第23課時正方形1.下列說法錯誤的是(

)A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形B.四個角都相等的四邊形是矩形C.四條邊都相等的四邊形是菱形D.對角線互相垂直的菱形是正方形

DB3.如圖,在正方形ABCD中,點E,F分別在邊CD,BC上,且DE=CF,連接AE,DF,DG平分∠ADF交AB于點G.若∠AED=70°,則∠AGD的度數(shù)為(

)A.50° B.55° C.60° D.65°B4.如圖,在正方形ABCD中,邊長為2的等邊△AEF的頂點E,F分別在BC,CD上,則△EFC的面積為

.15.如圖,四邊形ABCD為正方形,△ADE為等邊三角形,EF⊥AB于點F.若AD=4,則EF=

.26.(2025·長沙)如圖,在正方形ABCD中,點E,F分別在AB,CD上,且BE=DF.(1)求證:四邊形AECF是平行四邊形;(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AB∥CD且AB=CD.又∵BE=DF,∴AB-BE=CD-DF.∴AE=CF.又∵AE∥CF,∴四邊形AECF是平行四邊形.(2)連接EF,若BC=12,BE=5,求EF的長.

7.如圖,點E是正方形ABCD的邊BC上的一點,∠DAE的平分線AF交BC的延長線于點F,交CD于點G.(1)若AB=4,BF=8,求CE的長;(1)解:∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=BC=AB=4,∠B=90°,AD∥BC,∴∠DAG=∠F.∵AF平分∠DAE,∴∠DAG=∠EAF,∴∠EAF=∠F,∴AE=EF.設(shè)CE=x,則BE=4-x,AE=EF=4+x,在Rt△ABE中,AE2=AB2+BE2,即(4+x)2=42+(4-x)2,解得x=1,∴CE=1.(2)求證:AE=BE+DG.(2)證明:如圖,延長CB到點M,使BM=DG,連接AM.∵四邊形ABCD是正方形,∴∠D=∠ABM=90°,AD=AB,∴△ABM≌△ADG(SAS),∴∠MAB=∠GAD,∠AGD=∠AMB.設(shè)∠GAD=∠MAB=α,則∠AGD=∠AMB=90°-α.∵AF平分∠DAE,∴∠EAF=α,∴∠BAE=90°-2α,∴∠MAE=∠MAB+∠BAE=90°-α,∴∠M=∠MAE,∴AE=ME=MB+BE=DG+BE.8.(2025·東營)如圖,在△ABC中,CB=CA,∠ACB=90°,點D在邊BC上(與點B,C不重合),四邊形ADEF為正方形,過點F作FG⊥CA,交CA的延長線于點G,連接FB,交DE于點Q.下列結(jié)論:①AC=FG;②S△FAB∶S四邊形CBFG=1∶2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQ·AC.其中正確結(jié)論的序號是(

)A.①②④ B.①②③C.①②③④ D.②③④C9.如圖,在正方形ABCD中,點E在邊CD上,CF⊥BE,垂足為F.若AB=1,CE=2EF,則△ABF的面積為

.

10.(2025·揚州)問題:如圖1,點P為正方形ABCD內(nèi)一個動點,過點P作EF∥AD,GH∥AB,矩形PHCF的面積是矩形PGAE面積的2倍,探索∠FAH的度數(shù)隨點P運動的變化情況.【從特例開始】(1)小玲利用正方形網(wǎng)格畫出了一個符合條件的特殊圖形(如圖2),請你僅用無刻度的直尺連接一條線段,由此可得此圖形中∠FAH=

°;解:(1)圖略.45(2)小亮也畫出了一個符合條件的特殊圖形(如圖3),其中PE=PF=6,PG=4,PH=8,求此圖形中∠FAH的度數(shù);

【一般化探索】(3)利用圖1,探索上述問題中∠FAH的度數(shù)隨點P運動的變化情況,并說明理由.(3)隨著點P的運動,∠FAH的度數(shù)不變,且為45°,理由如下:如答案圖2,延長CB至點T,使得BT=DF,連接AT,FH,同(2)可得△ABT≌△ADF(SAS),∴AT=AF,∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°-∠4=∠TAH.易知四邊形AEPG,PEBH,PGDF,PHCF為矩形.設(shè)正方形的邊長為x,AG=a,PG=b,∴AG=PE=BH=a,PG=DF=BT=b,∴CH=BC-BH=x-a,CF=CD-DF=x-b,HT=BH+BT=a+b.∵S矩形PHCF=2S矩形PGAE,∴(x-a)(x-b)=2ab,整理,得x2=ab+ax+bx.在Rt△CHF中,HF2=CH2+CF2,即HF2=(x-a)2+(x-b)2=2x2-2ax+a2-2bx+b2=2ab+2ax+2bx-2ax+a2-2