本科數(shù)學(xué)考試卷子及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.42.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.-1D.不存在3.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的駐點(diǎn)為（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=1\)和\(x=-1\)D.\(x=0\)4.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(\lnx\)，則\(f(x)\)=（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(x\)C.\(\frac{1}{x^2}\)D.\(-\frac{1}{x}\)5.\(\intx^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^2+C\)D.\(\frac{1}{4}x^4+C\)6.設(shè)向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(3,4)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)=（）A.5B.11C.10D.147.直線\(\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{4}\)的方向向量為（）A.\((2,3,4)\)B.\((1,-2,3)\)C.\((-2,-3,-4)\)D.\((2,-3,4)\)8.二元函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((0,0)\)處（）A.有極大值B.有極小值C.無極值D.不是駐點(diǎn)9.微分方程\(y'+y=0\)的通解是（）A.\(y=Ce^x\)B.\(y=Ce^{-x}\)C.\(y=Cx\)D.\(y=C\)10.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(\vertA\vert\)=（）A.-2B.2C.10D.-10答案：1.B2.B3.C4.A5.A6.D7.A8.B9.B10.A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\sqrt{x}\)D.\(y=e^x\)2.以下哪些是求導(dǎo)的基本公式（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)3.下列積分中，值為0的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)B.\(\int_{-1}^{1}\sinxdx\)C.\(\int_{-1}^{1}x^2dx\)D.\(\int_{-1}^{1}e^xdx\)4.關(guān)于向量的運(yùn)算，正確的有（）A.\(\vec{a}+\vec=\vec+\vec{a}\)B.\((\vec{a}+\vec)+\vec{c}=\vec{a}+(\vec+\vec{c})\)C.\(\lambda(\vec{a}+\vec)=\lambda\vec{a}+\lambda\vec\)D.\(\vec{a}\cdot\vec=\vec\cdot\vec{a}\)5.直線的方程形式有（）A.點(diǎn)向式B.一般式C.兩點(diǎn)式D.斜截式6.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處可微的充分條件是（）A.\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處連續(xù)B.\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處偏導(dǎo)數(shù)存在C.\(z=f(x,y)\)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處連續(xù)D.\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處的全增量\(\Deltaz\)滿足\(\Deltaz=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)\)（\(\rho=\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}\)）7.下列哪些是常見的微分方程類型（）A.可分離變量的微分方程B.一階線性微分方程C.二階常系數(shù)齊次線性微分方程D.高階非線性微分方程8.對于矩陣\(A\)和\(B\)，以下運(yùn)算正確的是（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)D.\(A(B+C)=AB+AC\)9.下列哪些是平面的方程形式（）A.點(diǎn)法式B.一般式C.截距式D.斜截式10.數(shù)列極限存在的判定準(zhǔn)則有（）A.夾逼準(zhǔn)則B.單調(diào)有界準(zhǔn)則C.柯西準(zhǔn)則D.羅爾定理答案：1.BD2.ABCD3.AB4.ABCD5.ABC6.CD7.ABC8.BCD9.ABC10.ABC三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處極限存在。（）2.若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）3.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的記號無關(guān)。（）4.向量\(\vec{a}=(1,0)\)與向量\(\vec=(0,1)\)垂直。（）5.直線\(Ax+By+Cz+D=0\)（\(A,B,C\)不全為0）表示空間中的一條直線。（）6.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}\)與\(\frac{\partial^2z}{\partialy\partialx}\)一定相等。（）7.微分方程\(y''+y=0\)的通解是\(y=C_1\cosx+C_2\sinx\)。（）8.若矩陣\(A\)可逆，則\(\vertA\vert\neq0\)。（）9.平面\(x+y+z=1\)在\(x\)軸、\(y\)軸、\(z\)軸上的截距都為1。（）10.無窮小量就是很小的數(shù)。（）答案：1.×2.√3.√4.√5.×6.×7.√8.√9.√10.×四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的單調(diào)區(qū)間。答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令\(y^\prime<0\)，解得\(0<x<2\)，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.計(jì)算定積分\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)。答案：根據(jù)定積分運(yùn)算\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}×1^3+1)-(\frac{1}{3}×0^3+0)=\frac{4}{3}\)。3.求向量\(\vec{a}=(2,-3,1)\)與向量\(\vec=(1,1,-1)\)的夾角余弦值。答案：\(\vec{a}\cdot\vec=2×1+(-3)×1+1×(-1)=-2\)，\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}=\sqrt{14}\)，\(\vert\vec\vert=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{3}\)，夾角余弦值\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert}=\frac{-2}{\sqrt{42}}\)。4.寫出二階常系數(shù)非齊次線性微分方程\(y''+py'+qy=f(x)\)的求解步驟。答案：先求對應(yīng)的齊次方程\(y''+py'+qy=0\)的通解\(Y\)，根據(jù)特征方程求特征根確定\(Y\)形式。再求非齊次方程的一個(gè)特解\(y^\)，根據(jù)\(f(x)\)形式設(shè)\(y^\)形式代入方程求解。最后非齊次方程通解為\(y=Y+y^\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)極限與數(shù)列極限的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：函數(shù)極限可通過歸結(jié)原則與數(shù)列極限建立聯(lián)系，數(shù)列極限是函數(shù)極限在離散點(diǎn)上的情況。區(qū)別：函數(shù)極限自變量是連續(xù)變化，數(shù)列極限自變量是離散的正整數(shù)；函數(shù)極限研究函數(shù)在某點(diǎn)或無窮處趨勢，數(shù)列極限只研究\(n\to+\infty\)情況。2.討論多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)、可微之間的關(guān)系。答案：可微能推出偏導(dǎo)數(shù)存在且函數(shù)連續(xù)；偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù)，也不一定可微；連續(xù)不能推出偏導(dǎo)數(shù)存在，也不能推出可微。偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分條件。3.討論矩陣可逆