2/10第03講平行線的判定課程標準學習目標①同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角②平行線的判定1．掌握同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的位置關(guān)系；2．掌握利用同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角判定判定兩條直線平行的條件。知識點01同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念1.同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角：填空：(1)如圖，∠1和∠5，分別在直線AB，CD的上方（同一方），在直線EF的右側(cè)（同側(cè)）.具有這種位置關(guān)系的一對角是同位角.(2)如圖，∠3和∠5，在直線AB，CD之間，在直線EF的兩側(cè).具有這種位置關(guān)系的一對角叫做內(nèi)錯角.(3)如圖，∠3和∠6，在直線AB，CD之間，在直線EF的同側(cè).具有這種位置關(guān)系的一對角叫做同旁內(nèi)角.【總結(jié)】(1)同位角：在被截直線的同一方向，截線的同側(cè)的一對角.(2)內(nèi)錯角：在被截直線的內(nèi)側(cè)，截線的兩側(cè)的一對角.(3)同旁內(nèi)角：在被截直線的內(nèi)側(cè)，截線的同側(cè)的一對角.【即學即練1】（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，直線DE和BC被直線AB所截．(1)與、與，與各有什么特殊的位置關(guān)系？(2)與是內(nèi)錯角嗎？為什么？(3)如果，那么等于嗎？和互補嗎？為什么？知識點02平行線的定義及表示(1)定義：在同一平面內(nèi)內(nèi)，不相交的兩條直線.(2)表示：平行用“∥”符號表示，讀作“平行于”.1.同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系：(1)平行 (2)相交2.利用直尺和三角尺畫平行線：一“落”、二“靠”、三“移”、四“畫”.【注意】平行線的畫法四字訣1.“落”：三角板的一邊落在已知直線上；2.“靠”：用直尺緊靠三角板的另一邊；3.“移”：沿直尺移動三角板，直至落在已知直線上的三角板的一邊經(jīng)過已知點；4.“畫”：沿三角板過已知點的邊畫直線.【即學即練1】（23-24七年級上·河南周口·期末）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有（

）A．相交、垂直 B．相交、平行C．垂直、平行 D．相交、垂直和平行【即學即練2】（23-24七年級下·全國·單元測試）在數(shù)學課上，老師畫一條直線a，按如圖所示的方法，畫一條直線b與直線a平行，再向上推三角尺，畫一條直線c也與直線a平行，此時，發(fā)現(xiàn)直線b與直線c也平行，這就說明了（

）A．平行于同一條直線的兩直線平行B．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行C．兩直線平行，同位角相等D．過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行知識點03平行公理及推論(1)平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.(2)推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c.【注意】平行公理(1)“有且只有”強調(diào)直線的存在性和唯一性.(2)前提條件“經(jīng)過直線外一點”，若點在直線上，不可能有平行線.【即學即練1】（23-24七年級下·廣西防城港·期末）已知直線，，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線a與c互相垂直 B．直線a與c互相平行C．直線a與c相交 D．直線a與b相交知識點04平行線的判定方法平行線的判定方法1：(1)文字表述：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：同位角相等，兩直線平行.(2)幾何語言：∵∠1=∠5(或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)，∴AB∥CD.平行線的判定方法2：(1)文字表述：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.(2)幾何語言：∵∠2=∠8(或者∠3=∠5)，∴AB∥CD.平行線的判定方法3：(1)文字表述：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行.簡單說成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.(2)幾何語言：∵∠2+∠5=180°(或者∠3+∠8=180°)，∴AB∥CD.平行線的其他判定方法：(1)在同一平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩條直線平行.(2)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行.【總結(jié)】判定兩直線平行的方法方法一：平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線就是平行線.方法二：平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.方法三：同位角相等，兩直線平行.方法四：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.方法五：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.方法六：同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行.【即學即練1】（23-24八年級上·貴州畢節(jié)·期末）如圖，點，，在一條直線上，要根據(jù)“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”判定，需添加的一個條件是（

