專題06空間向量與立體幾何

5卦考點(diǎn)大集合

K多面爆溺嗝i）

K主向幾何體厚S構(gòu)械’?的91灰I）

fi￡oi空間幾做均浮晚

交同幾何體第

。考點(diǎn)一空間幾何體及R表面積與體積,1＜主間幾何館的結(jié)構(gòu)挎征）&S02

fifiO3至0幾何礴外

、K空間幾何體的.面醐肱積公點(diǎn)）8304七到幾何體篦內(nèi)切球校切球

“空間幾何體的表面積町體積y〉〈

--------------------Jnn.M、臺(tái)體體治詞的關(guān)蒙）

四個(gè)公理

等用例

點(diǎn).is逢.平面ZI句的位Si關(guān)系直送與直融位置關(guān)系

直送與H面的住

平面與五武的位查關(guān)系

,3??.共線.共點(diǎn)司JE的證明

srao＞先回關(guān)案有關(guān)華眸a法廝

■at■（和

較03平行與看既視證明

。考點(diǎn)二空同點(diǎn)、占蛾、理面之間的位西關(guān)基平行關(guān)Q間的轉(zhuǎn)化sraoj平面幾何所務(wù)西

B05空閶幾分Q攤面雷

|-ii品與平面手=的丸，3湃，;無(wú)石h即sraos空間幾何以一。色軌法同蒙

空間向工與立體幾何直城.平面重=干面。平面更京的血友盒理與性防定這

箜質(zhì)關(guān)血司的輔化

另nc吏戌所成為用

生可角且EE與平面所成的角

而S與平強(qiáng)所成的角

Rfioi向量矗本走冠及埃性運(yùn)算

SS02空間向是數(shù)曼松及其應(yīng)用

長(zhǎng)型03求異面五法所或角

鬟堂04米直低與平面所或角

￡b05求字面與平面所成角

餐堂06米空間更充

007利用向量解關(guān)建元性向暨

雌08克閽幾何中的修值范田向望

煢點(diǎn)大過關(guān)

考點(diǎn)一：空間幾何體及其表面積與體積

?核心提煉;查漏訃缺

知識(shí)點(diǎn)1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

1、多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺(tái)

D'小CO，

n#

圖形

ABABAB

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但不一定相等

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

3、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球

?

圖形SA&

旋轉(zhuǎn)圖形矩形直角三角形直角梯形半圓形

任一直角邊所在的垂直于底邊的腰直徑所在的

旋轉(zhuǎn)軸任一邊所在的直線

直線所在的直線直線

互相平行且相等，垂直

母線相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

于底面X

軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓

側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)

3、空間幾何體的直觀圖

（1）畫法：常用斜二測(cè)畫法畫法.

（2）規(guī)則:

①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，V軸、V軸的夾角為45。（或135。），，軸與f軸和了軸所在

平面垂直.

②原圖形中平行于砸標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)

度不變；平行于》軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半.

（3）直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：

S4觀圖=.S班陰的:S丘國(guó)彬=22S）r（觀圖.

4

知識(shí)點(diǎn)2空間幾何體的表面積和體積

1、空間幾何體的表面積和體積公式

稱

表面積體積

幾何體

柱體（棱柱和圓柱）S表面幟=S偏+2S底V=S雙h

}

錐體（棱錐和圓錐）V=SJ1

S表曲湖=S?+S底3位

臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）s衣詡織=s便+S上+S下P=；（S|：+SF+S$Jh

4

球S=4nR2/=兀/?3

3

幾何體的表面積和側(cè)面積的注意點(diǎn)

①幾何體的側(cè)面積是指（各個(gè)）側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積與所有底面面積之和.

②組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.

2、柱體、錐體、臺(tái)體體積間的關(guān)系

?題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分______________

i題型1空間幾何體的表面積】

道

IOO

j求空間幾何體表面積的常見類型及思路

i1、求多面體的表面積：只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表

:面積；

:2、求旋轉(zhuǎn)體的表面積：可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們

:的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系

:3、求不規(guī)則幾何體的表面枳：通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、

?

