28.1銳角三角函數(shù)(1)

人教版

九年級(jí)

下冊(cè)教材分析通過(guò)對(duì)30°和45°與其所對(duì)的直角邊與斜邊的比值之間關(guān)系的探討，可以獲得“直角三角形中，當(dāng)銳角一定時(shí)，這個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比是固定值”這一重要結(jié)論，發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力.在探索正弦函數(shù)概念的過(guò)程中，可進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的形象思維，增強(qiáng)由特殊到一般邏輯推理能力．教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.理解銳角正弦的定義，掌握當(dāng)直角三角形的銳角固定時(shí)，它的

對(duì)邊與斜邊的比值都固定(即正弦值不變).2.能利用正弦概念解決相關(guān)問(wèn)題..教學(xué)重點(diǎn):銳角三角函數(shù)的概念．教學(xué)難點(diǎn):銳角三角函數(shù)概念的理解．新知導(dǎo)入

情境引入ABCα

比薩斜塔位于意大利中部比薩古城內(nèi)的教堂廣場(chǎng)上，該塔于1350年成時(shí)就已傾斜，其塔頂中心點(diǎn)偏離垂線(xiàn)中心線(xiàn)2.1米，1972年比薩地區(qū)發(fā)生地震，這座高AB=54.5米的斜塔大幅度搖擺后仍巍然屹立，但塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線(xiàn)增至5.2米.仔細(xì)看下圖，你能用塔身中心線(xiàn)與垂直中心線(xiàn)所成的角度來(lái)描述比薩斜塔的傾斜程度嗎？從數(shù)學(xué)角度看，上述問(wèn)題就是：已知直角三角形的某些邊長(zhǎng)，求其銳角的度數(shù)。對(duì)于直角三角形，我們已經(jīng)知道三邊之間、兩個(gè)銳角之間的關(guān)系，它的邊角之間有什么關(guān)系呢？下面我們一起來(lái)探究一下！新知講解

合作學(xué)習(xí)問(wèn)題：為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上建一座揚(yáng)水站，對(duì)坡面綠地進(jìn)行噴灌.先測(cè)得斜坡的坡角(∠A)為30°，為使出水口的高度為35m，需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？30°探究一：正弦函數(shù)的定義思考1：從上述情境中，你可以找到一個(gè)什么數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？能否結(jié)合數(shù)學(xué)圖形把它描述出來(lái)？這個(gè)問(wèn)題可以歸結(jié)為：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB.ABC30°35m如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB.根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半”,即可得AB=2BC=2×35=70(m).也就是說(shuō)，需要準(zhǔn)備70m長(zhǎng)的水管.思考2：如果出水口的高度為50m，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？60米呢？100米120米歸納總結(jié)：

在上面求AB

(所需水管的長(zhǎng)度）的過(guò)程中，我們用到了結(jié)論：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么無(wú)論這個(gè)直角三角形大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于思考3:如圖，任意畫(huà)一個(gè)Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，計(jì)算∠A的對(duì)邊與斜邊的比

由此你能得出什么結(jié)論？解：因?yàn)椤螦=45°，∠C=90°，

所以AC=BC，由勾股定理得:AB2=AC2+BC2=2BC2，所以

因此ABC

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于45°，那么無(wú)論這個(gè)直角三角形大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于.歸納總結(jié)：當(dāng)∠A是任意一個(gè)確定的銳角時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值呢？思考4：任意畫(huà)Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A’，那么與有什么關(guān)系？你能解釋一下嗎？ABCA'B'C'因?yàn)?/p>

所以Rt△ABC∽R(shí)t△

因此即

這就是說(shuō)，在Rt△ABC中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，無(wú)論這個(gè)直角三角形大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值.注意：1．sinA不是sin與A的乘積，而是一個(gè)整體．2．正弦的三種表示方式：sinA，sin56°，sin∠DEF.3．sinA是線(xiàn)段之間的一個(gè)比值，sinA沒(méi)有單位．正弦的表示sin∠DEF、sin∠1（不能省去角的符號(hào)）sinA

、sin39°、sinβ

（省去角的符號(hào)）12提煉概念

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即

例如，當(dāng)∠A=30°時(shí)，我們有sinA=sin30°=當(dāng)∠A=45°時(shí)，我們有sinA=sin45°=∠A的正弦sinA隨著∠A的變化而變化.ABCcab對(duì)邊斜邊典例精講

例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．ABC34(1)ABC135(2)解：如圖（1），在Rt△ABC中，由勾股定理得如圖（2），在Rt△ABC

中，由勾股定理得因此sinA=

sinB=ABC135(2)歸納概念

計(jì)算一個(gè)銳角的正弦值要注意哪些問(wèn)題？要注意兩個(gè)方面的問(wèn)題：一是確定這個(gè)銳角所在的直角三角形；二是要注意正弦等于這個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比．課堂練習(xí)必做題1.在△ABC中，∠C=90°，下列等式成立的是（）A.sinA=B.sinA=C.sinA=D.sinA=B解析:如圖,

而B(niǎo)C=2,A2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,sinA=則邊AC的長(zhǎng)是()A.B.3C.D.選做題3.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB.(1)sinB可以由哪兩條線(xiàn)段之比表示?解：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠B=90°－∠A，∴(2)若AC=5，CD=3，求sinB的值.解：

由(1)知，ACBD綜合拓展題4.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面積.ABC作業(yè)布置必做題31.如圖，∠α的頂點(diǎn)為O，它的一邊在x軸的正半軸上，另一邊OA上有一點(diǎn)P（b,4），若sinα=

______，則b=_______.選做題2.如圖，在△ABC中，AB=BC=5，sinA=，求△ABC的面積.解：作BD⊥AC于點(diǎn)D，∵sinA=，∴又∵AB=AC，BD⊥AC，∴AC=2AD=6，∴S△ABC=AC×BD÷2=12.D55CBA綜合拓展題3.如圖，在△ABC中，AB=5，BC=13，AD是BC邊上的高，AD=4，求CD的長(zhǎng)和sinC的值.解：∵AD是BC邊上的高，∴AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.∵AB=5，AD=4，∠ADB=90°，∵BC=13，∴CD=BC-BD=10.∵AD=4，∠ADC=90°，∴BD=