）A． B．C． D．【即學即練2】（2024七年級上·全國·專題練習）已知直線和被直線所截．(1)如圖①，若平分，平分，則與滿足什么條件時，？為什么？(2)如圖②，若平分，平分，則與滿足什么條件時，？為什么？(3)如圖③，若EG平分，平分，則與滿足什么條件時，？為什么？題型01同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的辨別例題：（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，若，則的同位角的大小是，的內(nèi)錯角的大小是，的同旁內(nèi)角的大小是．【變式訓練】1．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，直線上有一點和是直線被直線所截形成的角；和是直線和被直線所截形成的角；和是直線和被直線所截形成的角．2．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，直線DE和BC被直線AB所截．(1)與、與，與各有什么特殊的位置關(guān)系？(2)與是內(nèi)錯角嗎？為什么？(3)如果，那么等于嗎？和互補嗎？為什么？題型02平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系例題：（2024七年級上·全國·專題練習）同一平面內(nèi)，兩條不重合的直線的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直【變式訓練】1．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）在同一平面內(nèi)有三條不同的直線，若，則a與b的位置關(guān)系為（

）A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．無法確定2．（24-25七年級上·湖北武漢·階段練習）、、為同一平面內(nèi)的三條直線，若與不平行，與不平行，那么與（

）A．一定不平行 B．一定平行C．一定互相垂直 D．可能相交或平行題型03平行公理及推論應(yīng)用例題：（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）平行線的基本事實：過與這條直線平行．【變式訓練】1．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）有下列說法：①兩條不相交的直線是平行線；②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③在同一平面內(nèi)，和第三條直線都不相交的兩條直線平行；④在同一平面內(nèi)，不相交的兩條射線必平行．其中，正確的有個．2．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）下列說法：①在同一平面內(nèi)，若直線，，則；②在同一平面內(nèi)，若直線，直線與相交，則直線與相交；③若直線與直線相交，直線與直線相交，則直線與直線相交；④過一點有且只有一條直線與已知直線平行，其中說法正確的是．（填序號）題型04同位角相等，兩直線平行例題：（24-25八年級上·吉林·開學考試）把下面的證明過程補充完整：如圖，已知直線AB，CD被直線所截，為CD與的交點，于點，，，求證：．證明：∵（已知），∴（

）．又∵（已知），∴，∴（

）（____________）．又∵（已知），∴，∴（____________）．【變式訓練】1．（23-24七年級下·廣東揭陽·階段練習）如圖：，平分，平分，，試說明：．請完成下面的解題過程．解：∵平分，平分（已知），____________，_________（角平分線的定義），又（已知）________________．又（已知）________，（________）．2．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在三角形中，，點分別在邊的延長線上，作射線，如果平分，那么與平行嗎？為什么？題型05內(nèi)錯角相等，兩直線平行例題：（23-24七年級下·全國·單元測試）完成下面證明：如圖，平分，．求證．證明：∵平分∴（）∵．∴．（）∴（）．【變式訓練】1．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，點G在上，已知，平分，平分，請說明的理由．解：（已知），（_______）（_______）．∵平分，_______（_______）．平分，_______，得（_______），（_______）．2．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，點O在直線上，平分平分是上一點，連接．(1)判斷與是否垂直，并說明理由；(2)若與互余，判斷與是否平行，并說明理由．題型06同旁內(nèi)角互補，兩直線平行例題：（23-24七年級下·河北唐山·期中）如圖，已知．將下列推理過程補充完整．∵（已知），∴________（________________）∵（已知）∴________（________________）∵（已知），∴_________________（________________）．【變式訓練】1．（23-24七年級下·福建漳州·期中）完成下面的證明．已知：如圖，．求證：．證明：，______________（_______）．，______________．（_______）．2．（23-24七年級下·河南安陽·期中）完成下面的證明：如圖，平分，平分，且，求證．證明：∵平分（已知），∴（

