第47頁(yè)（共47頁(yè)）2025年上海市黃浦區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分.其中第1～6題每題滿分54分，第7～12題每題滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果。1．（4分）（2025?黃浦區(qū)二模）設(shè)x∈R，不等式xx-2＜0的解集為2．（4分）（2025?寶山區(qū)三模）設(shè)a∈R，集合A＝[1，3]，B＝[a，4]，若A∩B＝[2，3]，則a＝．3．（4分）（2025?黃浦區(qū)二模）拋物線y2＝x的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)的距離為．4．（4分）（2025?黃浦區(qū)二模）在△ABC中，若A＝45°，B＝30°，BC＝26，則AC＝．5．（4分）（2025?黃浦區(qū)二模）i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足z-z=2i且z=iz，則Rez＝6．（4分）（2008?上海）函數(shù)f(x)=3sinx+7．（5分）（2025?黃浦區(qū)二模）已知等比數(shù)列{an}為嚴(yán)格增數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a1a10＝a8，S4-S1=2148．（5分）（2025?黃浦區(qū)二模）已知a為常數(shù)，圓（x﹣a）2+（y+a﹣2）2＝r2（r＞0）與圓x2+y2＝1有公共點(diǎn)，當(dāng)r取到最小值時(shí)，a的值為．9．（5分）（2025?黃浦區(qū)二模）某商場(chǎng)要懸掛一個(gè)棱長(zhǎng)為2米的正方體物件作為裝飾，如圖，A、B、C、D為該正方體的頂點(diǎn)，BB1、CC1、DD1為三根直繩索，且均垂直于屋頂所在平面α．若平面BCD與平面α平行，且點(diǎn)A到α的距離為2米，則直繩索BB1的長(zhǎng)度約為米．（結(jié)果精確到0.01米）10．（5分）（2025?黃浦區(qū)二模）若從2025的所有正約數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)的概率為．11．（5分）（2025?黃浦區(qū)二模）設(shè){an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若（S8﹣S7）（S9﹣S7）＜0，則滿足SmSm+1＜0的正整數(shù)m＝．12．（5分）（2025?黃浦區(qū)二模）設(shè)a、b為常數(shù)，f（x）＝|a+sinx|+|a﹣sinx|，若對(duì)任意的b∈（1，2），函數(shù)y＝f（x）﹣b在區(qū)間[0，2π]上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分.其中第13-14題每題滿分18分，第15-16題每題滿分18分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得滿分，否則一律得零分。13．（4分）（2025?黃浦區(qū)二模）如果兩種證券在一段時(shí)間內(nèi)收益數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為0.8，那么表明（）A．兩種證券的收益有反向變動(dòng)的傾向 B．兩種證券的收益有同向變動(dòng)的傾向 C．兩種證券的收益之間存在完全反向的聯(lián)動(dòng)關(guān)系，即漲或跌是相反的 D．兩種證券的收益之間存在完全同向的聯(lián)動(dòng)關(guān)系，即同時(shí)漲或同時(shí)跌14．（4分）（2025?黃浦區(qū)二模）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，設(shè)a→=AA1→，b→=DBA．BB1→ B．BC1→ C15．（5分）（2025?黃浦區(qū)二模）設(shè)x1＜x2＜x3＜x4，隨機(jī)變量X取值x1、x2、x3、x4的概率均為0.25，隨機(jī)變量X1取值x1+x22、x2+x32、x3+x42、x4+x12的概率也均為0.25，隨機(jī)變量X2取值2x1﹣x2、2x2﹣x3、2x3﹣x4、2x4﹣x1的概率也均為0.25A．D[X1]＜D[X2] B．D[X1]＝D[X2] C．D[X1]＞D[X2] D．D[X1]與D[X2]的大小關(guān)系與x1、x2、x3、x4的取值有關(guān)16．（5分）（2025?黃浦區(qū)二模）給定四面體ABCD．平面α滿足：①A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)均不在平面α上，也不在α的同側(cè)；②若平面α與四面體ABCD的棱有公共點(diǎn)，則該公共點(diǎn)一定是此棱的中點(diǎn)或兩個(gè)三等分點(diǎn)之一．設(shè)A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)到平面α的距離分別為di（i＝1，2，3，4），那么di的所有不同值的個(gè)數(shù)組成的集合為（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{1}三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟。17．（14分）（2025?黃浦區(qū)二模）已知f（x）＝2x．（1）若f（x）﹣f（2﹣x）＝3，求x的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y＝f（x）+af（﹣x）是奇函數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由．18．（14分）（2025?黃浦區(qū)二模）在四面體ABCD中，DB＝DC＝2，DB⊥DC．（1）若△ABC為正三角形，平面ABC⊥平面DBC，求四面體ABCD體積；（2）若AB＝AC＝4，AD＝3，求二面角A﹣BC﹣D的大?。?9．（14分）（2025?黃浦區(qū)二模）一盒子中有大小與質(zhì)地均相同的20個(gè)小球，其中白球n（3≤n≤13）個(gè)，其余為黑球．（1）當(dāng)盒中的白球數(shù)n＝6時(shí)，從盒中不放回地隨機(jī)取兩次，每次取一個(gè)球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求P（B|A）和P（B），并判斷事件A與B是否相互獨(dú)立；（2）某同學(xué)要策劃一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，參與者從盒中一次性隨機(jī)取10個(gè)球，若其中恰有3個(gè)白球，則獲獎(jiǎng)，否則不獲獎(jiǎng)，要使參與者獲獎(jiǎng)的可能性最大、最小，該同學(xué)應(yīng)該分別如何放置白球的數(shù)量n？20．（18分）（2025?黃浦區(qū)二模）橢圓Γ：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0）、F2（c，0（1）若c＝2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，2)，求點(diǎn)F2（2）當(dāng)b≤c時(shí)，求滿足PF1⊥PF2的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；（3）設(shè)直線l與Γ的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，F(xiàn)1Q→=λQP→(λ21．（18分）（2025?黃浦區(qū)二模）設(shè)D是R的一個(gè)非空子集，函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)镈，若y＝f（x）在D上不是單調(diào)函數(shù)，且存在常數(shù)b，使得f（x）≥b對(duì)任意的x∈D成立，則稱函數(shù)y＝f（x）具有性質(zhì)H，稱b為該函數(shù)的一個(gè)下界．（1）設(shè)f（x）＝x+1x，D＝（﹣∞，0），判斷函數(shù)y＝f（x），x∈D是否具有性質(zhì)（2）設(shè)m為常數(shù)，f（x）=13x3-x+1，D＝（m，2），當(dāng)且僅當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，函數(shù)y＝f（x），x∈D具有性質(zhì)（3）設(shè)0＜a≤1，f（x）＝ln（x+1）+ax（x﹣2），D＝（0，1），若函數(shù)y＝f（x），x∈D具有性質(zhì)H，求a的取值范圍；當(dāng)a在上述范圍內(nèi)變化時(shí)，若b總是該函數(shù)的下界，求b的取值范圍．

