第四章矩陣的特征值和特征向量

2.求下列矩陣的特征值和特征向量

211

2-4、

(1)A=(2)A=020

-33；

0-11

解（1）矩陣A的特征多項式為

2—2—4

|A-2E|==(2-6)(2+1)

-33-2

令|A—4E|=0,得矩陣A的特征值為4=—1,4=6

3-4

當(dāng)4=T時，解齊次線性方程組（4+E）x=0,即,由

-34⑼

(3-4、

A+E=

、一34,<00>

得基礎(chǔ)解系四=（4,31，故A屬于特征值4=-1的全部特征向量為

c0=5（4,31（。產(chǎn)0為任意常數(shù)）

當(dāng)4=6時，解齊次線性方程組（A-6E）x=0,即,由

工2

-4’1n

A-6E=

-3<00,

得基礎(chǔ)解系％=（-1，1尸，故A屬于特征值4=6的全部特征向量為

r

c2a2=c2(-l,l)(c2Ho為任意常數(shù))

（2）矩陣A的特征多項式為

2-AI1

\A-AE\=02-/1o=-a-2)2(/i-i)

0-12-2

令|A—4E|=0，得矩陣A的特征值為4=1,4=4=2

對于4-1，解齊次線性方程組（A-E）x=O，可得方程組的一個基礎(chǔ)解系

a,=(-1,0,1/,于是A的屬于4=1的全部特征向量為q4(q為不等于零的常數(shù))

對于4=2,解齊次線性方程組(A-2E)x=0,可得方程組的一個基礎(chǔ)解系

7

a2=(l,O,O),a3=(0,-l,l)\于是A的屬于4，4的全部特征向量為

y，q為不全等于零的常數(shù))?

1.證明下列命題：

(1)設(shè)48都是〃階方陣，且|A|wO,證明43與A4相似.

(2)如果矩陣4與B相似，且4與區(qū)都可逆，則A"與3"相似.

證(1)因為同工0,則A可逆.由于

A-\AB)A=(A1A)(5A)=BA

所以43與BA相似.

(2)因為矩陣A與3相似，所以存在一個可逆矩陣P,使得P7AP=B

所以(尸"/1尸)7=3",即P"A"P=6"，所以與相似.

’21P

2.判別矩陣A=020是否對角化？若可對角化，試求可逆矩陣「，使?

、0-11,

為對角陣.

解矩陣A的特征多項式為

2-211

\A-AE\=02-Z0=-(%-2了(4-1)

0—12—4

由|A-2E|=(),得矩陣A的特征值為4=1,4=4=2

對于4=1,解齊次線性方程組(A-E)x=0,可得方程組的一個基礎(chǔ)解系

a,=(-1,0,1/.

對于々=4=2,解齊次線性方程組(4—2E)x=0,可得方程組的一個基礎(chǔ)解系

%=（1,0,。）"％=（°，-1，1）1

由于A有三個線性無關(guān)的特征向量，故A可對角化.令

<-110、’1()0、

尸=（4,。2，%）=00-1則尸7Ap二020

J01;、002)

’20P

3.設(shè)矩陣4=31x可相似對角化，求x.

、405,

解矩陣A的特征多項式為

2-201

\A-/E\=31-2x=-U-l）2U-6）,

405-/1

由|4-4同=0,得矩陣4的特征值為4=4=1,4=6

因為4可相似對■角化，所以對于4=^=1,齊次線性方程組（A-E）x=O有兩個線

性無關(guān)的解，因此R（4-E）=l.由

」or’101、

(A-E)=30XT00X-3

、404,00,

知當(dāng)x=3時R(4-E)=l,即x=3為所求.

1.試求一個正交相似變換矩陣，將下列實對稱矩陣化為對角矩陣:

,（）01、’111]

（1）A=000；(2)A=111

J00>J11,

解（1）矩陣A的特征多項式為

-A01

\A-ZE\=0-40=-2(2-l)U+l)

10-A

由|A-/lE|=0,得矩陣A的特征值為4=0,4=1,&=-1

對于4=0,解方程組（A-0E）x=0,得方程組的一個基礎(chǔ)解系名=（0,1,0），

對于4=1,解方程組（A-E）x=0,得方程組的一個基礎(chǔ)解系％=（1，°，1）1；

1.三階矩陣A的特征值為1,2,3,則下列矩陣中非奇異矩陣是（）.

A.4+2E；B.2E-A：C.E-A；D.A-3E.

答案：A

解因為若4為三階矩陣4的特征值，則|4一九同=憶￡一川=0,

也即當(dāng)2為矩陣A的特征值時，矩陣A-2F,AE-A為奇異矩陣.

由于義二一2不是矩陣A的特征值，所以|4+2E|wO,即矩陣A+2E非奇異.故

答案A正確.

r100、

4.與矩陣4=010相似的矩陣是（).

。2）

[1()、(\10)(\01]p()n

A.021B.010C.010D.021

10。1,10。2)

、002,

答案：C

解由于答案A,B,C,D均為上三角矩陣，其特征值均為4=%=1，4=2,它們

00、

是否與矩陣A=01o相似，取決于對應(yīng)特征值4=4=1四個矩陣與單位矩陣的

。2）

差的秩是否為1,即R（B—E）=1.

由于只有答案C對應(yīng)的R（3—E）=l,即對應(yīng)2,=4=1有兩個線性無關(guān)的向量，所

以答案C正確.

6.設(shè)4,5為〃階矩陣，且A與耳相似，則（）.

AA-AE=B—九E：

B.A與8有相同的特征值和特征向量；

C.A與8都相似于一個對角矩陣；

D.對于任意常數(shù)1,A—必與5—相似.

答案：D

解因為由4與5相似不能推得4=5,所以答案A錯誤:

相似矩陣具有相同的特征多項式，從而有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量,

所以答案B借誤；

由A與5相似不能推出A與6都相似于一個對角矩陣，所以答案C錯誤；

由A與6相似，則存在可逆矩陣尸，使尸一)尸=〃，所以

P\A-tE)P=P'AP-tE=B-tE

所以，對于任意常數(shù)/,A-/E與5—1E相似.故答案D正確.

,123、

8.設(shè)矩陣A與夕相似，其中A=-1x2,已知矩陣