試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁吉林省第二實驗學校2025-2026學年九年級上學期期中考試數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．在標準大氣壓下，四種物質的凝固點如表所示．共中凝固點最低的物質是（

）物質鐵酒精液態(tài)氧水凝固點（單位：℃）15350A．鐵 B．酒精 C．液態(tài)氧 D．水2．2025年5月29日，行星探測工程天問二號探測器在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，開啟對近地小行星2016HO3的探測與采樣返回之旅．已知該小行星與地球的最近距離約為月球遠地點距離的45倍，月球遠地點距離約為，則該小行星與地球的最近距離約為（

）A． B． C． D．3．某同學學習了正方體的表面展開圖后，在如圖所示的正方體的表面展開圖上寫下了“傳承紅色文化”六個字，還原成正方體后，“紅”的對面是（

）

A．傳 B．承 C．文 D．化4．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．5．如圖是集熱板示意圖，集熱板與太陽光線垂直時，光能利用率最高，春分日長春市正午太陽光線與水平面的夾角為，若光能利用率最高，則集熱板與水平面夾角度數是（

）A． B． C． D．6．如圖，為的弦，連接，，，若，則的度數為（

）A． B． C． D．7．如圖，在中，，，以點為圓心，適當長為半徑作?。挥邳c，交于點，再分別以點，為圓心，大于的長度為半徑作弧．兩弧相交于點．作射線交于點，若，則的長為（

）A． B． C． D．8．如圖，在平面直角坐標系中，點A、點B都在雙曲線上，且點A在點B的右側，點A的橫坐標為，，則k的值為（

）A． B． C． D．二、填空題9．若在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是．10．分解因式：．11．如圖，為了測量樹的高度，在水平地面上取一點，在處測得，，則樹的高約為（結果精確到．參考數據：，）．12．若，則0．（填“”、“”或“”）．13．如圖，已知拋物線和線段，點和點的坐標分別為，，將線段向下平移個單位長度后與拋物線有兩個交點，則的取值范圍是．14．如圖，已知四邊形是矩形，點在的延長線上，與相交于點，與相交于點，且，則下列結論正確的有．（把正確的結論序號填在橫線上）①；②；③如果，則；④．三、解答題15．先化簡，再求值：，其中．16．如圖，是的弦，與相切于點．圓心在線段上．已知，求的大?。?7．列方程或方程組解應用題現有8個大小相同的長方形，可拼成如圖1、2所示的圖形，在拼圖2時，中間留下了一個邊長為2的小正方形，求每個小長方形的面積．18．如圖，平行四邊形的對角線相交于點，點在對角線上，且，連接，．

(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若的面積等于2，求的面積．19．圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，A，B，C均在格點上，僅用無刻度的直尺按要求完成作圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中確定格點，連結，使得；(2)在圖②中的線段上找一點，連結，使得；(3)在圖③中作點關于直線的對稱點．20．通化葡萄酒品質優(yōu)良，深受消費者青睞，為了解某基地的葡萄種植情況，九（1）班同學對該基地的試驗田中甲、乙兩種葡萄樹的產量進行調查．【調查與收集】甲、乙兩種葡萄樹各種植了株，計劃從中各抽取株作為各自的樣本．以下抽樣調查方式合理的是__________．A．依次抽取株

B．隨機抽取株C．在長勢較好的葡萄樹中隨機抽取株

D．在方便采摘的葡萄樹中隨機抽取株【整理與描述】同學們采用合理的抽樣調查方式獲得甲、乙兩個樣本中每株的產量（單位：），將所得數據整理描述如下：甲樣本的頻數分布表頻數根據以上信息，解答問題：（1）甲樣本中組的頻率是_________；（2）補全乙樣本的頻數分布直方圖。【分析與應用】（3）填表：樣本平均數（kg）中位數出現的組別方差甲乙（計算平均數時，把各組中每株的產量用這組數據的中間值代替，如的中間值為）（4）估計試驗田中甲種葡萄樹每株產量不低于的株數．21．甲、乙兩地間的直線公路長為千米．一輛轎車和一輛貨車分別沿該公路從甲、乙兩地以各自的速度勻速相向而行，貨車比轎車早出發(fā)小時，途中轎車出現了故障，停下維修，貨車仍繼續(xù)行駛．小時后轎車故障被排除，此時接到通知，轎車立刻掉頭按原路原速返回甲地（接到通知及掉頭時間不計）．最后兩車同時到達甲地，已知兩車距各自出發(fā)地的距離（千米）與轎車所用的時間（小時）的關系如圖所示，請結合圖象解答下列問題：（1）貨車的速度是_______千米/小時；轎車的速度是_______千米/小時；值為_______．（2）求轎車距其出發(fā)地的距離（千米）與所用時間（小時）之間的函數關系式并寫出自變量的取值范圍；（3）請直接寫出貨車出發(fā)多長時間兩車相距千米．

