ)=180°,2(∠PDC+∠CDQ)=180°,∴∠PAO+∠BAQ=90°,∠PDC+∠CDQ=90°,∴∠PAQ=∠PDQ=90°,∵四邊形PAQD,∴∠P+∠PAQ+∠Q+∠PDQ=360°,∴∠P+∠Q=360°-∠PAQ-∠PDQ=360°-90°-90°=180°,∴∠Q=180°-∠P,Q80°<∠Q<100°,∴80°<180°-∠P<100°,∴80°<∠P<100°,Q∠P=m+n2∴80°∴160°<m+n<200°.題型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型7.(24-25七年級(jí)下·河南周口·期末)如圖，小軍借助幾何畫(huà)板設(shè)計(jì)了“魚(yú)形”圖案，由四邊形ABCD和△CEF組成.已知在△CEF中,∠E=78°,∠F=47°,AB∥CF,AD∥CE,則∠A的度數(shù)是()A.65° B.55° C.45° D.35°【答案】答案B【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，本題先求解∠ECF=55°，再利用平行線的性質(zhì)證明∠BHE=∠ECF=55°,∠BHE=∠A,從而可得答案.【詳解】解：延長(zhǎng)EC交AB于點(diǎn)H，如圖所示：?∠E=78°,∠F=47°,①∠ECF=180°-∠E-∠F=55°,②ABCF,AD∥CE,?∠BHE=∠ECF=55°,∠BHE=∠A,B∠A=55°.故選:B.8.(24-25七年級(jí)下·四川成都·期中)如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，①如圖1,請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系:②如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若∠A=50°,直接寫(xiě)出∠ABX+∠ACX的結(jié)果;③如圖3,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°,∠DBE=130°,求∠DCE的度數(shù);【答案】①∠BDC=∠BAC+∠B+∠C;②∠ABX+∠ACX=40°;③∠DCE=90°.【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，利用三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵。①作射線AF,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得結(jié)論;∠BDC=∠BAC+∠B+∠C;②先根據(jù)三角尺可知:∠X=90°,根據(jù)(1)的結(jié)論可得:∠A+∠ABX+∠ACX=∠BXC=90°,從而得結(jié)論;③先根據(jù)第①題的結(jié)論可得：∠ADE+∠AEB的度數(shù)，由角平分線可得：∠ADC+∠AEC=(∠ADE+∠AEB)=40°,從而得結(jié)論.【詳解】解:①∠BDC=∠BAC+∠B+∠C,理由如下:過(guò)點(diǎn)A、D作射線AF,∵∠FDC=∠DAC+∠C,∠BDF=∠B+∠BAD,∴∠FDC+∠BDF=∠DAC+∠BAD+∠C+∠B,即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C,故答案為:∠BDC=∠BAC+∠B+∠C;答案②∵∠BXC=90°,由①知:∠A+∠ABX+∠ACX=∠BXC=90°,∵∠A=50°,∴∠ABX+∠ACX=40°;③∵∠DAE=50°,∠DBE=130°,∴∠ADB+∠AEB=130°-50°=80°,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,∴∠ADC=12∴∠ADC+∠AEC=12∴∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=50°+40°=90°.9.(24-25七年級(jí)下·江蘇宿遷·期末)【問(wèn)題背景】研究了三角形內(nèi)角和定理及其推論后，觀察飛鏢可以抽象成圖①，我們把這個(gè)圖形形象地稱(chēng)為“飛鏢模型”，飛鏢模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系，(1)如圖1,探究∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系,并證明:(2)請(qǐng)利用上述結(jié)論或解題方法，完成下面的問(wèn)題：【類(lèi)比探究】①如圖2,已知∠A+∠C+∠E=90°,∠B+∠D=150°,求∠AFE的度數(shù);【拓展延伸】②如圖3,已知AM∥EN,∠B+∠D=150°,∠C+∠E=50°,求∠MAB的度數(shù).