2025年上海市黃浦區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共4小題）題號(hào)13141516答案BBAB一、填空題（本大題共有12題，滿分54分.其中第1～6題每題滿分54分，第7～12題每題滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果。1．（4分）（2025?黃浦區(qū)二模）設(shè)x∈R，不等式xx-2＜0的解集為（0【考點(diǎn)】分式不等式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（0，2）．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合分式不等式的解法，即可求解．【解答】解：解不等式xx-2＜0，等價(jià)于x（x﹣2）＜0．解得0故解集為（0，2）．故答案為：（0，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）（2025?寶山區(qū)三模）設(shè)a∈R，集合A＝[1，3]，B＝[a，4]，若A∩B＝[2，3]，則a＝2．【考點(diǎn)】集合交集關(guān)系的應(yīng)用．【專題】集合思想；定義法；集合；運(yùn)算求解．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)集合交集的定義求解．【解答】解：根據(jù)交集的定義，兩個(gè)集合相交的部分是它們共有的元素組成的集合，所以a＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．（4分）（2025?黃浦區(qū)二模）拋物線y2＝x的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)的距離為14【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】14【分析】求解拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解即可．【解答】解：對(duì)于拋物線y2＝2px其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(p2，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），在拋物線y2＝x中，2則p=1故答案為：14【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．4．（4分）（2025?黃浦區(qū)二模）在△ABC中，若A＝45°，B＝30°，BC＝26，則AC＝23【考點(diǎn)】利用正弦定理解三角形．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】23【分析】根據(jù)正弦定理即可求解．【解答】解：在△ABC中，根據(jù)正弦定理ACsinB=BCsinA，已知A＝45°，B＝則AC=故答案為：23【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）（2025?黃浦區(qū)二模）i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足z-z=2i且z=iz，則Rez＝﹣1【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】﹣1．【分析】根據(jù)已知條件，集合共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，實(shí)部的定義，即可求解．【解答】解：設(shè)z＝a+bi，則z=a﹣bi（a，b∈R因?yàn)閦-z=2i，所以（a+bi）﹣（a﹣bi）＝2i，即2bi＝2i，解得b＝又因?yàn)閦＝iz，即a﹣i＝i（a+i）＝﹣1+ai，所以a＝﹣1，則Rez＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，實(shí)部的定義，屬于基礎(chǔ)題．6．（4分）（2008?上海）函數(shù)f(x)=3sinx+【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值；運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值．【專題】計(jì)算題．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】先根據(jù)兩角和與差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得到其最大值．【解答】解：由f(故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角和與差的正弦公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)﹣﹣?zhàn)钪担疾榭忌鷮?duì)正弦函數(shù)的性質(zhì)的掌握和應(yīng)用．三角函數(shù)式高考的一個(gè)必考點(diǎn)，重點(diǎn)在對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的考查．7．（5分）（2025?黃浦區(qū)二模）已知等比數(shù)列{an}為嚴(yán)格增數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a1a10＝a8，S4-S1=214【考點(diǎn)】求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】4．【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式及數(shù)列的單調(diào)性即可求解．【解答】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}為嚴(yán)格增數(shù)列，a1a10＝a8，S4將a10=a1q9，a8=a1q得a1q2S4將a11q所以(1+q即(1+q即q+即q2解得q=4因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}為嚴(yán)格增數(shù)列，當(dāng)a1＞0時(shí)，q＞1；當(dāng)a1＜0時(shí)，0＜q＜1．由a1=1q2＞0可知q故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．8．（5分）（2025?黃浦區(qū)二模）已知a為常數(shù)，圓（x﹣a）2+（y+a﹣2）2＝r2（r＞0）與圓x2+y2＝1有公共點(diǎn)，當(dāng)r取到最小值時(shí)，a的值為1．【考點(diǎn)】由圓與圓的位置關(guān)系求解圓的方程或參數(shù)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】1．【分析】先確定兩圓的圓心和半徑，然后根據(jù)條件分析出兩圓的位置關(guān)系，再由圓心距和半徑的數(shù)量關(guān)系求解出結(jié)果．【解答】解：圓（x﹣a）2+（y+a﹣2）2＝r2的圓心坐標(biāo)為（a，2﹣a），半徑為r；圓x2+y2＝1的圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑R＝1，由兩圓有公共點(diǎn)，可得|r先化簡(jiǎn)兩圓圓心距d=當(dāng)a＝1時(shí)，d取得最小值2，此時(shí)r取最小值2-所以當(dāng)r取最小值時(shí)a＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）（2025?黃浦區(qū)二模）某商場(chǎng)要懸掛一個(gè)棱長(zhǎng)為2米的正方體物件作為裝飾，如圖，A、B、C、D為該正方體的頂點(diǎn)，BB1、CC1、DD1為三根直繩索，且均垂直于屋頂所在平面α．若平面BCD與平面α平行，且點(diǎn)A到α的距離為2米，則直繩索BB1的長(zhǎng)度約為3.15米．（結(jié)果精確到0.01米）【考點(diǎn)】直線與平面平行．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；運(yùn)算求解．【答案】3.15．【分析】設(shè)正方體的中心為O，連接AO，得到AO1⊥平面BCD，由三角形BCD是正三角形，得到外接圓的半徑為r=233米，利用勾股定理求得AO1=AB2-BO12【解答】解：已知正方體棱長(zhǎng)AB＝BC＝CD＝DA＝2米．因?yàn)槠矫鍮CD∥平面α，BB1⊥平面α，CC1⊥平面α，DD1⊥平面α，設(shè)正方體中心為O，連接AO并交平面BCD于點(diǎn)O1，則AO1⊥平面BCD．在正方體中，底面△BCD是正三角形，其外接圓半徑r，根據(jù)正三角形外接圓半徑公式r=可得r=由勾股定理可得AO設(shè)BB1＝h米，因?yàn)辄c(diǎn)A到平面α距離為2米，所以h=故答案為：3.15．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查面面平行的性質(zhì)，點(diǎn)到平面的距離，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．10．（5分）（2025?黃浦區(qū)二模）若從2025的所有正約數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)的概率為25【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式；分層隨機(jī)抽樣的比例分配與各層個(gè)體數(shù)及抽取樣本量．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】25【分析】根據(jù)題意，分析2025的正約數(shù)數(shù)目以及其中完全平方數(shù)的數(shù)目，由古典概型公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，2025＝34×52，則2025的正約數(shù)個(gè)數(shù)為（4+1）×（2+1）＝15個(gè)，由于30×50＝1，32×50＝9，34×50＝81，30×52＝25，32×52＝225，34×52＝2025，在2025的正約數(shù)中，完全平方數(shù)的有1，9，81，25，225，2025，共6個(gè)．若2025＝34×52，其完全平方數(shù)形式的正約數(shù)，則其指數(shù)都為偶數(shù)，從2025的所有正約數(shù)中任取一個(gè)數(shù)是完全平方數(shù)的概率P=故答案為：25【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的計(jì)算，涉及排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．（5分）（2025?黃浦區(qū)二模）設(shè){an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若（S8﹣S7）（S9﹣S7）＜0，則滿足SmSm+1＜0的正整數(shù)m＝15．