2/30專題3.8直線與拋物線的位置關(guān)系（舉一反三講義）【人教A版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷直線與拋物線的位置關(guān)系】 1【題型2根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系求參數(shù)】 2【題型3拋物線的弦長(zhǎng)問題】 3【題型4拋物線的焦點(diǎn)弦問題】 4【題型5拋物線中的切線問題】 5【題型6拋物線中的三角形（四邊形）面積問題】 6【題型7拋物線中的參數(shù)范圍及最值問題】 7【題型8拋物線中的定點(diǎn)、定值問題】 8【題型9拋物線中的定直線問題】 9【題型10拋物線中的向量問題】 11知識(shí)點(diǎn)1直線與拋物線的位置關(guān)系1．直線與拋物線的位置關(guān)系(1)直線與拋物線的三種位置關(guān)系：(2)設(shè)直線l：y=kx+m，拋物線：y2=2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理成關(guān)于x的方程.①若k≠0，當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ=0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與拋物線相離，無(wú)交點(diǎn).②若k=0，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合.因此直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.【題型1判斷直線與拋物線的位置關(guān)系】【例1】（24-25高二·全國(guó)·課后作業(yè)）直線y=kx?1+2與拋物線x2A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【變式1-1】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）直線y=2與拋物線y2=8x的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（A．0 B．1 C．2 D．無(wú)數(shù)【變式1-2】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線l與拋物線x2=2pyp>0只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線lA．相交 B．相切C．相離 D．相交或相切【變式1-3】（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，A為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則線段FA的中垂線與拋物線的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切C．相離 D．以上都有可能【題型2根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系求參數(shù)】【例2】（2025·天津·二模）“k=12”是“直線y=kx+1與拋物線y2=2x只有一個(gè)公共點(diǎn)”的（A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2-1】（24-25高二下·湖北宜昌·期末）設(shè)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是(A．?12,12 B．?2,2 【變式2-2】（2025·江蘇宿遷·三模）已知拋物線C:x2=y，點(diǎn)M(m,1)，則“m>1”是“過M且與CA．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2-3】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知拋物線C的方程為x2=12y，過點(diǎn)A0,?1和點(diǎn)Bt,3的直線l與拋物線A．?∞,?2C．?∞,?22知識(shí)點(diǎn)2拋物線的弦長(zhǎng)與焦點(diǎn)弦問題1．弦長(zhǎng)問題設(shè)直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，則|AB|==或

|AB|==(k為直線的斜率，k≠0).2．拋物線的焦點(diǎn)弦問題拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)A與焦點(diǎn)F(,0)的距離為|AF|=，若MN為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦，則焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為|MN|=++p(,分別為M,N的橫坐標(biāo)).設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A,B，則四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式下的弦長(zhǎng)公式為：標(biāo)準(zhǔn)方程弦長(zhǎng)公式y(tǒng)2=2px(p>0)|AB|=x1+x2+py2=-2px(p>0)|AB|=p-(x1+x2)x2=2py(p>0)|AB|=y1+y2+px2=-2py(p>0)|AB|=p-(y1+y2)【題型3拋物線的弦長(zhǎng)問題】【例3】（24-25高二上·河南南陽(yáng)·期末）過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F的直線l交C于A,B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，且AF=4，則ABA．163 B．6 C．203【變式3-1】（24-25高二上·河南安陽(yáng)·期中）過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn)，設(shè)C為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若OC=6，則A．5 B．6 C．7 D．8【變式3-2】（24-25高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)T2,0的直線l與拋物線C:y2=2x相交于點(diǎn)(1)若直線l的斜率為1，求AB；(2)求證：OA⊥OB.【變式3-3】（24-25高二上·甘肅臨夏·期末）已知拋物線y2=2pxp>0(1)求拋物線方程；(2)若直線x?y?2=0與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，求AB.【題型4拋物線的焦點(diǎn)弦問題】【例4】（24-25高二上·廣東廣州·期末）斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y=14x2的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則線段ABA．8 B．132 C．112 【變式4-1】（24-25高二上·廣東肇慶·期末）過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交C于A,?B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)上方），若|AF|=3|BF|=3A．y=2x?3 B．y=x?1 C．y=3【變式4-2】（24-25高二上·北京豐臺(tái)·期末）已知拋物線C?：?y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限），點(diǎn)(1)求直線l的斜率；(2)若|AB|=9，求p的值.【變式4-3】（24-25高二上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知焦點(diǎn)位于x軸的拋物線C過點(diǎn)M1,2．(1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；(2)過該拋物線的焦點(diǎn)，作傾斜角為60°的直線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)度.知識(shí)點(diǎn)3拋物線的切線1．拋物線的切線過拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)P的切線方程是.