:錐體、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積；

j【注意】在求解組合題的表面積時(shí)，注意幾何體表面的構(gòu)成，尤其是重合部分，面積不要多加或少加

1.（23-24高三上?湖南?月考）己知圓錐的體積為偵兀，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的側(cè)面積

3

為（）

A.2兀B.3兀C.47rD.6兀

2.（23-24高三下?湖南長(zhǎng)沙?二模）蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷

都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活，蒙古包古代稱作穹廬、氈包或氈帳.已知蒙古包的造型可近似的看作一

個(gè)圓柱和圓錐的組合體，已知圓錐的圖為2米，圓柱的高為3米，底面圓的面積為64幾平方米，則該蒙古包

（含底面）的表面積為（）

A.（112+16J萬(wàn)）兀平方米B.（80+16J萬(wàn)）兀平方米

C.（112+18而）兀平方米D.（80+18J萬(wàn)卜平方米

3.（23-24高三下?全國(guó)?一模）已知正三棱臺(tái)48c的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2和4,且棱臺(tái)的側(cè)面

與底面所成的二面角為60。，則此三棱臺(tái)的表面積為（）

A.B.1073C.llx/3D.126

4.（23-24高三上?江蘇徐州?學(xué)業(yè)考試）如圖1是一棟度假別里，它的屋頂可近似看作一個(gè)多面體，圖2是

該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖，其中四邊形力用花和四邊形。CTE是兩個(gè)全等的等腰梯形，AB/81EFAEAD和

△尸BC是兩個(gè)全等的正三角形.已知該多面體的棱與平面成的角45。，=20,BC=8,則該屋

圖1圖2

A.80B.80x/3C.160D.1605/3

【題型2空間幾何體的體積】

空間幾何體的體積

1、處理空間幾何體體積的基本思路

（1）轉(zhuǎn)：轉(zhuǎn)換底面與高，將原本不容易求面積的底面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉?lái)不容易看出的高

轉(zhuǎn)換為容易看出并容易求解的高；

（2）拆：將一個(gè)不規(guī)則的幾何體拆成幾個(gè)規(guī)則的幾何體，便于計(jì)算；

（3）拼：將小兒何體嵌入一個(gè)大幾何體中，如有時(shí)將一個(gè)三棱錐復(fù)原成一個(gè)三棱柱，將一個(gè)三棱柱復(fù)原乘

一個(gè)四棱柱，還臺(tái)位錐，這些都是拼補(bǔ)的方法。

2、求體積的常用方法

（1）直接法：對(duì)于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算；

（2）割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)

則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算；

（3）等體積法：選擇合適的底面來(lái)求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個(gè)面作

為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換

L“72023：基面前落宣藤；茬三熊EP二42c市：顯宓K而2花琴宓三正扈〉4；〃一二2,小二員：

則該棱錐的體積為（）

A.1B.73C.2D.3

2.（2023?全國(guó)?高考真題）在正四棱臺(tái)48CQ-44GA中，43=2,/e=1,/%=0,則該棱臺(tái)的體積

為.

3.（23-24高三下?貴州貴陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）下圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，已知所4=12,8。=6且448c=120。,

則該圓臺(tái)的體積為（）

4.（23-24高三下?天津?一模）祖瞄是我國(guó)南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之的兒子，他提出了一

條原理：“鼎勢(shì)既同，則積不容異”.這里的“哥”指水平截面的面積，“勢(shì)”指高.這句話的意思是：兩個(gè)等高的

幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體體積相等，利用祖隨原理可以將半球的體

積轉(zhuǎn)化為與其同底等高的圓柱和圓錐的體積之差，圖1是一種“四腳帳篷''的示意圖，其中曲線4OC和80。

均是以2為半徑的半圓，平面40。和平面80。均垂直于平面48CQ,用任意平行于帳篷底面48CQ的平面

截帳篷，所得截面四邊形均為正方形，模仿上述半球的體積計(jì)算方法，可以構(gòu)造一個(gè)與帳篷同底等高的正

四棱柱，從中挖去一個(gè)倒放的同底等高的正四棱錐（如圖2）,從而求得該帳篷的體積為（）

【題型3空間幾何體的外接球】

[祓

IOO2

:1、求解幾何體外接球的半徑的思路

:（1）根據(jù)球的截面的性質(zhì)，利用球的半徑R、截面圓的半徑，,及球心到截面圓的距離d三者的關(guān)系

*

R2=/+/求解，其中，確定球心的位置是關(guān)鍵；

:（2）將幾何體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，利用該幾何體與長(zhǎng)方體共有外接球（1勺特征，由外接球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)