【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯思維．【答案】15．【分析】根據(jù)（S8﹣S7）（S9﹣S7）＜0，得到a8（a8+a9）＜0，再由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，得到滿足SmSm+1＜0的正整數(shù)m．【解答】解：因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，（S8﹣S7）（S9﹣S7）＜0，所以a8（a8+a9）＜0，若a8＞0，則a8+a9＜0，此時(shí)S16=16(若a8＜0，則a8+a9＞0，此時(shí)S16=16(所以滿足SmSm+1＜0的正整數(shù)m＝15．故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）（2025?黃浦區(qū)二模）設(shè)a、b為常數(shù)，f（x）＝|a+sinx|+|a﹣sinx|，若對(duì)任意的b∈（1，2），函數(shù)y＝f（x）﹣b在區(qū)間[0，2π]上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是[-12，【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【專題】分類討論；函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】[-1【分析】分a≥1、a≤﹣1及﹣1＜a＜1，求出f（x）的解析式，再結(jié)合題意求解即可．【解答】解：已知f（x）＝|a+sinx|+|a﹣sinx]，x∈[0，2π]．因?yàn)閟inx∈[﹣1，1]，當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）＝a+sinx+a﹣sinx＝2a≥2，函數(shù)y＝f（x）﹣b在區(qū)間[0，2π]上沒(méi)有零點(diǎn)，不符合題；當(dāng)a≤﹣1時(shí)，f（x）＝﹣a﹣sinx﹣a+sinx＝﹣2a≥2，函數(shù)y＝f（x）﹣b在區(qū)間[0，2π]上沒(méi)有零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)﹣1＜a＜1時(shí)，則f(f（x）在[0，2π]上的圖象與直線y＝b（1＜b＜2）恰有4個(gè)交點(diǎn)，所以-1≤2a≤10≤2|a所以a的取值范圍是[-1故答案為：[-1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、三角函數(shù)的性質(zhì)及分類討論思想，屬于中檔題．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分.其中第13-14題每題滿分18分，第15-16題每題滿分18分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得滿分，否則一律得零分。13．（4分）（2025?黃浦區(qū)二模）如果兩種證券在一段時(shí)間內(nèi)收益數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為0.8，那么表明（）A．兩種證券的收益有反向變動(dòng)的傾向 B．兩種證券的收益有同向變動(dòng)的傾向 C．兩種證券的收益之間存在完全反向的聯(lián)動(dòng)關(guān)系，即漲或跌是相反的 D．兩種證券的收益之間存在完全同向的聯(lián)動(dòng)關(guān)系，即同時(shí)漲或同時(shí)跌【考點(diǎn)】樣本相關(guān)系數(shù)．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)判斷．【解答】解：相關(guān)系數(shù)是用以反映變量之間相關(guān)關(guān)系密切程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，當(dāng)相關(guān)系數(shù)為正數(shù)時(shí)，表示兩種證券的收益有同向變動(dòng)的傾向；當(dāng)相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，表示兩種證券的收益有反向變動(dòng)的傾向，相關(guān)系數(shù)為0.8（0.8＞0），所以表明兩種證券的收益有同向變動(dòng)的傾向，故A錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤，B正確，而相關(guān)系數(shù)為1時(shí)表示兩種證券的收益之間存在完全同向的聯(lián)動(dòng)關(guān)系，為﹣1時(shí)表示完全反向的聯(lián)動(dòng)關(guān)系，所以D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．（4分）（2025?黃浦區(qū)二模）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，設(shè)a→=AA1→，b→=DA．BB1→ B．BC1→ C【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量基本定理求解．【解答】解：由空間向量基本定理可知，空間中不共面的三個(gè)向量可以組成空間向量的一個(gè)基，對(duì)于A，若c→=B所以a→，b→，c→對(duì)于B，若c→因?yàn)锽C1→，AA1→，DB1→不對(duì)于C，若c→則DB1→所以a→，b→，c→對(duì)于D，若c→則BD1→=B即c→=2a→-b→，所以a→故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）（2025?黃浦區(qū)二模）設(shè)x1＜x2＜x3＜x4，隨機(jī)變量X取值x1、x2、x3、x4的概率均為0.25，隨機(jī)變量X1取值x1+x22、x2+x32、x3+x42、x4+x12的概率也均為0.25，隨機(jī)變量X2取值2x1﹣x2、2x2﹣x3、2x3﹣x4、2x4﹣x1的概率也均為0.25A．D[X1]＜D[X2] B．D[X1]＝D[X2] C．D[X1]＞D[X2] D．D[X1]與D[X2]的大小關(guān)系與x1、x2、x3、x4的取值有關(guān)【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)隨機(jī)變量X1，X2的取值情況，計(jì)算出它們的期望和方差，再借助均值不等式即可判斷作答．【解答】解：由隨機(jī)變量X1，X2的取值情況，它們的期望分別為：E[E[X2]=14（2x1﹣x2+2x2﹣x3+2x3﹣x4+2x4﹣x1）=14（x1+x2+x3即E[X2]＝E[X1]，D[X1]=14[(x1+x2則(x同理D[X2]=14[（2x1﹣x2）2+（2x2﹣x3）2+（2x3﹣x4）2+（2x4﹣x1）2]﹣（Ex2）則[（2x1﹣x2）2+（2x2﹣x3）2+（2x3﹣x4）2+（2x4﹣x1）2＝5（x12+x22+x32+x42）﹣4（x1x2+x則D[X2]﹣D[X1]==9[(因?yàn)閤12+x22≥2所以x1因?yàn)閤1＜x2＜x3＜x4，不能取等號(hào)，所以x1所以D[X2]﹣D[X1]＞0，所以D[X1]＜D[X2]．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了計(jì)算隨機(jī)變量的期望及方差，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．16．（5分）（2025?黃浦區(qū)二模）給定四面體ABCD．平面α滿足：①A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)均不在平面α上，也不在α的同側(cè)；②若平面α與四面體ABCD的棱有公共點(diǎn)，則該公共點(diǎn)一定是此棱的中點(diǎn)或兩個(gè)三等分點(diǎn)之一．設(shè)A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)到平面α的距離分別為di（i＝1，2，3，4），那么di的所有不同值的個(gè)數(shù)組成的集合為（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{1}【考點(diǎn)】空間中點(diǎn)到平面的距離．【專題】分類討論；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維．【答案】B【分析】根據(jù)題意，分類討論，確定平面αx的位置，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離的定義，進(jìn)行分析判斷，即可求解．【解答】解：當(dāng)平面α與四面體ABCD的三條棱的中點(diǎn)相交時(shí)，不妨設(shè)平面α過(guò)棱AB，AC，AD的中點(diǎn)E，M，N，此時(shí)點(diǎn)A，B到平面α的距離相等，且平面α∥平面BCD，如圖（1）所示，此時(shí)B，C，D到平面α的距離可能與A，B到平面α的距離相同，此時(shí)di有1不同的值；不妨設(shè)平面α過(guò)棱AB的中點(diǎn)E，且過(guò)AC，AD分別為的三等分點(diǎn)M，N時(shí)，如圖（2）所示，此時(shí)點(diǎn)A，B到平面α的距離相等，且C，D到平面α的距離相等，且A，B到平面α的距離與C，D到平面α的距離不相等，此時(shí)di有2不同的值；不妨設(shè)平面α過(guò)棱AB，AD的中點(diǎn)E，N，且過(guò)AC分別為的三等分點(diǎn)M時(shí)，如圖（3）所示，此時(shí)點(diǎn)A，B，D到平面α的距離相等，其中A，B，D到平面α的距離與C到平面α的距離不相等，此時(shí)di有2不同的值；不妨設(shè)平面α過(guò)棱AB的中點(diǎn)E，過(guò)AC的靠近C的三等分點(diǎn)M，過(guò)AD靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)N，此時(shí)A，B到平面α的距離不同，C，D到平面α的距離不同，且A，B，C，D到平面α的距離兩兩之間都可能不同，此時(shí)di有3個(gè)不同的值；又因?yàn)锳，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均不在平面α上，也不在平面α的同側(cè)，所以di不能有4個(gè)不同的值（若有4個(gè)不同的值，四個(gè)點(diǎn)必然在平面α的同側(cè)），所以di的所有不同值的個(gè)數(shù)組成的集合為{1，2，3}．