2026屆河北省唐縣一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．點(diǎn)到直線的距離是（）A. B.C. D.2．若圓與圓外切，則（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)在處取得極值，則（）A. B.C. D.4．已知等比數(shù)列中，，，則首項(xiàng)（）A. B.C. D.05．已知兩條不同直線和平面，下列判斷正確的是（）A.若則 B.若則C.若則 D.若則6．若點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線的距離的最大值為（）A. B.2C. D.47．某班進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測(cè)試，全班學(xué)生的成績(jī)都落在區(qū)間內(nèi)，其成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，若該班學(xué)生這次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)的估計(jì)值為，則的值為（）A. B.C. D.8．已知直線：和直線：，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線和直線的距離之和的最小值是（）A. B.C. D.9．命題“若，都是偶數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆否命題是A.若是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)B.若是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù)C.若不是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)D.若不是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù)10．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若，則當(dāng)最大時(shí)，（）A. B.1C. D.211．已知直線和圓相交于兩點(diǎn)．若，則的值為（）A. B.C. D.12．已知是雙曲線：的右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為，并交軸于點(diǎn)．若，則的離心率為（）A. B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則P滿足性質(zhì)：點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為離心率e，若C的右支上存在點(diǎn)Q，使得Q到左焦點(diǎn)的距離等于它到直線的距離的6倍，則雙曲線的離心率的取值范圍是______14．四棱錐中，底面是一個(gè)平行四邊形，，，，則四棱錐體積為_(kāi)______15．在等比數(shù)列中，若，，則數(shù)列的公比為_(kāi)__________.16．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）新疆長(zhǎng)絨棉品質(zhì)優(yōu)良，纖維柔長(zhǎng)，被世人譽(yù)為“棉中極品”，產(chǎn)于我國(guó)新疆的吐魯番盆地、塔里木盆地的阿克蘇、喀什等地.棉花的纖維長(zhǎng)度是評(píng)價(jià)棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)之一，在新疆某地區(qū)成熟的長(zhǎng)絨棉中隨機(jī)抽測(cè)了一批棉花的纖維長(zhǎng)度（單位：mm），將樣本數(shù)據(jù)制成頻率分布直方圖如下：（1）求的值；（2）估計(jì)該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）根據(jù)棉花纖維長(zhǎng)度將棉花等級(jí)劃分如下：纖維長(zhǎng)度小于30mm大于等于30mm，小于40mm大于等于40mm等級(jí)二等品一等品特等品從該地區(qū)成熟的棉花中隨機(jī)抽測(cè)兩根棉花的纖維長(zhǎng)度，用樣本的頻率估計(jì)概率，求至少有一根棉花纖維長(zhǎng)度達(dá)到特等品的概率.18．（12分）某消費(fèi)者協(xié)會(huì)在3月15號(hào)舉行了以“攜手共治，暢享消費(fèi)”為主題的大型宣傳咨詢服務(wù)活動(dòng)，著力提升消費(fèi)者維權(quán)意識(shí)，組織方從參加活動(dòng)的群眾中隨機(jī)抽取120名群眾，按年齡將這120名群眾分成5組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求圖中m的值；（2）估算這120名群眾的年齡的中位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；（3）已知第1組群眾中男性有2人，組織方要從第1組中隨機(jī)抽取2名群眾組成維權(quán)志愿者服務(wù)隊(duì)，求恰有一名女性的概率.19．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，，為中點(diǎn)，且平面.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，求的值.20．（12分）已知圓.（1）若不過(guò)原點(diǎn)的直線與圓相切，且直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；（2）求與圓和直線都相切的最小圓的方程.21．（12分）為落實(shí)國(guó)家扶貧攻堅(jiān)政策，某地區(qū)應(yīng)上級(jí)扶貧辦的要求，對(duì)本地區(qū)所有貧困戶每年年底進(jìn)行收入統(tǒng)計(jì)，下表是該地區(qū)貧困戶從2017年至2020年的收入統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：（其中y為貧困戶的人均年純收入）年份2017年2018年2019年2020年年份代碼1234人均年純收入y/百元25283235（1）在給定的坐標(biāo)系中畫(huà)出A貧困戶的人均年純收入關(guān)于年份代碼的散點(diǎn)圖；（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并估計(jì)A貧困戶在年能否脫貧.（注：假定脫貧標(biāo)準(zhǔn)為人均年純收入不低于元）參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，.22．（10分）如圖，五邊形為東京奧運(yùn)會(huì)公路自行車(chē)比賽賽道平面設(shè)計(jì)圖，根據(jù)比賽需要，在賽道設(shè)計(jì)時(shí)需預(yù)留出，兩條服務(wù)通道（不考慮寬度），，，，，為賽道．現(xiàn)已知，，千米，千米（1）求服務(wù)通道的長(zhǎng)（2）在上述條件下，如何設(shè)計(jì)才能使折線賽道（即）的長(zhǎng)度最大，并求最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】直接使用點(diǎn)到直線距離公式代入即可.【詳解】由點(diǎn)到直線距離公式得故選：B2、C【解析】求得兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合兩圓相外切，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，圓與圓可得，，因?yàn)閮蓤A相外切，可得，解得故選：C.3、B【解析】根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)為零可求解.【詳解】因?yàn)?，則，由題意可知.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意故選：B4、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程組，即可求得，進(jìn)而可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q，則，解得，所以.故選：B5、D【解析】根據(jù)線線、線面、面面的平行與垂直的位置關(guān)系即可判斷.【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A：若，則與可能平行，可能相交，可能異面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)不滿足，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；綜上，可知選項(xiàng)D正確.