:角線長(zhǎng)求解.

a

「2：廨而耳后盼而瓊…接而藏…真通法是作藏面「落空時(shí)冗而詞做轉(zhuǎn)花為#面元而面期采德;玉罐函前恿

:維流程是：

:第一步定球心：如果是內(nèi)切球，則球心到切點(diǎn)的距離相等且為當(dāng)徑；如果是外接球，則球心到接點(diǎn)的距離

;相等且為半徑；

:第二步作截面：選準(zhǔn)最佳角度作截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些

;元素間的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的：

［第三步求半徑、下結(jié)論：根據(jù)作出的截面中的幾何元素，建立關(guān)于球半徑的方程，并求解.

二廠石。方至面而等宜畫5巨而百員五瓦3藥茬率至為5而球面E…7萬(wàn)下瓦成菽河3面落起三河朝“就工

平面力4C,則S4=.

2.（23-24高三下?河南?月考）直三棱柱力8c-4&G的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若

力6=1,AC=AAy=2,/BAC《,則此球的表面枳等于.

3.（23?24高三下?江西?月考）已知某棱長(zhǎng)為2拉的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球的表面積

為（）

C471

A.4兀B.27rC.—D.冗

4.（23-24高三下?遼寧撫順一模）在三楂錐尸一中，AB=AC=4fZ5JC=120°,產(chǎn)力=6,

PB=PC=2瓦,則三楂錐P-48C的外接球的表面積為（）

A.100兀B.75TlC.80兀D.120兀

5.（23-24高三下?遼寧葫蘆島?一模）《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語(yǔ)，指的是一段類似

隋道形狀的幾何體，如圖，羨除"CQE/7中，底面48CZ）是正方形，EF//平面ABCD,Y/WE和△8CE

均為等邊三角形，且所=2/e=6.則這個(gè)幾何體的外接球的體積為

【題型4空間幾何體的內(nèi)切球、棱切球】

I、內(nèi)切球的相關(guān)結(jié)論與方法：

（1）多面體的內(nèi)切球：多面體的各面均與球面相切；球心到各面距離相等（球半徑），利用等體積法求解;

（2）旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球：旋轉(zhuǎn)體的各面均與球面相切；球心在旋轉(zhuǎn)軸上；利用軸截面確定內(nèi)切球半徑；

2、棱切球常用結(jié)論：

（1）正〃棱柱的棱切球的球心為上下底面中心連線的中點(diǎn)0,正棱雉的棱切球的球心在其高線上球心位置

的確定可以根據(jù)對(duì)稱性找到或過截面圓圓心垂線找到：

（2）多面體的每一個(gè)面與此棱切球都相交，且截面圓是多面體面的內(nèi)切圓；

（3）棱長(zhǎng)都為。的正〃棱柱，則棱切球的半徑為c.兀

2sin—

n

1.（2023?荃國(guó)?高常K翁）云宿務(wù)很疝而一彳&<西市，E,尸分別藥力B,C.D^+i,試.無(wú)置荏而

球的球面與該正方體的棱共有個(gè)公共點(diǎn).

2.（23-24高三下?吉林?模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的側(cè)面積是4兀，且它的側(cè)面展開圖是?個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐

的內(nèi)切球半徑為（）

A2〃nGr2x/3n>/6

3333

3.（23-24高三下廣西?二模）在三棱錐P-48。中，JAB,APBC,APAC,ZX/IB。的面積分別3,4,

12,13,且乙1PB=NBPC=N4PC,則其內(nèi)切球的表面積為.