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間中點(diǎn)到平面的距離，考查分類討論思想，屬于中檔題．三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟。17．（14分）（2025?黃浦區(qū)二模）已知f（x）＝2x．（1）若f（x）﹣f（2﹣x）＝3，求x的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y＝f（x）+af（﹣x）是奇函數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）x＝1；（2）存，在a＝﹣1．【分析】（1）由已知結(jié)合指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可求解；（2）結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）＝2x，又f（x）﹣f（2﹣x）＝3，即2x﹣22﹣x＝3，令t＝2x（t＞0），則t-4t=3，整理得t2﹣3t﹣4＝0，解得t＝4或可得x＝2．（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)y＝f（x）+af（﹣x）是奇函數(shù)，y＝2x+a?2﹣x其定義域?yàn)镽，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)f（0）＝20+a?20＝0，即1+a＝0，解得a＝﹣1，此時(shí)y＝2x﹣2﹣x，f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），所以y＝2x﹣2﹣x是奇函數(shù)，故存在實(shí)數(shù)a＝﹣1，使函數(shù)y＝f（x）+af（﹣x）是奇函數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．（14分）（2025?黃浦區(qū)二模）在四面體ABCD中，DB＝DC＝2，DB⊥DC．（1）若△ABC為正三角形，平面ABC⊥平面DBC，求四面體ABCD體積；（2）若AB＝AC＝4，AD＝3，求二面角A﹣BC﹣D的大?。究键c(diǎn)】幾何法求解二面角及兩平面的夾角；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】（1）263；（2）【分析】（1）根據(jù)已知可得BC=22，結(jié)合△ABC為正三角形求其面積，若E為BC的中點(diǎn)，再由面面垂直的性質(zhì)證明DE⊥平面ABC，且（2）由題設(shè)得二面角A﹣BC﹣D的平面角為∠DEA，再應(yīng)用余弦定理求二面角大?。窘獯稹拷猓海?）由題設(shè)△BCD為等腰直角三角形，且DB＝DC＝2，DB⊥DC，所以BC=22，又△故S△若E為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DE⊥BC，又平面ABC⊥平面DBC，平面ABC∩平面DBC＝BC，DE?平面DBC，故DE⊥平面ABC，所以DE=2是D﹣則其體積V=（2）由（1）DE⊥BC，且BC=22，又AB＝AC＝4，則AE=且AE⊥BC，又AD＝3，所以二面角A﹣BC﹣D的平面角為∠DEA，且cos∠所以二面角大小為arccos7【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體體積與二面角的計(jì)算，屬于中檔題．19．（14分）（2025?黃浦區(qū)二模）一盒子中有大小與質(zhì)地均相同的20個(gè)小球，其中白球n（3≤n≤13）個(gè)，其余為黑球．（1）當(dāng)盒中的白球數(shù)n＝6時(shí)，從盒中不放回地隨機(jī)取兩次，每次取一個(gè)球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求P（B|A）和P（B），并判斷事件A與B是否相互獨(dú)立；（2）某同學(xué)要策劃一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，參與者從盒中一次性隨機(jī)取10個(gè)球，若其中恰有3個(gè)白球，則獲獎(jiǎng)，否則不獲獎(jiǎng)，要使參與者獲獎(jiǎng)的可能性最大、最小，該同學(xué)應(yīng)該分別如何放置白球的數(shù)量n？【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；由兩事件交事件的概率判斷兩事件的相互獨(dú)立性．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）事件A、B不相互獨(dú)立；（2）當(dāng)該同學(xué)放置6個(gè)白球時(shí)，參與者獲獎(jiǎng)的可能性最大；當(dāng)該同學(xué)放置13個(gè)白球時(shí)，參與者獲獎(jiǎng)的可能性最小．【分析】（1）根據(jù)題意，由相互獨(dú)立事件的定義判斷可得答案；（2）根據(jù)題意，從盒子中一次性隨機(jī)取10個(gè)球，設(shè)其中恰有3個(gè)白球的概率為an，（3≤n≤13），求出an的表達(dá)式，分析數(shù)列{an}的單調(diào)性，由此分析可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，A表示事件“第一次取到白球”，B表示事件“第二次取到白球”，則P（A）=620=310，PP（B|A）=519，P（B|A）則P（B）＝P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=3由于P（AB）＝P（A）P（B|A）=3P（A）P（B）=9則P（AB）≠P（A）P（B），則事件A、B不相互獨(dú)立，（2）根據(jù)題意，從盒子中一次性隨機(jī)取10個(gè)球，設(shè)其中恰有3個(gè)白球的概率為an，（3≤n≤13），由于an=C則有anan-1當(dāng)4≤n≤6時(shí)，an＞an﹣1，當(dāng)7≤n≤13時(shí)，an＜an﹣1，當(dāng)n＝6時(shí)，an取得最大值，又由a3=219，a13=1646，則a3＞a13因此，當(dāng)該同學(xué)放置6個(gè)白球時(shí)，參與者獲獎(jiǎng)的可能性最大；當(dāng)該同學(xué)放置13個(gè)白球時(shí)，參與者獲獎(jiǎng)的可能性最?。军c(diǎn)評(píng)】本題考查概率的應(yīng)用，涉及相互獨(dú)立事件的判斷以及數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔題．20．（18分）（2025?黃浦區(qū)二模）橢圓Γ：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0）、F2（c，0（1）若c＝2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，2)，求點(diǎn)F2（2）當(dāng)b≤c時(shí)，求滿足PF1⊥PF2的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；（3）設(shè)直線l與Γ的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，F(xiàn)1Q→=λQP→(λ【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；求橢圓的離心率．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題；運(yùn)算求解．【答案】（1）43；（2）答案見(jiàn)解析；（3）(-【分析】（1）求出直線l的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解；（2）求出以線段F1F2為直徑的圓方程，再與橢圓方程聯(lián)立，按b＝c，b＜c求出方程組的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）設(shè)P(c2，yP)，表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，將點(diǎn)P【解答】解：（1）依題意，F(xiàn)1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），而P(2則直線l的方程為y=24所以點(diǎn)F2到直線l的距離d=（2）由PF1⊥PF2，得點(diǎn)P在以線段F1F2為直徑的圓x2+y2＝c2上，c2＝a2﹣b2，聯(lián)立x2+y2=c2b2x2+a2y2=a2b2，消去y得（a2﹣b2）x2＝a2當(dāng)b＝c時(shí)，x＝0，y＝±b，因此點(diǎn)P（0，±b），共2個(gè)；當(dāng)b＜c時(shí)，c2x2＝a2（c2﹣b2），解得x2=a因此點(diǎn)P(±ac綜上所述，當(dāng)b＝c時(shí)，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2；當(dāng)b＜c時(shí)，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4．