第6章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析一葉見(jiàn)四季，一花知天堂。連續(xù)變離散，模擬變數(shù)字，相映而生輝，規(guī)律乃相似。

離散信號(hào)及其表示；系統(tǒng)的差分方程和模擬圖；單位函數(shù)和單位響應(yīng)；離散系統(tǒng)的卷積和及其應(yīng)用。學(xué)習(xí)導(dǎo)言學(xué)習(xí)重點(diǎn)本章目錄6.1離散時(shí)間信號(hào)6.2離散時(shí)間系統(tǒng)6.3卷積和及其應(yīng)用6.4反演卷積和6.1離散時(shí)間信號(hào)1、離散時(shí)間信號(hào)

離散時(shí)間信號(hào)（簡(jiǎn)稱離散信號(hào)）是只在一系列離散時(shí)刻（例如t1,t2,…）才有定義的信號(hào)。離散信號(hào)即可以對(duì)連續(xù)信號(hào)取樣得到，也可以是事物本來(lái)的離散取值。

例如：（1）氣象站每隔一小時(shí)測(cè)得的氣溫、風(fēng)速等信號(hào)；（2）雷達(dá)每隔一定間隔測(cè)得的高度信號(hào)；（3）電影中每秒鐘拍攝的演員動(dòng)作的24張圖像信號(hào)。若離散信號(hào)由每隔時(shí)間T出現(xiàn)的樣點(diǎn)組成，則可以表示為f(nT)，簡(jiǎn)寫(xiě)為f(n)，f(n)又常稱為序列。（1）離散信號(hào)的概念6.1離散時(shí)間信號(hào)六種常見(jiàn)的離散信號(hào)正弦序列指數(shù)衰減序列指數(shù)增長(zhǎng)序列衰減振蕩序列階躍序列指數(shù)振蕩序列①單位脈沖序列（單位函數(shù)）②單位階躍序列③矩形序列（有限長(zhǎng)脈沖序列）6.1離散時(shí)間信號(hào)（2）常用的離散信號(hào)（序列）即：a取不同值時(shí)的序列波形6.1離散時(shí)間信號(hào)④正弦序列⑤因果實(shí)指數(shù)序列式中：Ω是數(shù)字角頻率，單位是rad。取樣周期T=86.1離散時(shí)間信號(hào)（3）離散信號(hào)的應(yīng)用機(jī)械手控制系統(tǒng)6.1離散時(shí)間信號(hào)2、離散信號(hào)的基本運(yùn)算（1）相加：兩序列同序號(hào)的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加。（2）相乘：兩序列同序號(hào)的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘。FLASH:離散信號(hào)延遲（3）移位：序列沿n軸逐項(xiàng)依次移位。規(guī)律：若m為正整數(shù)，則f(n－m)比f(wàn)(n)延遲m位，即f(n)的圖形右移m位；

f(n＋m)比f(wàn)(n)超前m位，即f(n)的圖形左移m位。6.1離散時(shí)間信號(hào)從模擬信號(hào)到數(shù)字信號(hào)：取樣+量化+編碼6.1離散時(shí)間信號(hào)SamplingQuantizationEncoding6.1離散時(shí)間信號(hào)思考題（1）若有一個(gè)最小的正整數(shù)N，使得f(n)＝f(n+N)，那么f(n)是一個(gè)什么樣的序列？（2）圖示連續(xù)信號(hào)f(t)和離散信號(hào)f(n)的角頻率各為多少？注意：為取樣角頻率。連續(xù)信號(hào)離散信號(hào)1、離散系統(tǒng)的差分方程差分方程：微分方程的離散化。6.2離散時(shí)間系統(tǒng)下面以RC電路電容充放電為例說(shuō)明如何由微分方程得到差分方程。式中：充放電t＝nT微分方程為對(duì)上式取樣，得令T=1，即有差分方程解：根據(jù)KCL，可得例1:求T形電阻網(wǎng)絡(luò)的差分方程。整理可得差分方程為6.2離散時(shí)間系統(tǒng)電流“一進(jìn)兩出”適當(dāng)移位后又可以寫(xiě)成（二階差分方程）N階差分方程的一般形式：（后向差分方程