4.（23-24高三下?內(nèi)蒙古赤峰?開學(xué)考試）已知上底面半徑為近,下底面半徑為2及的圓臺(tái)存在內(nèi)切球（與

上，下底面及側(cè)面都相切的球），則該圓臺(tái)的體積為（）

A.14X/6TTB.56兀C.如知D.孚

33

5.（23-24高三上?江蘇連云港?月考）已知正三棱柱44G的體積為18,若存在球。與三楂柱

ABO的各棱均相切，則球。的表面積為.

考點(diǎn)二：空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

I■■■■■■■■■MB■■■■MB■■■■?■■■■

?核心提煉?查漏補(bǔ)缺_____________

知識(shí)點(diǎn)1點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、四個(gè)公理

（1）公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

（2）公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

【拓展】公理2的三個(gè)推論

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線處二點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.

推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面.

推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面.

（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.

（4）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

2、等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

3、直線與直線的位置關(guān)系

（1）空間兩條直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系特點(diǎn)

相交同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

平行同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

4、直線與平面的位置關(guān)系

直線。在平面a外

位置關(guān)系直線a在平面a內(nèi)

直線。與平面a相交直線a與平面。平行

公共點(diǎn)無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)一個(gè)公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)

符號(hào)表示quaaC\a=Aa//a

---a

圖形表示3二

5、兩個(gè)平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交

公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（在一條直線上）

符號(hào)表示a//paC/}=l

口

圖形表示口

知識(shí)點(diǎn)2直線、平面平行

1、直線與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

平面外一條直線與此平面內(nèi)

____a_____a<la,bua,

判定定理的一條直線平行，則該直線

a//b=a//a

平行于此平面

一條直線和一個(gè)平面平行，

a//a,aup,

性質(zhì)定理則過這條直線的任一平面與

aC\p=b=>a//b

此平面的交線與該直線平行

2、平面與平面平行判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一aua,bua,aC\b=P,

判定定理

個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行/￡_/a//p,

兩個(gè)平面平行，則其中i個(gè)平面內(nèi)的/二/

a〃P，aua=a〃B

直線平行于另一個(gè)平面__/

性質(zhì)定理

如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平

a//fitaCiy=a,pC\y=b^a//b

面相交，那么它們的交線平行

3、平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化

性質(zhì)定理

i判定定理判定定理

線線平行、、線面平行、二面面平行

|性一定理性質(zhì)定理[

判定定理

在證明線面、面面平行時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)叱，即從“線線平行”到“線面平行”，再至上面

面平行”：而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向是由題目的具體條件而定的,

不可過于“模式化

知識(shí)點(diǎn)3直線、平面垂直

1、直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形看言符號(hào)語(yǔ)言

一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩a,bua

1

aC\b=O

判定定理?xiàng)l相交直線都垂直，則該直

lA.a

線與此平面垂直7

ILh

ab

垂直于同一個(gè)平面的兩條直

7aVa

性質(zhì)定理=>a//b

線平行b工a

2、平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

一個(gè)平面上另一個(gè)平面的l±a

判定定理0a邛

垂線，則這兩個(gè)平面垂直4hMJ

兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面aA-fl

曰

性質(zhì)定理內(nèi)垂直于交線的直線與另=>/±a

aC\/J=a

一個(gè)平面垂直修

￡l±a

3、垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化

在證明線面垂直、面面垂直時(shí)，一定要注意判定定理成立的條件.同時(shí)抓住線線、線面.、面面垂直的

轉(zhuǎn)化關(guān)系，即:

判定

I判定判支I

線線垂直手三線面垂直面面垂直

I性質(zhì)性質(zhì)?

姓質(zhì)

在證明兩平面垂直時(shí)，一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的亙線，若這樣的直線在圖中不存在，則可通

過作輔助線來(lái)解決.

知識(shí)點(diǎn)4空間角

1、異面直線所成的角

（1）定義：設(shè)。，力是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)。作直線〃〃小hf//b,把"與加所成的銳角（或直

角）叫做異面直線。與人所成的角（或夾角）.

