3.1.3函數(shù)的奇偶性

授課人：劉琪人教版B版數(shù)學必修一【目標展示】1.了解函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義2.能判斷具體函數(shù)的奇偶性師生互動【師生互動】觀察圖片【師生互動】圖1廈門海滄隧道圖2中國移動【師生互動】活動：請同學們畫出y=x、y=x2、y=x3和y=x4的圖象；問題1：觀察上述函數(shù)的圖象，那些函數(shù)關于y軸對稱？那些函數(shù)關于原點對稱？

函數(shù)y=x2、y=x4、y=x6關于y軸對稱；函數(shù)y=x、y=x3、y=x5關于原點對稱【師生互動】問題2：結(jié)合問題1，思考如何符號語言表示“函數(shù)圖象關于y軸或原點對稱”這一特征?(以y=x2為例)證明函數(shù)y=x2的圖象關于y軸對稱：y=x2的定義域為一切實數(shù)。若點(xo,yo)在函數(shù)y=x2的圖象上，則有yo=xo2，而點(xo,yo)關于，軸的對稱點易知是(-xo,yo)，如圖所示，由yo=xo2，且（-xo）2=xo2，易知同時有yo=(-xo)2，從而點(-xo,yo)也落在函數(shù)y=x2的圖像上，這說明函數(shù)y=x2的圖像關于y軸成軸對稱函數(shù)圖象上任意一點關于y軸（原點）的對稱點也在該圖象上【師生互動】問題2：結(jié)合問題1，思考如何符號語言表示“函數(shù)圖象關于y軸對稱”這一特征?以y=x2為例，關于y軸對稱的兩點的橫、縱坐標的關系分別是：

橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等；

→自變量取一對相反數(shù)時，相應的函數(shù)值相等；

→符號語言描述：對任意的x∈R，(-x)2=(x)2思考：問題2中的結(jié)論能否進一步推廣？求證：如果函數(shù)y=f(x)，x∈D的圖象關于y軸對稱，條件那么對任意的x∈D，均有-x∈D，且f(-x)=f(x)結(jié)論探究1：“函數(shù)y=f(x)，x∈D的圖象關于y軸對稱”的等價表達形式【師生互動】證明：在函數(shù)y=f(x)，x∈D的圖象上任取一點P(x，y)，則x∈D，且y=f(x).∵函數(shù)y=f(x)的圖象關于y軸對稱，所以P(x，y)關于y軸的對稱點P’(x，y)在圖像上，即-x∈D，且y=f(-x).因此對任意給定的x∈D都有-x∈D，且f(x)=f(-x)猜想：①等價表達形式為“對任意的x∈D，均有-x∈D且f(-x)=f(x)”探究1：“函數(shù)y=f(x)，x∈D的圖象關于y軸對稱”的等價表達形式②從關系式推出圖象對稱求證:如果對任意的x∈D，均有-x∈D，且f(-x)=f(x)

那么函數(shù)y=f(x)，x∈D的圖象關于y軸對稱學生活動1：請結(jié)合①的推理路徑圖，思考如何證明②【師生互動】證明：在函數(shù)y=f(x)，x∈D的圖象上任取一點P(x，y)，記P(x，y)關于y軸的對稱點為P’(-x，y)因為-x∈D，且f(-x)=f(x)=y，所以點P’(-x，y)也在此函數(shù)的圖象上因此函數(shù)y=f(x)，x∈D的圖象關于y軸對稱探究1：“函數(shù)y=f(x)，x∈D的圖象關于y軸對稱”的等價表達形式1.偶函數(shù)【師生互動】定義

一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為D,如果對D內(nèi)的任意一個x,

都有-x∈D,且f(-x)=f(x)，就稱函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)圖象特征

偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱問題3：結(jié)合問題2，思考如何符號語言表示“函數(shù)圖象關于原點對稱”這一特征?以y=x3為例，關于原點對稱的兩點的橫、縱坐標的關系分別是：

橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標互為相反數(shù)；思考：問題3中的結(jié)論能否進一步推廣？

→自變量取一對相反數(shù)時，相應的函數(shù)值也為相反數(shù)；

→符號語言描述：對任意的x∈R，(-x)3=-x3【師生互動】探究2：“函數(shù)y=f(x)，x∈D的圖象關于原點對稱”的等價表達形式猜想：等價表達形式為：“對任意的x∈D，均有-x∈D且f(-x)=-f(x)”學生互動2：請先自主完成探究2的證明過程，然后以小組為單位討論，互相檢查書寫過程是否完成、嚴謹，最后推選一名小組代表在班級層面匯報展示小組的探究結(jié)果。2.奇函數(shù)【師生互動】定義

一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為D,如果對D內(nèi)的任意一個x,

都有-x∈D,且f(-x)=-f(x)，就稱函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)圖象特征

偶函數(shù)的圖象關于原點對稱函數(shù)的圖象關于y軸（原點）對稱是函數(shù)為偶（奇）函數(shù)的_____條件。充要例1(1)證明函數(shù)y=x2+1是一個偶函數(shù)(2)證明函數(shù)y=x+x3+x5是一個奇函數(shù)【師生互動】偶函數(shù)、奇函數(shù)的證明步驟：①求出函數(shù)的定義域D②說明對任意的x∈D，-x∈D③判斷f(x)與f(-x)的關系

④得出結(jié)論(2)因為函數(shù)的定義域為R,所以x∈R時，-x∈R.所以函數(shù)f(x)=x+x3+x5是奇函數(shù).令y=f(x)，又因為f(-x)=(-x)+(-x)3+(-x)5=-(x+x3+x5)=-f(x)，例1(1)證明函數(shù)f(x)=x2+1是一個偶函數(shù)變式1：請判斷函數(shù)f(x)=x2+1是否為一個奇函數(shù)？并說明理由變式2：請?zhí)砑右粋€條件使得函數(shù)f(x)=x2+1不是一個偶函數(shù)【師生互動】函數(shù)的定義域關于原點對稱是函數(shù)為偶（奇）函數(shù)的_________條件必要非充分變式1：不是奇函數(shù)。因為函數(shù)的定義域為R,所以x∈R時，-x∈R.所以函數(shù)f(x)=x2+1不是奇函數(shù)，是偶函數(shù).又因為f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x)，變式2：f(x)=x2+1,x∈[-1，3]體系整合【體系整合】1、偶函數(shù)和奇函數(shù)的定義2、偶函數(shù)和奇函數(shù)的圖象特征3、證明函數(shù)的奇偶性的步驟高質(zhì)訓練【高質(zhì)訓練】1.下列圖象表示的函數(shù)中具有奇偶性的是(

)答案:B【高質(zhì)訓練】答案:A