拋物線y2=2px(p>0)的斜率為k的切線方程是(k≠0).【題型5拋物線中的切線問題】【例5】（24-25高二上·甘肅隴南·期末）已知拋物線x2=ay（a≠0）與傾斜角為45°的一直線l相切于點(diǎn)1,1aA．0,1 B．0,C．0,?1 D．0,?【變式5-1】（2025·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線y2=4x，弦AB過其焦點(diǎn)，分別過弦的端點(diǎn)A,B的兩條切線交于點(diǎn)C，點(diǎn)C到直線AB距離的最小值是（A．14 B．12 C．1【變式5-2】（24-25高二上·江蘇南通·期中）已知拋物線C:y(1)若直線l與拋物線C交于M、N兩點(diǎn)，MN的中點(diǎn)為(6,2)，求直線l的方程；(2)求過點(diǎn)P(?2,1)的拋物線C的切線方程．【變式5-3】（24-25高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓(1)求p；(2)已知點(diǎn)P(?1,?2)，PA，PB是拋物線C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求AB．【題型6\t"/gzsx/zsd29346/_blank"\o"拋物線中的三角形或四邊形面積問題"拋物線中的三角形（四邊形）面積問題】【例6】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)拋物線y2=16x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M2,0且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，則△FAB的面積為（A．6 B．26 C．36 【變式6-1】（24-25高二上·湖南常德·階段練習(xí)）已知拋物線的方程為y2=4x，過其焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且AF=3，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOF的面積和△BOFA．3 B．33 C．2 D．【變式6-2】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知拋物線C:x2=2pyp>0上一點(diǎn)(1)求拋物線C的方程；(2)過點(diǎn)F且傾斜角為5π6的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為拋物線C準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且MA⊥MB，求【變式6-3】（24-25高二下·四川瀘州·階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，Mm,?3(1)求C的方程；(2)過點(diǎn)P4,0且斜率存在的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)A,B，且點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，直線AD與x軸交于點(diǎn)Q（i）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（ii）求△OAQ與△OAB的面積之和的最小值.【題型7\t"/gzsx/zsd29310/_blank"\o"拋物線中的參數(shù)范圍問題"拋物線中的參數(shù)范圍及最值問題】【例7】（24-25高二上·浙江寧波·期末）已知A，B，C是拋物線x2=2py(p>0)上的三點(diǎn)，且A(2,1)，若1kAB+1kACA．5 B．22 C．10 D．【變式7-1】（24-25高二下·福建泉州·期末）已知拋物線Γ：y=14x2的焦點(diǎn)為F，過F的直線l交Γ于點(diǎn)A,B，分別在點(diǎn)A,B處作Γ的兩條切線，兩條切線交于點(diǎn)A．0,1 B．0,12 C．0,1【變式7-2】（24-25高二上·重慶·期末）已知拋物線E:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F到雙曲線(1)求拋物線E的方程；(2)已知過點(diǎn)F的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線與E的準(zhǔn)線l交于點(diǎn)P，且線段AB的中點(diǎn)為M，求PMAB【變式7-3】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,E上任意一點(diǎn)P到F的距離與到點(diǎn)(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)已知過點(diǎn)Q且互相垂直的直線l1,l2與E分別交于點(diǎn)A,C與點(diǎn)B,D，線段AC與BD的中點(diǎn)分別為M,N．若直線OM,ON的斜率分別為知識(shí)點(diǎn)4拋物線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題1．拋物線中的定點(diǎn)、定值問題拋物線中的定點(diǎn)、定值問題一般與拋物線的基本量和題設(shè)條件中的給定的點(diǎn)或值有關(guān)，曲線過定點(diǎn)問題以直線過定點(diǎn)居多，定點(diǎn)問題其實(shí)也可以歸結(jié)到定值問題(定點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)為定值).這類問題用函數(shù)的思想方法來(lái)處理，具體操作流程如下：(1)變量——選擇合適的參變量；(2)函數(shù)——要證明為定值的量表示出參數(shù)的函數(shù)；(3)定值——化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，消去參數(shù)得定值.