）6.2離散時(shí)間系統(tǒng)式中：簡(jiǎn)記為L(zhǎng)TI離散系統(tǒng)的性質(zhì)：設(shè)（1）可加性：對(duì)于輸入f1(n)和f2(n)，恒有（2）齊次性：對(duì)應(yīng)任意常數(shù)a和輸入f(n)，恒有（3）線性：對(duì)于任意常數(shù)a1和a2，必有（4）時(shí)不變性（位移不變性）：對(duì)于任意整數(shù)m，恒有6.2離散時(shí)間系統(tǒng)2、離散系統(tǒng)的時(shí)域模擬三種基本模擬運(yùn)算單元（2）常數(shù)乘法器（1）加法器（3）單位延遲器例2：設(shè)一數(shù)字處理器的差分方程為試畫(huà)出其模擬框圖。6.2離散時(shí)間系統(tǒng)解：將差分方程改寫(xiě)為模擬框圖如下共用延遲器節(jié)約成本1個(gè)加法器5個(gè)常數(shù)乘法器4個(gè)單位延遲器2個(gè)加法器5個(gè)常數(shù)乘法器2個(gè)單位延遲器改進(jìn)6.2離散時(shí)間系統(tǒng)3、離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

對(duì)于N階差分方程，當(dāng)輸入信號(hào)為零時(shí)，其零輸入響應(yīng)的基本形式為其中：是系統(tǒng)特征方程的根；系數(shù)由初始狀態(tài)決定。說(shuō)明：（1）差分方程和微分方程的求解非常類似，所不同的是微分方程齊次解的基本形式為，而差分方程齊次解的基本形式為；（2）在計(jì)算零輸入響應(yīng)時(shí)，要注意正確運(yùn)用所給定的起始狀態(tài)。6.2離散時(shí)間系統(tǒng)例3:設(shè)有二階離散系統(tǒng)起始狀態(tài)，試求時(shí)的零輸入響應(yīng)。解：零輸入響應(yīng)為當(dāng)n＝0

時(shí)當(dāng)n＝1時(shí)最后得零輸入響應(yīng)為解得系數(shù)為例4:著名的斐波那契（Fibonacci）數(shù)列為｛0，1，1，2，3，5，8，13，21，…｝設(shè)數(shù)列的第n個(gè)數(shù)值為y(n)，試寫(xiě)出數(shù)列滿足的差分方程表達(dá)式并求其解。6.2離散時(shí)間系統(tǒng)解：差分方程為齊次解為當(dāng)n＝0

時(shí)當(dāng)n＝1時(shí)方程的解為解得系數(shù)為MATLAB數(shù)值仿真結(jié)果如下：6.2離散時(shí)間系統(tǒng)當(dāng)n≥20時(shí)，y(n)將飛速增長(zhǎng)。研究表明：生物學(xué)的生態(tài)平衡和災(zāi)變過(guò)程（例如蝗災(zāi)）都滿足斐波那契數(shù)列。自然界中的許多事物也滿足此規(guī)律。例如：大多數(shù)花的花瓣都是斐波那契數(shù)列中的數(shù)：百合花為3，梅花為5，金盞花為13；向日葵表面常見(jiàn)的兩組螺旋線數(shù)目為34和55，較大的有144及233，這些都是斐波那契數(shù)列中相鄰的兩個(gè)數(shù)。6.2離散時(shí)間系統(tǒng)此外，斐波那契數(shù)列與黃金分割點(diǎn)也有密切關(guān)系。和是兩個(gè)重要的黃金分割數(shù)。斐波那契數(shù)列中任意一項(xiàng)比前一項(xiàng)是，例如：越到后面，比值越接近黃金分割數(shù)1.618。6.2離散時(shí)間系統(tǒng)思考題（1）線性差分方程的兩種模擬圖各有什么規(guī)律？如何利用模擬圖寫(xiě)出系統(tǒng)的差分方程？（2）設(shè)有差分方程：你能編制一個(gè)利用計(jì)算機(jī)求y(n)的計(jì)算流程圖嗎？（3）某人每月月初定期在銀行存款，若第n個(gè)月的存款額為f(n)，銀行支付的月利率為α，那么儲(chǔ)戶第n個(gè)月月底的本息總額y(n)如何表示？6.2離散時(shí)間系統(tǒng)6.3卷積和及其應(yīng)用1、離散信號(hào)的分解與卷積和例如：離散信號(hào)任意離散信號(hào)f(n)均可以表示為許多δ序列的線性組合。（1）離散信號(hào)的時(shí)域分解＝??6.3卷積和及其應(yīng)用（2）卷積和的定義和性質(zhì)①定義：對(duì)于離散信號(hào)f1(n)和f2(n)，二者的卷積和（簡(jiǎn)稱卷和）定義為②代數(shù)性質(zhì)：因此即：序列f(n)和δ(n)的卷和的結(jié)果恢復(fù)f(n)自身。結(jié)合律：當(dāng)f1(n)和f2(n)均為因果信號(hào)時(shí)，交換律：分配律：6.3卷積和及其應(yīng)用例1:序列，試求卷和。解：根據(jù)卷和的定義，可得等比級(jí)數(shù)求和根據(jù)等比級(jí)數(shù)求和公式可得說(shuō)明：等比級(jí)數(shù)求和公式如下6.3卷積和及其應(yīng)用例2:設(shè)有限長(zhǎng)序列f1(n)=｛1,3,2,4｝和f2(n)=｛2,1,3｝，