（3）設(shè)P(c2，yP)，Q(xQ，y則(xQ+而e=ca，由點(diǎn)P，Q所以c24a整理得e2（﹣λ+1）＝2λ+1，即e2由e＞12，得1所以λ的取值范圍是(-1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與橢圓的綜合，考查了方程思想及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．21．（18分）（2025?黃浦區(qū)二模）設(shè)D是R的一個(gè)非空子集，函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)镈，若y＝f（x）在D上不是單調(diào)函數(shù)，且存在常數(shù)b，使得f（x）≥b對(duì)任意的x∈D成立，則稱函數(shù)y＝f（x）具有性質(zhì)H，稱b為該函數(shù)的一個(gè)下界．（1）設(shè)f（x）＝x+1x，D＝（﹣∞，0），判斷函數(shù)y＝f（x），x∈D是否具有性質(zhì)（2）設(shè)m為常數(shù)，f（x）=13x3-x+1，D＝（m，2），當(dāng)且僅當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，函數(shù)y＝f（x），x∈D具有性質(zhì)（3）設(shè)0＜a≤1，f（x）＝ln（x+1）+ax（x﹣2），D＝（0，1），若函數(shù)y＝f（x），x∈D具有性質(zhì)H，求a的取值范圍；當(dāng)a在上述范圍內(nèi)變化時(shí)，若b總是該函數(shù)的下界，求b的取值范圍．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯思維．【答案】（1）函數(shù)y＝f（x），x∈D不具有性質(zhì)H，理由見(jiàn)解答．（2）[﹣2，1）．（3）a∈（0，1]，b∈(-∞，【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)，利用“函數(shù)具有性質(zhì)H''的定義推理判斷．（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及極小值，再利用“函數(shù)具有性質(zhì)H''的定義求解．（3）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，按0＜a≤12，12＜【解答】解：（1）函數(shù)y＝f（x），x∈D具有性質(zhì)H，理由如下：函數(shù)f(x)=x+1x，x∈令f′（x）＝0，得x＝﹣1，所以在（﹣∞，﹣1）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，在（﹣1，0）上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上不是單調(diào)函數(shù)，又因?yàn)閤∈（﹣∞，0）時(shí)，x+1x=-[（﹣x）+（-1x）]≤﹣2，（當(dāng)且僅當(dāng)﹣x=-所以不存在常數(shù)b使得f（x）≥b對(duì)任意的x∈（﹣∞，0）成立，所以函數(shù)y＝f（x），x∈D不具有性質(zhì)H．（2）函數(shù)f(x)=13x3-x+1求導(dǎo)得f'（x）＝x2令f′（x）＝0，得x＝±1，所以在（﹣∞，﹣1）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，在（﹣1，1）上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)y＝f（x），x∈（m，2）具有性質(zhì)H，且b=1所以f（x）min≥1f（﹣1）=13×（﹣1）3﹣（﹣1）+1=53，f（1）=13×13﹣1+1當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1]時(shí)，f（x）在（m，2）上不是單調(diào)函數(shù)，且f（x）min=1所以m∈[﹣2，1）．（3）對(duì)f（x）＝ln（x+1）+ax（x﹣2）＝ln（x+1）+ax2﹣2ax求導(dǎo)得，f′（x）=1x+1+2ax﹣2a=2ax2當(dāng)0＜a≤12時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)y＝f（x因此，當(dāng)且僅當(dāng)12＜a≤1時(shí)，令f′（x）＝0，得x=2a-12a，函數(shù)y由函數(shù)連續(xù)可知值域有界，y＝f（x）具有性質(zhì)H．f(令t=2a從而f(x)min函數(shù)y＝g（t）在(0，22故b的取值范圍是(-∞，【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．集合交集關(guān)系的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上的集合中，元素含有待確定的變量，需要通過(guò)集合的子集、相等、交集、并集、補(bǔ)集等關(guān)系求出變量的取值等問(wèn)題．【解題方法點(diǎn)撥】求參數(shù)的取值或取值范圍的關(guān)健，是轉(zhuǎn)化條件得到相應(yīng)參數(shù)的方程或不等式．本題根據(jù)元素與集合之間的從屬關(guān)系得到參數(shù)的方程，然后通過(guò)解方程求解．求解中需注意兩個(gè)方面：一是考慮集合元素的無(wú)序性，由此按分類討論解答，二是涉及其它知識(shí)點(diǎn)例如函數(shù)與方程的思想，函數(shù)的零點(diǎn)，恒成立問(wèn)題等等．【命題方向】集合中的參數(shù)取值范圍問(wèn)題，一般難度比較大，幾乎與高中數(shù)學(xué)的所以知識(shí)相聯(lián)系，特別是與函數(shù)問(wèn)題結(jié)合的題目，涉及恒成立，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等知識(shí)命題，值得重視．2．分式不等式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】分式不等式指的是含有分式的數(shù)學(xué)不等式．解分式不等式時(shí)，關(guān)鍵是注意分母不為零．【解題方法點(diǎn)撥】將分式不等式轉(zhuǎn)化為普通不等式，并限定分母部分不為零，找出符合不等式的區(qū)間．綜合各區(qū)間解，寫(xiě)出最終解集．【命題方向】典型的命題包括解簡(jiǎn)單的分式不等式，結(jié)合實(shí)際應(yīng)用題解分式不等式，以及分式不等式在函數(shù)單調(diào)性、最值問(wèn)題中的應(yīng)用．求不等式3x解：3x+13-x＞-1可化為2x+4x-3解得：﹣2＜x＜3，所以原不等式的解集為：{x|﹣2＜x＜3}．3．函數(shù)的奇偶性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對(duì)稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱．【解題方法點(diǎn)撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個(gè)去求解；④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶D．與p有關(guān)解：由題設(shè)知f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．因?yàn)閒（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．故選B．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．本知識(shí)點(diǎn)是高考的高頻率考點(diǎn)，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．4．運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值的思路1．“負(fù)化正”，運(yùn)用公式三將任意負(fù)角的三角函數(shù)化為任意正角的三角函數(shù)．2．“大化小”，利用公式一將大于360°的角的三角函數(shù)化為0°到360°的三角函數(shù)，利用公式二將大于180°的角的三角函數(shù)化為0°到180°的三角函數(shù)．3．“小化銳”，利用公式六將大于90°的角化為0°到90°的角的三角函數(shù)．4．“銳求值”，得到0°到90°的三角函數(shù)后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由計(jì)算器求得．5．三角函數(shù)的最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】三角函數(shù)的最值其實(shí)就是指三角函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值，涉及到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和它們的圖象．在求三角函數(shù)最值中常用的手法是化簡(jiǎn)和換元．化簡(jiǎn)的原則通常是盡量的把復(fù)合三角函數(shù)化為只含有一個(gè)三角函數(shù)的一元函數(shù)．【解題方法點(diǎn)撥】例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝32+22cos（2x解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x=1-cos2x2-sin2x=32+22cos故答案為：32+22cos（這個(gè)題所用到的方法就是化簡(jiǎn)成一個(gè)單一的三角函數(shù)，把一個(gè)復(fù)合的三角函數(shù)最后化成了只關(guān)于余弦函數(shù)的式子，然后單獨(dú)分析余弦函數(shù)的特點(diǎn)，最后把結(jié)果求出來(lái)．