【答案】答案(1)∠ABC=∠A+∠ADC+∠C,證明見(jiàn)解析:(2)①60°;②100°.【分析】本題考查三角形的外角性質(zhì)及其應(yīng)用、平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化的思想方法解決問(wèn)題。(1)連接DB，并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，利用三角形的外角求解即可；(2)連接CF,利用(1)中結(jié)論可得∠B=∠A+∠AFC+∠BCF,∠D=∠E+∠EFC+∠DCF,結(jié)合已知可求解；(3)在直線EN上取一點(diǎn)P，連接AP，利用(2)中結(jié)論可得∠1+∠3=100°，再利用平行線的性質(zhì)可得∠2=∠3,進(jìn)而得到∠1+∠2=100°即可求解.【詳解】解:(1)∠ABC=∠A+∠ADC+∠C.證明：如圖，連接DB，并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，B∠A+∠ADB=∠ABE,∠C+∠CDB=∠CBE,H∠ABC=∠ABE+∠CBE?∠ABC=∠A+∠ADB+∠CDB+∠C?∠ABC=∠A+∠ADC+∠C;(2)①如圖,連接CF,Ar由(1)可知∠B=∠A+∠AFC+∠BCF,∠D=∠E+∠EFC+∠DCF,?∠B+∠D=150°,∠A+∠BCD+∠E=90°,②150°=∠A+∠AFC+∠BCF+∠E+∠EFC+∠DCF,圖150°=90°+∠AFC+∠EFC,?∠AFE=60°;②如圖，在直線EN上取一點(diǎn)P，連接AP，由①可知∠B+∠D=150°=∠1+∠3+∠C+∠E,1∠C+∠E=50°?∠1+∠3=100°AM‖EN?∠2=∠3?∠1+∠2=100°?∠MAB=100°.B 綜合攻堅(jiān)·能力躍升一、單選題1.如圖,D,E兩點(diǎn)分別在VABC的兩邊AB,AC上,連接DE,已知∠1+∠2=α,則∠A=()A.α-90° B.180°-α C.α-180° D.360°-α【答案】答案C【分析】本題考查鄰補(bǔ)角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)鄰補(bǔ)角性質(zhì)求得∠ADE+∠AED=360°-α，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可.【詳解】解:?∠ADE=180°-∠1,∠AED=180°-∠2,?∠ADE+∠AED=360°-(∠1+∠2)=360°-α,D∠ADE+∠AED+∠A=180°,?∠A=180°-(∠ADE+∠AED)=180°-(360°-α)=α-180°,故選:C.2.小棗一筆畫(huà)成了如圖所示的圖形,若∠A=60°,∠B=40°,∠C=30°,則∠D+∠E等于()A.100° B.110° C.120° D.130°【答案】答案B【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，由三角形外角的性質(zhì)可得∠AGC=∠A+∠B=100°，則可求出∠CHG=70°,由平角的定義和三角形外角的性質(zhì)可得∠CHE=∠D+∠E=180°-∠CHG=110°.【詳解】解:如圖所示,M∠A=60°,∠B=40°,B∠AGC=∠A+∠B=100°,B∠C=30°,?∠CHG=∠AGC-∠C=70°,?∠CHE=∠D+∠E=180°-∠CHG=110°,故選:B.3.如圖，已知在VABC中，∠A=40°，現(xiàn)將一塊直角三角板放在VABC上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,C,直角頂點(diǎn)D落在VABC的內(nèi)部,則∠ABD+∠ACD=().A.90° B.60° C.50° D.40°【答案】C【分析】由三角形內(nèi)角和定理可得MABC+②ACB+EA=180°,即BABC+BACB=180-②A=140°,再說(shuō)明EDBC+②DCB=90°,進(jìn)而完成解答。【詳解】解:?在EABC中,圖A=40°②ABC+ACB=180-AA=14②在EDBC中,③BDC=90°2BDBC+BDCB=180°-90°=90°答案②∠ABD+∠ACD=140°-90°=50°故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理成為解答本題的關(guān)鍵.二、填空題4.如圖,在VABC中,∠A=70°,剪去∠A得到一個(gè)四邊形,則∠1+∠2的度數(shù)為.【答案】250°/250度【分析】本題考查多邊形的內(nèi)角和問(wèn)題，先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠B+∠C=110°，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°求解即可.