（2）范圍：（0°,90°］.

2、直線和平面所成的角

（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，一條直線

垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0.

（2）范圍：［0,

3、平面與平面的角

（1）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.

（2）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條

射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.

?題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分______________

【題型1共面、共線、共點(diǎn)問題】

,返

IOOC-

:1、證明點(diǎn)或線共面問題的2種方法

:（1）首先由所給條件中的部分線（或點(diǎn)）確定一個(gè)平面，然后再征其余的線（或點(diǎn)）在這個(gè)平面內(nèi)；

:（2）將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.

j2、證明點(diǎn)共線問題的2種方法

j（1）先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；

:（2）直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線（如某兩個(gè)平面的交線）上.

:3、證明線共點(diǎn)問題的常用方法

j先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn).

…二…7殍打篙三示：海防三藍(lán)5”如畫;…茬三諼茬「前二工瓦］市;…瓦瓦弓方芬前%麗:色;7瓦。商南市

點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

B

C

B.EFHGH

C.EG,FH,.以三線共點(diǎn)、D./EGB「WFHC\

2.（23?24高三下?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）己知圓柱。。2中，AD,4C分別是上、下底面的兩條直徑，且

AD//BC,AB=BC=4f若也是弧8C的中點(diǎn)，N是線段的中點(diǎn)，則（）

A.⑷必=。乂4,。,加,7四點(diǎn)不共面B./1MHCV,4C,M,N四點(diǎn)共面

C.4W18DZX4CW為直角三角形D.4WHCN,Z\4CM為直角.三角形

3.（23-24高三上?山西大同?月考）（多選）已知正方體力BCQ-44GA中，。為8a的中點(diǎn)，直線4c交

平面月4A于點(diǎn)則下列結(jié)論正確的是（）

A.4M。三點(diǎn)共線B.4M。，4四點(diǎn)共面

C.4。。,收四點(diǎn)共面D.氏耳,O,M四點(diǎn)共面

4.（23-24高三下高三?江蘇?專題練習(xí)）（多選）如圖，在四棱柱月8c。-44GA中，48=4。=44=1，

AD1AA,,AD1AB,^A]AB=60°,M,N分別是棱力3和5c的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.4,C,,M,N四點(diǎn)共面B.B\N與AB共面、

C.4。_L平面/呂44D.4必，平面48CO

【題型2線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷】

判斷空間線、面位置關(guān)系的常用方法:

（I）根據(jù)空間線面平行、垂宜的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷解決問題

（2）必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體、四面體等模型中觀察線、面位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理

進(jìn)行判斷：

（3）借助于反證法，當(dāng)從正面入手較難時(shí)，可利用反證法，推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相矛盾的命題，進(jìn)而作

出判斷.

匚…，531%百蘭下??迂苧王逐二橫廠巨而直線二：英三蔡示同南直及「幸而基三不不同的卑面；

下列命題正確的是（）

A.若a_Lc,bLcy則

B.若aHb,alia,則Ma

C.若alia,bHa,c_La,且c_L6,則c_La

D.若/?_La,yLa,且夕0/=。，則〃_La

2.（23-24高三下?湖北?二模）a、B、V是平面，。，b,c是直線，以下說(shuō)法中正確的是（）

A.aVy,ynB.:_1_.，clb=>a/!c

C.al/,夕a1P=a=>aLyD.b//a,bHBn°

3.（23-24高三下?貴州?三模）已知〃八〃是不同的兩條直線，名夕是不重合的兩個(gè)平面「則下列命題中，真

命題為（）

A.若用〃。,〃？〃n,則〃〃aB.若加_La,m_L人〃ua,則〃〃/

C.若〃ua,6_L〃，則m_LaD.若mUa,mH昵H討H。，則a〃￡

4.（23-24高三卜.?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）已知。，〃是兩個(gè)平面,小，〃是兩條直線，則下列命題錯(cuò)誤的是

()