（n≥0），求兩者的卷和。解：用如下乘法計(jì)算132421339612132427101910122648×f1(n)f2(n)f1(n)*f2(n)n=0n=5即：f1(n)*f2(n)=｛2,7,10,19,10,12｝6.3卷積和及其應(yīng)用卷和的圖解機(jī)理n換成kn換成k反褶平移相乘求和FLASH

:

卷和6.3卷積和及其應(yīng)用常見(jiàn)因果序列的卷和表序號(hào)123456789102、離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)在零狀態(tài)條件下，由單位序列

(n)引起的響應(yīng)稱為單位脈沖響應(yīng)，簡(jiǎn)稱單位響應(yīng)，記為h(n)。6.3卷積和及其應(yīng)用（1）單位脈沖響應(yīng)在離散系統(tǒng)中，關(guān)注更多的是零狀態(tài)響應(yīng)，即在起始狀態(tài)為零時(shí)，僅由輸入信號(hào)f(n)引起的響應(yīng)。在零狀態(tài)響應(yīng)中，單位脈沖響應(yīng)非常重要，它是一種特殊的零狀態(tài)響應(yīng)。求解單位響應(yīng)的方法：①遞推法；②z變換法（在第7章中介紹）6.3卷積和及其應(yīng)用例3:設(shè)有一階因果離散系統(tǒng)的差分方程為試求其單位響應(yīng)h(n)。解：采用遞推法求解當(dāng)n＝0

時(shí)當(dāng)n＝2時(shí)當(dāng)n＝1

時(shí)起始狀態(tài)令，則根據(jù)單位響應(yīng)的定義，可得為了便于遞推，改寫(xiě)為依次類推，可得單位響應(yīng)為（說(shuō)明：因果系統(tǒng)的h(n)＝0,n＜0）LTI離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等于f(n)和h(n)的卷和，即6.3卷積和及其應(yīng)用（2）零狀態(tài)響應(yīng)過(guò)程如下：LTI（時(shí)不變性）

（齊次性）（可加性）（定義）當(dāng)f(n)和h(n)為因果序列時(shí)求零狀態(tài)響應(yīng)的過(guò)程示意圖6.3卷積和及其應(yīng)用??＝??＝6.3卷積和及其應(yīng)用例4:已知離散系統(tǒng)的輸入序列和單位脈沖響應(yīng)分別為試系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

。由分配律可得解：系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為其中：由移位不變性，可得根據(jù)可加性，可得則階躍響應(yīng)s(n)與單位響應(yīng)h(n)的關(guān)系為6.3卷積和及其應(yīng)用（3）單位階躍響應(yīng)在零狀態(tài)條件下，由單位階躍序列ε(n)引起的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱階躍響應(yīng)，記為s(n)。且由于連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的比較離散系統(tǒng)系統(tǒng)由差分方程描述

響應(yīng)y(n)=yzi(n)

+yzs(n)卷積和線性和位移不變性以單位函數(shù)

(n)為基本信號(hào)

yzs(n)=h(n)

f(n)6.3卷積和及其應(yīng)用6.3卷積和及其應(yīng)用思考題（1）離散系統(tǒng)的h(n)與連續(xù)系統(tǒng)的h(t)有何異同？離散系統(tǒng)的s(n)與連續(xù)系統(tǒng)的s(t)有何異同？（2）考慮下式是否正確？為什么？（3）若二階差分方程系統(tǒng)有特征根和，與連續(xù)系統(tǒng)相似，其二階特征函數(shù)為：若系統(tǒng)輸入的強(qiáng)迫函數(shù)為，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為試說(shuō)明理由。系統(tǒng)辨識(shí)（systemidentification）：由給定的輸入、輸出特性尋求系統(tǒng)的模型。6.4反演卷積和對(duì)應(yīng)的矩陣形式為在離散系統(tǒng)中，當(dāng)已知零狀態(tài)響應(yīng)y(n)和單位響應(yīng)h(n)時(shí)，如何反演求出輸入信號(hào)f(n)?考慮到解得6.4反演卷積和