化簡(jiǎn)當(dāng)中要熟練的掌握三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換，特別是二倍角的轉(zhuǎn)換．例2：函數(shù)y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函數(shù)y＝t2﹣t+3的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是t=∴當(dāng)t=1而函數(shù)的最大值為t＝﹣1時(shí)或t＝1時(shí)函數(shù)值中的較大的那個(gè)∵t＝﹣1時(shí)，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，當(dāng)t＝1時(shí)，y＝12﹣1+3＝3∴函數(shù)的最大值為t＝﹣1時(shí)y的值即sinx＝﹣1時(shí)，函數(shù)的最大值為5．這個(gè)題就是典型的換元，把sinx看成是自變量t，最后三角函數(shù)看成是一個(gè)一元二次函數(shù)，在換元的時(shí)候要注意到三角函數(shù)的定義域和相應(yīng)的值域．【命題方向】求三角函數(shù)的最值是高考的一個(gè)?？键c(diǎn)，主要方法我上面已經(jīng)寫(xiě)了，大家要注意的是把一些基本的方法融會(huì)貫通，同時(shí)一定要注意函數(shù)的定義域和相對(duì)應(yīng)的值域．6．函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)的零點(diǎn)表示的是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一樣的．但是，他們的解法其實(shí)質(zhì)是一樣的．【解題方法點(diǎn)撥】求方程的根就是解方程，把所有的解求出來(lái)，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不多講了．我們重點(diǎn)來(lái)探討一下函數(shù)零點(diǎn)的求法（配方法）．例題：求函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點(diǎn)．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）?（x+7）?（x+2）?（x+1）∴函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點(diǎn)是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通過(guò)這個(gè)題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點(diǎn)常用的方法就是配方法，把他配成若干個(gè)一次函數(shù)的乘積或者是二次函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點(diǎn)或者說(shuō)求基本函數(shù)等于0時(shí)的解即可．【命題方向】直接考的比較少，了解相關(guān)的概念和基本的求法即可．7．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列是常見(jiàn)數(shù)列的一種，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解題方法點(diǎn)撥】eg1：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若公差d＝1，S5＝15，則S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+5×42d＝5a1+10＝15，即a1＝則S10＝10a1+10×92d＝10+45＝故答案為：55點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出首項(xiàng)a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)的和Tn．解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，該等差數(shù)列為﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3項(xiàng)為負(fù)，其和為S3＝﹣39．∴n≤3時(shí)，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴Tn點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)的絕對(duì)值的和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．其實(shí)方法都是一樣的，要么求出首項(xiàng)和公差，要么求出首項(xiàng)和第n項(xiàng)的值．【命題方向】等差數(shù)列比較常見(jiàn)，單獨(dú)考察等差數(shù)列的題也比較簡(jiǎn)單，一般單獨(dú)考察是以小題出現(xiàn)，大題一般要考察的話會(huì)結(jié)合等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)考察，特別是錯(cuò)位相減法的運(yùn)用．8．求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為﹣1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn．【解題方法點(diǎn)撥】﹣代入計(jì)算：將具體問(wèn)題中的n值和公比r代入前n項(xiàng)和公式，計(jì)算數(shù)列的前n項(xiàng)和．﹣公式推導(dǎo)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題推導(dǎo)出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．﹣綜合應(yīng)用：將前n項(xiàng)和公式與其他數(shù)列性質(zhì)結(jié)合，解決復(fù)雜問(wèn)題．【命題方向】常見(jiàn)題型包括利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算具體和，推導(dǎo)數(shù)列和公式，解決實(shí)際問(wèn)題．設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，則S6＝_____．解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由于a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，則a1+a故S69．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．2、利用導(dǎo)數(shù)求解多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）確定f（x）的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，列表考察這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號(hào)，進(jìn)而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．【解題方法點(diǎn)撥】若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使f′（x）＝0，在其余的點(diǎn)恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）．即在區(qū)間內(nèi)f′（x）＞0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．【命題方向】題型一：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系典例1：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（﹣1）＝2，對(duì)任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，設(shè)g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，則g′（x）＝f′（x）﹣2，∵對(duì)任意x∈R，f′（x）＞2，∴對(duì)任意x∈R，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，則由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集為（﹣1，+∞），故選：B題型二：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用典例2：已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)y＝f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g(x)=x3+x（Ⅲ）求證：ln2解：（Ⅰ）f'(x)=當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）不是單調(diào)函數(shù)（4分）（Ⅱ）f'(2)=-a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx∴g(∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）＝﹣2∴g由題意知：對(duì)于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：g'(1)＜0g'(2)＜（Ⅲ）令a＝﹣1此時(shí)f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴l(xiāng)nx＜x﹣1對(duì)一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n﹣1，∴0∴l(xiāng)n10．