22．幾何探究是培養(yǎng)幾何直觀、推理能力和創(chuàng)新意識的重要途徑．解決幾何探究問題，往往需要運用從特殊到一般、類比等數學思想方法．【初步探究】如圖1，將繞點逆時針旋轉得到，連接，，則的度數為__________；【類比探究】如圖2，在正方形中，點在邊上，點在邊上，且滿足，．求正方形的邊長；【拓展延伸】如圖3，在四邊形中，為對角線，且滿足，若，直接寫出的長．23．如圖①，在中，，動點從點出發(fā)，沿的線路以每秒1個單位長度勻速向終點運動，當點不與的頂點重合時，連結，將繞點順時針旋轉得到，連結．設點的運動時間是(s)，解答下列問題：(1)__________，__________．(2)當的面積是的面積的8倍時，求t的值．(3)當點在邊上時，如圖②，作于點．求證：．(4)當點到的距離等于點到的距離時，直接寫出的值．24．在平面直角坐標系中，點是坐標原點，拋物線過點，點A、B是此拋物線上不重合的兩個動點，其橫坐標分別為、．點的橫坐標為，且點的縱坐標與點的縱坐標相等．以、為鄰邊構造．(1)求該拋物線對應的函數表達式．(2)作直線，求證：直線與橫軸（軸）所夾銳角的大小不變．(3)當此拋物線在內部的點的縱坐標隨的增大而增大或隨的增大而減小時，求的取值范圍．(4)當時，設的邊與直線的兩個交點分別為E、F．當的邊與此拋物線有交點時（的頂點除外），設交點為．連結、，當的面積是面積的時，直接寫出此時的值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《吉林省第二實驗學校2025-2026學年九年級上學期期中考試數學試題》參考答案題號12345678答案CCDDACBD1．C【分析】該題考查了有理數大小比較的應用，通過比較各物質的凝固點溫度，找出最小值即可．【詳解】解：∵，∴凝固點最低的物質是液態(tài)氧，故選：C．2．C【分析】此題考查了科學記數法表示較大的數．根據題意，小行星與地球的最近距離為月球遠地點距離的45倍，月球遠地點距離已知為，直接計算兩者的乘積并用科學記數法表示即可．【詳解】解：月球遠地點距離為，小行星的距離是該值的45倍，即：．故選：C3．D【分析】正方體的平面展開圖中，相對面的特點是之間一定相隔一個正方形，據此作答．【詳解】解：∵正方體的平面展開圖中，相對面的特點是之間一定相隔一個正方形，∴在此正方體上與“紅”字相對的面上的漢字是“化”．故選：D．【點睛】本題考查了正方體的展開圖形，解題關鍵是從相對面入手進行分析及解答問題．4．D【分析】本題考查同底數冪除法，合并同類項，冪的乘方與積的乘方，利用同底數冪除法，合并同類項，冪的乘方與積的乘方法則逐項判斷即可．熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：A、，故此選項不符合題意，B、，故此選項不符合題意，C、，故此選項不符合題意，D、，故此選項符合題意，故選：D．5．A【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，垂直的定義，根據題意可得，據此可得答案．【詳解】解：由題意得，，∵為，∴，故選：A．6．C【分析】該題考查了圓周角定理，根據同弧所對圓周角等于圓心角的一半得出，即可求解．【詳解】解：∵，，，故選：C．7．B【分析】本題考查了角平分線，三角形的內角和定理，等腰三角形的性質，掌握相關知識是解題的關鍵．由等腰三角形的性質和三角形的內角和定理可得，，由題意可知，平分，推出，，即可求解．【詳解】解：，，，，由題意可知，平分，，，，，，，，故選：B．8．D【分析】本題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征和全等三角形的判定與性質的綜合運用，解一元二次方程，矩形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵；過A作軸于M，過B作軸于D，直線與交于點N，由等腰三角形的判定與性質得出，證出由證明，得出，，即可得出B點坐標，代入反比例函數，得到一元二次方程，解方程求解即可．【詳解】解：過A作軸于M，過B作軸于D，直線與交于點N，如圖所示：則，∴四邊形是矩形，，，，，，，，，，把代入反比例函數的解析式得，，雙曲線圖象在第二象限，，，，，，，，，，，，雙曲線經過B，則,，解得：（舍），，故選D．9．【分析】本題主要考查二次根式有意義的條件以及解一元一次不等式，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵．此題可根據二次根式有意義的條件“被開方數要為非負數”得到不等式求解．【詳解】解：∵在實數范圍內有意義，∴，解得：，故答案為：．10．