2/10第02講簡單的軸對(duì)稱圖形—等腰（等邊）三角形課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①等腰三角形的性質(zhì)②等邊三角形的性質(zhì)1．理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)；(重點(diǎn))2．經(jīng)歷等腰三角形的探究過程，能初步運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問題．(難點(diǎn))知識(shí)點(diǎn)01等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形性質(zhì)1：等腰三角形的軸對(duì)稱圖形，等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對(duì)等角）（2）等腰三角形性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱：等腰三角的三線合一）圖形：如下所示；符號(hào)：在中，AB＝AC，【即學(xué)即練1】1．（24-25八年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）如圖，，點(diǎn)D在上，且，則的度數(shù)為．2．（24-25七年級(jí)下·重慶·期中）已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為，，其中，滿足，那么這個(gè)等腰三角形的周長是．3．（24-25八年級(jí)下·甘肅臨夏·階段練習(xí)）如圖，在中，，是邊上的中線，已知，，則的度數(shù)是．4．（24-25七年級(jí)上·山東泰安·期末）在中，．

(1)是上的高，．①如圖1，如果，則_____°；②如圖2，如果，則_____．(2)思考：通過以上兩小題，你發(fā)現(xiàn)與之間有什么關(guān)系？請用式子表示：_____．(3)如圖3，如果不是上的高，，是否仍有上述關(guān)系？如有，請你寫出來，并說明理由．知識(shí)點(diǎn)02等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形性質(zhì)1：等邊三角形的三條邊都相等；（2）等邊三角形性質(zhì)2：等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角等于；（3）等邊三角形性質(zhì)3：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸.【即學(xué)即練2】5．（24-25七年級(jí)下·上?！て谥校┤鐖D，已知三條邊的長都為，三個(gè)內(nèi)角都相等，點(diǎn)、同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)以每秒速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒速度沿折線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．如果點(diǎn)在邊上，且以A、、中的兩點(diǎn)和點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形與全等，那么運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．6．（24-25八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，在等邊中，點(diǎn)E在線段的延長線上，點(diǎn)D在直線上，且．若的邊長為1，，則．7．（24-25八年級(jí)下·陜西咸陽·期中）如圖，中，，，于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，連接，且．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．8．（24-25八年級(jí)上·河北邯鄲·期中）如圖，在等邊中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上．且與相交于點(diǎn)于點(diǎn)于點(diǎn)．(1)求證：；(2)分別求出的度數(shù)．題型01等腰三角形兩腰相等求解例題：（24-25七年級(jí)下·上海閔行·期中）已知是等腰三角形，若，那么的周長是．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)下·陜西西安·期中）已知、為等腰的邊長，且滿足，則的底邊長是．2．（24-25八年級(jí)上·安徽安慶·期中）已知等腰的三邊長分別為5，11，，則．3．（24-25七年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）等腰三角形底邊長為，一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長分為兩部分，其差為，則該等腰三角形的腰長為．題型02根據(jù)等邊對(duì)等角求角度例題：（24-25八年級(jí)下·廣東佛山·期中）已知等腰的一個(gè)內(nèi)角是，則它的底角度數(shù)為．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·北京·期中）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是，則它頂角的度數(shù)是．2．（24-25八年級(jí)下·遼寧錦州·期中）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數(shù)為．3．（江西省2025年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)樣卷（二））如圖，在中，，，平分，M為射線上的一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的度數(shù)為題型03根據(jù)等邊對(duì)等角證明例題：（24-25八年級(jí)上·山東濱州·期中）如圖，平分，，，垂足分別為，．求證：．【變式訓(xùn)練】1．（2025·陜西西安·三模）如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D在同一條直線上，，，，與交于點(diǎn)H．求證：．2．（24-25八年級(jí)上·遼寧大連·期末）如圖，點(diǎn)E，B，C，F(xiàn)在一條直線上，，，與相交于點(diǎn)，求證：(1)；(2)．3．（24-25八年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）如圖，中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過點(diǎn)分別作于于．(1)求證：；(2)求證：．題型04根據(jù)三線合一求解例題：（24-25八年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖，在中，，，且，則長為【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·廣東汕頭·期中）如圖，在中，，于點(diǎn)D，若，則的周長是．2．（24-25八年級(jí)下·廣東梅州·階段練習(xí)）如圖，中，，，是的中線，點(diǎn)在上，，則等于．3．（2025八年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）如圖，等腰的底邊長為4，面積是，腰的垂直平分線分別交邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長最小值為：．題型05根據(jù)三線合一證明例題：（24-25八年級(jí)上·河北廊坊·期中）如圖，在中，，，垂足為，，交于點(diǎn)．是等腰三角形嗎？請說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·云南昆明·階段練習(xí)）如圖，在中，，．求證：．2．（24-25八年級(jí)上·上海·階段練習(xí)）已知：如圖，，，是的中點(diǎn)．求證：．3．（24-25八年級(jí)上·河北邯鄲·期中）已知：如圖，在中，，是邊上的中線，，垂足為E．(1)求證：；(2)若的面積是2，求四邊形的面積．題型06根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解例題：（24-25八年級(jí)下·廣東佛山·期中）如果等邊三角形的邊長為3，則等邊三角形的周長為．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·吉林四平·階段練習(xí)）如圖，為等邊三角形，，，則的度數(shù)為．2．（24-25八年級(jí)下·陜西咸陽·期中）如圖，在等邊三角形中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作于點(diǎn)E，則的長為．3．（24-25九年級(jí)上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)、點(diǎn)分別是等邊三角形中、邊的中點(diǎn)，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．題型07根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明例題：（24-25八年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖，和是等邊三角形，點(diǎn)，分別在，上，且，連接與交于點(diǎn)，連接．求證：(1)；(2)；(3)平分．【變式訓(xùn)練】1．（24-25九年級(jí)下·湖南長沙·期中）如圖，在等邊中，點(diǎn)、在邊、上，且，連接、交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．2．（24-25八年級(jí)上·重慶忠縣·期中）如圖，D是等邊內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)P是等邊外一點(diǎn)，，．(1)求的度數(shù)；(2)設(shè)交于點(diǎn)E，連接，的邊長為10，，求的面積．3．（24-25八年級(jí)上·湖北恩施·期中）如圖，為等邊三角形，，交于點(diǎn)P，于Q．(1)求證：；(2)若，求的長；(3)連接，若，求的值．一、單選題1．（24-25九年級(jí)下·河北滄州·階段練習(xí)）等腰三角形的一個(gè)角是，則它的底角度數(shù)是（