【詳解】解:②在VABC中,∠A=70°,?∠B+∠C=180°-∠A=110°,?∠B+∠C+∠1+∠2=360°.?∠1+∠2=360°-110°=250°,故答案為:250°.5.如圖,CE⊥AF,垂足為E,CE與BF相交于D,∠F=40°,∠C=30°,則.∠ABF=_.【答案】80°/80度【分析】此題主要考查三角形的角度計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)CE⊥AF，可得∠AEC=90°，則∠A=90°-∠C=60°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180度可求出∠ABF.【詳解】解:CE⊥AF,?∠AEC=90°,E∠C=30°,B∠A=90°-∠C=60°,?∠ABF=180°-∠A-∠F=80°,故答案為:80°.6.如圖,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=.【答案】答案180°【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠D+∠AED=∠CGF,∠A+∠B=∠CFG,則由三角形內(nèi)角和定理可得答案.【詳解】解:?∠D+∠AED=∠CGF,∠A+∠B=∠CFG,B∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠CGF+∠C+∠CFG=180°.故答案為:180°.三、解答題7.如圖1,△PMN為直角三角形,∠MPN=90°.VABC的兩頂點(diǎn)B,C分別在直角邊PM,PN上,且P點(diǎn)在VABC內(nèi).(1)若∠A=40°,則∠ABC+∠ACB=度,∠ABP+∠ACP=度;(2)如圖2,連接AP,若∠ABP+∠ACP+2∠BAP=90°,試說(shuō)明AP平分∠BAC;(3)請(qǐng)判斷點(diǎn)P是否滿(mǎn)足BP平分∠ABC且CP平分∠ACB,并說(shuō)明理由.【答案】(1)140;50(2)見(jiàn)解析(3)不能滿(mǎn)足BP平分∠ABC且CP平分∠ACB【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和為180°是解題關(guān)鍵.(1)連接AP并延長(zhǎng)到點(diǎn)G，利用三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角和定理，角的和證明即可.(2)連接AP并延長(zhǎng)交BC點(diǎn)G，根據(jù)結(jié)論(1)，結(jié)合角的平分線定義解答即可.(3)根據(jù)BP平分∠ABC且CP平分∠ACB,則∠PBC+∠PCB=90°,故12∠ABC+12【詳解】(1)連接AP并延長(zhǎng)交BC點(diǎn)G,根據(jù)題意,得∠BPG=∠ABP+∠BAG,∠CPG=∠ACP+∠CAP,B∠BPC=∠BPG+∠CPG,?∠BPC=∠ABP+∠ACP+∠BAC.B∠MPN=90°,∠BAC=40°,②∠ABP+∠ACP=∠BPC-∠BAC=50°,∠ABC+∠ACB=180°=∠BAC=140°,故答案為:140,50.(2)解:連接AP并延長(zhǎng)交BC點(diǎn)G,根據(jù)題意,得∠BPG=∠ABP+∠BAG,∠CPG=∠ACP+∠CAP,D∠BPC=∠BPG+∠CPG,N0∠BPC=∠ABP+∠ACP+∠BAC.?∠ABP+∠ACP+2∠BAP=90°,∠ABP+∠ACP+∠BAC=90°,2∠BAP=∠BAC,2∠BAP=∠BAP+∠CAP,?∠BAP=∠CAP,故AP平分∠BAC.(3)解:不能滿(mǎn)足BP平分∠ABC且CP平分∠ACB.若BP平分∠ABC且CP平分∠ACB,則∠PBC+∠PCB=90°,故12∠ABC+故∠ABC+∠ACB=180°,不滿(mǎn)足三角形內(nèi)角和定理，故不能滿(mǎn)足BP平分∠ABC且CP平分∠ACB.8.【問(wèn)題呈現(xiàn)】小明在學(xué)習(xí)了三角形有關(guān)內(nèi)角與外角的相關(guān)知識(shí)后遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖①，∠1與∠2分別為VABC的兩個(gè)外角,則∠1+∠2=180°+∠A.【推理證明】?∠1與∠2分別為VABC的兩個(gè)外角，∠1=∠A+_,∠2=∠A+_.?∠1+∠2=.?∠3+∠4+∠A=180°.①∠1+∠2=180°+∠A.【初步應(yīng)用】(1)如圖②,在VABC紙片中剪去△AED,得到四邊形BCDE,若∠1=130°,則∠2=∠A的大小為度.(2)如圖③,在VABC中,BP、CP分別為外角∠DBC、∠ECB的平分線,則∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.