【分析】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．原式提取7，再利用平方差公式分解即可．【詳解】解：，故答案為：．11．【分析】本題考查了解直角三角形的實際應用，正確使用三角函數是解題的關鍵．在中，由即可求解．【詳解】解：由題意得，∴在中，，故答案為：．12．【分析】該題考查了不等式的性質，根據不等式的性質，不等式兩邊同時乘以同一個正數，不等號方向不變．【詳解】解：由，兩邊同時乘以3，得，即．故答案為：．13．【分析】本題考查了二次函數，一元二次方程根的判別式的運用個，理解函數的平移，二次函數交點的含義是關鍵．根據題意可得直線的解析式為，聯立方程得，，整理得，，根據根的判別式得到，由二次函數與軸的交點可得當線段平移到二次函數與軸交點處仍有兩個交點，即，由此即可求解．【詳解】解：線段，點和點的坐標分別為，，∴直線的解析式為，將線段向下平移個單位長度后得到的解析式為，∵平移后與拋物線有兩個交點，∴聯立方程得，，整理得，，∴，解得，，在二次函數中，令，則，∴當線段平移到二次函數與軸交點處仍有兩個交點，即，∴，故答案為：．14．①②④【分析】利用證明，可判斷①正確；證明，得出，可判斷②正確；根據，得出，根據四邊形是矩形，，得出，，證明，根據相似三角形的性質列出方程求出，即可判斷③；在上截取，連接．由（1）可知：，證明，得出．證明，得出為等腰直角三角形．從而得出，即可判斷④．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，∵，∴，故①正確；∵四邊形是矩形，，∴，，，∴，故②正確；∵，∴，∵四邊形是矩形，，，，，，解得：，故③錯誤；在上截取，連接．由（1）可知：，又∵，∴，∴．又∵，∴，即：，∴為等腰直角三角形．∴，④正確；綜上，①②④正確．故答案為：①②④．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．15．，1【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先把兩個分式的分母分解因式，再把除法變成乘法后約分化簡，最后代值計算即可得到答案．【詳解】解：，當時，原式．16．【分析】本題主要考查了切線的性質，圓周角定理，直角三角形的性質；連接，由切線的性質可得，根據直角三角形兩銳角互余可得的度數，再由圓周角定理即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，相切于點，，，，，．17．60【分析】本題考查二元一次方程的實際應用，設小長方形的長為x，寬為y，觀察圖形即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出x、y的值，進一步求出長方形的面積即可．【詳解】解：設小長方形的長為x，寬為y，由題意和圖可知：，解得：，∴每個小長方形的面積為．18．(1)見解析(2)1【分析】（1）根據平行四邊形對角線互相平分可得，，結合可得，即可證明四邊形是平行四邊形；（2）根據等底等高的三角形面積相等可得，再根據平行四邊形的性質可得．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，又，四邊形是平行四邊形．（2）解：，，，四邊形是平行四邊形，．【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質，解題的關鍵是掌握平行四邊形的對角線互相平分．19．(1)見詳解(2)見詳解(3)見詳解【分析】本題考查作圖－應用與設計作圖，軸對稱變換，解題的關鍵是理解題意，正確作出圖形．（1）根據網格特點作出圖形即可；（2）取格點、，連接交于，則是等腰直角三角形，，然后根據平行線的性質即可得出．（3）取格點，連接，根據和分別和網格的對角線，可判斷，取格點、，連接交于，根據結合平行線分線段成比例即可判斷；【詳解】（1）解：如圖①，點、即為所求．（2）解：如圖②，點即為所求．（3）解：如圖③，點即為所求．20．【調查與收集】B【整理與描述】（1）；（2）見詳解【分析與應用】（3）見詳解；（4）【分析】本題主要考查了抽樣調查的合理性，補全頻數分布直方圖，平均數，中位數及方差的相關知識，掌握抽樣調查以及讀懂頻數分布直方圖是解題的關鍵．【調查與收集】利用樣本具有代表性對抽樣調查方式進行判斷；【整理與描述】（1）根據頻率的定義計算甲樣本中組的頻率；（2）先計算出乙樣本組的頻數，再補全乙樣本的頻數分布直方圖；【分析與應用】（3）先根據平均數的定義求出甲樣本平均數，再根據中位數的定義求出乙樣本中位數出現的組別，然后填表即可；（4）根據樣本估計總體，列式計算即可．