）A． B． C．或 D．或2．（24-25七年級(jí)下·重慶·期中）等腰三角形一邊長為8，另一邊長為4，則這個(gè)等腰三角形的周長為（

）A．16 B．20 C．16或20 D．18或203．（24-25八年級(jí)上·重慶·期中）如圖，中，，平分，則下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．4．（24-25八年級(jí)下·廣東河源·期中）如圖，在中、、的平分線相交于，過作，交于，交于，那么下列結(jié)論正確的有（）①，都是等腰三角形；②；③的周長等于；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（24-25八年級(jí)下·江西撫州·期中）已知，如圖，是等邊三角形，，于，交于點(diǎn)，下列說法：①，②，③，④，其中正確的是（

）A． B． C． D．二、填空題6．（24-25八年級(jí)下·安徽宿州·期中）若等腰三角形的周長為13，一邊長為3，則其腰長是.7．（2025·陜西·模擬預(yù)測）如圖，在中，，于點(diǎn)，點(diǎn)、在邊上，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，且，則圖中全等三角形的對(duì)數(shù)共有對(duì)．8．（24-25八年級(jí)下·廣東梅州·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，，則．

9．（24-25八年級(jí)上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)M在邊上，且，點(diǎn)N和點(diǎn)P分別是和上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．10．（24-25八年級(jí)上·江西南昌·階段練習(xí)）如圖，中，，，射線從射線開始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，與相交于點(diǎn)，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點(diǎn)．若是等腰三角形，則的度數(shù)為．三、解答題11．（2025·陜西西安·二模）如圖，在與中，，，，求證：．12．（24-25八年級(jí)上·廣東汕尾·期中）解答下面兩個(gè)小題：(1)已知等腰三角形的兩邊長是2和6，求這個(gè)等腰三角形的周長．(2)已知等腰三角形的周長是12，一邊長為5，求它的另外兩邊的長．13．（24-25八年級(jí)上·廣東汕尾·期中）如圖，已知線段上有點(diǎn)D，E，且．在線段外側(cè)取點(diǎn)A，使．連結(jié)，，，．(1)求證：．(2)若，，求出圖中除與外所有的等腰三角形，并說明理由．14．（24-25八年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長和，交于點(diǎn)．(1)求證：是等腰三角形：(2)若，，，求的長．15．（24-25八年級(jí)上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期中）如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作，使，連接．(1)求證：(2)若，求的度數(shù)16．（23-24八年級(jí)上·重慶九龍坡·階段練習(xí)）如圖，與均為等腰三角形，，且，為延長線上一點(diǎn)，．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：．17．（24-25八年級(jí)上·河