【拓展提升】(3)如圖④,在四邊形ABCD中,BP、CP分別為外角∠EBC、∠FCB的平分線,若∠A+∠D=230°,求∠P的度數(shù).【答案】答案【推理證明】見(jiàn)解析；【初步應(yīng)用】(1)50；2∠P=90°【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，理解相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵.【推理證明】由三角形外角性質(zhì)得∠1，∠2，再求∠1與∠2的和，最后由三角形內(nèi)角和定理問(wèn)題即可得證：【初步應(yīng)用】(1)由∠1+∠2=180°+∠A進(jìn)行變形為∠2-∠A=180°-∠1即可求解;(2)由角平分線的定義得∠PBC，∠PCB，再由三角形內(nèi)角和定理得出∠P=180°-【拓展提升】(3)延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)M,先求∠M,再把∠M=50°代入∠P=90°-【詳解】證明：【推理證明】②∠l與∠2分別為VABC的兩個(gè)外角，0∠1=∠A+∠4,∠2=∠A+∠3,?∠1+∠2=∠A+∠3+∠4+∠A.?∠3+∠4+∠A=180°,(三角形內(nèi)角和定理)答案R∠1+∠2=180°+∠A.故答案為:∠4;∠3;∠A+∠3+∠4+∠A;解:(1)②∠1+∠2=180°+∠A,?∠2-∠A=180°-∠1=180°-130°=50°,故答案為：50：(2)BP、CP分別為外角∠DBC、∠ECB的平分線,∠PBC=12∠P=180°-②∠DBC+∠BCE=180°+∠A,∠P=180°(3)如圖所示,延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)M,?∠BAD+∠ADC=230°,∠BAD+∠ADC=180°+∠M,B∠M=∠BAD+∠ADC-180°=230°-180°=50°,∠P=90°9.【認(rèn)識(shí)模型】(1)如圖①,AB,CD相交于點(diǎn)O,連接AD,CB,可以得出∠A,∠B,∠C,∠D四個(gè)角之間的等量關(guān)系是；(直接寫(xiě)結(jié)果)【應(yīng)用模型】(2)如圖②,BE,CD相交于點(diǎn)A,CF為∠BCD的平分線,交BE于點(diǎn)H,EF為∠BED的平分線,交CD于點(diǎn)G.寫(xiě)出∠B，∠D，∠F間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖③,求∠FAB+∠ABE+∠GCD+∠CDF+∠BEG+∠DFA+∠EGC的度數(shù).【答案】(1)∠A+∠D=∠B+∠C;(2)∠D+∠B=2∠F,證明見(jiàn)解析;(3)540°【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟知三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠A+∠D+∠AOD=∠B+∠C+∠BOC,再由∠AOD=∠BOC即可得到結(jié)論;(2)由角平分線的定義可得∠ACH=∠BCH,∠DEG=∠AEG,同(1)可得∠D+∠DEG=∠F+∠ACH,∠B+∠BCH=∠F+∠AEG,把兩式相加即可得到結(jié)論;(3)令BE,CG的交點(diǎn)為O,連接BC,連接FO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H,同(1)可得∠BEG+∠EGC=∠EBC+∠GCB,再證明∠FAB+∠ABH+∠BHF+∠HFA+∠FHC+∠HCD+∠CDF+∠DFH=720°即可得到答案.【詳解】解:(1)因∠A+∠D+∠AOD=∠B+∠C+∠BOC=180°,∠AOD=∠BOC,B∠A+∠D=∠B+∠C;(2)∠D+∠B=2∠F,證明如下:CCF平分∠BCD,EF平分∠BED,B∠ACH=∠BCH,∠DEG=∠AEG,同(1)可得∠D+∠DEG=∠F+∠ACH,∠B+∠BCH=∠F+∠AEG,B∠D+∠DEG+∠B+∠BCH=∠F+∠ACH+∠F+∠AEGC∠D+∠B=2∠F;(3)如圖,令BE,CG的交點(diǎn)為O,連接BC,連接FO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H,同(1)可得∠BEG+∠EGC=∠EBC+∠GCB,②∠FAB+∠ABH+∠BHF+∠HFA=360°(可把四邊形ABHF的內(nèi)角和看成兩個(gè)三角形的內(nèi)角和),∠FHC+∠HCD+∠CDF+∠DFH=360°,②∠FAB+∠ABH+∠BHF+∠HFA+∠FHC+∠HCD+∠CDF+∠DFH=720°,H∠BHF+∠FHC=180°,②∠FAB+∠ABE+∠GCD+∠CDF+∠BEG+∠DFA+∠EGC=540°.10.