A.如果a//月，〃ua,那么〃//夕B.如果mJLa,nHa,那么m_L〃

C.如果，〃//〃，〃?_La,那么〃_LaD.如果，〃_L〃，rnla,n///?,那么a_L￡

5.（23-24高三下?湖南婁底?一模）（多選）已知。,仇。是空間中三條不同的直線，a,力是空間中兩個(gè)不同

的平面，下列命題不正確的是（）

A.若。_16,。1。,6（=。,0<3。，則a_LaB.若al0,ata,則?！ㄏ?/p>

C.若aHb,"c,aHa,則力/Z?；颉！╝.D.若a_La,6_LA?！?則a〃夕,

【題型3平行垂直關(guān)系的證明】

eo?4

上體幾何證明問題中的轉(zhuǎn)化思想

1、證明線面平行、垂直關(guān)系問題的指導(dǎo)思想是線線、線面、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，交替使用平行、垂直的

判定定理和性質(zhì)定理；

2、線線關(guān)系是線面關(guān)系、面面關(guān)系的基礎(chǔ)，證明過程中要注意利用平面幾何中的結(jié)論，起目中隱含的平行

和垂直關(guān)系，以及平行關(guān)系和垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化。

7：石023荷苒楨救福記而囪二茬三標(biāo)底7拓二彳瓦"市：簫；=工：7《工汨:吊而入前工下而1芮區(qū):萬(wàn)

為44的中點(diǎn).

(1)求證：4。//平面國(guó);〃；

(2)求證：BCLAA,.

2.(23-24高三上?黑龍江大興安嶺地?月考)如圖，底面為正方形的四棱錐尸-力8。中，P/_L平面48CRE

為棱尸C上一動(dòng)點(diǎn)，PA=AC.

(1)當(dāng)上為PC中點(diǎn)時(shí)，求證:4//平面BOE;

PF

(2)當(dāng)/1E_L平面P8。時(shí)，求的值?

CE

3.(23-24高三上?山東洵澤?月考)如圖，在四棱錐產(chǎn)一力8。中，平面平面,48CQ,PD1CD,

AB=2CD,CDHAB,已廠分別為棱48,24的中點(diǎn).

(1)證明：平面尸力?！ㄆ矫鍯EF；

（2）利用題中條件能否得出PQL平面力4CQ?若不能，試添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件后證明POL平面力8C。.

4.（23-24高三下?青海西寧?二模）如圖，在三棱柱48c中，ABAC=90°,AB=AC=242,

AXA=Afi=4,/4力8=AA.AC'

（1）求證：平面48CJ?平面N5C；

（2）求四棱錐4—用U的休積.

【題型4平面幾何折疊問題】

gf

注意折疊或展開過程中平面圖形與空間圖形中的變量與不變量，不僅要注意哪些變了，哪些沒變，還要注

意位置關(guān)系的變化.

0。@點(diǎn)

翻折問題的兩個(gè)解題策略

1、確定翻折前后變與不變的關(guān)系：畫好翻折前后的平面圖形與立體圖形，分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量

關(guān)系的變與不變.一般地，位于“圻痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于6折痕”兩側(cè)的

點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化；對(duì)于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則要在

立體圖形中解決

2、確定翻折后關(guān)鍵點(diǎn)的位置：所謂的關(guān)鍵點(diǎn)，是指翻折過程中運(yùn)動(dòng)變化的點(diǎn).因?yàn)檫@些點(diǎn)的位置移動(dòng)，會(huì)

帶動(dòng)與其相關(guān)的其他的點(diǎn)、線、面的關(guān)系變化，以及其他點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的變化.只

有分析清楚關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，才能以此為參照點(diǎn)，確定其他點(diǎn)、線、面的位置，進(jìn)而進(jìn)行有關(guān)的證明與

計(jì)算

工…蒼二萬(wàn)高W下近防塞列子為5…，3逃黑巨而定為形7反方而揚(yáng)系為Z「箴后春額葭1萬(wàn)工丁麗二匚酒

OE將V,4Q￡折起，使點(diǎn)4翻折至平面"COE外的點(diǎn)P,則（）

A.存在點(diǎn)P,使得PEIDCB,