利用正弦定理解三角形【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正弦定理定理正弦定理內(nèi)容asinA=（R是△ABC外接圓半徑）變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA解決三角形的問(wèn)題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角﹣【解題方法點(diǎn)撥】﹣應(yīng)用正弦定理：用正弦定理解決三角形中的邊長(zhǎng)和角度問(wèn)題，特別是在已知部分角和邊的情況下．﹣三角形的解法：在已知兩個(gè)角和一個(gè)邊，或兩個(gè)邊和一個(gè)角的情況下，利用正弦定理求解其他邊和角．【命題方向】﹣正弦定理的應(yīng)用：考查如何應(yīng)用正弦定理解決涉及三角形的幾何問(wèn)題．﹣三角形解的存在性：如何使用正弦定理判斷三角形的解的存在性和唯一性．△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝60°，則b＝_____．解：∵△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝60°，∴由正弦定理得，asinA∴3sin解得b＝33．11．復(fù)數(shù)的運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則12．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：V柱＝sh，V錐=1313．直線與平面平行【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．用符號(hào)表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是：對(duì)于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個(gè)平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號(hào)表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：已知線面平行，過(guò)已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無(wú)數(shù)條，另一類與a異面，也有無(wú)數(shù)條．14．空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a→，b→，c→不共面，那么對(duì)空間任一向量p→，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，a→，b→，2．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{e1→，e2→3．空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{e1→，e2→，e3→}，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以e1→，e2→，e3其中，點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量e1→，e24．空間向量的坐標(biāo)表示對(duì)于空間任意一個(gè)向量p→，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，得到向量OP→=p→，由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p→=xe1→+ye2→+ze3→．把x【解題方法點(diǎn)撥】1．基底的判斷判斷三個(gè)向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見(jiàn)的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個(gè)基底，看是否存在一對(duì)實(shí)數(shù)λ、μ使得a→2．空間向量的坐標(biāo)表示用坐標(biāo)表示空間向量的解題方法與步驟為：（1）觀察圖形：充分觀察圖形特征；（2）建坐標(biāo)系：根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標(biāo)系；（3）進(jìn)行計(jì)算：綜合利用向量的加、減及數(shù)乘計(jì)算；（4）確定結(jié)果：將所求向量用已知的基向量表示出來(lái)．3．用基底表示向量用基底表示向量時(shí)，（1）若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算律進(jìn)行．（2）若沒(méi)給定基底時(shí)，首先選擇基底．選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求．15．幾何法求解二面角及兩平面的夾角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．棱為AB、面分別為α、β的二面角記作二面角α﹣AB﹣β．有時(shí)為了方便，也可在α、β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點(diǎn)P、Q，將這個(gè)二面角記作P﹣AB﹣Q．如果棱記作l，那么這個(gè)二面角記作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小與點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)，我們可以根據(jù)需要來(lái)選擇棱l上的點(diǎn)O．【解題方法點(diǎn)撥】求二面角的平面角：在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．【命題方向】﹣夾角計(jì)算：考查如何使用幾何方法計(jì)算兩平面之間的夾角．16．空間中點(diǎn)到平面的距離【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣點(diǎn)到平面的距離：點(diǎn)P（x1，y1，z1）到平面Ax+By+Cz+D＝0（平面的法向量為（A，B，C））的距離為：d=【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算距離：代入點(diǎn)和平面的系數(shù)，使用公式計(jì)算距離．【命題方向】﹣距離計(jì)算：考查如何計(jì)算點(diǎn)到平面的距離．17．由圓與圓的位置關(guān)系求解圓的方程或參數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣方程或參數(shù)：根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，可以確定圓的方程或參數(shù)，如圓心位置和半徑．【解題方法點(diǎn)撥】﹣確定方程：1．分析位置關(guān)系：根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系確定方程形式．2．代入條件：根據(jù)位置關(guān)系求解方程的參數(shù)和具體形式．【命題方向】﹣方程參數(shù)求解：考查如何根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系確定圓的方程或參數(shù)，涉及幾何解釋和代數(shù)計(jì)算．18．求橢圓的離心率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】橢圓的離心率e由公式e=ca【解題方法點(diǎn)撥】1．計(jì)算離心率：使用公式e=【命題方向】﹣給定a和b，求橢圓的離心率．﹣計(jì)算橢圓的離心率，并分析其含義．19．直線與橢圓的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線與橢圓的位置判斷：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與橢圓相交?Δ＞0；直線與橢圓相切?Δ＝0；直線與橢圓相離?Δ＜0；【解題方法點(diǎn)撥】（1）直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法①聯(lián)立方程，借助一元二次方程的判別式來(lái)判斷；②借助直線和橢圓的幾何性質(zhì)來(lái)判斷．根據(jù)直線系方程抓住直線恒過(guò)定點(diǎn)的特征，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系，也是解決此類問(wèn)題的難點(diǎn)所在．（2）弦長(zhǎng)的求法設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=(1+k2注意：利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式．（3）中點(diǎn)弦、弦中點(diǎn)常見(jiàn)問(wèn)題①過(guò)定點(diǎn)被定點(diǎn)平分的弦所在直線的方程；②平行弦中點(diǎn)的軌跡；③過(guò)定點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡．解決有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問(wèn)題常用方法是“韋達(dá)定理”和“點(diǎn)差法”，這兩種方法的前提都必須保證直線和橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．