如圖所示的圖形，像我們常見(jiàn)的符號(hào)--箭號(hào)，我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”.(1)探究：觀察“箭頭四角形”，試探究圖1中∠BDC與∠A，∠B，∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)應(yīng)用：請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在VABC上，使三角尺的兩條直角邊XY，XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，若∠A=60°,則∠ABX+∠ACX=°;②如圖3,∠ABE,∠ACE的三等分線BF,CF相交于點(diǎn)F,若∠BAC=58°,∠BEC=130°,求∠BFC的度數(shù).【答案】答案(1)∠BDC=∠A+∠B+∠C,理由見(jiàn)解析;(2)①30;②∠BFC=94°.【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解：(2)①根據(jù)(1)中結(jié)論即可求解：②設(shè)∠ABF=∠EBF=x,∠ACF=∠ECF=y,根據(jù)(1)中結(jié)論即可求解.【詳解】(1)解:∠BDC=∠A+∠B+∠C,理由:連接BC,在VABC中,M∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠BCD=180°,B∠A+∠ABD+∠ACD=180°-∠DBC-∠BCD,在△DBC中,B∠BDC+∠DBC+∠BCD=180°,?∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD,B∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD,即∠BDC=∠A+∠B+∠C;(2)解:①由(1)得∠A+∠ABX+∠ACX=∠BXC,D∠A=60°,∠BXC=90°,答案B∠ABX+∠ACX=30°,故答案為：30；②如圖,設(shè)∠ABF=∠EBF=x,∠ACF=∠ECF=y,由(1)可知,∠BEC=2x+2y+58°=130°,?x+y=36°,D∠BFC=x+y+58°,?∠BFC=94°.11.(1)已知：如圖(1)的圖形我們把它稱(chēng)為字形",試說(shuō)明:∠A+∠B=∠C+∠D.“8(2)如圖(2),AP,CP分別平分∠BAD,∠BCD,若∠ABC=36°,∠ADC=16°.求∠P的度數(shù).(3)如圖(3),直線AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系是:(4)如圖(4),直線AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系是.【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)26°;3∠P=904∠P=180【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°和對(duì)頂角的性質(zhì)即可得證：(2)設(shè)解方程即可得到答案：(3)根據(jù)直線AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,得到∠PAB=∠PAD=12∠BAD,∠PCB=∠PCE=1∠P-∠B=∠PAD+∠PCB=∠PAB+∠PCB即可求解:(4)連接PB,PD,求得∠APC+∠ABC+∠PCB+∠PAB=360°,∠APC+∠ADC+∠PCD+∠PAD=360°,再根據(jù)∠PCE+∠PCD=180°,∠PAB+∠PAF=180°,∠FAP=∠PAO,∠PCE=∠PCB,即可求解.【詳解】解:(1)如圖.∵∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+∠COD=180°,∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD.∵∠AOB=∠COD,∴∠A+∠B=∠C+∠D;(2)如圖.∵AP,CP分別平分∠BAD,∠BCD,設(shè)∠BAP=∠PAD=x,∠BCP=∠PCD=y,。。則有∴∠ABC-∠P=∠P-∠ADC,∴∠P=12(3)如圖.∵直線AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,∴∠PAB=∠PAD=122∠PAB+∠B=180°-2∠PCB+∠D,B180°-2(∠PAB+∠PCB)+∠D=∠B②∠P+∠PAD=∠PCD+∠D,∠BAD+∠B=∠BCD+∠DB∠P+∠PAD-∠BAD-∠B=∠PCD-∠BCD∴∠P=∠PAB-∠B=∠PCB,①∠P=∠B=∠PAB+∠PCB2180°-2(∠P-∠B)+∠D=∠B,即∠P=90°(4)連接PB,PD答案∵直線AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,∴∠FAP=∠PAO,∠PCE=∠PCB,?