）∵平分（已知），∴_________（

）∴（

）∵（已知），∴_________（

）∴（

）題型07添加一條件使兩直線平行例題：（24-25八年級上·陜西漢中·階段練習）如圖，已知，點，分別在射線，上，點為內(nèi)一點，連接，，不添加輔助線，請?zhí)砑右粋€條件使得，則可添加為．（寫出一個即可）【變式訓練】1．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，E是線段的延長線上一點，添加一個條件，使，則可添加的條件為（寫出一種情況即可）．2．（2024七年級上·全國·專題練習）中考新趨勢·結(jié)論開放性試題

如圖，已知，請你添加一個條件，使得能利用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”來判斷，你添加的條件是．題型08垂直于同一條直線的兩條直線平行例題：（23-24七年級下·廣東河源·期中）如圖，已知，，試探究與的位置關(guān)系，并說明理由．【變式訓練】1．（23-24八年級上·廣東梅州·期末）如圖，，，垂足分別是，，．(1)判斷與的位置關(guān)系；（不需要證明）(2)求證：．題型09平行線的判定去判斷兩線的位置關(guān)系例題：（23-24七年級下·陜西榆林·期末）如圖，已知點在上，平分，平分．(1)試說明：；(2)若，，則與平行嗎？為什么？【變式訓練】1．（23-24七年級下·陜西西安·期末）如圖，在四邊形中，點E在的延長線上，點F在的延長線上，連接相交于點O，，平分，．(1)試說明；(2)與的位置關(guān)系如何？為什么？2．（23-24七年級下·湖北武漢·期中）如圖，點在上，過作于，點是上一點，過點作于．(1)求證：；(2)點在上，若，則試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．一、單選題1．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，直線a、b被直線c所截，，下列條件中可以判定的是（

）A． B． C． D．2．（2024·山西大同·二模）若，則下列圖形一定能推出的是（

）A． B． C． D．3．（23-24七年級下·云南玉溪·階段練習）如圖，描述同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的關(guān)系不正確的是（

）A．與是同位角 B．與是內(nèi)錯角C．與是同旁內(nèi)角 D．與是同旁內(nèi)角4．（23-24七年級下·山東濟寧·階段練習）下列說法中：①若，，則；②若與相交，與相交，則與相交；③相等的角是對頂角；④過一點有且只有一條直線與已知直線平行．不正確的有（

）．A．①② B．②③ C．②③④ D．③④5．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，給出四個條件：①；②；③；④，其中能判定的是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④二、填空題6．（23-24七年級下·河南鄭州·期末）小明按如圖所示的方法畫出了兩條平行線，依據(jù)是．7．（24-25七年級上·海南?？凇て谀┤鐖D，要得到，則需要條件（填一個你認為正確的條件即可），理由是．8．（23-24七年級下·全國·單元測試）根據(jù)圖形填空：（1）若直線，被直線所截，則和是同位角；（2）若直線，被直線所截，則和是內(nèi)錯角；（3）和是直線，被直線所截構(gòu)成的角；9．（2024七年級上·全國·專題練習）觀察如圖所示的長方體，回答問題：（1）與線段平行的線段是；（2）與所在直線不相交，它們平行線（填“是”或“不是”）．由此可知，在內(nèi)，兩條不相交的直線才是平行線．10．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，三根木棒釘在一起，交點分別為．現(xiàn)將木棒分別繞點順時針旋轉(zhuǎn)，同時開始，速度分別為和，當兩根木棒都轉(zhuǎn)滿了一周時，它們同時停止轉(zhuǎn)動．轉(zhuǎn)動s時，木棒平行．

三、解答題11．（23-24七年級下·陜西延安·期末）如圖，已知，交于點D，平分，，求證：．

12．（23-24七年級下·吉林延邊·期中）如圖，在的方格紙中，每個小正方形的邊長為1，、、均為小正方形的頂點，請僅用無刻度的直尺完成以下操作．(1)過點作的平行線．(2)過點作的平行線，與（1）中的平行線交于點．13．（23-24七年級下·山東臨沂·期末）把下面的證明過程補充完整：如圖，已知直線，被直線所截，為與的交