（4）橢圓切線問(wèn)題①直線與橢圓相切，有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；②過(guò)橢圓外一點(diǎn)可以作兩條直線與橢圓相切；③過(guò)橢圓上一點(diǎn)只能作一條切線．（5）最值與范圍問(wèn)題的解決思路①構(gòu)造關(guān)于所求量的函數(shù)，通過(guò)求函數(shù)的值域來(lái)獲得問(wèn)題的解；②構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，通過(guò)解不等式來(lái)獲得問(wèn)題的解．在解題過(guò)程中，一定要深刻挖掘題目中的隱含條件，如判別式大于零等可利用條件．【命題方向】1．由已知條件求橢圓的方程或離心率；2．由已知條件求直線的方程；3．中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)問(wèn)題；4．弦長(zhǎng)問(wèn)題；5．與向量結(jié)合求參變量的取值．20．拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)：21．古典概型及其概率計(jì)算公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：（1）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過(guò)對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．2．古典概率的計(jì)算公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1n如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點(diǎn)撥】1．注意要點(diǎn)：解決古典概型的問(wèn)題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；（3）事件A是什么．2．解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．22．概率的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】概率相關(guān)知識(shí)梳理：一、古典概型與互斥事件1．頻率與概率：頻率是事件發(fā)生的概率的估計(jì)值．2．古典概率計(jì)算公式：P（A）＝．集合的觀點(diǎn)：設(shè)試驗(yàn)的基本事件總數(shù)構(gòu)成集合I，事件A包含的事件數(shù)構(gòu)成集合A，則．3．古典概型的特征：（1）每次試驗(yàn)的結(jié)果只有一個(gè)基本事件出現(xiàn)；（2）試驗(yàn)結(jié)果具有有限性；（3）試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)等可能性．4．互斥事件概率（1）互斥事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，一次試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A，B稱為互斥事件．（2）互為事件概率計(jì)算公式：若事件A，B互斥，則P（A+B）＝P（A）+P（B）．（3）對(duì)立事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，一次試驗(yàn)中兩個(gè)事件A，B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)事件發(fā)生，這樣的兩個(gè)事件稱為對(duì)立事件．記作：B=A，由對(duì)立事件定義知：P（A）＝1﹣P（A（4）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系：對(duì)立必互斥，互斥未必對(duì)立．用集合的觀點(diǎn)分析對(duì)立事件與互斥事件：設(shè)兩個(gè)互斥事件A，B包含的所有結(jié)果構(gòu)成集合A，B，則A∩B＝?（如圖所示）設(shè)兩個(gè)對(duì)立事件A，A包含的所有結(jié)果構(gòu)成的集合為A，A，A∩A=?，A∪A=則注：若A1，A2，…，An任意兩個(gè)事件互斥，則：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）二、幾何概型幾何概型定義：向平面有限區(qū)域（集合）G內(nèi)投擲點(diǎn)M，若點(diǎn)M落在子區(qū)域G1?G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無(wú)關(guān)，我們就稱這種概型為幾何概型．幾何概型計(jì)算公式：幾何概型的特征：（1）試驗(yàn)的結(jié)果有無(wú)限個(gè)（無(wú)限性）；（2）試驗(yàn)的結(jié)果出現(xiàn)等可能性．注：幾何概型中的區(qū)域可以是長(zhǎng)度、面積、體積等．三、條件概率與獨(dú)立事件1．條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A，B，在已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率稱為事件B發(fā)生時(shí)事件A發(fā)生的條件概率，記為P（A|B）．類似的還可定義為事件A發(fā)生時(shí)事件B發(fā)生的條件概率，記為P（B|A）．2．把事件A，B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件D，稱為事件A，B的交（或積），記為：A∩B＝D或D＝AB．3．條件概率計(jì)算公式：P（A|B）=P(AB)P(B)（P（B）＞0），P（B|A）注：（1）事件A在“事件B發(fā)生的條件下”的概率與沒(méi)有事件B發(fā)生時(shí)的概率是不同的．（2）對(duì)于兩個(gè)事件A，B，如果P（A|B）＝P（A）則表明事件B的發(fā)生不影響事件A發(fā)生的概率．此時(shí)事件A，B是相互獨(dú)立的兩個(gè)事件，即有P（A|B）＝P（A）=P(AB)P(B)（P（B）＞0?P（AB）＝故當(dāng)兩個(gè)事件A，B，若P（AB）＝P（A）P（B），則事件A，B相互獨(dú)立，同時(shí)A與B，A與B，A與B也相互獨(dú)立．四、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布1．二項(xiàng)分布：（1）n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念：在相同的條件下，重復(fù)做n次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征：①每次試驗(yàn)的條件相同，某一事件發(fā)生的概率不變；②各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，且每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果發(fā)生或不發(fā)生．（2）二項(xiàng)分步概率計(jì)算公式：一般地，在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為，若隨機(jī)變量由此式確定，則X服從參數(shù)n，p的二項(xiàng)分布，記作：X～B（n，p）．2．超幾何分布超幾何分布定義：一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中含有M件次品（M≤N），從N件產(chǎn)品中任取n件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中含有的次品的個(gè)數(shù)，則，（k為非負(fù)整數(shù)），若隨機(jī)變量由此式確定，則X服從參數(shù)N，M，k的超幾何分布，記作X～H（N，M，n）注：超幾何分布是概率分布的另一種形式，要注意公式中N，M，k的含義．隨機(jī)變量X取某一個(gè)值的概率就是求這一事件發(fā)生的次數(shù)與總次數(shù)的商．3．正態(tài)分布：（1）正態(tài)曲線：函數(shù)f（x）=12πσe-(x-μ（2）若隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則E（X）＝μ，D（X）＝σ2．五、離散型隨機(jī)變量的分布列，期望，方差．1、概念：（1）隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．若ξ是隨機(jī)變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量．（3）連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量（4）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機(jī)變量（1）隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來(lái)表示，并且X是隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫(xiě)字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái)，則稱X為離散型隨機(jī)變量．3、離散型隨機(jī)變量的分布列．（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個(gè)對(duì)應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．4、離散型隨機(jī)變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：