∠APB+∠PBA+∠PAB=180°,∠PCB+∠PBC+∠BPC=180°B∠APC+∠ABC+∠PCB+∠PAB=360°同理得到:∠APC+∠ADC+∠PCD+∠PAD=360°②2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCB+∠PAB+∠PCD+∠PAD=720°②2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCE+∠PAB+∠PCD+∠PAF=720°B∠PCE+∠PCD=180°,∠PAB+∠PAF=180°2∠APC+∠ABC+∠ADC=360°,∴∠APC=180°【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.12.如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請(qǐng)發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問(wèn)題：(1)觀察“規(guī)形圖”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由:(2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在VABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若∠A=50°，直接寫(xiě)出∠ABX+∠ACX的結(jié)果:②如圖3,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°,∠DBE=130°,求∠DCE的度數(shù);③如圖4,∠ABD,∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2,?,G9,若【答案】答案(1)∠BDC=∠A+∠B+∠C,見(jiàn)解析(2)①40°;②90°;③70°【分析】(1)首先連接AD并延長(zhǎng)，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出∠BDC=∠A+∠B+∠C；(2)①由(1)可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC,然后根據(jù)∠A=40°,∠BXC=90°,即可求出∠ABX+∠ACX的值;②由(1)可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB,再根據(jù)∠DAE=50°,∠DBE=130°,求出∠ADB+∠AEB的值；然后根據(jù)∠DCE=12∠ADB+∠AEB+∠DAE,即可求出∠DCE的度數(shù)；③設(shè)∠ABG1=x°,【詳解】(1)解:∠BDC=∠A+∠B+∠C,理由如下:如圖，連接AD并延長(zhǎng)。根據(jù)外角的性質(zhì),可得∠BDF=∠BAD+∠B,∠CDF=∠C+∠CAD,又H∠BDC=∠BDF+∠CDF,∠BAC=∠BAD+∠CAD,?∠BDC=∠A+∠B+∠C,故答案為:∠BDC=∠A+∠B+∠C;(2)①由(1)可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC,B∠A=50°,∠BXC=90°,B∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°;②由(1)可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB,?∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-50°=80°,12∠ADB+∠AEB∠DCE=12③設(shè)∠ABG1則∠ABD=10x°,∠ACD=10y°,則∠A+x°解得x+y=7°,所以∠A=77°=7°=70°,即∠A的度數(shù)為70°.【點(diǎn)睛】此題還考查了三角形的外角的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.13.“8”字模型是初中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)模型之一，掌握了這種模型，給同學(xué)們解答幾何題帶來(lái)很大的便捷。(1)初識(shí)模型：如圖1，是我們常見(jiàn)的“8”字模型圖，它的結(jié)論是∠A+∠B=∠D+∠E，請(qǐng)你給予證明.(2)模型求解：如圖2，線段EF在四邊形ABCD內(nèi)部，連接BE、CF，相交于點(diǎn)O，請(qǐng)借助“