故選：D.6、A【解析】由方程確定曲線的形狀，然后轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值【詳解】由曲線方程為知曲線關(guān)于軸成軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形，在第一象限內(nèi)，方程化為，即，在第一象限內(nèi)，曲線是為圓心，為半徑的圓在第一象限的圓?。ê鴺?biāo)軸上的點(diǎn)），實(shí)際上整個(gè)曲線就是這段圓弧及其關(guān)于坐標(biāo)軸．原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖形加上原點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，所以所求最大值為故選：A7、A【解析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意有，得，又由，得，解得，，有故選：A.8、A【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義，可得點(diǎn)P到直線和直線的距離之和，當(dāng)B，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解【詳解】∵拋物線，∴拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，∴點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離PA等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離PF，即，∴點(diǎn)P到直線和直線的距離之和，∴當(dāng)B，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，∵，∴，∴點(diǎn)P到直線和直線的距離之和的最小值為故選：A9、C【解析】命題的逆否命題是將條件和結(jié)論對(duì)換后分別否定，因此“若都是偶數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆否命題是若不是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)考點(diǎn)：四種命題10、B【解析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合換元法、配方法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)設(shè)為，拋物線的焦點(diǎn)為F，所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為：，因此，令，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為1，此時(shí).故選：B11、C【解析】求出圓心到直線的距離，再利用，化簡(jiǎn)求值，即可得到答案.【詳解】圓的圓心為，圓心到直線的距離公式為，故故選：C.12、A【解析】由條件建立a，b，c的關(guān)系，由此可求離心率的值.【詳解】設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴離心率，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】若Q到的距離為有，由題設(shè)有，結(jié)合雙曲線離心率的性質(zhì)，即可求離心率的范圍.【詳解】由題意，，即，整理有，所以或，若Q到的距離為，則Q到左、右焦點(diǎn)的距離分別為、，又Q在C的右支上，所以，則，又，綜上，雙曲線的離心率的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：若Q到的距離為，根據(jù)給定性質(zhì)有Q到左、右焦點(diǎn)的距離分別為、，再由雙曲線性質(zhì)及已知條件列不等式組求離心率范圍.14、【解析】計(jì)算，，得到底面，計(jì)算，，計(jì)算體積得到答案.【詳解】由，，所以底面，，故，體積為.故答案為：16.15、##【解析】求出等比數(shù)列的公比，利用定義可求得數(shù)列的公比.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因此，數(shù)列的公比為.故答案為：.16、80【解析】利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：，令，所以項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：80三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】（1）由頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為1，可求出答案.（2）根據(jù)平均數(shù)的公式可得到答案.（3）先求出一根棉花纖維長(zhǎng)度達(dá)到特等品的概率，然后分恰好有一根和兩根棉花小問(wèn)1詳解】由解得【小問(wèn)2詳解】該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：【小問(wèn)3詳解】由題意一根棉花纖維長(zhǎng)度達(dá)到特等品的概率為：兩根棉花中至少有一根棉花纖維長(zhǎng)度達(dá)到特等品的概率18、（1）（2）（3）【解析】（1）由頻率分布直方圖中所有頻率和為1求出；（2）求出概率對(duì)應(yīng)的值即為中位數(shù)；（3）求出第一組中總?cè)藬?shù)，得女性人數(shù)，然后求得恰有一名女性的方法數(shù)和總的方法數(shù)后可得概率【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)轭l率分布直方圖的小矩形面積和為1，所以，解得，【小問(wèn)2詳解】解：前2組頻率和為，前3組頻率和為，所以中位數(shù)在第3組，設(shè)中位數(shù)為，則，；【小問(wèn)3詳解】解：第一組總?cè)藬?shù)為，男性人2人，則女性有4人，不妨記兩名男性為，四名女性為，則隨機(jī)抽取2名群眾的可能為，，，共15種方案，其中恰有一名女性的方法數(shù)，共8種，所以第1組中隨機(jī)抽取2名群眾組成維權(quán)志愿者服務(wù)隊(duì)，求恰有一名女性的概率為19、（1）（2）線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由，由體積法可得答案.（2）由（1）連接,可得則從而平面，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，可證明平面平面，從而可得出答案.【小問(wèn)1詳解】由，，為中點(diǎn)，則由平面，平面,則又，且,則平面又，則平面,且都在平面內(nèi)所以所以,取的中點(diǎn)，連接，則,所以,所以所以所以則設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由即,即【小問(wèn)2詳解】線段上是否存在一點(diǎn)，使平面.由（1）連接,則四邊形為平行四邊形，則過(guò)點(diǎn)作交于，則為中點(diǎn)，則為的中點(diǎn),即又平面，則平面過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則,即又平面,所以平面又，所以平面平面又平面,所以平面所以線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面.20、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意設(shè)出直線的方程，然后根據(jù)直線與圓相切，即可求出答案；（2）首先根據(jù)題意判斷出最小圓的圓心在直線上，且最小圓的半徑為，然后設(shè)出最小圓的圓心為，則圓心到直線的距離為，從而可求出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橹本€不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，若直線與圓相切，則，即，解得或者3，所以直線的方程為或者；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以直線與圓相離，所以所求最小圓的圓心一定在圓的圓心到直線的垂線段上，即最小圓的圓心在直線上，且最小圓的半徑為，設(shè)最小圓的圓心為，則圓心到直線的距離為，所以，即，解得(舍)或，所以最小的圓的方程為.21、（1）散點(diǎn)圖見(jiàn)解析；（2），能夠脫貧.【解析】（1）直接畫(huà)出點(diǎn)即可；（2）利用公式求出與，即可求出，把代入即可估計(jì)出A貧困戶在2021年能否脫貧.【小問(wèn)1詳解】畫(huà)出y關(guān)于x的散點(diǎn)圖，如圖所示：【小問(wèn)2詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，，又因?yàn)椋?/p>