【詳解】解：【調查與收集】為了樣本具有代表性，隨機抽取能保證樣本的代表性，避免系統性偏差，所以應該隨機抽取株作為樣本．故選：B；【整理與描述】（1）甲樣本中組的頻率是：，故答案為：；（2）乙樣本的總頻數為，組的頻數為：，補全乙樣本的頻數分布直方圖如圖所示，【分析與應用】（3）甲樣本各組中間值分別為：，，，，，，乙樣本共個數據，中位數為第、個數據的平均值，前兩組頻數的和為：，前三組頻數的和為：，第、個數據在組，故乙樣本中位數出現的組別在組，填表如下：（4）甲樣本中組的頻數為，甲種葡萄樹種植了株，估計試驗田中甲種葡萄樹每株產量不低于的株數為：（株）．答：估計試驗田中甲種葡萄樹每株產量不低于的株數為株．21．（1）；；（2）（3）貨車出發(fā)小時或小時后兩車相距千米【分析】（1）觀察圖象即可解決問題；（2）分別求出得、、的坐標，運用待定系數法解得即可；（3）根據題意列方程解答即可．【詳解】解：（1）車的速度是千米/小時；轎車的速度是：千米/小時；．故答案為；；；（2）由題意可知：，，，設直線的解析式為，，當時，，設直線的解析式為，把，代入得：，解得，，；（3）設貨車出發(fā)小時后兩車相距千米，根據題意得：或，解得或．答：貨車出發(fā)小時或小時后兩車相距千米．【點睛】本題主要考查根據圖象的信息來解答問題，關鍵在于函數的解析式的解答，這是這類題的一個難度，必須分段研究.22．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據旋轉的性質得為等腰直角三角形，結合等腰三角形的性質求解即可；（2）將繞點逆時針旋轉得，求證，由全等三角形的性質可得，得，設正方形邊長為，則，在中由勾股定理可得，代入求解即可獲得答案；（3）將繞逆時針旋轉至，連接，首先證明，由相似三角形的性質可得，再證明，由勾股定理可得，結合即可獲得答案．【詳解】解：（1）將繞點逆時針旋轉得，，∴為等腰直角三角形，．故答案為：；（2）將繞點逆時針旋轉得，如圖，由旋轉的性質可得，，∴共線，∵，，，，，，，設正方形邊長為，則，在中，，即，解得：或（負值舍去），∴正方形的邊長為；（3）如圖，將繞逆時針旋轉至，連接，由旋轉的性質可得，，又，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查四邊形的綜合應用，旋轉的性質、等腰直角三角形的性質、正方形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識，綜合性強，解題關鍵是熟練運用旋轉的性質求解．23．(1)，6(2)(3)見詳解(4)或【分析】（1）根據直角三角形的性質和勾股定理即可求解；（2）根據（1）先求出，根據的面積是的面積的8倍，求出，分為兩種情況：①當動點在上時，如圖：過點作，根據旋轉可得，證明是等邊三角形，得出，根據題意可得，求出，表示出，列出方程求解即可．②當動點在上時，如圖：過點作，同理求出，用表示出，列出方程求解即可．（2）根據旋轉可得，根據題意可得，得出，即可證明．（4）根據點到的距離等于點到的距離，得出點在的角平分線上，分為①當動點在上時，如圖：作的角平分線，過點作，則，四邊形是矩形，得出，根據題意可得，根據旋轉可得，得是等邊三角形，點E在邊上，則，求出，，表示出，列出方程即可解答．②當動點在上時，如圖：作的角平分線，過點作，則，，根據旋轉可得，證明是等邊三角形，得出，證明．得出，再證明．得出，再根據，列出方程即可求解．【詳解】（1）解：∵在中，，∴，∴，故答案為：，6．（2）解：根據（1）可得，∴，①當動點在上時，如圖：過點作，根據旋轉可得，∴是等邊三角形，∴，根據題意可得，∴，∴，∴，解得：（負值已舍去）．②當動點在上時，如圖：過點作，根據旋轉可得，∴是等邊三角形，∴，，根據題意可得，∴，∵，∴，∴，∴，該方程無解．綜上，當的面積是的面積的8倍時，．（3）證明：根據旋轉可得，根據題意可得，∴，在和中，∴．（4）解：∵點到的距離等于點到的距離，∴點在的角平分線上，當動點在上時，如圖：作的角平分線，過點作，則，四邊形是矩形，∴，根據題意可得，根據旋轉可得，∴是等邊三角形，點E在邊上，∴，∵，∴，，∴，∴，解得：．②當動點在上時，如圖：作的角平分線，過點作，則，∴，根據旋轉可得，∴是等邊三角形，∴，在和中，∴．∴，∵，∴，∴，在和中，∴．∴，根據題意可得，∴，解得：．綜上，當點到的距離等于點到的距離時，或．【點睛】該題考查了全等三角形的性質和判定，矩形的性質和判定，正方形的性質和判定，解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程，等邊三角形的性質和判定，旋轉的性質等知識點，解題的關鍵是掌握以上知識點，運用分類討論思想解答．24．(1)(2)見解析(3)或或(4)或【分析】（1）代入到，求出的值即可解答；（2