一些存在性問題，是否存在定點(diǎn)使得某一個(gè)量為定值，是否存在定值使得某一量為定值，是否存在定點(diǎn)使得曲線過定點(diǎn)，是否存在定值使得曲線過定點(diǎn)，可以看做定點(diǎn)定值問題的延伸.2．過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法(1)動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題解法：設(shè)動(dòng)直線方程（斜率存在）為y=kx+t，由題設(shè)條件將t用k表示為t=(2)動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．3．求解定值問題的三個(gè)步驟(1)由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；(2)證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無(wú)關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；(3)得出結(jié)論．4．拋物線中的定直線問題定直線問題是指因圖形變化或點(diǎn)的移動(dòng)而產(chǎn)生的動(dòng)點(diǎn)在定直線上的問題.這類問題的核心在于確定定點(diǎn)的軌跡，主要方法有：(1)設(shè)點(diǎn)法：設(shè)點(diǎn)的軌跡，通過已知點(diǎn)軌跡，消去參數(shù)，從而得到軌跡方程；(2)待定系數(shù)法：設(shè)出含參數(shù)的直線方程、待定系數(shù)法求解出系數(shù)；(3)驗(yàn)證法：通過特殊點(diǎn)位置求出直線方程，對(duì)一般位置再進(jìn)行驗(yàn)證.【題型8拋物線中的定點(diǎn)、定值問題】【例8】（24-25高二上·河南·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P1,2是拋物線C：y2=2pxp>0上的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N是C(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線PM，PN的斜率互為相反數(shù)，求證：直線MN的斜率為定值，并求出此定值．【變式8-1】（24-25高二上·遼寧大連·期末）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M12,m(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)A、B是拋物線C上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)，直線OA、OB的斜率分別為k1、k2，若k1【變式8-2】（24-25高二上·浙江寧波·期中）設(shè)拋物線C：y2=2pxp>0，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，已知拋物線上一點(diǎn)(1)求該拋物線的方程；(2)過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線l1和l2，分別交曲線C于點(diǎn)A，B和K，N.設(shè)線段AB，KN的中點(diǎn)分別為P，Q，求證:直線PQ【變式8-3】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為(1)求C的方程；(2)若過點(diǎn)M4,0的直線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)．1【題型9拋物線中的定直線問題】【例9】（24-25高二上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）已知拋物線C：y2=4x(1)過拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為3的直線l1交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，求AB(2)直線l2過點(diǎn)P2,0且與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，過M，N分別作拋物線的切線，這兩條切線交于點(diǎn)Q.證明：點(diǎn)【變式9-1】（24-25高二上·湖北·期末）已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(1)若m=2,n=1，求過點(diǎn)P與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程；(2)設(shè)過動(dòng)點(diǎn)P的兩條直線l1,l2均與C相切，且l1,l【變式9-2】（24-25高三下·江西·階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=2x，Ax1(1)求證：直線y1y=x(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA?OB=?1，C在A，B處的切線交于點(diǎn)P【變式9-3】（2025·山東·二模）已知拋物線E:y2=2pxp>0，過點(diǎn)?1,0的兩條直線l1、l2分別交E于A、B兩點(diǎn)和C、D兩點(diǎn)．當(dāng)(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G在定直線上．【題型10拋物線中的向量問題】【例10】（24-25高二上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于P,Q兩點(diǎn)，若FP+3FQA．233 B．3 C．43【變式10-1】（24-25高三上·安徽